條件概率全概率與貝葉斯公式2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型歸納與分階培優(yōu)練（人教A版2019選擇性必修第三冊）（解析版）

專題29條件概率全概率與貝葉斯公式

目錄

【題型一】條件概率性質(zhì)..........................................................................1

【題型二】古典概型中的條件概率：取球型..........................................................3

【題型三】條件概率：“醫(yī)護(hù)”分配型..............................................................4

【題型四】條件概率列表型........................................................................6

【題型五】全概率公式基礎(chǔ)型......................................................................7

【題型六】貝葉斯公式............................................................................9

【題型七】概率綜合題...........................................................................10

培優(yōu)第一階一一基礎(chǔ)過關(guān)練.......................................................................13

培優(yōu)第二階一一能力提升練.......................................................................15

培優(yōu)第三階一一培優(yōu)拔尖練.......................................................................18

常熱點(diǎn)題型歸納

【題型一】條件概率性質(zhì)

【典例分析】

己知P?=g,P(聞A)=g,P(B|可=；.則P(8)=()

【答案】C

【分析】根據(jù)條件概率的定義，利用條件分別求得P(8A)和尸(BW),從而求得P(B).

【詳解】由題知，P(A)=1-P(A)=|,「伍|A)="^=gnP(歷l)=P(A)xg=g,

(胡)=又尸(屈=；彳-11

P(BA)=P(A)-P|-g=g,===P(4)x-=—

412

則尸(B)=P(BA)+P(B%)=g+*=^1.故選：C

【提分秘籍】

基本條件概率的性質(zhì)

(1)設(shè)P(A)>0,則P(C|A)=1.

(2)如果B和C是兩個互斥事件,那么尸(BuC|A)=P(同4)+P(C|A).

(3)設(shè)豆和B互為對立事件，則尸(/4)=1一尸(即4).

(4)O<P(A)<1.

【變式訓(xùn)練】

1.設(shè)A,B是兩個事件，P（A）＞0,P（8）＞0,則下列結(jié)論一定成立的是（）

A.P（B\A）P（A\B）=\B.P（AB）=P{A}P（B）

C.P（fi）＜P（B|A）D.P（AB）＜P（fi|A）

【答案】D

【分析】應(yīng)用條件概率公式及獨(dú)立事件的概率關(guān)系P（AB）=P（A）尸（B）,結(jié)合概率的性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤.

【詳解】A：由尸（用力尸（A|B）=I,而04P（B|A）,P（A|B）V1,則P（B|A）==P（A|B）=弓黑=1,

產(chǎn)（A）r（D）

即P（A3）=P（A）=P（3）時成立,否則不成立，排除;

B：當(dāng)A,8是兩個相互獨(dú)立的事件，有P（M）=P（A）P（8）,否則不成立，排除；

C：由P（3）WP（用力=今黑且0＜P（A）41,故「（AB）之尸（A）尸（5）時成立，否則不成立，排除；

D：由尸（A8）=P（8同尸（A）,而0＜P（A）41,則尸（A3）MP（8|A）,符合；

故選：D

2.已知隨機(jī)事件A,B的概率分別為P（4）,P（3）,且P（A）P（B）HO,則下列說法中正確的是（）

A.P（A\B）＜P（AB）B.P（8|4）=P（A|8）

C嗎潸D.P(B\B)=0

［答案］

【%析】C由條件概率的公式對選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.

P（A8）P（AB）

【詳解】由條件概率知：P（*B）=］再，因?yàn)镻（8）e（0,l］,所以尸（A|8）=耳蘇＞P（4B）,故A不正

確；

"*"）=今符'"'8）=爺膏’P（A）與尸⑻不一定相等’所以「（%4）=尸（加8）不一定成立’故B

不正確；

尸⑹小瑞山叱瑞，所以「⑻小黑L”，故c正確；

P（B）

「（B|B）=啟才*0,故D不正確?

故選：C.

3.已知X,后分別為隨機(jī)事件A,3的對立事件，P（A）＞0,P（B）＞0,則下列說法正確的是（）

A.P（B|A）+P（B|A）=P（A）

B.若P（A）+P（B）=1,則A,B對立

C.若4,8獨(dú)立，則P（川3）=尸（A）

D.若A,8互斥，則P（4⑻+P（同4）=1

【答案】C

【分析】利用條件概率的概率公式以及獨(dú)立事件與對立事件的概率公式，對四個選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷，即可

得到答案；

【詳解】對A,P（B|A）+P（B|A）=P（AB^（AB）=7^=1＞故A錯誤；

對B,若A,B對立，則尸（A）+P（8）=l,反之不成立，故B錯誤;

對C,根據(jù)獨(dú)立事件定義，故C正確；

對D,若DB互斥,則尸（A⑻+P（B|A）=O,故D錯誤:

故選：C

【題型二】古典概型中的條件概率：取球型

【典例分析】

袋中有4個黑球,3個白球.現(xiàn)擲一枚均勻的骰子，擲出幾點(diǎn)就從袋中取出幾個球.若已知取出的球全是白球,

則擲出2點(diǎn)的概率為（）

A-|B.；D-備

【答案】C

【分析】記4：骰子擲出的點(diǎn)數(shù)為i,（i=1,2,3）,事件B:取出的球全是白球,

分別求出P（&5）,P（3）,利用條件概率公式即可求解.

【詳解】記A：骰子擲出的點(diǎn)數(shù)為i,0=1,2,3）,事件B:取出的球全是白球，則尸（A）=J，P（BIA）=呢

oC7

所以「⑶上「⑷/⑷介勾斗+上三+上輸二+勾工+4-!-」

I，￡S'f6G6煩6C；676763510

I]_

所以若已知取出的球全是白球，則擲出2點(diǎn)的概率為：今符

10

故選：C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

對于古典概型類，可以采用基本事件總數(shù)的方法來計(jì)算.

P（B|A）=，了,）,其中N（AB）表示事件AB所包含的基本事件個數(shù)。N（A）表示事件A包含的基本

N（A）

事件個數(shù)

【變式訓(xùn)練】

1.袋中有5個球，其中紅、黃、藍(lán)、白、黑球各一個，甲、乙兩人按序從袋中有放回的隨機(jī)摸取一球，記事

件A:甲和乙至少一人摸到紅球，事件8:甲和乙摸到的球顏色不同，則條件概率尸（8|A）=（）

AB.28

-WC.-D.

559

【答案】D

【分析】求出和P（A）的值，利用條件概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】由題意可知，事件A3:甲、乙只有一人摸到紅球，

則P即篝4,P⑷=1—4?總

因此,尸（刎=?^=裊*，故選：D.

2.一個袋子中有2個紅球和3個白球，這些小球除顏色外沒有其他差異.從中不放回地抽取2個球，每次只

取1個.設(shè)事件A="第一次抽到紅球”,8="第二次抽到紅球“，則概率「(8|A)是(

2

A.-B.-C-D—

5452

【答案】B

【分析】利用古典概率公式求出事件A及事件A8的概率，再利用條件概率公式計(jì)算得解

22x1_1

【詳解】依題意，P(A)=-,P(AB)=

1

所以68|4)=4黑=當(dāng)=；.故選：B

P(A)24

5

3.袋子中裝有大小、形狀完全相同的2個白球和2個紅球，現(xiàn)從中不放回地摸取兩個球，已知第一次摸到的

是紅球，則第二次摸到白球的概率為()

A.-B.|C.D.-

3325

【答案】B

【分析】利用條件概率求解.

【詳解】設(shè)'‘第一次摸到紅球''的事件為A,設(shè)“第二次摸到白球”的事件為8，

則P(A)=＞；，P(AB)=|||=；,

所以在第一次摸到的是紅球的條件下，第二次第二次摸到白球的概率為：

￡

P(8M)=旦繆=；=].故選：B

P(A)13

2

【題型三】條件概率：“醫(yī)護(hù)”分配型

【典例分析】

將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生隨機(jī)派往①，②，③三個村莊進(jìn)行義診活動，每個村莊至少派1名醫(yī)生，A表

示事件“醫(yī)生甲派往①村莊”；8表示事件“醫(yī)生乙派往①村莊”；C表示事件“醫(yī)生乙派往②村莊”，則()

A.事件A與8相互獨(dú)立B.事件A與C相互獨(dú)立

C.ABIA)*D.尸(C|4)=V

【答案】D

【分析】由古典概率公式求出P(A),P(B),P(O,P(45),P(AC),再利用相互獨(dú)立事件的定義判

斷A,B；用條件概率公式計(jì)算判斷C,D作答.

【詳解】將甲、乙、內(nèi)、丁4名醫(yī)生派往①，②，③三個村莊義診的試驗(yàn)有C：A；=36個基本事件，它們等

可能，

1211

事件A含有的基本事件數(shù)為A；+C；A；=12,則尸(A)===s，同理尸(8)=60=：；,

3633

21

事件AB含有的基本事件數(shù)為A；=2,則2(.)=。=二，事件AC含有的基本事件數(shù)為C；+C；C；=5,則

3618

P(4C)=：

36

對于A,P(A)P(B)=[wP(AB),即事件A與8相互不獨(dú)立，A不正確；

對于B,P(4)P(C)=g*P(AC),即事件A與C相互不獨(dú)立，B不正確；

P(AR}|

對于C,P(B|A)=±S=z，C不正確;

P(A)6

對于D,尸(C|A)=4^=JD正確.

P(A)12

故選：D

【變式訓(xùn)練】

1.有甲乙丙丁4名人學(xué)生志愿者參加2022年北京冬奧會志愿服務(wù)，志愿者指揮部隨機(jī)派這4名志愿者參加

冰壺，短道速滑、花樣滑冰3個比賽項(xiàng)目的志愿服務(wù)，假設(shè)每個項(xiàng)目至少安排一名志愿者，且每位志愿者

只能參與其中一個項(xiàng)目，求在甲被安排到了冰壺的條件下，乙也被安排到冰壺的概率()

【答案】A

【分析】用事件4表示“甲被安排到了冰壺”，以4為樣本空間，利用古典概率公式求解作答.

【詳解】用事件4表示“甲被安排到了冰壺”，8表示“乙被安排到了冰壺”，

在甲被安排到了冰壺的條件下，乙也被安排到冰壺就是在事件A發(fā)生的條件下，事件8發(fā)生，

相當(dāng)于以A為樣本空間，考查事件8發(fā)生，在新的樣本空間中事件8發(fā)生就是積事件48,包含的樣本點(diǎn)數(shù)

n(AB)==2,

事件A發(fā)生的樣本點(diǎn)數(shù)"(A)=C；A；+A；=12,

所以在甲被安排到了冰壺的條件下，乙也被安排到冰壺的概率為P(例A)=奧黑=

n(A)126

故選：A

2.2020年初，我國派出醫(yī)療小組奔赴相關(guān)國家，現(xiàn)有四個醫(yī)療小組甲、乙、丙、丁，和有4個需要援助的

國家可供選擇，每個醫(yī)療小組只去一個國家，設(shè)事件A=”4個醫(yī)療小組去的國家各不相同”，事件3="小組

甲獨(dú)自去一個國家”，則尸(川8)=()

【答案】A

【分析】利用條件概率公式有尸(4忸)=￡器"，結(jié)合排列組合數(shù)分別求出尸(8)、P(BcA)即可得結(jié)果.

【詳解】由尸(幽=等箏，而P(B)=答言，P(BcA)=J=-

r\D)4o4432

o

所以P(A|8)=§.

故選：A

3.2020年初，我國派出醫(yī)療小組奔赴相關(guān)國家，現(xiàn)有四個醫(yī)療小組甲、乙、丙、丁，和有4個需要援助的

國家可供選擇，每個醫(yī)療小組只去一個國家，設(shè)事件A="4個醫(yī)療小組去的國家各不相同"，事件B="小組

甲獨(dú)自去一個國家“，則P(A|B)=()

A2BC.-D

?9-I9i

【答案】A

求出P(A)=P(A3),P(B),然后由條件概率公式計(jì)算.

【詳解】由題意P(A)=M，P(AB)=P(A),p(8)=與

4

A：

442

所需4X33-9-故選：A-

44

【題型四】條件概率列表型

【典例分析】

42

已知某家族有A、8兩種遺傳性狀，該家族某位成員出現(xiàn)A性狀的概率為天，出現(xiàn)8性狀的概率為A、

7

B兩種遺傳性狀都不出現(xiàn)的概率為m,則該成員在出現(xiàn)A性狀的條件下，出現(xiàn)8性狀的概率為（）

A.-B.-C.；D.—

4824

【答案】B

【分析】記事件E：該家族某位成員出現(xiàn)A性狀，事件尸:該家族某位成員出現(xiàn)B性狀，求出P（M）,利用

條件概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】記事件E：該家族某位成員出現(xiàn)A性狀，事件F:該家族某位成員出現(xiàn)B性狀，

則尸⑻=白，尸（尸）=祗，呼冷磊，則尸出JF）=1-P（￡弓=得,

又因?yàn)镻（EF）=P（E）+P（F）—尸（EF）,則尸（EF）=P（E）+P（F）-P（E尸）=看，

故所求概率為p（尸IE）=4^=NU.故選：B.

ryt,J1U4o

【變式訓(xùn)練】

1.某射擊選手射擊一次擊中10環(huán)的概率是W，連續(xù)兩次均擊中10環(huán)的概率是3，已知該選手某次擊中10

環(huán)，則隨后一次擊中10環(huán)的概率是（）

A.-B.-C.yD.-

5825

【答案】B

41

【分析】設(shè)該選手第一次射擊擊中10環(huán)為事件A,第：次射擊擊中10環(huán)為事件5,則P（A）=l，P（A8）=；,

某次擊中10環(huán)，則隨后一次擊中10環(huán)的概率是：P（8|4）=*7s.

尸（A）

41

【詳解】解：某選手射擊一次擊中10環(huán)的概率是連續(xù)兩次均擊中10環(huán)的概率是

設(shè)該選手第一次射擊擊中10環(huán)為事件A,

第二次射擊擊中10環(huán)為事件B,

41

則P（A）=g,P（AB）=-,

???某次擊中10環(huán)，則隨后一次擊中10環(huán)的概率是：

X

P⑻A）=需=|《故選：B.

5

2.甲、乙兩人獨(dú)立地對同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為0.6和0.8,在目標(biāo)被擊中的條件下，甲、乙同時擊

中目標(biāo)的概率為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)題意,記甲擊中目標(biāo)為事件A,乙擊中目標(biāo)為事件B,目標(biāo)被擊中為事件C,山相互獨(dú)立事件的

概率公式,計(jì)算可得目標(biāo)被擊中的概率，進(jìn)而計(jì)算在目標(biāo)被擊中的情況下，甲、乙同時擊中目標(biāo)的概率,可得答

案.

【詳解】根據(jù)題意,記甲擊中目標(biāo)為事件A,乙擊中目標(biāo)為事件8,目標(biāo)被擊中為事件C,

則尸（A）=0.6,尸（8）=0.8,

所以，P（C）=1-P（A）P（B）=1-（1-0.6）x（1-0.8）=0.92,

P（AB）=P（A）P（B）=0.6x0.8=0.48,

則在目標(biāo)被擊中的情況下，甲、乙同時擊中目標(biāo)的概率為「=2|答=段.

故選：B.

3??某人連續(xù)兩次對同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，若第一次擊中目標(biāo)，則第二次也擊中目標(biāo)的概率為0.7,若第一次

未擊中目標(biāo)，則第二次擊中目標(biāo)的概率為0.5,已知第一次擊中目標(biāo)的概率為0.8,則在第二次擊中目標(biāo)的

條件下，第一次也擊中目標(biāo)的概率為（）

14-14-28c25

A.—B.—C.—D.—

25333339

【答案】C

【分析】設(shè)出事件，利用全概率公式計(jì)算出P（8）=尸⑷.尸（8|A）+尸（孫尸（8⑼=0.66,再利用條件概率

公式計(jì)算出答案.

【詳解】設(shè)第一次擊中目標(biāo)為事件4第二次擊中目標(biāo)為事件8,

則尸（B|A）=0.7,P（B|A）=0.5,P（A）=0.8,

所以P（X）=0.2,

占攵尸（B）=P（A8）+P（4B）=尸（A）P（3|A）+P（Z）-=0.8x0.7+0.2x0.5=0.66,

坐「解"（即）=3=空c

貝"（A|B）=

P（B）0.660.6633

【題型五】全概率公式基礎(chǔ)型

【典例分析】

長時間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約30%的人近視，而該校大約有40%的學(xué)生每天玩手機(jī)

超過2h,這些人的近視率約為60%.現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過2h的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概

率為（）

【答案】A

【分析】令A(yù)="玩手機(jī)時間超過2h的學(xué)生”，&="玩手機(jī)時間不超過2h的學(xué)生”，B="任意調(diào)查一人，利

用全概率公式計(jì)算即可.

【詳解】令4="玩手機(jī)時間超過2h的學(xué)生”，&="玩手機(jī)時間不超過2h的學(xué)生”，8=”任意調(diào)餐一人，此

人近視”，

則C=AU4,且A，4互斥，P（A）=0.4,P（A）=0.6,P（B|A）=0.6,P（B）=0.3,

依題意，P（B）=P（A）P（3|A）+P（4）P（3I4）=04X0.6+06XP（3|4）=0.3,

解得月（8|4）=上，所以所求近視的概率為L故選：A

【提分秘籍】

基本規(guī)律

全概率公式

若樣本空間。中的事件A，4，，A“滿足:

(1)任意兩個事件均互斥即44=0,，；)=1,2,

(2)A44=。.

(3)P(A)>0,i=l,2,?,〃.則對任意事件8三。，都有P(B)=￡P(guān)(A)P(B|A),則稱該公式為全概

率公式

上述公式可借助圖形來理解：

【變式訓(xùn)練】

1.設(shè)某工廠有兩個車間生產(chǎn)同型號家用電器，第一車間的次品率為0.15,第二車間的次品率為().12,兩個車

間的成品都混合堆放在一個倉庫，假設(shè)第一，二車間生產(chǎn)的成品比例為2:3,今有一客戶從成品倉庫中隨機(jī)

提一臺產(chǎn)品，則該產(chǎn)品合格的概率為()

A.0.132B.0.112C.0.868D.0.888

【答案】C

【分析】記事件8表示從倉庫中隨機(jī)提出的一臺是合格品，A表示提出的一臺是第i車間生產(chǎn)的，i=l,2,

分別求出P(a),P(4),P(BIA),P(B|4),再由全概率公式即可求解.

【詳解】設(shè)從倉庫中隨機(jī)提出的一臺是合格品為事件8,

事件A表示提出的一臺是第i車間生產(chǎn)的，i=l，2,

由題意可得P(A)=：=0.4,P(4)=0.6,P(B|A)=O-85,P(5|A,)=0.88

由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P(&)P(51A?)=0.4x0.85+0.6x0.88=0.868

所以該產(chǎn)品合格的概率為0.868

故選：C.

2.有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%,第2,3臺加工的次品率均為5%；加工出

來的零件混放在一起，且第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%.現(xiàn)從加工出來的

零件中任取一個零件，則取到的零件是次品的概率為()

A.0.0415B.0.0515C.0.0425D.0.0525

［答案］D

【彳析】設(shè)8="任取一個零件為次品"，由=”零件為第i臺車床加工”(i=l,2,3),利用全概率的公式求解.

【詳解】解：設(shè)8="任取一個零件為次品“，4=”零件為第i臺車床加工”(i=l,2,3),

則Q=A/UA2UAnAi,A2,4兩兩互斥.

根據(jù)題意得P(4)=0.25,P(A2)=0.3,P(A,;)=0A5,P(B|A/)=0.06,P(5|A2)=P(B|A，0=0.05.

由全概率公式,得P(B)=P(A/)P(B|A/)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A.J)

=0.25x0.06+0.3x0.05+0.45x0.05

=0.0525.故選:D

3.設(shè)某醫(yī)院倉庫中有10盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)

的，且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品率依次為',現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再從這盒

中任取一張X光片，則取得的X光片是次品的概率為()

A.<).08B.<>|C.o.i5D.0.2

【答案】A

【分析】以A，4,A?分別表示取得的這盒X光片是由甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的，B表示取得的X光

片為次品，求得尸(A)，P(4)，P(A)，由條件概率和全概率公式可得答案.

【詳解】以a,4,4分別表示取得的這盒X光片是由甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的,

8表示取得的x光片為次品，P(A)嘖，*4)=木，P(4)=t，

P(5IA)=q,P(04)="，P(BIA)=3，

則由全概率公式,所求概率為P(B)=P(A)尸(a4)+尸(4)尸(3|4)+P(4)尸(網(wǎng)4)

【題型六】貝葉斯公式

【典例分析】

一道考題有4個答案，要求學(xué)生將其中的一個正確答案選擇出來.某考生知道正確答案的概率為在亂猜

時，4個答案都有機(jī)會被他選擇，若他答對了，則他確實(shí)知道正確答案的概率是()

1231

A.—B.—C.-D.一

3344

【答案】B

【分析】利用全概率公式以及貝葉斯公式即可求解.

【詳解】設(shè)A表示'‘考生答對"，8表示"考生知道正確答案”，

由全概率公式得P(4)=P(B)P(A|B)+P(W(N8)=；XI+|X；=；.

,..P(ByP(A\B]；xl2

又由貝葉斯公式得P(8|A)=I；/J；卷一=￡.故選:B

尸(A)13

2

【提分秘籍】

基本規(guī)律

貝葉斯公式

設(shè)A，4，，4是一組兩兩互斥的事件，Au&u=4=。，且尸(4)>o,i=i,2,則對任意事

尸(A)P(BA)=,P(A,)P⑶A)

件P(B)>0,有P(A|B)=P(B)--7尸(4"(04)，i=l,2,,n

M=1

【變式訓(xùn)練】

1.通信渠道中可傳輸?shù)淖址麨锳4A4,BBBB,CCCC三者之一，傳輸三者的概率分別為0.3,0.4,0.3.由

于通道噪聲的干擾，正確地收到被傳輸字符的概率為0.6,收到其他字符的概率為()2,假定字符前后是否

被歪曲互不影響.若收到的字符為ABC4,則傳輸?shù)淖址茿4AA的概率為.

【答案】0.5625

【分析】以8表示事件“收到的字符是ABC4”，4，4瓜3分別表示傳輸?shù)淖址麨锳4A4,BBBB，CCCC,

根據(jù)已知得到P（創(chuàng)A），P（邳4）,利用貝葉斯公式可計(jì)算求得尸（A⑻.

【詳解】以B表示事件“收到的字符是A8C4”，A表示事件”傳輸?shù)淖址麨锳4A4”，4表示事件“傳輸?shù)淖?/p>

符為BBBB,、,&表示事件“傳輸?shù)淖址麨镃CCC”，根據(jù)題意有：

P（A）=0.3,P（4）=0.4,P（A3）=0.3,P（B|^）=0.6x0.2x0.2x0.6=0.0144,

P（B|A,）=0.2x0.6x0.2x0.2=0.0048,P（B|）=0.2x0.2x0.6x0.2=0.0048；

根據(jù)貝葉斯公式可得：

P（3|A）P（A）.0.0144x0.3

P（A|B）==0.5625

±P（A）P（A,）OO44x0.3+0.0048x0.4+0.0048x0.3

i=l

故答案為:0.5625.

2.設(shè)某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為2:1,貨車中途停車修理的概率為0.02,客車為0.01.今有一輛

汽車中途停車修理，該汽車是貨車的概率為.

【答案】0.80

［分析］設(shè)“中途停車修理”為事件B,“經(jīng)過的是貨車”為事件A,“經(jīng)過的是客車”為事件&,則

8=4乃+48,然后代入貝葉斯公式計(jì)算.

［詳解】設(shè)“中途停車修理''為事件B,“經(jīng)過的是貨車“為事件A,“經(jīng)過的是客車”為事件4,則

21

8=A8+&8,P（A）=§,P（4）=j尸（814）=0.02,P（B|A,）=0.01,由貝葉斯公式有

2

P（A）P（B|A）x0.02

P（AIB）=3---；--------=0.80.

（）（）（）尸⑹）

PAP8IA+P&4-x0.02+~x0.01

33

故答案為:0.80

3.已知在自然人群中，男性色盲患者出現(xiàn)的概率為7%,女性色盲患者出現(xiàn)的概率為0.5%.今從男女人數(shù)相

等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，則此人是男性的概率是.

14

【答案】i?

【分析】以事件A表示“選出的是男性"，則事件表示“選出的是女性“，以事件H表示“選出的人是色盲患

者”.由已知得P（A）=P（司=3，P（H\A）=1%,尸（以同=0.5%.根據(jù)貝葉斯公式可求得答案.

【詳解】解：以事件A表示“選出的是男性”，則事件彳表示“選出的是女性“，以事件H表示“選出的人是色

盲患者

由題意，知P（A）=P?=；,P（W|A）=7%,P（”同=0.5%.

由貝葉斯公式，可知此色盲患者是男性的概率為

7%x-,.

「（川昨邛L—叫”力、,、2_14

7%xl+0.5%x-15

22

14

故答案為：—.

【題型七】概率綜合題

【典例分析】

2021年高考結(jié)束后小明與小華兩位同學(xué)計(jì)劃去老年公寓參加志愿者活動.小明在如圖的街道E處，小華在

如圖的街道尸處，老年公寓位于如圖的G處，則下列說法正確的個數(shù)是（）

①小華到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為4條

②小明到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為35條

③小明到老年公寓在選擇的最短路徑中，與到F處和小華會合一起到老年公寓的概率為三

④小明與小華到老年公寓在選擇的最短路徑中，兩人并約定在老年公寓門口匯合，事件人小明經(jīng)過尸事件

2

B；從F到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊部分（路口除外），則P（8|A）=百

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】根據(jù)起點(diǎn)走向終點(diǎn)所需要向上、向右走的總步數(shù)加，并確定向上或向右各走的步數(shù)”，則最短路

徑的走法有C：,再利用古典概率及條件概率求法，求小明到尸處和小華會合一起到老年公寓的概率、小明

經(jīng)過F且從F到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊的概率即可.

【詳解】由圖知，要使小華、小明到老年公寓的路徑最短，則只能向上、向右移動，而不能向下、向左移

動，

對于①，小華到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小華共走3步其中1步向上，

所以最短路徑條數(shù)為C；=3條，錯誤：

對于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路徑條數(shù)為C=35

條，正確；

對于③，小明到F的最短路徑走法有=6條，再從F處和小華一起到老年公寓的路徑最短有3條，而小明

到老年公寓共有35條，

所以到F處和小華會合?起到老年公寓的概率為等正確；

對于④，由題意知：事件A的走法有18條即P（A）T，事件ACS的概率P（4CB）=整：=

所以P（6|A）=T：：）=|,錯誤.

故說法正確的個數(shù)是2.

故選：B.

【變式訓(xùn)練】

1..甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球（球除顏色外，大

小質(zhì)地均相同）.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以A，Az和4表示由甲罐中取出的球是紅球，白

球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是紅球的事件.下列結(jié)論正確的

個數(shù)是（）

①事件A與4相互獨(dú)立；

②4,4是兩兩互斥的事件；

③產(chǎn)（3%）=（:

Q

④P（B）=K；

4

⑤P(A|B)=g

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【分析】先判斷出A，4,A3是兩兩互斥的事件，且不滿足尸(A4)=P(A>P(4)，①錯誤，②正確，用

條件概率求解③⑤，用全概率概率求解④，得出結(jié)論.

【詳解】顯然，A，4,4是兩兩互斥的事件，且

c1O1

==m)=7-T-T=7>而尸(A4)=°x尸(A>P(4)，①錯誤，②正確；

JI4I，4JI乙I，J

2I1444

P

P(4)=HTj75=W'(M=g><TT=^-所以「⑻&)=1r③正確；

P(B)=尸(B|A)P(A)+P(M4)?尸(4)+P(邳4)"(4)=31+白：+今祗=4④正確;

乙1.L1LJ1UL1/",

平⑤錯誤，綜上：結(jié)論正確個數(shù)為3.

r(D)9

22

故選：C

2.拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，在有一枚正面朝上的條件下，另外兩枚也正面朝上的概率是()

［答案］C

【3■析】由題可知，拋擲三枚硬幣，則基本事件共有8個，其中有一枚正面朝上的基本事件有7個，分別

求出“有一枚正面朝上”和“三枚都正面朝上”的概率，最后根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】解：根據(jù)題意，可知拋擲三枚硬幣，則基本事件共有8個，

其中有一枚正面朝上的基本事件有7個，

記事件A為“有一枚正面朝上”，則尸(4)=(，

O

記事件8為“另外兩枚也正面朝上”，

則A8為“三枚都正面朝上”，故P(AB)=J,

O

故阻止需

8

即在有一枚正面朝上的條件下，另外兩枚也正面朝上的概率是1.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的計(jì)算公式的應(yīng)用，考查分析和計(jì)算能力.

3.如果｛4｝不是等差數(shù)列，但若弘eN*,使得4+%2=2?，那么稱｛%｝為“局部等差''數(shù)列.已知數(shù)列｛%｝

的項(xiàng)數(shù)為4,記事件A：集合｛%,,9,$,見｝=｛1,2,3,4,5｝,事件B：｛七｝為“局部等差”數(shù)列，則條件概率

P(B\A)=

【答案】C

,、RAB)

【分析】分別求出事件A與事件B的基本事件的個數(shù)，用尸(8|A)=-^1計(jì)算結(jié)果.

【詳解】由題意知，事件A共有C?M=120個基本事件，事件B：“局部等差”數(shù)列共有以下24個基本事件,

(1)其中含1,2,3的局部等差的分別為I,2,3,5和5,1,2,3和4,1,2,3共3個，含3,2,1

的局部等差數(shù)列的同理也有3個，共6個.

含3,4,5的和含5,4,3的與上述(1)相同，也有6個.

含2,3,4的有5,2,3,4和2,3,4,I共2個，

含4,3,2的同理也有2個.

含1,3,5的有1,3,5,2和2,1,3,5和4,I,3,5和1,3,5,4共4個,

含5,3,1的也有上述4個，共24個，

P(B\A}=—￡

v71205

故選C.

M分階培優(yōu)練

培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練

37

1.已知尸(A|3)=i，P網(wǎng)Mg,則P(A8)=()

27

D.—

49

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用條件概率公式計(jì)算作答.

37371

【詳解】因?yàn)槭?A|8)=,,P(B)=g,所以P(A8)=P(A|B)P(8)=,X3=3.

故選：C

2.某次考試共有4道單選題，某學(xué)生對其中3道題有思路，1道題完全沒有思路.有思路的題目每道做對

的概率為0.8,沒有思路的題目，只好任意猜一個答案，猜對的概率為0.25.若從這4道題中任選2道，則

這個學(xué)生2道題全做對的概率為()

A.0.34B.0.37C.0.42D.0.43

【答案】C

【分析】根據(jù)排列組合以及概率的乘法公式即可求解.

【詳解】設(shè)事件A表示“兩道題全做對”，

則4Tx

若兩個題目都有思路,0.82=0.32

C4

則鳥=野

若兩個題目中一個有思路一個沒有思路,X0.8x0.25=0.1

故P(A)=6+6=0.32+0.1=0.42,

故選：C

9

3.某地攤集中點(diǎn)在銷售旺季的某天接納顧客量超過1萬人次的概率是玄，連續(xù)兩天顧客量超過1萬人次

的概率是在該地攤集中點(diǎn)在銷售旺季的某天接納顧客量超過1萬人次的條件下，隨后一天的接納顧客

量超過1萬人次概率是().

7947

A.—B.—C.—D.一

101059

［答案］D

【5■析】利用條件概率的定義及其概率計(jì)算公式求解即可.

【詳解】設(shè)“某天接納顧客量超過1萬人次”為事件A,“隨后一天的接納顧客量超過1萬人次”為事件5,

97

則"A)=，"A8)=萬

所以尸(即)=需=￡4,

故選：D.

4.已知某地市場上供應(yīng)的一種電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品占60%,乙廠產(chǎn)品占40%,甲廠產(chǎn)品的合格率是95%,

乙廠產(chǎn)品的合格率是90%,則從該地市場上買到一個合格產(chǎn)品的概率是()

A.0.92B.0.93C.0.94D.0.95

【答案】B

【分析】利用全概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】從某地市場上購買一個燈泡,設(shè)買到的燈泡是甲廠產(chǎn)品為事件A,買到的燈泡是乙廠產(chǎn)品為事件B,

則尸⑷=0.6,尸(3)=0.4,

記事件C：從該地市場上買到一個合格燈泡，則尸(C|A)=0.95,P(