2025年高考數(shù)學一輪復(fù)習（基礎(chǔ)版）課時精講第9章　§9.2　用樣本估計總體（原卷版）

第第頁§9.2用樣本估計總體課標要求1.會用統(tǒng)計圖表對總體進行估計，會求n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).2.能用數(shù)字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度．知識梳理1．百分位數(shù)一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值．2．平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)(1)平均數(shù)：eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．(2)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，處在最中間的一個數(shù)據(jù)(當數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)時)或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)(當數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)時)．(3)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)(即頻數(shù)最大值所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù))．3．方差和標準差(1)方差：s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2或eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\x\to(x)2.(2)標準差：s＝eq\r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2).4．總體方差和總體標準差(1)一般式：如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數(shù)為eq\x\to(Y)，則總體方差S2＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,N,)(Yi－eq\x\to(Y))2.(2)加權(quán)式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i＝1,2，…，k)，則總體方差為S2＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,k,f)i(Yi－eq\x\to(Y))2.常用結(jié)論1．若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為meq\x\to(x)＋a.2．數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變．3．若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)對一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近．()(2)方差與標準差具有相同的單位．()(3)如果一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變．()(4)在頻率分布直方圖中，可以用最高的小長方形底邊中點的橫坐標作為眾數(shù)的估計值．()2．在下列統(tǒng)計量中，用來描述一組數(shù)據(jù)離散程度的量是()A．平均數(shù)B．眾數(shù)C．百分位數(shù)D．標準差3．甲、乙、丙、丁四人參加射擊項目選拔賽，成績?nèi)缦?，則他們中參加奧運會的最佳人選是______．甲乙丙丁平均環(huán)數(shù)8.58.88.88方差3.53.52.18.74．有一組數(shù)據(jù)：－1，a，－2,3,4,2，它們的中位數(shù)是1，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是________．題型一樣本的數(shù)字特征的估計例1(1)(多選)某單位為了解該單位黨員開展學習黨史知識活動情況，隨機抽取了30名黨員，對他們一周的黨史學習時間進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下．則下列對該單位黨員一周學習黨史時間的敘述，正確的有()黨史學習時間(小時)7891011黨員人數(shù)48765A．眾數(shù)是8 B．第40百分位數(shù)為8C．平均數(shù)是9 D．中位數(shù)是9(2)(多選)有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則()A．x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)B．x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)C．x2，x3，x4，x5的標準差不小于x1，x2，…，x6的標準差D．x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差跟蹤訓練1(1)(多選)在某次演講比賽中，由兩個評委小組(分別為專業(yè)人士“小組A”和觀眾代表“小組B”)給參賽選手打分，根據(jù)兩個評委小組給同一名選手打分的分值繪制成如圖所示的折線圖，則下列結(jié)論正確的是()A．小組A打分的分值的平均數(shù)為48B．小組B打分的分值的中位數(shù)為66C．小組A打分的分值的極差大于小組B打分的分值的極差D．小組A打分的分值的方差小于小組B打分的分值的方差(2)某小組成員的年齡分布莖葉圖如圖所示，則該小組成員年齡的第25百分位數(shù)是________．題型二總體集中趨勢的估計例22024年，安徽、甘肅、廣西、貴州、黑龍江、吉林、江西七省區(qū)作為第四批實施改革的省份進入新高考.2023年10月，進入新高考的七個省份相繼公布了高考選考科目的試卷結(jié)構(gòu)．某考試機構(gòu)舉行了新高考適應(yīng)性考試，在聯(lián)考結(jié)束后，根據(jù)聯(lián)考成績，考生可了解自己的學習情況，作出升學規(guī)劃，決定是否參加強基計劃．在本次適應(yīng)性考試中，某學校為了解高三學生的聯(lián)考情況，隨機抽取了100名學生的聯(lián)考數(shù)學成績作為樣本，并按照分數(shù)段[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求出圖中a的值并估計本次考試的及格率(“及格率”指得分為90分及以上的學生所占比例)；(2)估計該校學生聯(lián)考數(shù)學成績的第80百分位數(shù)；(3)估計該校學生聯(lián)考數(shù)學成績的眾數(shù)、平均數(shù)．跟蹤訓練2某市共有居民60萬人，為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求a的值，并估計該市居民月均用水量不少于3噸的人數(shù)；(2)估計該市居民月均用水量的眾數(shù)和中位數(shù)．題型三總體離散程度的估計例3某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi(i＝1,2，…，10)．試驗結(jié)果如下：試驗序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi＝xi－yi(i＝1,2，…，10)，z1，z2，…，z10的樣本平均數(shù)為eq\x\to(z)，樣本方差為s2.(1)求eq\x\to(z)，s2；(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果eq\x\to(z)≥2eq\r(\f(s2,10))，則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高)．跟蹤訓練3某果園試種了A，B兩個品種的桃樹各10棵，并在桃樹成熟掛果后統(tǒng)計了這20棵桃樹的產(chǎn)量如下表，記A，B兩個品種各10棵產(chǎn)量的平均數(shù)分別為eq\x\to(x)和eq\x\to(y)，方差分別為seq\o\al(2,1)和seq\o\al(2,2).A(單位/kg)60504060708070305090B(單位/kg)40605080805060208070(1)分別求這兩個品種產(chǎn)量的極差和中位數(shù)；(2)求eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)；(3)果園要大面積種植這兩種桃樹中的一種，依據(jù)以上計算結(jié)果分析選種哪個品種更合適，并說明理由．課時精練一、單項選擇題1．某鞋店試銷一種新款女鞋，銷售情況如表：鞋號3435363738394041日銷量/雙259169532如果你是鞋店經(jīng)理，那么下列統(tǒng)計量中對你來說最重要的是()A．平均數(shù)B．眾數(shù)C．中位數(shù)D．極差2．某校高三年級一共有1200名同學參加數(shù)學測驗，已知所有學生成績的第80百分位數(shù)是103分，則數(shù)學成績不小于103分的人數(shù)至少為()A．220B．240C．250D．3003．為宣傳我國第三艘航空母艦“中國人民解放軍海軍福建艦”正式服役，增強學生的國防意識，某校組織1000名學生參加了“逐夢深藍，山河榮耀”國防知識競賽，從中隨機抽取20名學生的考試成績(單位：分)，成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是()A．頻率分布直方圖中a的值為0.004B．估計這20名學生考試成績的第60百分位數(shù)為75C．估計這20名學生數(shù)學考試成績的眾數(shù)為80D．估計總體中成績落在[60,70)內(nèi)的學生人數(shù)為1504．為調(diào)查某地區(qū)中學生每天睡眠時間，采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法，現(xiàn)抽取初中生800人，其每天睡眠時間的平均數(shù)為9小時，方差為1，抽取高中生1200人，其每天睡眠時間的平均數(shù)為8小時，方差為0.5，則估計該地區(qū)中學生每天睡眠時間的方差為()A．0.94B．0.96C．0.75D．0.785．在統(tǒng)計中，月度同比是指本月和上一年同月相比較的增長率，月度環(huán)比是指本月和上一個月相比較的增長率，如圖是2022年1月至2022年12月我國居民消費價格月度漲跌幅度統(tǒng)計圖，則以下說法錯誤的是()A．在這12個月中，我國居民消費價格月度同比數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2.1%B．在這12個月中，月度環(huán)比數(shù)據(jù)為正數(shù)的個數(shù)比月度環(huán)比數(shù)據(jù)為負數(shù)的個數(shù)多3C．在這12個月中，我國居民消費價格月度同比數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1.85%D．在這12個月中，我國居民消費價格月度環(huán)比數(shù)據(jù)的眾數(shù)為0.0%6．四名同學各擲骰子5次，分別記錄每次骰子向上的點數(shù)，根據(jù)四名同學的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是()A．平均數(shù)為2，方差為2.4B．中位數(shù)為3，方差為1.6C．中位數(shù)為3，眾數(shù)為2D．平均數(shù)為3，中位數(shù)為2二、多項選擇題7．根據(jù)氣象學上的標準，如果連續(xù)5天的日平均氣溫都低于10℃即為入冬．現(xiàn)將連續(xù)5天的日平均氣溫的記錄數(shù)據(jù)(記錄數(shù)據(jù)都是自然數(shù))作為一組樣本，則下列樣本中一定符合入冬指標的有()A．平均數(shù)小于4B．平均數(shù)小于4且極差小于或等于3C．平均數(shù)小于4且標準差小于或等于4D．眾數(shù)等于5且極差小于或等于48．已知數(shù)據(jù)x1，x2，…，x9成公差大于0的等差數(shù)列，若去掉數(shù)據(jù)x5，則()A．極差不變 B．第25百分位數(shù)變大C．平均數(shù)不變 D．方差變小三、填空題9．數(shù)據(jù)68,70,80,88,89,90,96,98的第75百分位數(shù)為________．10．若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標準差為3，則數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的標準差為________．11．某射擊運動員連續(xù)射擊5次，命中的環(huán)數(shù)(環(huán)數(shù)為整數(shù))形成一組數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為8，唯一的眾數(shù)為9，極差為3，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為________．12．已知一組樣本數(shù)據(jù)共有9個數(shù)，其平均數(shù)為8，方差為12.將這組樣本數(shù)據(jù)增加一個數(shù)據(jù)后，所得新的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9，則新的樣本數(shù)據(jù)的方差為________．四、解答題13．某校為了提高學生對體育運動的興趣，舉辦了一場體育知識答題比賽活動，共有1000名學生參加了此次答題活動．為