期中金牌測(cè)試卷（一）-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考試滿分練（蘇教版2019必修第二冊(cè)） (一)

2021-2022高一下學(xué)期期中金牌測(cè)試卷（一）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷共6頁(yè)，包含單項(xiàng)選擇題（第1題?第8題，共40分）、多項(xiàng)選擇題（第9題?第12

題，共20分）、填空題（第13題?第16題，共20分）和解答題（第17題?第22題，共70

分）四部分.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在答題卡、

試卷和草稿紙的指定位置上.

3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用23鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，用0.5毫米黑色墨水的簽字筆將

答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷或草稿紙上均無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回.

5.如需作圖，須用23鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、單項(xiàng)選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題意要求的.）

1.已知向量a=（-l,2）,人=（見(jiàn)-4）,且b〃a，則機(jī)的值為（)

A.2B.-2C.4D.-4

2.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=l-百，，則|z|=（）

A.72B.2C.4D.8

3.已知角。的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸非負(fù)半軸上，且角a的終邊上一點(diǎn)P（2,l）,則sin2a=（）

4

D.一

-4T。￥5

4.在,ABC中，角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為“，b,c,已知a=3,b=4,c=所,則二ABC的最大內(nèi)

角為（）

A.120°B.90°C.150°D.60°

5.一ABC中，=點(diǎn)E是CO的中點(diǎn)，設(shè)=AC=b，則（）

A.L+4B.L+LC.>+4D.L+4

26632362

6.我國(guó)著名科幻作家劉慈欣的小說(shuō)《三體II?黑暗森林》中的“水滴”是三體文明使用強(qiáng)互作用力（SIM）材

料所制成的宇宙探測(cè)器，因?yàn)槠渫庑闻c水滴相似，所以被人類稱之為“水滴”小王是《三體》的忠實(shí)讀者，他

利用幾何作圖軟件畫(huà)出了他心目中的“水滴”：由線段48,AC和優(yōu)弧8c圍成，A8,AC與圓弧分別切于點(diǎn)B、

C,直線8c與水平方向垂直（如圖），已知1"水滴'’的水平寬度與豎直高度之比為9：5,貝Ijcos/R4c=（）

7.7SC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若〃+/+。2=12,4=彳，貝|ABC面積的最大值為

（）

A.辿B.更C.亞D.百

555

8.一ABC中，卜6,|AC|=1,O是8c邊中垂線上任意一點(diǎn)，則AZ>CB的值是（）

A.1B.^2C.y/3D.—1

二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.）

9.已知函數(shù)f(x)=binx|sinr,則()

A.“X）為周期函數(shù)B.y=〃x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

C./（"的值域?yàn)閇T1]D.在（-2肛-5）上單調(diào)遞增

10.在一ABC中，AB=c，BC=a,CA=b,則下列推導(dǎo)正確的是（）

A.若〃包<0，貝I9C是鈍角三角形

B.若a-b=0,則一ABC是直角三角形

C.若二.）=）；，則/A3C是等腰三角形

D.若忖=忸-4，則,A3C是直角三角形

11.定義：°力兩個(gè)向量的叉乘axb的模|八陰4折卜出色9，則下列命題正確的是（)

A.若平行四邊形的面積為4,則|ABxA4=4

B.在正二ABC中，若AO=|ABxAc|(AB+AC),則黑,=3

C.若卜x0=6,a/=l,則k+2〃|的最小值為2G

D.若卜x同=l，Mxc|=2,且6為單位向量，則|axc|的值可能為2+2右

12.已知〃x)=l-2cos2(0x+()(0>O),則下列判斷中，錯(cuò)誤的是()

A.若/(不)=1,4w)=T，且則。=2

B.存在3e(0,2),使得/(x)的圖像右移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱

「4147~

C.若〃x)在［0,2句上恰有7個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍為—

D.若“X)在［-專用上單調(diào)遞增，則”的取值范圍為

三、填空題：(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知復(fù)數(shù)z=2+i,其中i為虛數(shù)單位，那么復(fù)數(shù)0)22所對(duì)應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)在第象限

14.已知平面向量為單位向量，c=a-2b，若〃，c垂直，則〃，力的夾角為.

兀71

15.若方程cos2x-sinx+a=0在-于萬(wàn)內(nèi)有解，則a的取值范圍是.

16.在“ABC中，AB￥BC,。為;ABC的外心，且有A8+BC=2"AC，sinC(cosA-73)+cosAsinA=0,

3

若AO=xAB+yAC,x,ywR,則x-2y=.

四、解答題：(本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)

17.已知平面內(nèi)的三個(gè)向量。=(3,2),&=(-1,2),c=(4,l).

(1)求忸一《的值；

⑵若"血+〃c(A,//eR),求/1+〃的值；

⑶若向量a+妨與向量共線，求實(shí)數(shù)2的值.

18.已矢口sin^+cos^=--,^G(—,

522

(1)求cosO-sin。；

7T

(2)求sinQe—7)

4

19.在①2=帶，②2=駕兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題中的橫線上，并求解該問(wèn)題.

cbccosC

TT

問(wèn)題：在“ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且,a=4,B=~,若在邊AC上存

在點(diǎn)D,使得AO=3AC,求80的長(zhǎng).

20.己知何=3,忖=4,且向量〃與向量〃的夾角，=與，e是a同方向的單位向量.

⑴求［5（2〃-3小4儂-3a）｝a；

⑵求向量3a+26在向量“上的投影向量.

21.某校興趣小組在如圖所示的矩形區(qū)域ABC。內(nèi)舉行機(jī)器人攔截挑戰(zhàn)賽，在E處按“方向釋放機(jī)器人甲，

同時(shí)在A處按AQ方向釋放機(jī)器人乙，設(shè)機(jī)器人乙在M處成功攔截機(jī)器人甲，兩機(jī)器人停止運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)M在

矩形區(qū)域ABCO內(nèi)（包含邊界），則挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失敗.已知AB=6米，E為AB中點(diǎn),比賽中兩機(jī)

器人均勻速直線運(yùn)動(dòng)方式行進(jìn)，記EP與郎的夾角為。CO<0<n）,AQ與A8的夾角為a（0<a<^）.

DC

(1)若兩機(jī)器人運(yùn)動(dòng)方向的夾角為AD足夠長(zhǎng)，機(jī)器人乙挑戰(zhàn)成功，求兩機(jī)器人運(yùn)動(dòng)路程和的最大值;

(2)已知機(jī)器人乙的速度是機(jī)器人甲的速度的2倍.

(i)若。=1，足夠長(zhǎng)，機(jī)器人乙挑戰(zhàn)成功，求sina.

(ii)如何設(shè)計(jì)矩形區(qū)域ABCD的寬4。的長(zhǎng)度，才能確保無(wú)論。的值為多少，總可以通過(guò)設(shè)置機(jī)器人乙的

釋放角度a使機(jī)器人乙挑戰(zhàn)成功？

22.如果對(duì)于三個(gè)數(shù)。、b、c能構(gòu)成三角形的三邊，則稱這三個(gè)數(shù)為“三角形數(shù)”，對(duì)于“三角形數(shù)”。、b、

c,如果函數(shù)y=f(x)使得三個(gè)數(shù)/⑷、/(b)、/(c)仍為“三角形數(shù)”,則稱y=f(x)為“保三角形函數(shù)”.

(1)對(duì)于“三角形數(shù)"a、2a、二+a,其中若f(x)=tanx,判斷函數(shù)y=f(x)是否是“保三角

484

形函數(shù)”，并說(shuō)明理由；

(2)對(duì)于“三角形數(shù)"a、a+ja+1,其中＜二，若g(x)=sinx,判斷函數(shù)y=g(x)是否是“保三

63612

角形函數(shù)”，并說(shuō)明理由.

2021-2022高一下學(xué)期期中金牌測(cè)試卷（一）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷共6頁(yè)，包含單項(xiàng)選擇題（第1題?第8題，共40分）、多項(xiàng)選擇題（第

9題?第12題，共20分）、填空題（第13題?第16題，共20分）和解答題（第

17題?第22題，共70分）四部分.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填

寫(xiě)在答題卡、試卷和草稿紙的指定位置上.

3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用23鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)

號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，用

0.5毫米黑色墨水的簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷或草稿紙上均無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回.

5.如需作圖，須用28鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、單項(xiàng)選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題意要求的.）

1.己知向量〃=（一1,2）,力=（〃?,T）,且則切的值為（）

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】A

【解析】

【分析】

由向量平行的坐標(biāo)表示計(jì)算.

【詳解】

解：由已知條件得??》〃〃，二（-1）x（-4）-2m=0.解得機(jī)=2.

故選：A.

2.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=l-6i,則忖=（）

A.72B.2C.4D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

利用模長(zhǎng)公式求出復(fù)數(shù)的模長(zhǎng).

【詳解】

|z|=J1+3=2.

故選：B

3.己知角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸非負(fù)半軸上，且角a的終邊上一點(diǎn)尸（2,1）,則

sin2a=()

A.--B.一也C.—D.-

5555

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義即可求出sina,cosa的值，根據(jù)二倍角的正弦公式，即可求出

s\n2a的值.

【詳解】

由題意，角。的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在R軸非負(fù)半軸上，且角a的終邊上一點(diǎn)P（2,l）,

1122

^wsln￡z=_=_.cosa==_.

故選：D.

4.在-4BC中，角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為。，b,c,己知a=3,b=4,c=>/方，則

一ABC的最大內(nèi)角為（）

A.120°B.90°C.150°D.60°

【答案】A

【解析】

【分析】

由己知的三邊長(zhǎng)可判斷出角C最大，然后利用余弦定理求解即可

【詳解】

■：oa,c>b,.?.角C最大.

由余弦定理，得，2=/+從-2時(shí)8SC,即37=9+16-24cosC,

Z.cosC=--,V00<C<180°,

2

二C=120°.

故選：A.

1一

5.，43。中，AD=§A3,點(diǎn)后是8的中點(diǎn)，設(shè)A3=〃，AC=b9則AE=（）

A.—a+—bB.—a+—bC.—a+—bD.—a+—b

26632362

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)平面向量得線性運(yùn)算及平面向量基本定理結(jié)合圖形即可得出答案.

【詳解】

解：因?yàn)?點(diǎn)E是CQ的中點(diǎn)，

則AE=AC+CE=AC+；CO=AC+g（AO-AC）

=AC+-\-AB-AC\=-AC+-AB=-a+-b.

2（3）2662

故選：D.

6.我國(guó)著名科幻作家劉慈欣的小說(shuō)《三體H?黑暗森林》中的“水滴”是三體文明使用強(qiáng)互作

用力（SIM）材料所制成的宇宙探測(cè)器，因?yàn)槠渫庑闻c水滴相似，所以被人類稱之為“水滴”

小王是《三體》的忠實(shí)讀者，他利用幾何作圖軟件畫(huà)出了他心目中的“水滴”：由線段AB,4c

和優(yōu)弧BC圍成，A8,AC與圓弧分別切于點(diǎn)8、C,直線BC與水平方向垂直（如圖），已知

“水滴”的水平寬度與豎直高度之比為9：5,則cosNB4C=（）

【答案】A

【解析】

【分析】

設(shè)圓弧所在圓心為0,半徑為r,連接OAO5,OC,由題意得可得OB_L=,

且一r-Fk-OA=9根據(jù)三角函數(shù)定義，可得sin/OAB的值，根據(jù)二倍角公式，即可得答案.

2r5

【詳解】

設(shè)圓弧所在圓心為。，連接。4。仇。。，可知。BLAB,NOAB=」NBAC,

2

_i_r)AQ5

設(shè)圓。的半徑為々依題意，有失r絲==,即廠=3。4,

2r513

所以sinZOAB=—,^BAC=2ZOAB

13

)119

所以cosABAC=l-2sin2ZOAB=——.

169

B

故選：A

27r

7...ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a?+c?=12,-4=—,則ABC面

積的最大值為()

A.亞B.迪c?迪D.73

555

【答案】B

【解析】

【分析】

由余弦定理和題設(shè)條件，化簡(jiǎn)得。2=與+6,進(jìn)而得到從+c?+與=6,利用基本不等式，

求得歷的最大值為?12，利用面積公式，即可求解.

【詳解】

由余弦定理知a2=h2+c2-2hccosA^

因?yàn)?+方+/=12且A==,可得ACCOSA+/=6,即/=華+6,

32

hr

又由/+/+。2=12,可得從+。2+5=6,

因?yàn)閺乃?兒446,解得加蕓，

1?

當(dāng)且僅當(dāng)人二c時(shí)，等號(hào)成立，即A的最大值為?，

所以MBC的面積的最大值為葭、=LUsin網(wǎng)=唯.

皿2535

故選：B.

8.ABC中，卜@=6,卜4=1,。是8c邊中垂線上任意一點(diǎn)，則AO?CB的值是（）

A.1B.-y2C.>/3D.—1

【答案】A

【解析】

【分析】

設(shè)8c中點(diǎn)為E，根據(jù)向量線性運(yùn)算可將AZZCB化為:|A81-；|AC『，由此可得結(jié)果.

【詳解】

設(shè)8c中點(diǎn)為E，；.ADCB=（AE-DE）CB=AECB-DECB,

DEVBC,:.DECB=O-,

:.ADCB^\.

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.）

9.已知函數(shù)f（x）（sinx|sinx,則（）

A./（X）為周期函數(shù)B.y=/（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

C.“X）的值域?yàn)椴穱?guó)D./（x）在12不-當(dāng)）上單調(diào)遞增

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的周期性、對(duì)稱性、值域以及單調(diào)性進(jìn)行逐項(xiàng)判斷.

【詳解】

解：由題意得：

對(duì)于A選項(xiàng)：因?yàn)閒(x+2乃閆sin(x+2叫sin(x+2兀)=卜布刀向犬=/(x)，所以2萬(wàn)是函數(shù)

/(x)的個(gè)周期，A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)：因?yàn)椤?x)=bin(-x)卜in(-x)=TsinMsinx=-/(x),則y=/(x)的圖象關(guān)于

原點(diǎn)對(duì)稱，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)xe[2版■,2Qr+司，keZ時(shí)，/(x)=sin2x=e[O,l]；

當(dāng)xw(2fcr+%,2%萬(wàn)+2萬(wàn))，keZ時(shí)，/(x)=-sin2x=C0S^*G[-1,0).

故函數(shù)〃x)的值域?yàn)閇T,l]，C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)：當(dāng)X€,2心-冷)時(shí)，〃x)=sin2x=上等^，因?yàn)?xw(-4乃3萬(wàn))，所以〃x)

在12巴-與)上單調(diào)遞增，D正確.

故選：ACD.

10.在..45C中，AB=c，BC=a,CA=b,則下列推導(dǎo)正確的是()

A.若a/<0，則43C是鈍角三角形

B.若“m=0，則2ABe是直角三角形

C.若二力=)；，則-4?C是等腰三角形

D.若忖=1一4，則,ABC是直角三角形

【答案】BCD

【解析】

【分析】

由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及余弦定理，逐一檢驗(yàn)即可得解.

【詳解】

解：在中，AB=c,BC=a,CA=b,

對(duì)于A：若a.〃<0，即時(shí)似85(*404)<0,則NBC4為銳角，則不一定為鈍角三

角形，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若a.b=0,即|4小際("-々6)=0則NBC4是直角，▲旗(7是直角三角形，故B

正確；

對(duì)于c：^'ab=b'c>則Gb-6c=6(a-c)=O,即CA-(BC-4B)=0,CA(BC+BA)=O,

取AC中點(diǎn)O,則BC+8A=28￡)，所以。.8。=0，即。4_L5￡>,所以BA=BC,UP-ABC

為等腰三角形，故C正確；

對(duì)于D：若卜卜忸-[,即<?=(b-c)~,BPa1=b2+c2-2bc,即+卜『=2的|小(-??4),

TT

即8sA=-cosA,.,.cosA=0,：.A=—,ABC為直角三角形，故D正確，

2

故選：BCD.

11.定義：°,6兩個(gè)向量的叉乘"力的模|”小同忖與(@,則下列命題正確的是()

A.若平行四邊形ABCD的面積為4,則|ABXA4=4

B.在正ABC中，若4。=%8、44(44+4(7),則^￡1=3

1"'18cl3

C.若,*4=6,“力=1,則卜+24的最小值為

D.若卜x〃|=l,憐xc|=2,且/,為單位向量，貝川axc|的值可能為2+26

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根據(jù)兩個(gè)向量叉乘的模的定義及向量的數(shù)量積的運(yùn)算逐個(gè)分析判斷

【詳解】

對(duì)于A,因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD的面積為4,所以卜耳卜。卜抽/胡。=4,所以|A8xA4=4,

所以A正確，

對(duì)于B,設(shè)正&MC的邊8c邊上的中點(diǎn)為E,則AB+AC=2AE，

因?yàn)锳O=|48x時(shí)(A8+AC),所以AZ)=2M,小皿6O°/4￡=百回(AE,

所以回二曲業(yè)1轡二百母13,所以B錯(cuò)誤，

時(shí)時(shí)回回2

對(duì)于C,因?yàn)槿?=6,4力=1,所以同洞《,@=6,琲際?,〃)=1,

所以tan(“,6)=6,因?yàn)?4,/?”［0,萬(wàn)］,所以卜,6)=。，所以,帆=2,

所以根+2/f=忖2+4“力+41(24師評(píng)+4=12,當(dāng)且僅當(dāng),|=2忖=2時(shí)取等號(hào)，所以

,+24的最小值為2g,所以C正確，

對(duì)于D,若kX$1MC|=2,且/,為單位向量，則當(dāng)卜卜血,卜力)=為d=4《W時(shí),

|?xcj=W卜卜in(a,c)=4>/2sinyy=4V2x=2+2G，所以D正確，

故選：ACD

12.已知/(X)=1-2COS2(5+?)(0>O),則下列判斷中，錯(cuò)誤的是()

A.若/(%)=1,/(x2)=-l,且后一百而“=萬(wàn),貝lj(y=2

B.存在&e(O,2),使得/(x)的圖像右移?個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱

C.若在［0,2句上恰有7個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍為

D.若“X)在上單調(diào)遞增，則”的取值范圍為(05

【答案】ABC

【解析】

【分析】

首先利用二倍角公式及誘導(dǎo)公式將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可;

【詳解】

解：/(x)=1-2cos21<wx+—I=-cosI2<yx+—I=sin|2wx+—|,r.周期7=生=二.

V3JI6)2s(0

對(duì)于A：由條件知，周期為2萬(wàn)，,0=g,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：函數(shù)圖象右移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)為片sin卜s-等+R,其圖象關(guān)于了

6k36J

軸對(duì)稱，則-?+[=1+&乃(&eZ),.-l-geZ),故對(duì)任意整數(shù)左，(0,2),故B

362

錯(cuò)誤；

對(duì)于C：由x￡[(),2句,所以一工2.(oxH—W4(071+—，所以7%W4①加+—<8乃，解得

6666

4147

—?ty<—,故C不正確；

COTVn71

--------1—...----

「1362

4丁rEX_n兀CD7T兀，、710)7171…

對(duì)于D：因?yàn)閤w,所以——+—2cox+--——+—,所以〈口不兀冗,

6436626—+-

262

69>0

2

0<,故D正確.

故選：ABC.

三、填空題：(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知復(fù)數(shù)z=2+i,其中i為虛數(shù)單位，那么復(fù)數(shù)(可2-z所對(duì)應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)在第

________象限

【答案】四

【解析】

【分析】

根據(jù)共枕復(fù)數(shù)的概念求出百，利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出右)2/，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可得

出結(jié)果.

【詳解】

由z=2+i，得2=2—i,

所以仁)2.z=(2-i)2(2+i)=10-5i,

其在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(10,-5),屬于第四象限.

故答案為：四.

14.已知平面向量”，b為單位向量，c=a-2b，若a，c垂直，則a，。的夾角為.

【答案】60##y

【解析】

【分析】

根據(jù)〃，c垂直，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求得a/，從而可得出答案.

【詳解】

解：因?yàn)镼,0垂直，

所以a?c=a_2tz?〃=0，

又0。?詞W180。,

所以a，力的夾角為60.

故答案為：60.

JT兀

15.若方程8s2x-sinx+a=0在-y,y內(nèi)有解，則a的取值范圍是.

-9'

【答案】一，，2

【解析】

【分析】

由題得a=2sin2x+sinx—l,令，=sinx,fe[-1,1],g(t)=2t2+t-\,再利用二次函數(shù)的圖象

和性質(zhì)求解.

【詳解】

解：由題得l-2sir>2x-sinx+a=0,.,.<7=2sin2%+sinx-l,

令￡=sinxj,g?)=2產(chǎn)+f-l,

二次函數(shù)的對(duì)稱軸為f=-J,

4

19

由二次函數(shù)的圖象得當(dāng)f=-：時(shí)，g?)mM=；

4o

當(dāng)t=l時(shí),g(f)g=2.

9

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為[-3,2].

O

-9-

故答案為：-『2

O

16.在一A5c中，AB手BC,。為的外心，且有.A8+BC=拽AC,

3

sinC(cosA->/3)+cosAsinA=0,AO=xAB+yAC,x,yG/?,貝Ijx—2y=

【答案】一4言3

33

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理，可得cos4=1|,根據(jù)余弦定理，可求得a=5c,b=3限,根

2b

據(jù)數(shù)儲(chǔ)枳的定義及幾何意義，uJ-f'J-r=.r-r+y--.-Ir=,x--v-/r.”『得關(guān)Jr,Y

22218+*

的方程組，可得x,y的值，即可得答案.

【詳解】

因?yàn)閟inC(cosA-73)+cosAsinA=0,由正弦定理得c(cosA-6)+〃cosA=0,

所以(a+c)cosA=Gc,

又AB+3C=更AC,

3

所以4+C=^"，

3

所以久"cosA=VJc,整理得力cosA=3c?，

3

由余弦定理得cos4="十°」一/=主,

2bc2b

所以。2=々2+2c2,又〃+c=3叵〃，

3

所以/—6ac+5c2=0,解得a=5c或〃=c(舍)，

所以b=36c,

所以AB-AC=AcosA=r,AO-AB=\AO\-\Afi|COSZBAO=|?^|11AB^=^c2

由AO=xAB+yAC,得AO?A8=(xAB+yAC^-AB=x(AB)~+yAC-AB=x-c2+y-^~

1加2

所以Lc2=x.c?+y.工，整理得2x+3y=l①，

22

又AO-AC=|AoHAqcosNCAO=k4?WA4=；|AC1=gb2

2lr2

所以AO.AC=1AB+yAC)?AC=xAB.AC+y(AC,=x?3+)，力2,

所以++整理得x+18.y=9②，

2218

317

①②聯(lián)立可得》=-石,丫=不，

所以x_2y=—43

33

【點(diǎn)睛】

解題的關(guān)鍵是熟練掌握正弦定理、余弦定理、數(shù)量積的定義及幾何意義等知識(shí)，難點(diǎn)在于需

根據(jù)題意求得AOMB、AOYC的值，進(jìn)而可得x,y的關(guān)系，再求解，考查分析理解，計(jì)

算求值的能力，屬中檔題.

四、解答題：(本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

步驟.)

17.已知平面內(nèi)的三個(gè)向量a=(3,2),b=(-l,2),c=(4,l).

(1)求心-4的值；

(2)若4=注+川(A,z/eR),求月+〃的值;

⑶若向量a+妨與向量2b-c共線，求實(shí)數(shù)上的值.

【答案】(1)瘍

【解析】

【分析】

(1)先寫(xiě)出b-c,再計(jì)算模長(zhǎng)即可；

(2)按照向量的坐標(biāo)運(yùn)算解方程即可；

(3)先寫(xiě)出向量a+@與向量2匕-c，再按照向量共線解方程即可.

(1)

6-c=(—5,1),所以i一c卜后.

(2)

2Z?=(-/l,22),川=(4〃,〃),

Ab+juc=(—2+4〃,24+〃),

因?yàn)閍=勸+川，

-4+4〃=3,

所以

22+〃=2,

解得：

O

r?

所以％+"=￡.

(3)

a+kb=(3-k,2+2k),26-c=(-6,3),

因?yàn)閍+妨與處-<?共線，

所以3(3-％)=-6(2+24)，

解得上=—}7

18.已知sinO+cosO=—L?！?［」乃)，

522

⑴求cosO-sin。；

(2)求sin(28-工)

4

【答案】⑴cose-sin”—

⑵一四

50

【解析】

【分析】

(I)先判斷出COS。,sine的正負(fù)，再借助平方關(guān)系求解；

(2)先解H；cos。,sin?,利用倍角公式計(jì)算cos2e,sin2。，再借助正弦和角公式求解.

(1)

sin。+cos。=(sinO+cos，)？=—,

525

124

1+2sin^cos^=—,2sin6cose=-----<0,

2525

6?e(—^?),.,.cos^<0,sin6?>0/.cos^-sin^<0.

22

,49.7

(cos6-sine)~=1-2sin^cos^=—/.cos0—sin0=——.

(2)

17

山sin^+cos^=--,cos6^-sin^=-—,

34

解得:sin0——,cos0——,

sin20=2sin0cos0=---,

25

cos26?=cos26>-sin26?=(cos<9+sin6>)(cos6?-sin6>)=(-l)x(-1)=,

sin(20一?)=sin20cos?-cos28sin?

24夜7夜316

=---x-------x---=------.

25225250

19,在①4=胃，當(dāng)兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題中的橫線上，并求

cbccosC

解該問(wèn)題.

問(wèn)題：在..ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為4，b,c,且,a=4,B=g

若在邊AC上存在點(diǎn)。，使得AZ)=：AC,求BO的長(zhǎng).

4

【答案】選擇條件見(jiàn)解析，BD=回.

【解析】

【分析】

若選擇條件①，由勾股定理可得c=a=4,再由余弦定理可求解；若選擇條件②，由正弦定

理及余弦定理可求解.

【詳解】

選擇條件①

由2=牛，可得戶“、好.

cb

因?yàn)?=耳，所以b?=+/,則=".

因?yàn)椤ü?,所以c=a=4,b=\lc2+C12=4>/2?A=C=—.

因?yàn)锳O=[AC,所以AO=3jL

在△4?。中,由余弦定理：BD=\lAB2+AD2-2AB-ADcosA=V10

選擇條件②

由—=si。',可得smBsinC=sin8cosc.

ccosC

因?yàn)樗詓inBwO,所以sinC=cosC=>tanC=1.

因?yàn)镃e(O,7t),所以C=

因?yàn)锽=］,則A=j,c=a=4,b=\lc2+a2=4y/2-

__3一

因?yàn)?所以A￡）=3jL

4

在△ABO中，BD=AB2+AD2-2AB-AD-COSA=廂■

20.已知W=3,忖=4,且向量a與向量b的夾角8=等，e是a同方向的單位向量.

⑴求［5（2〃-3/?）+4儂-3明；

⑵求向量3a+2）在向量a上的投影向量.

【答案】（1）24

⑵5e

【解析】

【分析】

（1）利用向量的數(shù)量積公式，求解即可；

（2）利用向量的投影向量公式轉(zhuǎn)化求解即可.

（1）

解：［5（2a-3ft）+4（2i-3a）］.a

=（-2a-lbya=_2a-7a-b

2萬(wàn)

=-2x9-7x3x4cos——=24；

3

（2）

解：向量3a+26在向量a上的投影為：

27+24coS27r

（3a+2。。3a+2b-ay<

因?yàn)閑是a同方向的單位向量.

所以向量“+6在向量a上的投影向量為5e.

21.某校興趣小組在如圖所示的矩形區(qū)域ABC。內(nèi)舉行機(jī)器人攔截挑戰(zhàn)賽，在E處按EP方

向釋放機(jī)器人甲，同時(shí)在A處按AQ方向釋放機(jī)器人乙，設(shè)機(jī)器人乙在M處成功攔截機(jī)器

人甲，兩機(jī)器人停止運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)M在矩形區(qū)域A8CD內(nèi)（包含邊界），則挑戰(zhàn)成功，否則挑

戰(zhàn)失敗.已知AB=6米，E為A8中點(diǎn)，比賽中兩機(jī)器人均勻速直線運(yùn)動(dòng)方式行進(jìn)，記￡尸與

7T

EB的夾角為。（0<。<兀），AQ與A8的夾角為a（0<a<-）.

DC

(1)若兩機(jī)器人運(yùn)動(dòng)方向的夾角為三，AO足夠長(zhǎng)，機(jī)器人乙挑戰(zhàn)成功，求兩機(jī)器人運(yùn)動(dòng)

路程和的最大值；

(2)已知機(jī)器人乙的速度是機(jī)器人甲的速度的2倍.

(i)若。=］，AD足夠長(zhǎng)，機(jī)器人乙挑戰(zhàn)成功，求sintz.

(ii)如何設(shè)計(jì)矩形區(qū)域ABC。的寬AO的長(zhǎng)度，才能確保無(wú)論。的值為多少，總可以通過(guò)

設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度a使機(jī)器人乙挑戰(zhàn)成功？

【答案】(1)6；(2)(i)顯;(ii)AD至少為2米.

4

【解析】

【分析】

(1)用余弦定理列方程，結(jié)合基本不等式求得M4+MEV6,也即兩機(jī)器人運(yùn)動(dòng)路程和的

最大值.

(2)(i)利用正弦定理求得sina；

(ii)設(shè)EM=x,利用余弦定理求得cos。，求得xsin?的最大值，由此求得AC的最小值.

【詳解】

(1)如圖，在△g/中

7T

由余弦定理得，AE2=MA2+ME2-2MAMECOS-=9,

MA+ME^

所以（M4+ME）2=9+3MAME<9+3X

-2-）

所以陰4+ME46,(當(dāng)且僅當(dāng)M4=ME=3時(shí)等號(hào)成立)

故兩機(jī)器人運(yùn)動(dòng)路程和的最大值為6

(2)(i)在中

由于機(jī)器人乙的速度是機(jī)器人甲的速度的2倍，故=

AMEM

由正弦定理可得即詢二而

訴M?EMsin(兀-0)1.1.71公

r)\以sina=------------=—sin夕=—sin—=——

AM2234

(ii)設(shè)貝ijAM=2EW=2x,XG(1,3)

32+x2-（2x）23x

由余弦定理可得COS(乃-=

2x3xx2x2

x3

所以cos?=±_二

22x

所以xsin0=^x2（l-cos2

由題意得ADNxsin。對(duì)任意xc(1,3)恒成立，

故ADN(xsine)gx=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=6時(shí)取到等號(hào).

答：矩形區(qū)域A8CZ)的寬AO至少為2米，才能確保無(wú)論。的值為多少，總可以通過(guò)設(shè)置機(jī)

器人乙的釋放角度使機(jī)器人乙在矩形區(qū)域A8CQ內(nèi)成功攔截機(jī)器人甲.

【點(diǎn)睛】

正弦定理、余弦定理是解題的重要數(shù)學(xué)知識(shí)，二次函數(shù)最值的求法在本題中是重要的方法.

22.如果對(duì)于三個(gè)數(shù)。、b、c能構(gòu)成三角形的三邊，則稱這三個(gè)數(shù)為“三角形數(shù)”，對(duì)于“三

角形數(shù)”。、b、C,如果函數(shù)y=/(x)使得三個(gè)數(shù)/3)、f(b)、/(c)仍為“三角形數(shù)”，則

稱>=/。)為“保三角形函數(shù)

(1)對(duì)于“三角形數(shù)”a、2。、；+a,其中若f(x)=tanx,判斷函數(shù)y=/(x)

484

是否是“保三角形函數(shù)”，并說(shuō)明理由；

(2)對(duì)于“三角形數(shù)"a、a+￡、a+g,其中g(shù)<a<W，若g(x)=sinx,判斷函數(shù)y=g(x)

63612

是否是“保三角形函數(shù)”，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)不是，理由見(jiàn)解析；(2)是，理由見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

⑴取a=.,分別求得/⑹+由此可得/(a)+/(2a)</(a+?),故

函數(shù)/(x)=tanx不是“保二角形函數(shù)”;

/一、八冗%,7冗17nC,554萬(wàn)554477萬(wàn)%一Qf14-、十/1.(71\(71

(2)^-<a<-,-<?<—,=二種情況均可征得gz(a)，g|a+二|,g|&+三

644121212I6I3

能構(gòu)成三角形的三邊,故函數(shù)g(x)=si