2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)版）課時(shí)精講第1章　§1.4　基本不等式（原卷版）

第第頁(yè)§1.4基本不等式課標(biāo)要求1.了解基本不等式的推導(dǎo)過(guò)程.2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題.知識(shí)梳理1.基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立.(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).2.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.注意：利用基本不等式求最值應(yīng)滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”.常用結(jié)論幾個(gè)重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R).(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號(hào)).(3)ab≤(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R).(4)eq\f(a2＋b2,2)≥(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R).以上不等式等號(hào)成立的條件均為a＝b.自主診斷1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)不等式ab≤(eq\f(a＋b,2))2與eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)等號(hào)成立的條件是相同的.()(2)y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2.()(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，則xy的最小值為4.()(4)函數(shù)y＝sinx＋eq\f(4,sinx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值為4.()2.若函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x>2)在x＝a處取最小值，則a等于()A.1＋eq\r(2) B.1＋eq\r(3)C.3 D.43.已知0<x<1，則x(1－x)的最大值為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,16)D.14.已知x>0，y>0，x＋y＝1，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值為_(kāi)_______.題型一基本不等式的理解及常見(jiàn)變形例1(1)若0<a<b，則下列不等式一定成立的是()A.b>eq\f(a＋b,2)>a>eq\r(ab)B.b>eq\r(ab)>eq\f(a＋b,2)>aC.b>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)>aD.b>a>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)跟蹤訓(xùn)練1(1)已知p：a>b>0，q：eq\f(a2＋b2,2)>(eq\f(a＋b,2))2，則p是q成立的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件(2)(多選)已知a，b∈R，則下列不等式成立的是()A.eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)B.eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))C.eq\f(2ab,a＋b)≤eq\f(a＋b,2)D.ab≤eq\f(a2＋b2,2)題型二利用基本不等式求最值命題點(diǎn)1直接法例2(1)(多選)下列代數(shù)式中最小值為2的是()A.x－eq\f(1,x)B.2x＋2－xC.x2＋eq\f(1,x2)D.eq\r(x2＋2)＋eq\f(1,\r(x2＋2))(2)已知x，y為正實(shí)數(shù)，且滿足4x＋3y＝12，則xy的最大值為_(kāi)_______.命題點(diǎn)2配湊法例3(1)已知a，b為正數(shù)，4a2＋b2＝7，則aeq\r(1＋b2)的最大值為()A.eq\r(7)B.eq\r(3)C.2eq\r(2)D.2(2)已知x>1，則eq\f(x2＋3,x－1)的最小值為()A.6B.8C.10D.12與基本不等式模型結(jié)構(gòu)相似的對(duì)勾函數(shù)模型如圖，對(duì)于函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(k,x)，k＞0，x∈[a，b]，[a，b]?(0，＋∞).(1)當(dāng)eq\r(k)∈[a，b]時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(k,x)≥2eq\r(k)，f(x)min＝f(eq\r(k))＝eq\r(k)＋eq\f(k,\r(k))＝2eq\r(k)；(2)當(dāng)eq\r(k)＜a時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(k,x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，f(x)min＝f(a)＝a＋eq\f(k,a)；(3)當(dāng)eq\r(k)＞b時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(k,x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，f(x)min＝f(b)＝b＋eq\f(k,b).因此，只有當(dāng)eq\r(k)∈[a，b]時(shí)，才能使用基本不等式求最值，而當(dāng)eq\r(k)?[a，b]時(shí)只能利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求最值.典例函數(shù)f(x)＝x2＋eq\f(3,x2＋2)的最小值是______.命題點(diǎn)3代換法例4(1)已知正數(shù)a，b滿足eq\f(8,b)＋eq\f(4,a)＝1，則8a＋b的最小值為()A.54B.56C.72D.81延伸探究已知正數(shù)a，b滿足8a＋4b＝ab，則8a＋b的最小值為_(kāi)_______.(2)已知正數(shù)a，b滿足a＋2b＝3恒成立，則eq\f(1,a＋1)＋eq\f(2,b)的最小值為()A.eq\f(3,2)B.eq\f(9,4)C.2D.3命題點(diǎn)4消元法例5已知正數(shù)a，b滿足a2－2ab＋4＝0，則b－eq\f(a,4)的最小值為()A.1B.eq\r(2)C.2D.2eq\r(2)命題點(diǎn)5構(gòu)造不等式法例6若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，則ab的最小值為()A.9B.6C.3D.12跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)下列四個(gè)函數(shù)中，最小值為2的是()A.y＝sinx＋eq\f(1,sinx)(0＜x≤eq\f(π,2))B.y＝2－x－eq\f(4,x)(x＜0)C.y＝eq\f(x2＋6,\r(x2＋5))D.y＝4x＋4－x(2)(多選)已知正實(shí)數(shù)a，b滿足ab＋a＋b＝8，下列說(shuō)法正確的是()A.ab的最大值為2B.a＋b的最小值為4C.a＋2b的最小值為6eq\r(2)－3D.eq\f(1,ab＋1)＋eq\f(1,b)的最小值為eq\f(1,2)

課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1.已知m>0，n>0，mn＝81，則m＋n的最小值是()A.9B.18C.9eq\r(3)D.272.已知a>0，b>0，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，則4a＋9b的最小值是()A.23B.26C.22D.253.若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是()A.2B.3C.4D.54.“?x∈(1,4]，不等式x2－mx＋m>0恒成立”的充分不必要條件是()A.m>4B.m<eq\f(16,3)C.m<4D.m<25.若x>0，y>0，x＋3y＝1，則eq\f(xy,3x＋y)的最大值為()A.eq\f(1,9)B.eq\f(1,12)C.eq\f(1,16)D.eq\f(1,20)二、多項(xiàng)選擇題6.已知x，y是正數(shù)，且x＋y＝2，則()A.x(x＋2y)的最大值為4B.log2x＋log2y的最大值為0C.2x＋2y的最小值為4D.eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)的最小值為eq\f(3,2)＋eq\r(2)7.若x，y滿足x2＋y2－xy＝1，則()A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1三、填空題8.若x<2，則