第13題 函數(shù)的圖象- 高中數(shù)學(xué) 100題系列（解析版）

第13題函數(shù)的圖象

I.題源探究?黃金母題精彩解讀

［例1］下圖中哪兒個(gè)圖象與下述三件事分別吻合得最好？請(qǐng)你為?！驹囶}來源】人教版A版必修1P23

下的那個(gè)圖象寫出一件事.練習(xí)第2題

(1)我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是返回家【母題評(píng)析】本題考查了函數(shù)的表示

里找到了作業(yè)本再上學(xué)；法之一一圖象法，意在培養(yǎng)學(xué)生的

(2)我騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽數(shù)形結(jié)合思想，也考察了學(xué)生的分

擱了一些時(shí)間；析問題和解決問題的能力，同時(shí)告

(3)我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進(jìn)，后來為了趕時(shí)間開始加速.訴了學(xué)生生活之中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)

學(xué)來源于生活又應(yīng)用與生活.

【思路方法】數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)

學(xué)中主要的解題思想之一，提別是

在解決函數(shù)的問題中，函數(shù)圖象是

強(qiáng)有力的工具，這種思想是近幾年

高考試題常常采用的命題形式.

【解析】圖象(A)對(duì)應(yīng)事件(2),在途中遇到一次交通堵塞表示離

開家的距離不發(fā)生變化；圖象(B)對(duì)應(yīng)事件(3),剛剛開始緩緩行

進(jìn)，后來為了趕時(shí)間開始加速；圖象(D)對(duì)應(yīng)事件(1),返回家里

的時(shí)刻，離開家的距離又為零；圖象(C)我出發(fā)后，以為要遲到，

趕時(shí)間開始加速，后來心情輕松，緩緩行進(jìn).

【例2】函數(shù)r=/(p)的圖象如圖所示.精彩解讀

【試題來源】人教版A版必修IP25

(1)函數(shù)r=/(p)的定義域是什么？

習(xí)題1.2B組第1題

(2)函數(shù)r=/(p)的值域是什么？【母題評(píng)析】本題以分段函數(shù)的圖象

(3)r取何值時(shí)，只有唯一的p值與之對(duì)應(yīng)?為載體考察了函數(shù)定義域、值域的

求法，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)概念及函數(shù)

三要素的理解，這對(duì)以后學(xué)習(xí)函數(shù)

的性質(zhì)有很大的幫助.

【思路方法】函數(shù)圖象解決函數(shù)問題

是強(qiáng)有力的工具，因此培養(yǎng)學(xué)生的

【解析】(1)函數(shù)，=/(p)的定義域是［-5,0］［2,6)；讀圖、識(shí)圖能力很重要.

(2)函數(shù)r=/(p)的值域是［0,+oo)；

(3)當(dāng)「>5,或°Wr<2時(shí)，只有唯一的P值與之對(duì)應(yīng).

［例3］函數(shù)/(幻=［幻的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如精彩解讀

【試題來源】人教版A版必修1P25

［-3.5］=-4,［2.1］=2.當(dāng)xw(—2.5,3］時(shí)，寫出函數(shù)/(x)的解析

習(xí)題1.2B組第3題

式，并作出函數(shù)的圖象.

【母題評(píng)析】本題是一道信息給予

—3,—2.5<x<—2

題，通過定義新函數(shù)，考查了學(xué)生

一2,-2<x<-l

-1,-1<x<0對(duì)分段函數(shù)概念的理解及函數(shù)解析

【解析】/U)=W=-0,0<x<l

1,\<x<2式的求法，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生閱讀能力

2,2<x<3

和理解能力.

3,x=3

【思路方法】數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)

圖象如下

學(xué)中主要的解題思想之一，提別是

在解決函數(shù)的問題中，函數(shù)圖象是

強(qiáng)有力的工具，這種思想最近幾年

高考試題常常采用的命題形式.

【例4】畫出下列函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象說出函數(shù)y=/(x)的單調(diào)精彩解讀

【試題來源】人教版A版必修1P39

區(qū)間，以及在各單調(diào)區(qū)間上函數(shù)y=/(x)是增函數(shù)還是減函數(shù).

習(xí)題1.3A組第1題

=

(1)y—5x—6；(2)y=9-【母題評(píng)析】本題以畫圖的方式讓學(xué)

【解析】(1)函數(shù)在(-8,2)上遞減；函數(shù)在［2,+00)上遞增；生去尋找函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，培養(yǎng)學(xué)

22

生的作圖、讀圖、識(shí)圖的能力，.

【思路方法】利用函數(shù)圖象求函數(shù)的

單調(diào)區(qū)間是一種常用的方法，數(shù)形

結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)中主要的解題

思想之一，提別是在解決函數(shù)的問

題中，函數(shù)圖象是強(qiáng)有力的工具，

(2)函數(shù)在(-8,0)上遞增；函數(shù)在［0,+8)上遞減.

￡

這種思想是近幾年高考試題常常采

用的命題形式.

一3'

［例5］出函數(shù)y=log3X及y=log］x的圖象，并且說明這兩個(gè)函精彩解讀

3

【試題來源】人教版A版必修1P73

數(shù)的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，如右圖所示.

練習(xí)第I題

【解析】畫出函數(shù)y=log3X及y=log1X的圖象，如下圖所示：

3

【母題評(píng)析】本題以y=iog3x和

)'=l°glX的圖象為載體，讓同學(xué)們

3

再次認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)

圖象的異同，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)

圖象的認(rèn)識(shí).

相同點(diǎn)：圖象都在y軸的右側(cè)，都過點(diǎn)(1,0)

【思路方法】利用圖象解決函數(shù)的問

不同點(diǎn)：y=log3》的圖象是上升的，y=log|x的圖象是下降的

題，形象直觀，過程簡(jiǎn)練，語言簡(jiǎn)

3

關(guān)系：y=log3%和y=log］X的圖象是關(guān)于入軸對(duì)稱的.潔.

3

【例6】利用函數(shù)圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個(gè)根：精彩解讀

(1)-f+3x+5=0；(2)2x(x-2)=-3；(3)f=4x-4；(4)5/+2x=3『+5【試題來源】人教版A版必修1P88

【解析】(1)令/)=-f+3x+5,作出函數(shù)4x)的圖象(圖3-1-2-7(1)),練習(xí)第1題

它與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程-/+3x+5=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.【母題評(píng)析】本題以通過圖象然學(xué)生

(2)2x(x-2)=-3可化為2X2-4X+3=0,令?>:)=244戈+3,去探究方程根的分布情況，意在培

作出函數(shù)/U)的圖象(圖3-1-2-7(2)),它.與x軸沒有交點(diǎn)，所以方程養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)也滲

2x(x-2)=-3無實(shí)數(shù)根.透了函數(shù)與方程思想.

(3)/EX-4可化為/-.4》+4=0,令人x)=f-4x+4,作出函數(shù)/(x)的圖【思路方法】本題為研究方程根的分

象(圖3-1-2-7(3)),它與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)(相切)，所以方程1=4x-4布指明了方向，即轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.

(4)5f+2x=3f+5可化為2?+2x-5=0,令人%)=2/+21-5,作出函數(shù)人x)

的圖象(圖3-1-2-7C4)),它與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程51+2%=3『+5

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

【例7】設(shè)函數(shù)/(》)=一》2一3》一2,若g(x)=2—"(x)f,精彩解讀

【試題來源】人教版A版必修1P93

(1)求g(x)的解析式；

習(xí)題3.1B組第3題

(2)借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器，畫出函數(shù)g(x)的圖象；(3)求出函數(shù)g(x)(母題評(píng)析】本題是一道求復(fù)合函數(shù)

的零點(diǎn)(精確度0.1).解析式與函數(shù)零點(diǎn)相結(jié)合的問題，

【解析】(1)由題設(shè)有g(shù)(x)=2-[yU)『=2-a2+3x+2)2=-x4-6x3-13x2-12x-2.同時(shí)考查了如何利用零點(diǎn)分段法去

(2)函數(shù)圖象如下圖所示.求函數(shù)的零點(diǎn).

【思路方法】本題為研究函數(shù)的零點(diǎn)

指明了方向，即轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)圖

象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.解決這類需

要我們利用圖象所提供的信息來分

析解決問題的題目的常用方法有：

圖3-1-2-10

①定性分析法，也就是通過對(duì)問題

(3)由圖象可知，函數(shù)g(x)分別在區(qū)間G3,-2)和區(qū)間(-1,0)內(nèi)各有

進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的

一個(gè)零點(diǎn).取區(qū)間(-3,-2)的中點(diǎn)?=-2.5,用計(jì)算器可算得

上升(或下降)的趨勢(shì)，利用這一特征

g(-2.5)=0.1875.因?yàn)間(-3>g(-2.5)<0,所以沏G(-3,-2.5).再

來分析解決問題；②定量計(jì)算法，

取(-3,-2.5)的中點(diǎn)乃=275,用計(jì)算器可算得g(-2.75)=0.28.因

也就是通過定量的計(jì)算來分析解決

為g(-3>g(-2.75)<0,所以沏G(3-2.75).

問題；③函數(shù)模型法，也就是由所

同理，可得沏G(-2.875,-2.75),沏G(-2.8125,-2.75).提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模

由于卜2.75-(-2.8125)|=0.0625<0.I,所以原方程在區(qū)間(-3,-2)型，利用這一函數(shù)模型來分析解決

內(nèi)的近似解可取為-2.8125.同樣可求得函數(shù)在區(qū)間GI，0)內(nèi)的零點(diǎn)問題.

約為-0.2.分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，應(yīng)首先確定

所以函數(shù)g(x)精確到0.1的零點(diǎn)約為-2.8或-0.2.所給自變量的取值屬于哪一個(gè)范

圍，然后選取相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.若

自變量值為較大的正整數(shù)，一般可

考慮先求函數(shù)的周期.若給出函數(shù)

值求自變量值，應(yīng)根據(jù)每一段函數(shù)

的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)

所求自變量的值是否屬于相應(yīng)段自

變量的范圍.

II.考場(chǎng)精彩?真題回放

【命題意圖】識(shí)別辨析函數(shù)的圖象,

A-e

【例1】【2018高考全國2,理3】函數(shù)/(x)=—^—的圖象大致

實(shí)質(zhì)就是分析函數(shù)的性質(zhì)，主要觀

察以下幾點(diǎn)：

①函數(shù)的定義域；

②函數(shù)圖象的最高點(diǎn)(最大值)和最

低點(diǎn)(最小值)；

③與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)(即〃x)=0或

x=0的點(diǎn))；

④圖象的對(duì)稱性(函數(shù)的奇偶性)；

【答案】B

⑤函數(shù)圖象在某段上的變化趨勢(shì)(即

【解析】試題分析：通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖象.

函數(shù)的單調(diào)性)；

試題解析：xx0,/(-x)=q^=-〃x),;./(x)為奇函數(shù)，舍

⑥圖象的變化規(guī)律(即函數(shù)的周期

去A；"l)=e-eT>0,.?.舍去

性)；

D,7(X)=卜'+/卜2-2#'-巧=(x-2)e'+9+2)葭，.當(dāng)⑦函數(shù)圖象的凸凹性.

［考試方向】高考試題的考查角度有

%>2時(shí)，/'(%)>0,，舍去?.故選B.

兩種：一種是給出函數(shù)解析式判斷

【例2】【2018高考全國3,理7］函數(shù)y=-x4+x?+2的圖象大致為

()函數(shù)圖象；一種是函數(shù)圖象的應(yīng)

用.圖象的判斷以及函數(shù)圖象的應(yīng)

用、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法及利

用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)、方程、

不等式等問題仍將是高考的主要考

查內(nèi)容，備考時(shí)應(yīng)加強(qiáng)針對(duì)性的訓(xùn)

【答案】D

練.

【解析】試題分析：由特殊值排除即可.

【難點(diǎn)中心】本類試題主要考查塞、

試題解析：當(dāng)x=0時(shí)，y=2,排除A,B.y'=^x3+2x=-2x(2x2-l),

指、對(duì)函數(shù)圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)

當(dāng)時(shí)，/>0,排除C,故選D.函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)與方程、

\7

分段函數(shù)的概念.解答此類問題，

【例3】【2018高考浙江，5】函數(shù)y=2.sin2x的圖象可能是()

關(guān)鍵在于能利用數(shù)形結(jié)合思想，通

過對(duì)函數(shù)圖象的分析，轉(zhuǎn)化得到代

數(shù)不等式.這類題能較好的考查考

生數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、

基本運(yùn)算求解能力等.這類題目一

般比較靈活，對(duì)解題能力要求較高,

故也是高考中的難點(diǎn)，解決這類問

【答案】B

題的方法一般是利用間接法，即由

【解析】試題分析：先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在(5,兀)上的

函數(shù)性質(zhì)排除不符合條件的選項(xiàng).

符號(hào)，即可判斷選擇.

(1)運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)圖象

試題解析：解法一：設(shè)/(x)=2忖sin2x,則

時(shí)，先要正確理解和把握函數(shù)相關(guān)

/(-%)=2Tsin(-2x)=-2Wsin2x=-/(x),所以該函數(shù)是一個(gè)奇性質(zhì)本身的含義及其應(yīng)用方向；

(2)在運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)特別是奇偶

函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A,B,又./■(')=2,sin兀=0,

性、周期、對(duì)稱性、單調(diào)性、最值、

零點(diǎn)時(shí)，要注意用好其與條件的相

排除C,故選D.

互關(guān)系，結(jié)合特征進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化研

解法二:4/(x)=2wsin2x,

究.如奇偶性可實(shí)現(xiàn)自變量正負(fù)轉(zhuǎn)

Hl>1

xeR,/(—x)=2^出2(—x)=—2sin2x=—/(x),化，周期可實(shí)現(xiàn)自變量大小轉(zhuǎn)化，

.,./(x)=2Msin2x為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A,B；彳€仁，兀)時(shí)，單調(diào)性可實(shí)現(xiàn)去“廣'，即將函數(shù)值

〃x)<0，.?.排除選項(xiàng)C,故選D.的大小轉(zhuǎn)化自變量大小關(guān)系?

III.理論基礎(chǔ)?解題原理

考點(diǎn)一由式定圖：即根據(jù)函數(shù)的解析式確定函數(shù)的圖象

此類問題實(shí)質(zhì)就是分析函數(shù)的性質(zhì)，主要觀察以下幾點(diǎn)：

①函數(shù)的定義域；②函數(shù)圖象的最高點(diǎn)(最大值)和最低點(diǎn)(最小值)；

③與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)(即/(幻=0或x=0的點(diǎn))；④圖象的對(duì)稱性(函數(shù)的奇偶性)；

⑤函數(shù)圖象在某段上的變化趨勢(shì)(即函數(shù)的單調(diào)性)；⑥圖象的變化規(guī)律(即函數(shù)的周期性)；

⑦函數(shù)圖象的凸凹性.

解決這類需要我們利用圖象所提供的信息來分析解決問題的題目的常用方法有：①定性分析法，也就

是通過對(duì)問題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢(shì)，利用這一特征來分析解決問題；②定

量計(jì)算法，也就是通過定量的計(jì)算來分析解決問題；③函數(shù)模型法，也就是由所提供的圖象特征，聯(lián)想相

關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題.

考點(diǎn)二利用函數(shù)的圖象研究方程根的個(gè)數(shù)

當(dāng)方程與基本函數(shù)有關(guān)時(shí)，可以通過函數(shù)圖象來研究方程的根，方程/(x)=0的根就是函數(shù)/(幻圖象

與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程/(x)=g(x)的根就是函數(shù)/(x)與g(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

考點(diǎn)三'函數(shù)圖象變換

設(shè)函數(shù)y=/(￡),其它參數(shù)均為正數(shù)

(1)平移變換：

f(x+a)：/(x)的圖象向左平移a個(gè)單位；f(x-a)：/(x)的圖象向右平移a個(gè)單位

f(x)+b：/(x)的圖象向上平移”個(gè)單位；"X)—匕：/(x)的圖象向下平移a個(gè)單位

(2)對(duì)稱變換：/(-X)與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；—/(力與/(X)的圖象關(guān)于X軸對(duì)稱；—〃一X)

與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

(3)伸縮變換：

k>1：收縮

/(fcc)：/(x)圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/p>

k0<%<1：拉伸

k>l：拉伸

y(x)：/（x）圖象橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼淖蟊叮?/p>

0<k<\：收縮

（4）翻折變換:

f(x),x>0

=<即正半軸的圖象不變，負(fù)半軸的原圖象不要，換上與正半軸圖象關(guān)

/(H)=/(kl)/(-x),x<0

于y軸對(duì)稱的圖象

/(x),/(x)>0

|/(力|：|〃x)|=<即X軸上方的圖象不變，下方的圖象沿X軸對(duì)稱的翻上去.

-/(x)，/(x)<0

考點(diǎn)四二階導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的凹凸性:

（1）無論函數(shù)單調(diào)增還是單調(diào)減，其圖象均有3種情況,

若一個(gè)函數(shù)的增減圖象為

若一個(gè)函數(shù)的增減圖象為

（2）上凸函數(shù)特點(diǎn)：增區(qū)間增長速度越來越慢，減區(qū)間下降速度越來越快

下凸函數(shù)特點(diǎn)：增區(qū)間增長速度越來越快，減區(qū)間下降速度越來越慢

（3）與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：設(shè)/（X）的導(dǎo)函數(shù)為/（力（即/（x）的二階導(dǎo)函數(shù)），如圖所示：增長速度受每一

點(diǎn)切線斜率的變化情況的影響，下凸函數(shù)斜率隨x的增大而增大，即/（X）為增函數(shù)=/"（x）NO；上凸

函數(shù)隨x的增大而減小，即/'（X）為減函數(shù)=>/（x）<0；

IV.題型攻略?深度挖掘

【考試方向】

高考試題的考查角度有兩種：一種是給出函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象；一種是函數(shù)圖象的應(yīng)用.圖象的

判斷以及函數(shù)圖象的應(yīng)用、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法及利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等問題

仍將是高考的主要考查內(nèi)容，備考時(shí)應(yīng)加強(qiáng)針對(duì)性的訓(xùn)練.

【技能方法】

在處理有關(guān)判斷正確圖象的選擇題中，常用的方法是排除法，通過尋找四個(gè)選項(xiàng)的不同，再結(jié)合函數(shù)

的性質(zhì)即可進(jìn)行排除，常見的區(qū)分要素如下：

（1）單調(diào)性：導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)決定原函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)函數(shù)圖象位于x軸上方的區(qū)域表示原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)

間，位于X軸下方的區(qū)域表示原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間

(2)函數(shù)零點(diǎn)周圍的函數(shù)值符號(hào)：可通過帶入零點(diǎn)附近的特殊點(diǎn)來進(jìn)行區(qū)分

⑶極值點(diǎn)

(4)對(duì)稱性(奇偶性)一一易于判斷，進(jìn)而優(yōu)先觀察

(5)函數(shù)的凹凸性：導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性決定原函數(shù)的凹凸性，導(dǎo)函數(shù)增區(qū)間即為函數(shù)的下凸部分，減區(qū)間為

函數(shù)的上凸部分.其單調(diào)性可由二階導(dǎo)函數(shù)確定

【易錯(cuò)指導(dǎo)】

1.利用圖象變換作圖的步驟：

(1)尋找到模板函數(shù)/(x)(以此函數(shù)作為基礎(chǔ)進(jìn)行圖象變換)

(2)找到所求函數(shù)與“X)的聯(lián)系

(3)根據(jù)聯(lián)系制定變換策略，對(duì)圖象進(jìn)行變換.

例如：作圖：y=|ln(x+l)|

第一步尋找模板函數(shù)為：/(x)=lnx

第二步尋找聯(lián)系：可得y=|/(x+l)|

第三步制定策略：由|/(x+l)|特點(diǎn)可得：先將/(X)圖象向左平移一個(gè)單位，再將x軸下方圖象向

上進(jìn)行翻折，然后按照方案作圖即可

2.如何制定圖象變換的策略

(1)在尋找到聯(lián)系后可根據(jù)函數(shù)的形式了解變換所需要的步驟，其規(guī)律如下：

①若變換發(fā)生在“括號(hào)”內(nèi)部，則屬于橫坐標(biāo)的變換

②若變換發(fā)生在“括號(hào)”外部，則屬于縱坐標(biāo)的變換

例如：y=/(3x+l)：可判斷出屬于橫坐標(biāo)的變換：有放縮與平移兩個(gè)步驟

y=/(_%)+2：可判斷出橫縱坐標(biāo)均需變換，其中橫坐標(biāo)的為對(duì)稱變換，縱坐標(biāo)的為平移變換

(2)多個(gè)步驟的順序問題：在判斷了需要幾步變換以及屬于橫坐標(biāo)還是縱坐標(biāo)的變換后，在安排順序時(shí)注

意以下原則：

①橫坐標(biāo)的變換與縱坐標(biāo)的變換互不影響，無先后要求

②橫坐標(biāo)的多次變換中，每次變換只有x發(fā)生相應(yīng)變化

例如：y=-y=/(2x+l)可有兩種方案

方案一：先平移(向左平移1個(gè)單位)，此時(shí)/(X+1).再放縮(橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模?，

此時(shí)系數(shù)2只是添給X,即/(x+l)f/(2x+l)

方案二：先放縮(橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模?，此時(shí)/(2力，再平移時(shí)，若平移a個(gè)單位，則

/(2x).—(2(x+a))=/(2x+2a)(只對(duì)x加a),可解得a=；,故向左平移;個(gè)單位

③縱坐標(biāo)的多次變換中，每次變換將解析式看做一個(gè)整體進(jìn)行

例如：y=/(x)-y=2/(x)+l有兩種方案

方案一：先放縮：y=.y=2/(x),再平移時(shí)，將解析式看做一個(gè)整體，整體加1,即

y=2/(x)fy=(2/(力)+1

方案二：先平移：y=/(x)fy=/(x)+l,則再放縮時(shí)，若縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍，那么

y=/(x)+lfy=a(/(x)+l),無論a取何值，也無法達(dá)到y(tǒng)=2/(x)+l,所以需要對(duì)前一步進(jìn)行調(diào)

整：平移1個(gè)單位，再進(jìn)行放縮即可(a=2)

2

3、變換作圖的技巧：

(1)圖象變換時(shí)可抓住對(duì)稱軸，零點(diǎn)，漸近線.在某一方向上他們會(huì)隨著平移而進(jìn)行相同方向的移動(dòng).先

把握住這些關(guān)鍵要素的位置，有助于提高圖象的精確性

(2)圖象變換后要將一些關(guān)鍵點(diǎn)標(biāo)出：如邊界點(diǎn)，新的零點(diǎn)與極值點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)等

V.舉一反三?觸類旁通

考向1由式定圖

【例1】【2018江西省級(jí)聯(lián)考】函數(shù)/(切=/2-2/的圖象大致為()

【答案】A

【解析】=當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=ex2-2x_4x=2x(e%2-2)=0=>x=y/ln2G(0.1),

八啊)=2-2e2>0,所以當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>0,且只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以舍去B,C,D,選A.

【例2】【2018廣西柳州上學(xué)期摸底測(cè)試】函數(shù)/(x)=(l+cosx)sinr在卜肛句上的圖象的大致形狀

是()

【答案】A

【解析】?.?/(一%)=[1+3(-乂)"皿一引=-(1+3引5沁=-I7'(切，二/'(》)為奇函數(shù)，故圖象

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除C,當(dāng)x=f時(shí)，E￡=L故排除D,當(dāng)x=?時(shí),

>1,故排除B,故選A

l-ex

/(x)=--------COSX

【解析】試題分析：分析函數(shù)的奇偶性，代入特殊值計(jì)算結(jié)果，排除錯(cuò)誤答案，可得結(jié)論.

/(-%)=----------cos(-x)=--------COSX=一f(%)

試題解析：1+e-*1+e*，二曲數(shù)f(x)為奇函數(shù)，排除B,D.令x=l,

1-e7Ttn\

/(I)=-------cos1<0x=—f[—\=0

1+e，令2,則/匕)，故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象，由于函數(shù)非基本初等函數(shù)，故用排除法，是解答的最

佳選擇，需要判定函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性或者取值，屬于基礎(chǔ)題.學(xué)科~網(wǎng)

【例4】【2018廣西模擬】定義運(yùn)算a?h=，則函數(shù)/(x)=l?2”的圖象是()

ABCD

【答案】A

7(v-<n

【解析】〃x)=l十2、={'-，故選A.

''l,x>0

【跟蹤練習(xí)】

1.12018河南豫南九校二模】函數(shù)/(%)=粵區(qū)的大致圖象是()

【答案】C

log,x.

log」x|_X

【解析】/(x)=為奇函數(shù),排除B；在(0,+8)上，當(dāng)0<x<l

XM^,x<0

X

時(shí),〃x)<0,排除A；xT+oo時(shí),/(x)-?0,排除D,故選C

2.12018廣東珠海六校一聯(lián)】函數(shù)y=的圖象大致是()

【答案】D

【解析】試題分析：從題設(shè)中提供的解析式中可以看出XH0±1,且當(dāng)x>0時(shí)，y=xlnx,由于

y=l+lnx，故函數(shù)N=xlnx在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減；在區(qū)間(」,+3)單調(diào)遞增.由函數(shù)圖象的對(duì)稱性可

ee

知應(yīng)選D.

/(%)=-----

3.12018廣西桂林模擬】函數(shù)1--的圖象大致是(

【答案】B

【解析】由條件知f(x)=-r(-x),函數(shù)為奇函數(shù)，有定義域得X*±1,排除C；當(dāng)X趨向于1+時(shí)，f(r)

趨向于-8.當(dāng)x趨向于「時(shí)，f(x)趨向于+8.排除D；當(dāng)x趨向于+8時(shí)，f(x)趨向于0-.故答案為B.

4.12018河南鄭州一中零模】設(shè)曲線/(x)=J/〃2+icosx(meR)上任一點(diǎn)(x,y)處切線斜率為

g(無)，則函數(shù)y=fg(x)的部分圖象要以為()

yyyy

O\xOX

【答案】D

【解析】因?yàn)?(x)=Vm2+lcosx,所以g(x)=-Vm2+lsinx,則

F(x)^y=x2g(x)=-Vm2+lx2sinr,易知產(chǎn)(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除選項(xiàng)B、C,

7tVm-+l故排除選項(xiàng)人：故選D.學(xué)科￥網(wǎng)

又因?yàn)槭?兀)=0,=<Q

4

考向2圖象與函數(shù)零點(diǎn)、方程的根以及函數(shù)圖象的交點(diǎn)相結(jié)合

71

『『『X6[0,-1

【例5】【2018吉林長春一?！恳阎x在R上的奇函數(shù)/(x)滿足f(x+乃)=/(-》)，當(dāng)2」時(shí),

37r

r-----3TT1

/(>)=口，則函數(shù)9(乃=(*-工)/'0)-1在區(qū)間21上所有零點(diǎn)之和為()

A.兀B.27rC.3兀D.軌

【答案】D

=>/(x)=—^―

【解析】/(x+Q=f(-x)=-/W=>7,=2K,5(X)=[X-7r)/(x)-1=0無-無，作圖如下：

四個(gè)交點(diǎn)分別關(guān)于(兀，°)對(duì)稱，所以零點(diǎn)之和為2x2兀=%，選D.

【名師點(diǎn)睛】對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、

草圖確定其中參數(shù)范圍.從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)

的奇偶性：從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等.

,.—+2JC+2,x＜0

【例6】【2018河南鄭州一中零模】設(shè)函數(shù)/(x)={2,若關(guān)于x的方程/(x)=a有

|log2x|,x＞0

四個(gè)不同的解玉,9，芻，匕，且玉＜X2＜七＜七，則士也+/-的取值范圍是()

A.(—3,+oo)B.(―oo,3)C.[—3,3)D.(—3,3]

【答案】D

【解析】作出函數(shù)和"力=。的圖象(如圖所示"若關(guān)于%的方程有四個(gè)不同的解

再毛且再《與＜演〈七，貝1」再+電=7：Tog?X3=log2W=4且0＜。42,即

再+電=-4,瑪=工，fil＜x4＜4,則忙迤+」—=x「三在區(qū)間(L4]上單調(diào)遞增，貝J

x4x4X3X4x4

-3<X4-—<3,即土馬+」的取值范圍為(一3,3]；故選D.

x4x4x3)

【名師點(diǎn)睛】在處理函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題時(shí)，往往轉(zhuǎn)化為判定兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，一般利

用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行處理；本題的難點(diǎn)在于判定四個(gè)解的關(guān)系及％的取值范圍.

3

4-8|x——|,1工工工2

f(.x)=1x

,2'勺）'x>2,則函數(shù)9（x）=xf（x）_6在

【例7】【2018四川成都七中三?！慷x函數(shù)

區(qū)間口，2“](neN")內(nèi)所有零點(diǎn)的和為()

|(20-1)j(2n-l)

A.nB.2nc.4D.2

【答案】D

【解析】宋體分析：將函數(shù)g(x)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù))?=f。)和函數(shù)y圖象交點(diǎn)的問題處理，利

用數(shù)形結(jié)合的方法求解，在同一坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)的圖象.結(jié)合圖象得到兩函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，最后轉(zhuǎn)

化為等比數(shù)列求和的問題解決.

f(x)=-

試題解析：由g(x)=xf(x)-6=0得X,

6

V=-

故函數(shù)9(x)的零點(diǎn)即為函數(shù)y=八乃和函數(shù)無圖象交點(diǎn)的橫座標(biāo).

由“刈=/5)可得，函數(shù)y=/(x)是以區(qū)間(2"「2")為一段，其圖象為在水平方向上伸長為原來的2

1

倍，同時(shí)在豎方向上縮短為原來的2.從而先作出函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1，2]上的圖象，再依次作出在

[2,4],[4,8],…，[2”1,2口上的圖象(如圖).

V=—

然后再作出函數(shù)X的圖象，結(jié)合圖象可得兩圖象的交點(diǎn)在函數(shù)y=/(x)的極大值的位置，由此可得函

_2"-1+2"_32”

數(shù)g(x)在區(qū)間(2"1,2")上的零點(diǎn)為/24',故所有零點(diǎn)之和為

32(1-2，3(2n-l)

Sn=-------