2023年高考數(shù)學(xué)必背知識手冊第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì)（公式、定理、結(jié)論圖表）

2023年高考數(shù)學(xué)必背知識手冊(新教材)第三章函數(shù)的概

念與性質(zhì)(公式、定理、結(jié)論圖表)

匚思維導(dǎo)圖

函數(shù)

函數(shù)的現(xiàn)實背景一|函數(shù)的概念與表示一函數(shù)的基本性質(zhì)

嘉函數(shù)

函數(shù)的應(yīng)用

一知識梳理

1.函數(shù)的概念

一般地，設(shè)46是非空的實數(shù)集,如果對于集合4中的任意一個數(shù)x按照某種

定義確定的對應(yīng)關(guān)系手，在集合6中都有唯一確定的數(shù)v和它對應(yīng),那么就稱￡

/f6為從集合A到集合8的一個函數(shù)

二對應(yīng)關(guān)系y=f{x),x^A

要定義域自變量X的取值范圍

素值域與X的值相對應(yīng)的v的函數(shù)值的集合｛/'(x)

思考1：(1)有人認(rèn)為“y=f(x)”表示的是“y等于F與x的乘積”，這種看法對嗎？

(2)f(x)與f(a)有何區(qū)別與聯(lián)系？

提示：(1)這種看法不對.

符號尸f(x)是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，應(yīng)理解為x是自變量，它是關(guān)系所施加的對象；/1是對

應(yīng)關(guān)系，它可以是一個或幾個解析式，可以是圖象、表格，也可以是文字描述；y是自變量的函數(shù)，當(dāng)“

允許取某一具體值時，相應(yīng)的y值為與該自變量值對應(yīng)的函數(shù)值.y=f(x)僅僅是函數(shù)符號，不表示“y等

于/■與X的乘積”.在研究函數(shù)時，除用符號/'(X)外，還常用g(x),尸(x),C(x)等來表示函數(shù).

(2)F(x)與f(a)的區(qū)別與聯(lián)系：f(a)表示當(dāng)x=a時，函數(shù)f(x)的值，是一個常量，而f(x)是自變量

x的函數(shù)，一般情況下，它是一個變量，f(a)是f(*)的一個特殊值，如一次函數(shù)f(x)=3x+4,當(dāng)x=8

時,f(8)=3X8+4=28是一個常數(shù).

2.區(qū)間及有關(guān)概念

(1)一般區(qū)間的表示

設(shè)a,6eR,且a<6,規(guī)定如下:

定義名稱符號數(shù)軸表示

{x\閉區(qū)間一,一

｛x水水力｝開區(qū)間(a,6)

{x|aWK6}半開半閉區(qū)間[a,6)-4-----

ab

水半開半閉區(qū)間(a,-l---------

{x\b\ab

(2)特殊區(qū)間的表示

定義R{x\x'd}{x\x>a\{x\x^a}{x\x<a}

(一8，+8)(a,+0°)

符號la,+0°)(-8,目(—8,a)

思考2：(1)區(qū)間是數(shù)集的另一彳沖表示方法，那么任何數(shù)集都能用區(qū)間表示嗎？

(2)“8”是數(shù)嗎？如何正確使用“8”？

提示：(1)不是任何數(shù)集都能用區(qū)間表示，如集合｛0｝就不能用區(qū)間表示.

(2)“8”讀作“無窮大”，是一個符號，不是數(shù).以“一8”或“+8”作為區(qū)間一端時，這一端

必須是小括號.

3.函數(shù)的表示法

就是用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變

量之間的對應(yīng)關(guān)系

就是用醛表示兩個變量之間

T的對應(yīng)關(guān)系

就是列出都來表示兩個變量

之間的對應(yīng)關(guān)系

思考：任何一個函數(shù)都可以用解析法、列表法、圖表法三種形式表示嗎？

提示：不一定.

并不是所有的函數(shù)都可以用解析式表示，不僅如此，圖象法也不適用于所有函數(shù)，如〃(x)=

0,xWQ,

「八列表法雖在理論上適用于所有函數(shù)，但對于自變量有無數(shù)個取值的情況，列表法只能表示

[1，

函數(shù)的一個概況或片段.

4.分段函數(shù)

如果函數(shù)尸Mx),根據(jù)自變量x在1中不同的取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，則稱這樣的

函數(shù)為分段函數(shù).

思考：分段函數(shù)是一個函數(shù)還是幾個函數(shù)？

提示：分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù).

5.增函數(shù)與減函數(shù)的定義

一般地，設(shè)函數(shù)/1(")的定義域為/,區(qū)間//：如果V為，X/RD,當(dāng)小〈及時

條件

都有/UiXHxz)都有flxAKx。

那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間〃上是

結(jié)論那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間，上是增函數(shù)

減函數(shù)

r

制”觸

圖示

0覆?2X1*1?2X

思考1:增(減)函數(shù)定義中的小，用有什么特征？

提示：定義中的汨，*2有以下3個特征：

(1)任意性，即“任意取用，論”中“任意”二字絕不能去掉，證明時不能以特殊代替一般；

(2)有大小，通常規(guī)定為〈物

(3)屬于同一個單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)尸Hx)在區(qū)間〃上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)

單調(diào)性，區(qū)間〃叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

思考2：函數(shù)尸：在定義域上是減函數(shù)嗎？

提示：不是.尸;在(一8,0)上遞減，在(0,十8)上也遞減，但不能說尸;在(一8,0)(J(0,+

8)上遞減.

6.函數(shù)最大值與最小值

最大值最小值

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為1,如果存在實數(shù)也滿足：WxRI,都有

條件其力三Mf(x)三M

SAOGZ,假習(xí)得(照)="

結(jié)論材是函數(shù)y=f{x)的最大值必是函數(shù)y=f{x)的最小值

幾何意

f(x)圖象上最高點的縱坐標(biāo)F(x)圖象上最低點的縱坐標(biāo)

義

思考：若函數(shù)f(x)WM,則■定是函數(shù)的最大值嗎？

提示：不一定，只有定義域內(nèi)存在一點揚，使『(%)=材時，材才是函數(shù)的最大值，否則不是.

7.函數(shù)的奇偶性

奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)

條件設(shè)函數(shù)/Xx)的定義域為/,如果Vxe/,都有一xw/

結(jié)論F(—x)=F(x)F(—x)=—f(x)

圖象特點關(guān)于y軸對稱關(guān)于原點對稱

思考：具有奇偶性的函數(shù)，其定義域有何特點？

提示：定義域關(guān)于原點對稱.

8.基函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)尸x"叫做幕函數(shù),其中工是自變量，上是常數(shù).

9.幕函數(shù)的圖象

在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出幕函數(shù)尸x,y=V,尸-y=而，尸的圖象如圖所示:

10.暴函數(shù)的性質(zhì)

31—1

y=xy=x尸X尸危尸X

定義域RRR[0,+8)-0}

值域R[0,+°°)R[0,+8){引/0}

奇偶性奇偶僉非奇非偶直

A-G[0,+°0)矛￡(0,+8)

時，增函數(shù)時，減函數(shù)

單調(diào)性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)

XC(-8,00矛￡(-8,0)

時，減函數(shù)時，減函數(shù)

11.常見的幾類函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f(x)=ax+b{a,6為常數(shù)，a*0)

二次函數(shù)模型f(x)=ax+bx+c(a,b,c為常數(shù)，aWO)

"(X),XGD\

￡(x),xGDz

分段函數(shù)模型f{x)=<

,X^Dn

(解題方法與技巧》

1.判斷對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的2個條件

(1)46必須是非空實數(shù)集.

(2)/中任意一元素在8中有且只有一個元素與之對應(yīng).

對應(yīng)關(guān)系是“一對一”或“多對一”的是函數(shù)關(guān)系，“一對多”的不是函數(shù)關(guān)系.

2.判斷函數(shù)相等的方法

(1)先看定義域，若定義域不同，則不相等；

(2)若定義域相同，再化簡函數(shù)的解析式，看對應(yīng)關(guān)系是否相同.

典例1：(1)下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是()

①/1(*)=.一2*3與以才)=4/一2x；

②/'(x)=*與g(x)；

③/'(x)與g(x)=A:

④/'(x)—2%—1與g(￡)=i2—2t—1.

A.①<2)B.①③

C.③④D.①④

(2)判斷下列對應(yīng)是不是從集合A到集合8的函數(shù).

①6=N*,對應(yīng)法則6對集合/!中的元素取絕對值與6中元素對應(yīng)；

②4={-1,1,2,—2},8={1,4},對應(yīng)法則f：x&A,yG&

③/={-1,1,2,-2),8={1,2,4},對應(yīng)法則fx^y=x,x&A,y《B；

④/f={三角形},6={才|*>0},對應(yīng)法則￡對力中元素求面積與6中元素對應(yīng).

(DC[①f(x)—yl-2x—|*卬-2x與g(x)="-2x的對應(yīng)法則和值域不同,故不是同一函數(shù).

②g(x)=d，=|x|與F(x)=x的對應(yīng)法則和值域不同，故不是同一函數(shù).

③F(x)=x與g(x)=}都可化為y=l且定義域是{MxWO),故是同一函數(shù).

④/'(才)=/一2》-1與式/)=干一21一1的定義域都是R,對應(yīng)法則也相同，而與用什么字母表示無

關(guān)，故是同一函數(shù).

由上可知是同一函數(shù)的是③④.

故選CJ

(2)［解］①對于"中的元素0,在f的作用下得0,但0不屬于8,即力中的元素0在6中沒有元素

與之對應(yīng)，所以不是函數(shù).

②對于4中的元素士1,在/?的作用下與6中的1對應(yīng)，4中的元素±2,在f的作用下與6中的4對

應(yīng)，所以滿足力中的任一元素與8中唯一元素對應(yīng)，是“多對一”的對應(yīng)，故是函數(shù).

③對于/中的任一元素，在對應(yīng)關(guān)系/?的作用下，8中都有唯一的元素與之對應(yīng)，如±1對應(yīng)1,±2

對應(yīng)4,所以是函數(shù).

④集合/不是數(shù)集，故不是函數(shù).］

3.函數(shù)求值的方法

(1)己知/(x)的表達式時，只需用a替換表達式中的x即得?a)的值.

(2)求/(4a))的值應(yīng)遵循由里往外的原則.

典例2：設(shè)/"(x)=2/+2,g(x)=+，

⑴求/1⑵,f(a+3),g(a)+g(0)(ar—2),g(F(2)).

⑵求g"(力).

［思路點撥］(1)直接把變量的取值代入相應(yīng)函數(shù)解析式，求值即可；

(2)把f(x)直接代入式力中便可得到屋/Xx)).

［解］(1)因為f(x)=2*2+2,

所以/■⑵=2X22+2=10,

F(a+3)—2(a+3)'+2=2a1!+12a+20.因為g(x)=丫+°，

所以g(a)+g(0)=-+g(a#—2).

⑵)=g(10)-IO+2-T2'

(2)g(f(x))=.?+2=2f+2+2=2f+4,

4.求函數(shù)定義域的常用方法

(1)若以”)是分式，則應(yīng)考慮使分母不為零.

(2)若nx)是偶次根式，則被開方數(shù)大于或等于零.

(3)若?x)是指數(shù)基，則函數(shù)的定義域是使基運算有意義的實數(shù)集合.

(4)若4x)是由幾個式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是幾個部分定義域的交集.

(5)若4x)是實際問題的解析式，則應(yīng)符合實際問題，使實際問題有意義.

典例3：

1.已知函數(shù)的解析式，求其定義域時，能否可以對其先化簡再求定義域？

Y-\-1

提示：不可以.如《)==.倘若先化簡，則4)=有，從而定義域與原函數(shù)不等價.

2.若函數(shù)y=F(x+D的定義域是［1,2］,這里的“［1,2］”是指誰的取值范圍？函數(shù)y=f(x)的定義

域是什么？

提示：［1,2］是自變量x的取值范圍.

函數(shù)尸f(x)的定義域是x+1的范圍⑵3］.

5.分段函數(shù)求函數(shù)值的方法：

(1)確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間.

(2)代入該段的解析式求值，直到求出值為止.當(dāng)出現(xiàn)/?(/?(旅))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

6..已知函數(shù)值求字母取值的步驟：

(1)先對字母的取值范圍分類討論.

(2)然后代入不同的解析式中.

(3)通過解方程求出字母的值.

(4)檢驗所求的值是否在所討論的區(qū)間內(nèi).

提醒：求某條件下自變量的值時，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后相應(yīng)求出自變

量的值，切記代入檢驗.

典例4：求下列函數(shù)的定義域：

(l)F(x)=2+—^；

x—2

(2)f(x)=a—1)

⑶/'(x)=yj3—x?

(4)f(禽小-x.

x十17

［思路點撥］要求函數(shù)的定義域，只需分母不為0,偶次方根中被開方數(shù)大于等于0即可.

［解］⑴當(dāng)且僅當(dāng)“一2努0,即止2時，

函數(shù)/'00=2+—5有意義,

X—2

所以這個函數(shù)的定義域為{x|xW2}.

"x—iro,

(2)函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)

AI1

、x+lW0,

解得X>—1且#1,

所以這個函數(shù)的定義域為{x|x>—1且丘1}.

3—x20,

(3)函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)解得1W啟3,

[矛一120,

所以這個函數(shù)的定義域為bd1W啟3}.

x+l#O,

⑷要使函數(shù)有意義，自變量X的取值必須滿足解得xWl且正一1,

[l-x2O,

即函數(shù)定義域為3運1且任一1}.

*+1,—2,

已知函數(shù)/〃)=，/+2x,-2<X2,

.2x_1,x>2.

⑴求/X-5),f(一小),/(d一I))的值;

(2)若f(a)=3,求實數(shù)a的值.

5

［解］(1)由一5￡(—8,—2］,一mW(―2,2),一］￡(—8,—2］,知f(—5)=—5+1=—4,

f(一乖)—(一季)一+2乂(一4)=3—24.

5\53

1

=--+-

2/22

,3

而_2＜一萬＜2,

+2x3=

???代3卜小洞圄H=r4

⑵當(dāng)aW—2時，a+l=3,

即。=2>—2,不合題意，舍去.

當(dāng)一2〈水2時，a?+2a=3,

即a+2a-3=0.

(a—1)(a+3)=0,

解得a=l或a=-3.

1G(—2,2),—34(—2,2),

a—1符合題意.

當(dāng)a22時，2a-l=3,即a=2符合題意.

綜上可得，當(dāng)f(a)=3時，a=l或8=2.

7.利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟

⑴取值：設(shè)%,X2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且為<及.

(2)作差變形：作差?汨)一汽功，并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的

式子.

(3)定號：確定4%)-/<>)的符號.

(4)結(jié)論：根據(jù)/(小)一/(對的符號及定義判斷單調(diào)性.

提醒：作差變形是證明單調(diào)性的關(guān)鍵，且變形的結(jié)果是幾個因式乘積的形式.

典例5：證明函數(shù)Ax)=x+：在(0,1)上是減函數(shù).

［思路點撥］|設(shè)元0<水及<1］—>作差：?劉)一/Q)

變形結(jié)論

----?判號：及)-----減函數(shù)

［證明］設(shè)X1,用是區(qū)間(0,1)上的任意兩個實數(shù)，且XI〈如則/'(汨)一/■(%)=(Xi+J—(x2+j=

尼―X11)(X1—質(zhì))(-1+xi%)

(小一及)+=(X1-X2)(%1—A2)1)

X\X2X\X2X\X2

???()—

A%i—^2<0,0<XiX2〈l,則一1+小彳2<0,

?(X—M)(—1+XE)>0

即AAi)>f(x2),

.X\X2

??.F(x)=x+1在(0,1)上是減函數(shù).

X

8.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

(1)函數(shù)單調(diào)性定義的“雙向性”：利用定義可以判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性，反過來，若已知函數(shù)的單

調(diào)性可以確定函數(shù)中參數(shù)的取值范圍.

(2)若一個函數(shù)在區(qū)間切上是單調(diào)的，則此函數(shù)在這一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的任意子集上也是單調(diào)的.

典例6：(1)若函數(shù)〃>)=-V—2(a+l)x+3在區(qū)間(一8,3］上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是

(2)已知函數(shù)y=/(x)是(一8,+8)上的增函數(shù)，且/'(2x—3)>f(5x—6),則實數(shù)x的取值范圍為

數(shù)形結(jié)合

［思路點撥］(1)［分析“x)的對稱軸與區(qū)間的戲一>|建立關(guān)于a的不鈿一?|求a的范圍

f(x)在(一8,十8)上是增函數(shù)

⑵|儂—3)>?5［-6)|-------------------------------------->|建立關(guān)于淵不等式|——?|求x的范圍

(1)(—8,—4］(2)(—8,1)［(1)?.?F(x)=-V—2(a+l)x+3的開口向下，要使f(x)在(一8,

3］上是增函數(shù),

只需—只+1)［3,即aW—4.

?,?實數(shù)a的取值范圍為(一8,—4］.

(2)在(-8,+8)上是增函數(shù)，且f(2x-3)>f(5x-