2023-2024學(xué)年四川省內(nèi)江市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年四川省內(nèi)江市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某高中生創(chuàng)新能力大賽中8位選手的面試得分分別為90,86,93,91,89,95,92,94，其中位數(shù)和極差分別為(

)A.90，8 B.91.5，9 C.91，9 D.91.5，82.若復(fù)數(shù)z滿足z=i1?2i，則z的虛部為(

)A.i5 B.?25 C.?3.某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國(guó)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡的分布餅狀圖?90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)者的崗位分布條形圖，則下列結(jié)論中不一定正確的是(

)

A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從事技術(shù)崗位的人數(shù)中，90后比80后多

B.90后互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)者中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過整個(gè)從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)者總?cè)藬?shù)的20%

C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)90后比80前多

D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上4.已知函數(shù)gx=2sin2x，函數(shù)fx=Asinωx+φ(其中A>0，ω>0，φ<A.向左平移π6個(gè)單位 B.向右平移π6個(gè)單位 C.向右平移π3個(gè)單位 D.5.內(nèi)江三元塔位于四川省內(nèi)江市三元村三元山上，是一座具有千年歷史的古塔.它始建于唐代，明末倒毀，后在清嘉慶九年(公元1804年)得以重建，歷時(shí)三年竣工.三元塔的修建寓意著“天開文運(yùn)，連中三元”，象征著文運(yùn)昌盛和崇文重教的精神.內(nèi)江某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備運(yùn)用解三角形知識(shí)測(cè)量塔高時(shí)，選取了兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D與塔底B在同一水平面，并測(cè)得CD=202米，∠BCD=15°,∠BDC=120°，在點(diǎn)C處測(cè)得塔頂A的仰角為6A.106米 B.103米 C.206.在平行四邊形ABCD中，E是對(duì)角線AC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F在BE上，若AF=xAB+49AD，則A.45 B.23 C.797.暑假即將來臨，某校為開展學(xué)生的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，從甲?乙?丙?丁?戊5人中隨機(jī)選3人去參加“敬老院志愿服務(wù)”活動(dòng)，則乙和丙兩人中只有1人入選的概率為(

)A.12 B.23 C.348.已知向量a，向量b的模長(zhǎng)均為2，且a?b=a.若向量m=a?2A.72+3 B.52二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知向量a=4,x,b=2,6A.a?2b=25

B.a=4,1

C.向量b在向量a上的投影向量坐標(biāo)是4,2

D.向量10.一個(gè)袋子中有5個(gè)球，標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4，5，除標(biāo)號(hào)外沒有其他差異．從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．記事件E=“第一次取出的球的數(shù)字是1”，事件F=“第二次取出的球的數(shù)字是2”，事件G=“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”，則(

)A.事件E和F互斥 B.事件E和F相互獨(dú)立

C.事件E和G互斥 D.事件E和G相互獨(dú)立11.已知?ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且a2+c2A.若點(diǎn)E在邊AC上，BE為角平分線且長(zhǎng)度為1，則a+c=3ac

B.若D為邊AC的中點(diǎn)，且BD=1，則?ABC的面積的最大值為33

C.cosAcosC

的取值范圍是?12三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.某工廠生產(chǎn)了A?B?C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，數(shù)量之比為2:m:4，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取36個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行分析，已知A型號(hào)產(chǎn)品抽取了8個(gè)，則B型號(hào)產(chǎn)品被抽取的數(shù)量是

．13.已知tanα，tanβ是方程x2?63x+7=0的兩個(gè)根，且α，β∈14.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)最大值為2，最小值為0，且函數(shù)圖象過點(diǎn)(0,32).若f(x)在區(qū)間四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號(hào)，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者，我市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，滿分100分(95分及以上為“文明之星”)，結(jié)果獲得“文明之星”的有100人，按年齡分成5組，其中第一組20,25，第二組25,30，第三組30,35，第四組[35,40)，第五組40,45，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這100人年齡的眾數(shù)和平均數(shù)；(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的“創(chuàng)文”宣傳使者.若從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)，求第四?第五組各有一人被選上的概率．16.(本小題12分)在?COB中，點(diǎn)D為線段OB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，點(diǎn)A為BC中點(diǎn)．(1)以O(shè)A?OB為基底向量，分別表示向量(2)若向量OC與λOA+DC平行，求17.(本小題12分)已知向量m=sinωx,sinωx(1)求fx(2)若fx0=418.(本小題12分)在銳角?ABC中，角A?B?C的對(duì)邊分別為a?b?c，滿足cos(1)求角B的大??；(2)若c=1，求?ABC面積的取值范圍；(3)“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題.該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的點(diǎn)P即為費(fèi)馬點(diǎn).若?ABC的面積為3，是否在?ABC內(nèi)部存在費(fèi)馬點(diǎn)P19.(本小題12分)復(fù)數(shù)是由意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)在十六世紀(jì)首次引入，經(jīng)過達(dá)朗貝爾?棣莫弗?歐拉?高斯等人的工作，此概念逐漸為數(shù)學(xué)家所接受．材料：形如z=a+bia,b∈R的數(shù)稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.而任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成rcosθ+isinθ的形式，即a=rcosθb=rsinθ，其中r為復(fù)數(shù)z的模，θ叫做復(fù)數(shù)z的輻角，我們規(guī)定0≤θ<2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值，記作argz.復(fù)數(shù)z=rcosθ+isinθ叫做復(fù)數(shù)的三角形式.由復(fù)數(shù)的三角形式可得出，若OZ1=r1cos請(qǐng)根據(jù)所學(xué)知識(shí)，回答下列問題：(1)試將z=1?(2)設(shè)復(fù)數(shù)z1=2a?3i,z2=2b+i,z3=a+bi，且z3=1.若復(fù)數(shù)z1?z2(3)已知單位圓以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，點(diǎn)A為該圓上一動(dòng)點(diǎn)(縱坐標(biāo)大于0)，點(diǎn)P2,0，以PA為邊作等邊△PAQ，且Q在AP上方.求線段OQ長(zhǎng)度的最大值．

答案解析1.B

【解析】對(duì)這8個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列得：86，89，90，91，92，93，94，95，則中位數(shù)91+922=91.5，極差為故選：B2.D

【解析】由已知z=i所以z=?則z的虛部為?1故選：D．3.A

【解析】選項(xiàng)A；設(shè)整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)總?cè)藬?shù)為a，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的90后人數(shù)為56%a×39.6%=22.176%a，小于80后的人數(shù)38%a，但80后中從事技術(shù)崗位的人數(shù)比例未知，故A錯(cuò)誤．選項(xiàng)B：設(shè)整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)總?cè)藬?shù)為a，90后從事技術(shù)崗位人數(shù)為56％×39.6％a，而90后總?cè)藬?shù)的20％為56%×39.6%a，故B正確；選項(xiàng)C：設(shè)整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)總?cè)藬?shù)為a，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營(yíng)崗位的90后人數(shù)為56%a×17%=9.52%a，超過80前的人數(shù)6％a，且80前中從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)比例未知，故C正確；選項(xiàng)D：由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖得到互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占56%，故D正確．故選：A．4.A

【解析】由圖象，且A>0，可知A=2，又T4=7π解得ω=2，又ω>0，則ω=2所以fx由函數(shù)圖象過點(diǎn)7π12,?2，即解得φ=π3+2kπ又φ<π2所以fx所以要得到fx的圖象，只需將函數(shù)gx的圖象向左平移故選：A．5.D

【解析】因?yàn)椤螧CD=15°,∠BDC=12又因?yàn)镃D=202米，所以在三角形BCD中，由正弦定理得20在直角三角形中，AB=BCtan6故選：D．6.C

【解析】由題可知AE=

∵點(diǎn)F在BE上，則存在實(shí)數(shù)λ，使得AF=λ∴AF=∴23?∴x=故選：C.7.D

【解析】甲?乙?丙?丁?戊5人中隨機(jī)選3人去參加“敬老院志愿服務(wù)”活動(dòng)，所有可能的情況有甲乙丙、甲乙丁、甲乙戊、甲丙丁、甲丙戊、甲丁戊、乙丙丁、乙丙戊、乙丁戊、丙丁戊，共10種，其中，滿足乙和丙兩人中只有1人入選的有甲乙丁、甲乙戊、甲丙丁、甲丙戊、乙丁戊、丙丁戊，共6種，所以乙和丙兩人中只有1人入選的概率為610故選：D．8.C

【解析】因?yàn)橄蛄縜，向量b的模長(zhǎng)均為2，且a?b=解得cosa不妨設(shè)a=所以m=因?yàn)閙⊥所以m?n=?2設(shè)x=1+所以c=52所以c=5綜上所述，c的最大值是7故選：C．9.CD

【解析】因?yàn)閍=4,x,因?yàn)?a?b⊥b所以a=對(duì)于A，因?yàn)閍=4,2，b=所以a?2b=10對(duì)于B，由a=4,2，知對(duì)于C，向量b在向量a上的投影向量坐標(biāo)為a?ba對(duì)于D，cosa因?yàn)?°≤a,b故選：CD10.BD

【解析】對(duì)A，事件E和F可以同時(shí)發(fā)生，如兩次取的小球?yàn)?1,2)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，記兩次取出的小球?yàn)?i,j)(其中1≤i,j≤5,i,j∈N)，共有25個(gè)，由古典概型知，P(E)=525=15，P(F)=525=15，對(duì)C，事件E和G可以同時(shí)發(fā)生，例如事件(1,5)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由B知P(G)=525=15，P(E)=15，P(EG)=125故選：BD．11.ABC

【解析】由已知a2根據(jù)余弦定理可知2accosB+2ac=2再由正弦定理可得2sin又A∈0,π，即sinA≠0，所以即sinB?π6=1所以B?π6=A選項(xiàng)：BE為角平分線，則∠ABE=∠CBE=π6，所以即12即34ac=14B選項(xiàng)：由D為邊AC的中點(diǎn)，則BD=即BD2所以14c2又a2+c2≥2ac即S?ABC=12acC選項(xiàng)：由三角形可知cos=又在?ABC中，A∈0,π，C=π?A?B∈0,π，即所以2A?π6∈D選項(xiàng)：c=1，且?ABC只有一解，則b=csinB或b≥c，即b=32故選：ABC．12.12

【解析】由題意得22+m+4×36=8，解得所以B型號(hào)產(chǎn)品被抽取的數(shù)量為32+3+4故答案為：1213.2π3【解析】由根與系數(shù)關(guān)系可得tanα+tanβ=6所以tanα>0，tan又α，β∈0,π所以α，β∈0,π2則tanα+β所以α+β=2π故答案為：2π314.73【解析】由函數(shù)f(x)的最大值為2，最小值為0，得A+B=2?A+B=0，解得A=B=1則f(x)=sin(ωx+φ)+1，由f(0)=32，得sinφ=因此f(x)=sin(ωx+π6)+1則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)和最大值點(diǎn)分別為y=sin依題意，y=sin(ωx+π當(dāng)x∈[0,π]時(shí)，ωx+π6∈[π6所以ω的取值范圍是73故答案為：7315.解：(1)眾數(shù)27.5(歲)；平均數(shù)：x=22.5×0.1+27.5×0.35+32.5×0.25+37.5×0.2+42.5×0.1=31.75(歲

(2)由頻率分布直方圖可知各組的頻率之比為2:7:5:4:2，則第四組抽取4人，記為A,B,C,D，第五組抽取2人，記為a,b對(duì)應(yīng)的樣本空間為Ω={B,b,C,D,分設(shè)事件M=“第四?五小組各一人被選上”，則M={C,a,C,b,所以P【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合眾數(shù)和平均數(shù)的定義求解；(2)根據(jù)分層抽樣的定義結(jié)合頻率分面上直方圖求出第四組和第五組抽取的人數(shù)，然后利用列舉法求解即可．16.解：(1)因?yàn)樵?COB中，點(diǎn)D為線段OB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，點(diǎn)A為BC中點(diǎn)，所以O(shè)C=因?yàn)镺D=2DB，則所以DC=

(2)因?yàn)棣薕A且向量OC與λOA所以存在k∈R，使得λOA所以2+λOA所以2+λ=2k?53所以λ=4【解析】(1)根據(jù)向量和加減法法則和平向量基本定理結(jié)合題意求解即可；(2)利用共線向量定理列方程求解即可．17.解：(1)f==因?yàn)閒π6=0所以2×π6ω?因?yàn)?<ω<3，所以ω=1所以fx

(2)因?yàn)閒x0所以sin=【解析】(1)利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和三角函數(shù)恒等變換公式對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，然后由fπ6=0結(jié)合0<ω<3可求出ω(2)由fx0=18.解：(1)∵cos∴1?si即sin即b2∴cos(2)[方法一]【最優(yōu)解：利用銳角三角形求得C的范圍，然后由面積函數(shù)求面積的取值范圍】因?yàn)?ABC是銳角三角形，又B=π3，所以又sinAsinC則S?ABC因?yàn)镃∈π6,π2從而S?ABC∈38[方法二]【由題意求得邊的取值范圍，然后結(jié)合面積公式求面積的取值范圍】由題設(shè)及(1)知S△ABC因?yàn)?ABC為銳角三角形，且c=1,B=π所以cosA=b又由余弦定理得b2=a2+1?a所以38<S?ABC[方法三]【數(shù)形結(jié)合，利用極限的思想求解三角形面積的取值范圍】如圖，在?ABC中，過點(diǎn)A作AC1⊥BC，垂足為C1，作AC由題設(shè)及(1)知S△ABC=34所以點(diǎn)C位于在線段C1C2即cosπ3<a<1cos故?ABC面積的取值范圍是3(3)?ABC的面積為3，所以12AB×BC×sin設(shè)∠PBA=α，則∠PAB=π在?PAB中，由正弦定理得PAsin所以PB=2在?PBC中，由正弦定理得PCsin所以PC