2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中+期末高效復(fù)習(xí)課期中模擬試卷新高考題型基錯(cuò)2含解析選擇性必修第二冊(cè)

Page1期中模擬試卷（新高考版基礎(chǔ)卷2）考試范圍：人教A版2024選擇性必修第一冊(cè)（全冊(cè)）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．（2024·河南省葉縣高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，則下列向量中與平行的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以A不正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以C不正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以D不正確．故選：B．2．（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知兩圓和沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．無(wú)法確定【答案】A【詳解】由已知，得兩圓的圓心分別為，，半徑分別為1，5，故圓心距．因?yàn)閮蓤A沒(méi)有公共點(diǎn)（外離或內(nèi)含），所以或，解得或或．故選：A.3．（2024·河南·高二階段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，E，F(xiàn)分別在棱和上，且.記，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所?故選:B.4．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)學(xué)家華羅曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，”事實(shí)上，許多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，例如，與相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A（x，y）與點(diǎn)B（a，b）之間的距離的幾何問(wèn)題，結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得方程的解是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由可得4表示點(diǎn)（x，1）到定點(diǎn)（-3，0）和（3，0）的距離之差等于4，由雙曲線的定義可知，點(diǎn)（x，1）在以（-3，0）和（3，0）為焦點(diǎn)，的雙曲線的右支上，所以，所以雙曲線方程為，令可得，因?yàn)?，所以，即方程的解是，故選：C.5．（2024·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線過(guò)圓的圓心，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【詳解】由題意得圓心為（1,1），因?yàn)橹本€過(guò)圓心，所以，即，所以，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：A6．（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，長(zhǎng)軸和短軸之和為36，橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的最短距離為1，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距分別為，由題意，，得，橢圓焦點(diǎn)在軸或軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.故選：C7．（2024·山東濟(jì)寧·高一期末）如圖，圓臺(tái)的軸截面ABCD為等腰梯形，，E為弧AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為母線BC的中點(diǎn)，則異面直線AC和EF所成角的正切值為（

）A． B． C． D．2【答案】C【詳解】設(shè)圓臺(tái)的上底面圓心為，下底面圓心為，則，連接，因?yàn)槭腔B的中點(diǎn)，所以，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)異面直線AC和EF所成角為，所以，可得.故選：C.8．（2024·江西·高三開(kāi)學(xué)考試（文））設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M，N在C上（M位于第一象限），且點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，若，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：依題意作下圖，由于，并且線段MN，相互平分，∴四邊形是矩形，其中，，設(shè)，則，依據(jù)勾股定理，，，整理得，由于點(diǎn)M在第一象限，，由，得，即，整理得，即，解得.故選：C．二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9．（2024·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知方程，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，表示圓心為的圓 B．當(dāng)時(shí)，表示圓心為的圓C．當(dāng)時(shí)，表示的圓的半徑為 D．當(dāng)時(shí)，表示的圓與軸相切【答案】BCD【詳解】整理為：，A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)半徑為0，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)半徑大于0，表示圓心為的圓，B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，表示的圓的半徑為，C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，表示的圓半徑為2，又圓心坐標(biāo)為，故與軸相切，D正確.故選：BCD10．（2024·江蘇·海安縣試驗(yàn)中學(xué)高二期中）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．直線BC1與直線所成的角為90°B．B1D⊥平面ACD1C．點(diǎn)B1到平面ACD1的距離為D．直線B1C與平面所成角的余弦值為【答案】BD【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：.A：，因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)不正確；B：，因?yàn)?，所以，而平面ACD1，因此平面ACD1，所以本選項(xiàng)正確；C：因?yàn)槠矫鍭CD1，所以是平面ACD1的法向量，，所以點(diǎn)B1到平面ACD1的距離為，因此本選項(xiàng)不正確；D：由上可知：，所以直線B1C與平面所成角的余弦值，因此本選項(xiàng)正確，故選：BD11．（2024·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l：與圓C：交于A，B兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|AB|的可能取值是（

）A．6 B．7 C．8 D．5【答案】BC【詳解】解：由，得，令解得故直線l恒過(guò)點(diǎn).圓心，半徑，，則，即.故選：BC.12．（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）一塊斯里蘭卡月光石的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓的短軸與半圓的直徑重合．若直線與半圓交于點(diǎn)A，與半橢圓交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓的離心率是B．線段長(zhǎng)度的取值范圍是C．面積的最大值是D．的周長(zhǎng)存在最大值【答案】AC【詳解】由題意得半圓的方程為，設(shè)半橢圓的方程為，由題意知，∴，∴半橢圓的方程為．對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，由圖可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以線段長(zhǎng)度的取值范圍是，B錯(cuò)誤．對(duì)于C，，設(shè)，則，∴，設(shè)，∴，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C正確．對(duì)于D，的周長(zhǎng)為，所以當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)最大，但是不能取零，所以的周長(zhǎng)沒(méi)有最大值，D錯(cuò)誤，故選：AC三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，其次空3分.）13．（2024·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)到直線的距離等于，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________.【答案】或【詳解】點(diǎn)到直線的距離，解得：或.故答案為：或.14．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，是雙曲線：的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C上且，則的面積為_(kāi)_______.【答案】9【詳解】由雙曲線定義可知：，，由已知，因?yàn)椋渣c(diǎn)在以為直徑的圓上，即是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，故，即，又，所以，解得:，所以故答案為：915．（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，為空間單位向量，，則在方向上投影的模為_(kāi)______．【答案】【詳解】由題意可知，在方向上投影的模為故答案為：.16．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，現(xiàn)將△ABC沿對(duì)角線AC翻折，得到四面體DABC，則該四面體外接球的體積為_(kāi)_______；設(shè)二面角D－AC－B的平面角為θ，當(dāng)θ在內(nèi)改變時(shí)，BD的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】

【詳解】如圖1，分別過(guò)點(diǎn)，作，垂足分別為F，E，則在四面體中也滿(mǎn)意．因?yàn)?，，所以，，則，．在四面體ABCD中，三角形ABC和三角形DAC均為直角三角形，設(shè)點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，如圖2，連接OB，OD，則，即點(diǎn)O為四面體ABCD外接球的球心，則外接球的半徑，所以外接球的體積．在四面體ABCD中，，因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫棣?，且，所以和的夾角為，所以因?yàn)?，所以，則．故答案為：；四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.）17．（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，直線過(guò)點(diǎn)，______．在①直線的斜率是直線的斜率的2倍，②直線不過(guò)原點(diǎn)且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線中，并解答下列問(wèn)題．(1)求的方程；(2)若與在x軸上的截距相等，求在y軸上的截距．【答案】(1)x＋2y＋2＝0(2)6（1）選擇①．由題意可設(shè)直線的方程為y－1＝k（x＋4），因?yàn)橹本€的斜率是直線的斜率的2倍，所以，所以直線的方程為，即x＋2y＋2＝0．選擇②．由題意可設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)A（－4．1），所以，解得m＝－1．所以直線的方程為，即x＋2y＋2＝0．（2）由（1）可知直線的方程為x＋2y＋2＝0，令y＝0，可得x＝－2，所以直線在x軸上的截距為－2，所以直線在x軸上的截距為－2．故直線過(guò)點(diǎn)（－2，0），代入ax＋2y－12＝0，得a＝－6．所以直線的方程為3x－y＋6＝0．因此直線在y軸上的截距為6．18．（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓及直線．(1)證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C恒相交；(2)求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)的最短長(zhǎng)度及此時(shí)的直線方程．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，（1）將直線的方程變形為，令，解得，即直線過(guò)定點(diǎn)．因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部．所以不論m為何實(shí)數(shù)，直線與圓恒相交．（2）（1）的結(jié)論知直線過(guò)定點(diǎn)，且當(dāng)直線時(shí)，此時(shí)圓心到直線的距離最大，進(jìn)而被圓所截的弦長(zhǎng)最短，故,從而此時(shí)，此時(shí),直線方程為，即19．（2024·福建省詔安縣橋東中學(xué)高二期末）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且．(1)設(shè)為中點(diǎn)，求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)（1）證明：取中點(diǎn)，連接、，則，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面．（2）解：因?yàn)橹比庵?，所以、、兩兩垂直．分別以、、的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，，設(shè)平面法向量為，則，，即，令，得到平面的一個(gè)法向量．設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．20．（2024·江西·貴溪市試驗(yàn)中學(xué)高二期末）已知雙曲線C：的焦距為4，且過(guò)點(diǎn).(1)求雙曲線方程；(2)若直線與雙曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)，．（1）解：由題意可知雙曲線的焦點(diǎn)為和，依據(jù)定義有．，又，所以，，．所求雙曲線的方程為．（2）解：因?yàn)殡p曲線的方程為，所以漸近線方程為；由，消去整理得．①當(dāng)即時(shí)，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行，此時(shí)直線與雙曲線相交于一點(diǎn)，符合題意；②當(dāng)即時(shí)，由，解得，此時(shí)直線雙曲線相切于一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意．綜上所述：符合題意的的全部取值為，．21．（2024·河北邢臺(tái)·高三開(kāi)學(xué)考試）如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面為正三角形，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).(1)求證：平面.(2)當(dāng)時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).（1）取中點(diǎn)為，連接,在中，∵為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，∴,在正方形中，∵為的中點(diǎn)，∴,∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，平面，平面，∴平面；（2）在正三角形中，為的中點(diǎn)，∴，又∵，平面，平面，∴AM⊥平面，平面PCD，∴AM⊥DC，∵在正方形ABCD中，AD⊥DC，又平面，平面，∴DC⊥平面PAD，平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，取的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD＝2，則，，，，，，，，，設(shè)平面MDN的法向量為，，令，則，設(shè)平面PDC的法向量為，，令，則，∴，∴