2024-2025學(xué)年度北師版九上數(shù)學(xué)4.5相似三角形判定定理的證明【課件】

第四章圖形的相似*5相似三角形判定定理的證明數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版課前預(yù)習(xí)典例講練目錄CONTENTS課前導(dǎo)入數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版01課前預(yù)習(xí)三角形相似的判定定理.（1）定理一：

?；（2）定理二：

?；（3）定理三：

?.兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似

兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似

三邊成比例的兩個(gè)三角形相似

數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版課前導(dǎo)入02問(wèn)題：相似三角形的判定方法有哪些？①兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似.②兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似.③三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似.導(dǎo)入新課新課講授證明相似三角形的判定定理在上兩節(jié)中，我們探索了三角形相似的條件，稍候我們將對(duì)它們進(jìn)行證明．定理1：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.已知：如圖，在△ABC

和△A'B'C'

中，∠A

=∠A'，∠B

=∠B'.求證：△ABC

∽△A'B'C'．A′B′C′ABCA′B′C′AB證明：在△ABC的邊AB(或它的延長(zhǎng)線)上截取

AD

=A'B'，過(guò)點(diǎn)

D作

BC的平行線，交AC于點(diǎn)

E，則∠1=∠B，∠2=∠C，EDF過(guò)點(diǎn)D

作AC

的平行線，交BC

于點(diǎn)F，則∴ ∴∵DE∥BC，DF∥AC，∴四邊形DFCE

是平行四邊形．∴DE

=

CF.∴ ∴而∠1=∠B，∠DAE=∠BAC，∠2=∠C，∴△ADE∽△ABC.∵∠A=∠A'，∠ADE=∠B=∠B'，AD=A'B'，∴△ADE

≌△A'B'C'

．∴△ABC∽△A'B'C'.12我們來(lái)證明一下前面得出的結(jié)論：證明：在△A′B′C′的邊A′B′上截取點(diǎn)

D，使A′D=AB．過(guò)點(diǎn)D作DE∥B′C′，交A′C′于點(diǎn)E.如圖，在△ABC與△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，求證：△ABC∽△A′B′C′.BACDEB'A'C'定理2：兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.∴∵A′D=AB,∴∴A′E=AC.

又∠A′=

∠A，A′D=AB，∴△A′DE≌△ABC.

∴△A′B′C′∽△ABC.定理3：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.已知：如圖，在△ABC

和△A'B'C'

中，求證：△ABC

∽

△A'B'C'.C′B′A′BCADE∴∴又，AD

=

A′B′，∴DE

=

B′C′，EA

=

C′A′.∴△ADE≌△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC.證明：在線段AB(或延長(zhǎng)線)上截取AD

=

A′B′，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版03典例講練

如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是三邊上的點(diǎn)，且AE＝BF＝CD，那么△ABC與△DEF相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【點(diǎn)撥】在等邊三角形三邊上取三點(diǎn)，截取三條相等線段，無(wú)論三截點(diǎn)怎么變化，截出的含頂角的三個(gè)小三角形都全等，中間小三角形一定是等邊三角形.特別地，若截點(diǎn)是各邊中點(diǎn)，則四個(gè)三角形都是等邊三角形.

如圖，在Rt△ABC中,已知∠ACB＝90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,分別以AC,BC為邊向三角形外部作等邊三角形ACE和等邊三角形BCF，連接DE,DF.

證明：△ADE∽△CDF.

∵∠EAD＝∠EAC＋∠CAD＝60°＋∠CAD，∠FCD＝∠BCF

＋∠BCD＝60°＋∠BCD，∴∠EAD＝∠FCD.

∴△ADE∽△CDF.

【點(diǎn)撥】當(dāng)無(wú)法證明“比例式”或“等積式”線段所在的兩個(gè)三角形相似時(shí)，可以考慮“等線段替換”或者“等比替換”，將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

如圖，在菱形ABCD中，已知∠ABC＝60°，點(diǎn)E是射線CB上一點(diǎn)，點(diǎn)F是線段CD上一點(diǎn)，且∠EAF＝120°，求證：AE·CF

＝AF·BC.

證明：如答圖，連接AC.

∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC.

∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形.∴∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC.

∵AD∥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAD＝120°，∠CAD＝∠ACB＝∠ACF＝60°.又∵∠EAF＝120°，∴∠EAB＝∠FAD.設(shè)∠EAB＝∠FAD＝α，則∠E＝∠ABC－α＝60°－α.∵∠CAF＝∠CAD－∠FAD＝60°－α，∴∠E＝∠CAF.

已知點(diǎn)E是矩形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)E作EF

⊥AE于點(diǎn)E，分別交AC,CD于點(diǎn)M,F.

過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AC

于點(diǎn)G，交AE于點(diǎn)H.

（1）如圖1，求證：△ABE∽△ECF；圖1（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABE＝∠ECF＝90°.∵EF⊥AE，∴∠AEB＋∠FEC＝90°.又∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CEF.

∴△ABE∽△ECF.

（2）如圖1，找出與△ABH相似的三角形，并證明；圖1（2）解：△ECM∽△ABH.

證明如下：∵BG⊥AC，∴∠ABG＋∠BAG＝90°.∵∠ACB＋∠BAC＝90°，∴∠ECM＝∠ABH.

由（1）知，∠CEM＝∠BAH，∴△ECM∽△ABH.

（3）如圖2，若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，BC＝2AB，AB＝2，求EM

的長(zhǎng).圖2

【點(diǎn)撥】注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，以及有兩組角對(duì)應(yīng)相等的

兩個(gè)三角形相似的判定定理的應(yīng)用.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸上，四邊形AOCB為矩形，AB＝16，BC＝12，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于

y軸對(duì)稱.點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AD，AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)

A，D重合），且∠CEF＝∠ACB.

（1）求AC的長(zhǎng)與點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）說(shuō)明△

AEF

與△

DCE

相似；（3）若△

EFC

為等腰三角形，且

EF

＝

FC

，求點(diǎn)

E

的坐標(biāo).

（2）說(shuō)明△AEF與△DCE相似；解：（2）∵點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，∴∠CDE＝∠CAO.

∵∠CEF＝∠ACB，∠ACB＝∠CAO，∴∠C