2024高考數(shù)學(xué)講義：立體幾何

2024高考數(shù)學(xué)講義：立體幾何

目錄

1.空間幾何體及其表面積、體積.........................................1

2.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.................................18

3.直線、平面平行的判定與性質(zhì)........................................27

4.直線、平面垂直的判定與性質(zhì).......................................40

5.空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用..............................................52

6.立體幾何中的向量方法..............................................66

1.空間幾何體及其表面積、體積

課程標(biāo)準(zhǔn)考向預(yù)測(cè)

1.利用實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件觀察

大量空間圖形，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及

其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這考情分析：空間幾何體的結(jié)構(gòu)、

些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)空間幾何體的直觀圖仍會(huì)是高考的熱

構(gòu).點(diǎn)，多結(jié)合幾何體的體積和表面積的計(jì)

2.會(huì)用斜二側(cè)法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形算進(jìn)行考查.命題形式主要以選擇題、

（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)填空題為主.

易組合）的直觀圖.學(xué)科素養(yǎng)：直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

3.了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面

積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）.

?等分步落實(shí)

精梳理、巧診斷，過(guò)好雙基關(guān)

V學(xué)生用書(shū)P114

I整知識(shí)I............................

1.多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺(tái)

圖形

互相平行

底面多邊形互相平行

且相等

平行且相相交于一點(diǎn),但不一定延長(zhǎng)線交于二

側(cè)棱

笠相等盧

側(cè)面平行四邊

三角形梯形

形狀能

2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名

圓柱圓錐圓臺(tái)球

稱

圖

形

母互相平行且相延長(zhǎng)線交

相交于一點(diǎn)

線等，垂直于底面于一點(diǎn)

軸全等的等腰全等的笠X

全等的矩形圓

截面三角形腰梯形

側(cè)

面

矩形扇形扇環(huán)

展

開(kāi)圖\

3.直觀圖

（1）畫(huà)法：常用斜二測(cè)畫(huà)法.

Q）規(guī)則：

①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，/軸，（軸的夾角為

45°（或135°）,z'軸與。軸（或y軸）垂直.

②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸.平行于X軸和

Z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變,平行于y軸的線段的長(zhǎng)度在直觀圖中變

為原來(lái)的一半.

4.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺(tái)

側(cè)面

展開(kāi)圖

s圓臺(tái)側(cè)=

側(cè)面積公式S廁柱地=2?！⊿［以錐側(cè)=皿

兀/

5.空間幾何體的表面積與體積公式

名稱

表面積體積

幾

柱體

S表面枳=S側(cè)+2S底V=Sh

（棱柱和圓柱）

錐體

V=\Sh

S表面積=S側(cè)+S底

（棱錐和圓錐）

（上下+

臺(tái)體V=1S+S

S表面枳=S側(cè)+S上+S下

（棱臺(tái)和圓臺(tái)）

^/Si.Sh）h

4.

球S=4兀R2V=.冰3

?常用結(jié)論

1.四棱柱的演變

底面為平行四邊形|丁一、側(cè)棱垂底面

四棱柱f平行六面體f

底面為正方,形

仃平行六面?！?

側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等I,,

正四棱柱I-----------------H正方體

2.斜二測(cè)畫(huà)法中的“三變”與“三不變”

1坐標(biāo)軸的夾角改變，

(1)“三變”1與y軸平行的線段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半,

〔圖形改變.

［平行性不變，

(2)“三不變”｛與x軸和z軸平行的線段的長(zhǎng)度不改變，

〔相對(duì)位置不變.

3.正方體與球的切、接常用結(jié)論

(1)正方體的棱長(zhǎng)為m球的半徑為

①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2/?=5a；

②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R=a；

③若球與正方體的各棱相切，則2H=啦A.

(2)長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則27?

=yla2+b2+c2.

(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3：1

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“或“X”)

(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.()

(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.()

(3)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的NA時(shí)，若NA的兩邊分別平行于x軸和y軸,

且NA=90°,則在直觀圖中，ZA=45°()

(4)簡(jiǎn)單組合體的體積等于組成它的簡(jiǎn)單幾何體體積的和或差.()

(5)長(zhǎng)方體既有外接球又有內(nèi)切球.()

答案：(1)X(2)X(3)X(4)V(5)X

2.(必修2P8習(xí)題T1改編)下列說(shuō)法不正確的是()

A.棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)都相等

B.棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等

C.三棱臺(tái)的上、下底面是相似三角形

D.有的棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都相等

B［根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征知，棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)不一定都相等.］

3.(多選)下列結(jié)論正確的是()

A.錐體的體積等于底面面積與高之積

B.球的體積之比等于半徑之比的立方

C.臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差

D.圓柱的一個(gè)底面積為S,側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)

面積是2ms

BC[Vw（t=|Sh,故A錯(cuò)誤；Vs=1nR3,故球的體積之比等于半徑之

比的立方，故B正確；C顯然正確；圓柱的側(cè)面積為2nr?2nr=4"-nr=4

HS,故D錯(cuò)誤，選BC.]

4.（2020.天津卷）若棱長(zhǎng)為2小的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的

表面積為（）

A.12兀B.24兀

C.36兀D.144兀

C[棱長(zhǎng)為2小的正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為

7（2小）2+（2?。?+（2小）2=6,則正方體外接球的半徑/?=1=3,其

表面積為4JT我2=36JT,故選c.]

5.（必修2P8習(xí)題T1改編）在如圖所示的幾何體中，是棱柱的為.（填

寫所有正確的序號(hào)）

解析：由棱柱的定義可判斷③⑤屬于棱柱.

答案：③⑤

6.如圖是水平放置的正方形A8C0,在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)8的坐標(biāo)為

（2,2）,則由斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的正方形的直觀圖中，頂點(diǎn)9到V軸的距離為

解析：根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則畫(huà)出直觀圖，如圖所示.

作夕軸于點(diǎn)E,在RtaB'C'￡中，8'C'=1,N

B'C'E=45°,則B'E=^-.

V學(xué)生用書(shū)P115

空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

［題組練透］

1.（多選）（2020?寶城區(qū)期中）下列命題中不正確的是（）

A.有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱

B.有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊

都互相平行的幾何體叫棱柱

C.用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)

D.有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱

ACD［在A中，如圖的幾何體，有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾

何體不是棱柱，故A錯(cuò)誤；在B中，由棱柱的定義得：有兩個(gè)面平行，其余各

面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平等的幾何體叫棱柱，故

B正確；在C中，用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組

成的幾何體叫棱臺(tái)，故C錯(cuò)誤；在D中，如圖的幾何體，有兩個(gè)面平行，其余

各面都是平行四邊形的幾何體不是棱柱，故D錯(cuò)誤.故選ACD.］

2.把一個(gè)半徑為20的半圓卷成圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高為（）

A.10B.l（h/3

C.1072D.5s

B［設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為瓦因?yàn)榘雸A的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng),

半圓的半徑等于圓錐的母線，所以2nr=20",所以r=10,所以A=啦儀二正

=1即.］

3.給出下列四個(gè)命題：

①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的立體圖形是直棱柱；

②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；

③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長(zhǎng)方體；

④底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱.

其中不正確的命題為.（填序號(hào)）

解析：對(duì)于①，平行六面體的兩個(gè)相對(duì)側(cè)面也可

能是矩形，故①錯(cuò)；對(duì)于②，對(duì)等腰三角形的腰不是側(cè)棱

時(shí)不一定成立（如圖），故②錯(cuò)；對(duì)于③，若底面不是矩形，

則四棱柱不是長(zhǎng)方體，故③錯(cuò)；對(duì)于④，可知側(cè)棱垂直于

底面，故④正確.綜上，命題①②③不正確.

答案：①②③

［題組練透］

1.以下關(guān)于斜二測(cè)直觀圖的結(jié)論，①角的水平放置的直觀圖一定是角；②

相等的角在直觀圖中仍然相等；③相等的線段在直觀圖中仍然相等；④若兩條線

段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行。其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

C［角的水平放置的直觀圖一定是角，①正確；相等的角在直觀圖中不一定

相等，例如在正方體A8CO-EFGO的直觀圖中NAOCWND48,故②錯(cuò)誤；相等

的線段在直觀圖中不一定相行，例如在正方體A5CD-EFG0的直觀圖中A￡>=；

DC,故③錯(cuò)誤；若兩條線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行，故

④正確。綜上所述，正確的個(gè)數(shù)為2.]

2.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正

方形，則原來(lái)的圖形是()

A[由直觀圖可知，在直觀圖中多邊形為正方形，對(duì)角線長(zhǎng)為啦，所以原

圖形為平行四邊形，位于y軸上的對(duì)角線長(zhǎng)為2啦.]

3.在直觀圖(如圖所示)中，四邊形O4&C為菱形且邊長(zhǎng)為2cm,則在平

面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCO為,面積為cm2.

解析：在直觀圖中，四邊形為。女夕。菱形且邊長(zhǎng)為2cm,

...由斜二測(cè)法的規(guī)則得：

在xOy坐標(biāo)系中，四邊形A8CO是矩形，

其中0A=2cm,0C=4cm,

四邊形ABCD的周長(zhǎng)為:2X(2+4)=12(cm),

面積為5=2X4=8(cm2).

故答案為：矩形，8.

答案：矩形；8

空間幾何體的表面積和體積

（1）（2020?全國(guó)卷I）已知A,B,C為球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，為

△ABC的外接圓.若。。的面積為4n,AB=BC=AC=OO\,則球。的表面積

為（）

A.6471B.4871

C.36兀D.32兀

（2）（一題多解）如圖是一個(gè)以ABE為底面的直三棱柱被一平面

所截得到的幾何體，截面為CDF,已知AO=4,BC=AE=BE=2,

EF=3且NAEB=90°,則所得的幾何體的體積為.

解析：（1）如圖所示，設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,O

0\的半徑為r,球。的半徑為R由。。|的面積為，可

,,2

得〃=2.又OOi為△ABC的外接圓，則r=OiA=ga=

2,解得a=2小.在RtZ^OOM中，R2=OA2=I2+OO]=4

+12=16,所以球。的表面積為4n配=64JT,故選A.

（2）法一：（分解法）如圖，過(guò)點(diǎn)。作CM平行于A&交AO于點(diǎn)作CN

平行于BE,交EF于點(diǎn)、N,連接MN.由題意可知A8CM,8ENC都是矩形，AM

=DM=2,CN=2,FN=T,AB=CM=2j,所以X2X2=2,

因?yàn)榻孛鍯MN把這個(gè)幾何體分割為直三棱柱ABE-MCN和四棱錐C-MNFD,

又因?yàn)橹比庵鵄BE-MCN的體積為VI=S“BE?AM=；X2X2X2=4,四棱錐

C-MNFO的體積為V2=1S四邊形MNFD-B￡=|X；（1+2）X2X2=2,所以所求幾

何體的體積為口+%=6.

法二：（分割法）如圖，連接AC,EC,則幾何體分割為四棱錐

1（3+4）]4

C-ADFE和三棱錐CABE,因?yàn)閂C-ADFE=^X1-^-X2\X2=y,

Vc-ABE=1||x2）X2=1,所以幾何體的體積為VC-ADFE+VC-ABE=

法三：（補(bǔ)形法）如圖，延長(zhǎng)3C至點(diǎn)M,使得CM=2,延長(zhǎng)EF至點(diǎn)、N,使

得FN=1,連接。M,MN,DN,得到直三棱柱A8E-OMN,所以

幾何體的體積等于直三棱柱ABE-DMN的體積減去四棱錐

。-CMNF的體積.

因?yàn)閂ABE-DMN-X2X2IX4=8,

1門+2)

VD-CMNF=^X2IX2=2,

所以幾何體的體積為VABEDMN-VD.CMNF=8—2=6.

答案：(1)A(2)6

1.三類幾何體表面積的求法

求多

面體只需將它們沿著棱“剪開(kāi)”展成平面圖形，利用求平面圖形

的表面積的方法求多面體的表面積

面積

求旋

可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過(guò)程及其幾何特征入手，將其展開(kāi)后求

轉(zhuǎn)體

表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開(kāi)圖中

的表

的邊長(zhǎng)關(guān)系

面積

求不

規(guī)則

通常將不規(guī)則幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求

幾何

出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過(guò)求和或作差，

體的

求出不規(guī)則幾何體的表面積

表面

積

2.處理體積問(wèn)題的思路

3.求空間幾何體的體積的常用方法

(1)公式法.對(duì)于規(guī)則幾何體的體積問(wèn)題，可以直接利用公式進(jìn)行求解.

(2)割補(bǔ)法.把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者

把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于

計(jì)算其體積.(如例2(2))

(3)等體積法.等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形，它是通過(guò)選擇合適的底

面來(lái)求幾何體體積的一種方法，多用來(lái)解決有關(guān)錐體的體積，特別是三棱錐的體

積.

1.如圖所示，已知三棱柱ABC-AiBiG的所有棱長(zhǎng)均為1,且底面A8C,

則三棱錐B-A5G的體積為()

人*B.小C.聆D.小

A[三棱錐B\-ABC\的體積等于三棱錐A-B\BC\的體積，三棱錐A-B\BC\

的高為平，底面積為J,故其體積為!義嘩=求.]

2.已知圓錐的側(cè)面積(單位：cn?)為2n,且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，

則這個(gè)圓錐的底面半徑(單位：cm)是.

解析：法一：設(shè)該圓錐的母線長(zhǎng)為I,因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，

其面積為2n,所以3n/2=2n,解得/=2,所以該半圓的弧長(zhǎng)為2設(shè)該圓錐

的底面半徑為R,則2"/?=2"，解得R=l.

法二：設(shè)該圓錐的底面半徑為七則該圓錐側(cè)面展開(kāi)圖中的圓弧的瓠長(zhǎng)為2

“R.因?yàn)閭?cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，設(shè)該半圓的半徑為r,則nr=2nR,即r=2R,

所以側(cè)面展開(kāi)圖的面積為3?2R?2n/?=2"R2=2JT,解得R=I.

答案：1cm

3.學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長(zhǎng)

方體ABCD-AIBGOI挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中0為長(zhǎng)方體的

中心，E,F,G,"分別為所在棱的中點(diǎn)，AB=BC=6cm,A4i=4cm,3D打

印所用原料密度為0.9g/cnP,不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量

------------------g-

解析：長(zhǎng)方體ABCD-AiBiGDi的體積U=6X6X4=144(cm3),而四棱錐

O-EFG”的底面積為矩形88GC的面積的一半，高為AB長(zhǎng)的一半，所以四棱

2

錐O-EFGH的體積V2=1x|X4X6X3=12(cm),所以長(zhǎng)方體ABCD-

2

AiBiaDi挖去四棱錐O—EFG”后所得幾何體的體積V=Vi-V2=132(cm),所

以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132X0.9=118.8（g）.

答案：118.8

球與空間幾何體的接、切問(wèn)題多維型

角度一幾何體的外接球

（2020?貴陽(yáng)市適應(yīng)性考試）已知A,B,C,。四點(diǎn)在球。的表面上，且

L4

AB=BC=2,AC=2市,若四面體ABC。的體積的最大值為I,則球。的表面

積為（）

A.7兀B.9兀

C.IOTID.12兀

B［根據(jù)題意有A￥+BC2=AC2,所以△ABC在以AC為

1

直徑的截面圓內(nèi)，如圖，SMBC=2X2X2=2.當(dāng)平面。4。_1平

■■■■■

面ABC時(shí)，所得四面體體積最大，此時(shí)，設(shè)高為/2,則VD4BC

114

=WSAABch=mX2/I=2,解得力=2,設(shè)01為AC1的中點(diǎn)，則

.平面ABC,在Rt^OOi。中，根據(jù)00f+OiC2=OC2,得（2—/?>+（6）2

=R2（R為球。的半徑），解得R=5,所以球的表面積S=4JTR2=9n」

用歸納升華

處理球的“接”問(wèn)題的策略

把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的外接問(wèn)題.解決這類問(wèn)題的關(guān)

鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.

角度二幾何體的內(nèi)切球

一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的

體積為苧，那么這個(gè)正三棱柱的體積是（）

A.12^3B.2小

C.6sD.48小

4ji4Ji

C［設(shè)球的半徑為R,由弓,得R=1.因?yàn)榍蚺c正三棱柱的三個(gè)

側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，所以正三棱柱的高等于球的直徑2,正三棱柱的底面三

角形的內(nèi)切圓的半徑等于球的半徑1.設(shè)正三棱柱的底面三角形的邊長(zhǎng)為a,則

?Xsinyx1=1,所以a=2小，所以這個(gè)正三棱柱的體積丫=乎X（2小）2

X2=6^3,故選C1

歸納升華

1.處理球的“切”問(wèn)題的策略，解決與球的內(nèi)切問(wèn)題主要是指球內(nèi)切多面

體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作截面來(lái)解決.如果內(nèi)切的是多面體，

則作截面時(shí)主要抓住多面體過(guò)球心的對(duì)角面來(lái)作.

2.解決與球有關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

平面幾何問(wèn)題求解，其解題的思維流程是：

變式訓(xùn)練

1.（2020.昆明市三診一模）某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實(shí)踐課時(shí)，

制作了一個(gè)工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱

長(zhǎng)為4事的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心

重合），若其中一個(gè)截面圓的周長(zhǎng)為4兀，則該球的半徑是（）

A.2B.4

C.2^6D.4^6

B[設(shè)截面圓半徑為r,則有2nr=4n,所以r=2.由題意知，球的球心為

正方體的中心，設(shè)球的半徑為R,則R2=（2小）2+22=16,所以R=4,故選B.]

2.（2020.全國(guó)卷HI）已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半徑

最大的球的體積為.

解析：由題意分析知圓錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)為圓錐的內(nèi)切球，如圖，作出

圓錐與其內(nèi)切球的軸截面.設(shè)截面為△SAB,球心為。，球半

徑為r.

易知AB=2,SA=SB=3,

貝X2X2啦=2y/2.

J、歷

又S^OSB+SZSOSA+SZSOA3=2r(3+3+2)=26,貝"r=1.

所以圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為g”,=乎丁

套口案才t.-3

3.若側(cè)面積為4兀的圓柱有一外接球0,當(dāng)球0的體積取得最小值時(shí)，圓

柱的表面積為.

解析：設(shè)圓柱的底面圓半徑為r,高為//,

則球的半徑R=++?.

4JI

因?yàn)榍虻捏w積V=-R3.故V最小當(dāng)且僅當(dāng)R最小.

圓柱的側(cè)面積為2JT/7z=4況，所以汕=2,

所以3=r'所以4+，》也，當(dāng)且僅當(dāng)，

即廠=1時(shí)取“=”號(hào)，此時(shí)球。的體積取最小值，

所以r=l,h=2,圓柱的表面積為2nxl2+2兀><1X2=6兀

答案：6無(wú)

微專題系列29［學(xué)科素養(yǎng)］

數(shù)學(xué)文化與立體幾何的交匯

縱觀近幾年高考，立體幾何以數(shù)學(xué)文化為背景的問(wèn)題層出不窮，讓人耳目一

新.從中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化中挖掘素材，考查立體幾何的有關(guān)知識(shí)，既符合考生的

認(rèn)知水平又可以引導(dǎo)考生關(guān)注中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，并提升審題能力，增加對(duì)數(shù)學(xué)

文化的理解，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為“鱉臊”.如

圖所示，平面四邊形A8CD中，AB=AD=CD=\,BD=^2.BO_LCD.將平面四

邊形A8CQ沿對(duì)角線3。折成一個(gè)“鱉膈”4-BCD,則該“鱉席”的內(nèi)切球的半

徑為.

解析：因?yàn)锳Z>=CO=1,且△ACO為直角三角形，

所以COL4D又CO_LBO,BDQA'D=D.

所以CO,平面ABD,所以COL4B

又由48=40=1,BD=yf2,得A5LAZ),且4￡>nC￡>=。，所以A'B,

平面48,所以A8L4C,由題意得A'C=72.設(shè)該“鱉膈”的內(nèi)切球的半

徑為r,

則g(SA4'BC+SM,CD+5A4'Bo+SAfiCD)r=2XC￡)XSA?VB?,所以gX(*'+

X+x+乎)r=|X1Xy,解得r=^).

乙乙乙J乙乙

較案?止11

1=1?2

■??I求解與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的立體幾何問(wèn)題，首先要在閱讀理解上下功

夫，明確其中一些概念的意義，如“塹堵”“陽(yáng)馬”和“鱉席”等的特征是求解

相關(guān)問(wèn)題的前提，其次目標(biāo)要明確，根據(jù)目標(biāo)聯(lián)想相關(guān)公式，然后進(jìn)行求解.

變式訓(xùn)練

(2020.湛江期中)鱉麝(bie*0)是我國(guó)古代對(duì)四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐

的稱呼.已知三棱錐A-BCD是一個(gè)鱉展，其中ABJ_8C,AB1.BD,BCA.CD,

且AB=6,BC=3,DC=2,則三棱錐43co的外接球的體積是()

49兀

A.B.警

-343兀

C.49KD-丁

D［如圖,

由AB_L3C,AB±BD,且BCCBD=B,

可得AB_L平面BCD,

貝i」AB_LC。，XBC1CD,且ABCBC=B,

，CZ），平面ABC,故CD±AC,

則AO為三棱錐A-BCO的外接球的直徑.

\'AB=6,BC=3,DC=2,：.AD=y/62+32+22=7,

7

故三棱錐A-3CO的外接球的半徑為1,則三棱錐A-BCD的外接球的體積是

V=4（7、3343n

3"?GJ=k?

故選D.]

「友情提示]每道習(xí)題都是一個(gè)高考點(diǎn)，每項(xiàng)訓(xùn)練都是對(duì)能力的檢驗(yàn)，認(rèn)真

對(duì)待它們吧！進(jìn)入“課時(shí)作業(yè)（三十八）”，去收獲希望，體驗(yàn)成功！本欄目?jī)?nèi)容

以活頁(yè)形式分冊(cè)裝訂！

2.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

課程標(biāo)準(zhǔn)考向預(yù)測(cè)

1.借助長(zhǎng)方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、

考情分析：以常見(jiàn)的空間幾何體

直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象

為載體，考查點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)

出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定

系，以及異面直線所成角、線面角等，

義.

與平行關(guān)系、垂直關(guān)系等相結(jié)合考查是

2.了解四個(gè)基本事實(shí)和定理.

高考的熱點(diǎn).

3.了解空間中直線與直線的關(guān)系

學(xué)科素養(yǎng)：直觀想象、邏輯推理.

(平行、相交、異面).

?o分步落實(shí)

V學(xué)生用書(shū)P118

I整知識(shí)I..............................................>?

1.平面的基本性質(zhì)

(1)基本事實(shí)1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平

面內(nèi).

(2)基本事實(shí)2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.

(3)基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有二±公共點(diǎn)，那么它們有且只有一

條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.

(4)基本事實(shí)4：平行于同一直線的兩條直線平行.

2.空間中兩直線的位置關(guān)系

(1)空間中兩直線的位置關(guān)系

［共面直線｛器

I異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)

(2)異面直線所成的角

①定義：設(shè)a,b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間中任一點(diǎn)。作直線。，〃。，b'

//b,把a(bǔ)，與廳所成的銳角(或直角)叫做異面直線a,匕所成的角(或夾角).

②范圍：(o,I.

(3)等角定理

空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

3.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系

(1)直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況.

(2)平面與平面的位置關(guān)系有壬紅、相交兩種情況.

1.基本事實(shí)2的三個(gè)推論

推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.

推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面.

推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面.

2.異面直線判定的一個(gè)定理

過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.

3.唯一性定理

(1)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.

(2)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.

(3)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.

(4)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.

I練基礎(chǔ)I................................................》

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)若PeaCQ且/是a,￡的交線，則)

(2)三點(diǎn)A,B,C確定一個(gè)平面.()

(3)若直線anO=A,則直線a與匕能夠確定一個(gè)平面.()

(4)若AW/,36/且Ada,Bea,則/Ua.()

(5)分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是異面直線.()

答案：(1)V(2)X(3)V(4)V(5)X

2.(必修2P43練習(xí)T1改編)下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為()

①梯形可以確定一個(gè)平面；②若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這

兩條直線平行；③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面；④如果兩個(gè)平面

有三個(gè)公共點(diǎn)，則兩個(gè)平面重合.

A.0B.1

C.2D.3

C[②中兩直線可以平行、相交或異面，④中若三個(gè)點(diǎn)在同一條直線上，則

兩個(gè)平面可能相交，①③正確.]

3.已知空間四邊形的兩條對(duì)角線相互垂直，順次連接四邊中點(diǎn)的四邊形一

定是（）

A.空間四邊形B.矩形

C.菱形D.正方形

B[如圖所示，易證四邊形EFGH為平行四邊形.

:E,尸分別為AB,的中點(diǎn)，

S.EF//AC.

又FG//BD,

.?.NEFG或其補(bǔ)角為AC與8。所成的角.

而AC與8。所成的角為90°,

:.NEFG=90°,故四邊形EFG"為矩形.]

4.如圖所示，在正方體ABCD-A出CQ中，E,尸分別是A3,

AO的中點(diǎn)，則異面直線與￡尸所成的角大小為（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

C[如圖，連接8。，DiC,則31。1〃石凡故/。歸|。（或其補(bǔ)角）為所求,

又BiD尸BiC=DiC,所以NDiBC=60。.]

5.平面a,￡相交，在a,￡內(nèi)各取兩點(diǎn)，這四點(diǎn)都不在交線上，這四點(diǎn)能

確定個(gè)平面.

解析：如果這四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，那么確定一個(gè)平面；如果這四點(diǎn)不共面，

則任意三點(diǎn)可確定一個(gè)平面，所以可確定四個(gè).

答案：1或4

分類突破微點(diǎn)撥、多維練，研透命題點(diǎn)。

V學(xué)生用書(shū)P119

平面的基本性質(zhì)

ETF如圖，在空間四邊形ABCO中，E,尸分別是AB,AD

的中點(diǎn)，G,H分別在BC,CO上，且BG:GC=DH：HC=1：2.

(1)求證：E,F,G,“四點(diǎn)共面；

(2)設(shè)EG與F”交于點(diǎn)P,求證：P,A,C三點(diǎn)共線.

證明：⑴：區(qū)E分別為AB,A。的中點(diǎn)，

S.EF//BD.

,Aci,BGDH\

在ABCD中，GC-HC-2，

：.GH//BD.

：.EF//GH.

：.E,F,G,”四點(diǎn)共面.

(2)?:EGCFH=P,PGEG,EGU平面ABC,

平面ABC.同理PS平面ADC.

：.P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn).

又平面ABCCI平面ADC=AC,

：.P&AC,：.P,A,C三點(diǎn)共線.

平歸納升華

共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明

(1)證明點(diǎn)線共面問(wèn)題的兩種方法

①納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)；

②輔助平面法：先證有關(guān)點(diǎn)、線確定平面a,再證其余點(diǎn)、線，確定平面夕,

最后證明平面a,￡重合.

(2)證明點(diǎn)共線問(wèn)題的兩種方法

①先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上;

②直接證明這些點(diǎn)都在一條特定直線上.

（3）證明多線共點(diǎn)問(wèn)題的步驟

①先證其中兩條直線交于一點(diǎn)；

②再證交點(diǎn)在第三條直線上.證交點(diǎn)在第三條直線上時(shí)，依據(jù)是第三條直線

應(yīng)為前兩條直線所在平面的交線，即利用公理3證明.

變式訓(xùn)練

如圖，在正方體ABCD-AIBCIQI中，E,F分別是45和

M的中點(diǎn).

求證：（1）E,C,D\,口四點(diǎn)共面；

⑵CE,D\F,D4三線共點(diǎn).

證明：（1）如圖所示，連接CDi,EF,A\B,

,:E,F分別是A8和AAi的中點(diǎn)，

：.FE//A\B且EF=|A\B.

VAiD!BC,二四邊形AiBCDi是平行四邊形，

：.A\B//D\C,：.FE//D\C,

...EF與81可確定一個(gè)平面，

即E,C,Di,尸四點(diǎn)共面.

(2)由(1)知E尸〃CO,且

二四邊形CD莊是梯形，

二直線CE與。1/必相交，設(shè)交點(diǎn)為P,

則「金庭匚平面入臺(tái)。，

且PG。尸U平面AIAODI,

二.PG平面ABCD且PG平面AiADD\.

又平面ABCDA平面A\ADD\=AD,

：.P^AD,：.CE,D\F,D4三線共點(diǎn).

空間兩直線的位置關(guān)系講練型

（多選）如圖所示，在正方體ABCD-A\B\C\D\中，M,N分別為棱C\D\,

CiC的中點(diǎn)，其中正確的結(jié)論為（）

A.直線AM與GC是相交直線

B.直線AM與BN是平行直線

C.直線8N與MB是異面直線

D.直線MN與AC所成的角為60。

CD［在正方體ABCD-AiBGDi中，M,N分別為棱GOi,GC的中點(diǎn)，在

A中，直線AM與GC是異面直線，故A錯(cuò)誤；

在B中，直線AM與BN是異面直線，故B錯(cuò)誤；

在C中，直線BN與MB是異面直線，故C正確；

在D中，連結(jié)MN,CDi,ADi,AC,

因?yàn)镸N//CD\；

所以MN與AC所成的角就等于AC與CU所成角；因?yàn)椤鰽C。是正三角

形,所以NACDi=60。.

所以直線MN與AC所成角為60。，故D正確.所以選CDJ

母歸納升華

［注意］異面直線易誤解為“分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直

線”，實(shí)質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個(gè)平面，因此異面直線既不平行，也不

相交.

變式訓(xùn)練

1.（多選）a是一個(gè)平面，m,"是兩條直線，A是一個(gè)點(diǎn)，若機(jī)Qa,〃Ua,

且AG?,則〃z,〃的位置關(guān)系可能是（）

A.垂直B.相交

C.異面D.平行

ABC[依題意，〃?na=A,〃Ua,所以m與〃可能異面、相交（垂直是相交

的特例），一定不平行.故選ABC項(xiàng).]

2.將圖（1）中的等腰直角三角形A3C沿斜邊的中線AD折起得到空間四

面體A8CD,如圖（2）,則在空間四面體A8C。中，AO與BC的位置關(guān)系是（）

A.相交且垂直B.相交但不垂直

C.異面且垂直D.異面但不垂直

C[折起前折起后有ADLBO,A。，。。，所以AO_L平面3c。，

所以AOLBC.又AO與BC不相交，故與8C異面且垂直.]

異面直線所成的角講練型

區(qū)向（1）（2020?成都第一次診斷性檢測(cè)）在各棱長(zhǎng)均相等的直三棱柱

ABC-AiBCi中，已知M是棱BBi的中點(diǎn)，N是棱AC的中點(diǎn)，則異面直線4M

與BN所成角的正切值為（）

A.小B.1

C.*D,坐

（2）已知E、F、G、H分別是三棱錐A-8C。棱A8、BC、CD、D4的中點(diǎn)，

①四邊形EFGH是形；

②AC與8。所成角為60。，且AC=8￡>=1,則EG=

解析：（1）如圖，取A4i的中點(diǎn)P,連接PN,PB.則由直三

棱柱的性質(zhì)可知?jiǎng)tNPBN為異面直線4M與BN所

成的角（或其補(bǔ)角）.設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為2,則小=讓回=小,

BN=4.所以PN?+BN2=PB2.所以NPNB=90°.在RtAPBN中，

tanZPBN=j^=坐.故選C.

(2)①?；1￡、F、G、"分別是三棱錐A-BCO棱A3、BC、CD、D4的中點(diǎn),

為△ABC的AC邊的中位線，故E尸〃AC且AC,

同理G"為△AC。的AC邊的中位線，故GH〃AC且G”=；AC,

尸平行且等于GH,：.四邊形EFGH是平行四邊形.

②由①可得瓦?”AC且AC=^,

同理FG〃8O且FG=|BD=；,

；AC與8。所成角為60°,

：.NEFG=60°或120°,

當(dāng)NEFG=60°時(shí)，￡G=1；

當(dāng)NEFG=120。時(shí)，EG=^~.

答案：(1)C⑵①平行四邊②1或坐

為歸納升華

求異面直線所成的角的三步曲

變式訓(xùn)練

1.直三棱柱ABC-45G中，若NBAC=90°,AB=AC=AAi,則異面直線

84與AC所成的角等于（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

C［如圖，將三棱柱補(bǔ)成一個(gè)正方體,

由正方體的性質(zhì)可知，AC\//BD\,

所以直線841與AC\所成的角為NA山Di.

又易知為正三角形，

所以NAi8D=60°,即氏4i與AC成60°的角.］

2.已知正四面體A-BCD中，M為的中點(diǎn)，則CM與AO所成角的余弦

值為（）

A.1B.坐

D2

JC663

C［如圖，設(shè)正四面體A-BC。的棱長(zhǎng)為2,取8。的中點(diǎn)N,連接MMCN,

是A3的中點(diǎn)，S.MN//AD,

...NCMN（或其補(bǔ)角）是直線CM與所成的角，

取MN的中點(diǎn)E,連接CE,CE1MN,

在△CME中，ME=^MN=（AO=g,CM=y^,

1

一

2近

做選

二直線與所成角的余弦值為一6

CMADcosZCME=-^小

C.]

［友情提示］每道習(xí)題都是一個(gè)高考點(diǎn)，每項(xiàng)訓(xùn)練都是對(duì)能力的檢驗(yàn)，認(rèn)真

對(duì)待它們吧！進(jìn)入“課時(shí)作業(yè)（三十九）”，去收獲希望，體驗(yàn)成功！本欄目?jī)?nèi)容

以活頁(yè)形式分冊(cè)裝訂！

3.直線、平面平行的判定與性質(zhì)

課程標(biāo)準(zhǔn)考向預(yù)測(cè)

1.以立體幾何的定義、公理和定理

為出發(fā)，借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，考情分析：直線與平面以及平面

了解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定與平面平行的判定和性質(zhì)仍會(huì)是高考的

定理.熱點(diǎn)，常出現(xiàn)在解答題的第（1）問(wèn)，難度

2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)中等.

論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的學(xué)科素養(yǎng)：直觀想象、邏輯推理.

簡(jiǎn)單命題.

?埠分步落實(shí)

精梳理、巧診斷，過(guò)好雙基關(guān)。

V學(xué)生用書(shū)P120

I整知識(shí)I......