中考數(shù)學一輪復習提升練習第3.5講 反比例函數(shù)（考點精析+真題精講）（原卷版）

備戰(zhàn)2024中考數(shù)學一輪復習備戰(zhàn)2024中考數(shù)學一輪復習第5講反比例函數(shù)№考向解讀第5講反比例函數(shù)№考向解讀?考點精析?真題精講?題型突破?專題精練第三章函數(shù)第5講反比例函數(shù)→?考點精析←→?真題精講←考向一反比例函數(shù)的定義考向二反比例函數(shù)的圖象和性質考向三反比例函數(shù)解析式的確定考向四反比例函數(shù)中k的幾何意義考向五反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合考向六反比例函數(shù)的應用考向七反比例函數(shù)與平面幾何綜合類型一最值問題類型二存在性類型三與面積有關第5講反比例函數(shù)反比例函數(shù)也是非常重要的函數(shù),年年都會考,總分值為15分左右，預計2024年各地中考一定還會考，反比例函數(shù)與一次函數(shù)結合出現(xiàn)在解答題中是各地中考必考的一個答題，反比例函數(shù)的圖象與性質和平面幾何的知識結合、反比例函數(shù)中|k|的幾何意義等也會是小題考察的重點.→?考點精析←一、反比例函數(shù)的概念1．反比例函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)SKIPIF1<0（k是常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù)．反比例函數(shù)的解析式也可以寫成SKIPIF1<0的形式．自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)．2．反比例函數(shù)SKIPIF1<0（k是常數(shù)，kSKIPIF1<00）中x，y的取值范圍自變量x和函數(shù)值y的取值范圍都是不等于0的任意實數(shù)．二、反比例函數(shù)的圖象和性質1．反比例函數(shù)的圖象與性質（1）圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函數(shù)中自變量x≠0，函數(shù)y≠0，所以，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸．（2）性質：當k>0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第一、三象限，在每個象限內，y隨x的增大而減小．當k<0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限，在每個象限內，y隨x的增大而增大．表達式SKIPIF1<0（k是常數(shù)，k≠0）kk>0k<0大致圖象所在象限第一、三象限第二、四象限增減性在每個象限內，y隨x的增大而減小在每個象限內，y隨x的增大而增大2．反比例函數(shù)圖象的對稱性反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其對稱軸為直線y=x和y=-x，對稱中心為原點．3．注意（1）畫反比例函數(shù)圖象應多取一些點，描點越多，圖象越準確，連線時，要注意用平滑的曲線連接各點．（2）隨著|x|的增大，雙曲線逐漸向坐標軸靠近，但永不與坐標軸相交，因為反比例函數(shù)SKIPIF1<0中x≠0且y≠0．（3）反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在談到反比例函數(shù)的增減性時，都是在各自象限內的增減情況．當k>0時，在每一象限（第一、三象限）內y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說當k>0時，y隨x的增大而減?。瑯?，當k<0時，也不能籠統(tǒng)地說y隨x的增大而增大．三、反比例函數(shù)解析式的確定1．待定系數(shù)法：確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)SKIPIF1<0中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應值或圖象上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式．2．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟（1）設反比例函數(shù)解析式為SKIPIF1<0（k≠0）；（2）把已知一對x，y的值代入解析式，得到一個關于待定系數(shù)k的方程；（3）解這個方程求出待定系數(shù)k；（4）將所求得的待定系數(shù)k的值代回所設的函數(shù)解析式．四、反比例函數(shù)中|k|的幾何意義1．反比例函數(shù)圖象中有關圖形的面積2．涉及三角形的面積型當一次函數(shù)與反比例函數(shù)結合時，可通過面積作和或作差的形式來求解．（1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)SKIPIF1<0交于A、B兩點，且一次函數(shù)與x軸交于點C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；（3）如圖③，已知反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上的兩點，其坐標分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，C為AB延長線與x軸的交點，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=SKIPIF1<0–SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．五、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合1．涉及自變量取值范圍型當一次函數(shù)SKIPIF1<0與反比例函數(shù)SKIPIF1<0相交時，聯(lián)立兩個解析式，構造方程組，然后求出交點坐標．針對SKIPIF1<0時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對應的x的范圍.例如，如下圖，當SKIPIF1<0時，x的取值范圍為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；同理，當SKIPIF1<0時，x的取值范圍為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．2．求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標（1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點由k值的符號來決定.①k值同號，兩個函數(shù)必有兩個交點；②k值異號，兩個函數(shù)可無交點，可有一個交點，可有兩個交點；（2）從計算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況．六、反比例函數(shù)的實際應用解決反比例函數(shù)的實際問題時，先確定函數(shù)解析式，再利用圖象找出解決問題的方案，特別注意自變量的取值范圍．→?真題精講←考向一反比例函數(shù)的定義1．反比例函數(shù)的表達式中，等號左邊是函數(shù)值y，等號右邊是關于自變量x的分式，分子是不為零的常數(shù)k，分母不能是多項式，只能是x的一次單項式．2．反比例函數(shù)的一般形式的結構特征：①k≠0；②以分式形式呈現(xiàn)；③在分母中x的指數(shù)為1．1．（山東濱州·中考真題）下列函數(shù)：①y=2x﹣1；②；③y=x2+8x﹣2；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函數(shù)的有▲（填序號）2．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）已知SKIPIF1<0都在反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，則a、b、c的關系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）已知點SKIPIF1<0在反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，其中a，k為常數(shù)，且SKIPIF1<0﹐則點M一定在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考向二反比例函數(shù)的圖象和性質當k>0時，函數(shù)的圖象在第一、三象限，在每個象限內，曲線從左向右下降，也就是在每個象限內，y隨x的增大而減?。攌<0時，函數(shù)的圖象在第二、四象限，在每個象限內，曲線從左向右上升，也就是在每個象限內，y隨x的增大而增大．雙曲線是由兩個分支組成的，一般不說兩個分支經過第一、三象限（或第二、四象限），而說圖象的兩個分支分別在第一、三象限（或第二、四象限）．4．（2020·山東威?！ぶ锌颊骖}）一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標系中的圖象可能是（）A．B．C．D．5．（2023·內蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）已知點SKIPIF1<0在反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖像上，且SKIPIF1<0，則下列結論一定正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06.（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）已知SKIPIF1<0都在反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，則a、b、c的關系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2020·湖北武漢·中考真題）若點，在反比例函數(shù)的圖象上，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．或8.已知點A(SKIPIF1<0，2)、B(2，SKIPIF1<0)都在反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上．(1)求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值；(2)若直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點C，求C關于SKIPIF1<0軸對稱點C′的坐標．考向三反比例函數(shù)解析式的確定1．反比例函數(shù)的解析式SKIPIF1<0（k≠0）中，只有一個待定系數(shù)k，確定了k值，也就確定了反比例函數(shù)，因要確定反比例函數(shù)的解析式，只需給出一對x，y的對應值或圖象上一個點的坐標，代入SKIPIF1<0中即可．2．確定點是否在反比例函數(shù)圖象上的方法：（1）把點的橫坐標代入解析式，求出y的值，若所求值等于點的縱坐標，則點在圖象上；若所求值不等于點的縱坐標，則點不在圖象上．（2）把點的橫、縱坐標相乘，若乘積等于k，則點在圖象上，若乘積不等于k，則點不在圖象上．9．（2020·陜西中考真題）在平面直角坐標系中，點A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分別在三個不同的象限．若反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經過其中兩點，則m的值為_____．10.當SKIPIF1<0為何值時SKIPIF1<0是反比例函數(shù)？11.已知SKIPIF1<0的圖象是雙曲線，且在第二、四象限，(1)求SKIPIF1<0的值．(2)若點(－2，SKIPIF1<0)、(－1，SKIPIF1<0)、(1，SKIPIF1<0)都在雙曲線上，試比較SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的大?。枷蛩姆幢壤瘮?shù)中k的幾何意義三角形的面積與k的關系：（1）因為反比例函數(shù)SKIPIF1<0中的k有正負之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面積時，都應加上絕對值符號．（2）若三角形的面積為SKIPIF1<0|k|，滿足條件的三角形的三個頂點分別為原點，反比例函數(shù)圖象上一點及過此點向坐標軸所作垂線的垂足．12．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A是反比例函數(shù)SKIPIF1<0圖像上的一點，過點A分別作SKIPIF1<0軸于點M，SKIPIF1<0軸于直N，若四邊形SKIPIF1<0的面積為2．則k的值是（

）

A．2 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<013．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，過SKIPIF1<0的圖象上點A，分別作x軸，y軸的平行線交SKIPIF1<0的圖象于B，D兩點，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為鄰邊的矩形SKIPIF1<0被坐標軸分割成四個小矩形，面積分別記為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）

A．4 B．3 C．2 D．114．（2023·內蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，SKIPIF1<0三個頂點的坐標分別為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0對稱，反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，過點B作SKIPIF1<0軸，交y軸于點P，則SKIPIF1<0的面積是___________．

考向五反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合的主要題型：（1）利用k值與圖象的位置的關系，綜合確定系數(shù)符號或圖象位置；（2）已知直線與雙曲線表達式求交點坐標；（3）用待定系數(shù)法確定直線與雙曲線的表達式；（4）應用函數(shù)圖象性質比較一次函數(shù)值與反比例函數(shù)值的大小等．解題時，一定要靈活運用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的知識，并結合圖象分析、解答問題．16．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上，將直線SKIPIF1<0向上平移若干個單位長度交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，交雙曲線于點SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的坐標是___________．

17．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，一次函數(shù)SKIPIF1<0與反比例函數(shù)SKIPIF1<0相交于點A和點SKIPIF1<0．

(1)求m的值和反比例函數(shù)解析式；(2)當SKIPIF1<0時，求x的取值范圍．18．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）在直角坐標系中，已知SKIPIF1<0，設函數(shù)SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象交于點SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0．已知點SKIPIF1<0的橫坐標是2，點SKIPIF1<0的縱坐標是SKIPIF1<0．

(1)求SKIPIF1<0的值．(2)過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸的垂線，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸的垂線，在第二象限交于點SKIPIF1<0；過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸的垂線，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸的垂線，在第四象限交于點SKIPIF1<0．求證：直線SKIPIF1<0經過原點．考向六反比例函數(shù)的應用用反比例函數(shù)解決實際問題的步驟（1）審：審清題意，找出題目中的常量、變量，并理清常量與變量之間的關系；（2）設：根據(jù)常量與變量之間的關系，設出函數(shù)解析式，待定的系數(shù)用字母表示；（3）列：由題目中的已知條件列出方程，求出待定系數(shù)；（4）寫：寫出函數(shù)解析式，并注意解析式中變量的取值范圍；（5）解：用函數(shù)解析式去解決實際問題．19.心理學家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，一節(jié)課40分鐘中，學生的注意力隨教師講課的變化而變化．開始上課時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學生的注意力開始分散．經過實驗分析可知，學生的注意力指標數(shù)y隨時間x（分鐘）的變化規(guī)律如下圖所示（其中AB、BC分別為線段，CD為雙曲線的一部分）：（1）開始上課后第五分鐘時與第三十分鐘時相比較，何時學生的注意力更集中？（2）一道數(shù)學競賽題，需要講19分鐘，為了效果較好，要求學生的注意力指標數(shù)最低達到36，那么經過適當安排，老師能否在學生注意力達到所需的狀態(tài)下講解完這道題目？20.如圖，是藥品研究所所測得的某種新藥在成人用藥后，血液中的藥物濃度y（微克/毫升）用藥后的時間x（小時）變化的圖象（圖象由線段OA與部分雙曲線AB組成）．并測得當y=a時，該藥物才具有療效．若成人用藥4小時，藥物開始產生療效，且用藥后9小時，藥物仍具有療效，則成人用藥后，血液中藥物濃則至少需要多長時間達到最大度？考向七反比例函數(shù)與平面幾何綜合類型一最值問題21．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，等腰直角三角形SKIPIF1<0的