2024北京豐臺(tái)區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試題及答案

2024北京豐臺(tái)高一（下）期末數(shù)學(xué)2024.07第一部分（選擇題共40分）一．選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．設(shè)復(fù)數(shù)z=1+i，則|z|=（A）1（B）2C）2（D42)B，C(4,m)(mR)，2．已知點(diǎn)，若⊥，則m的值為12（A）-1（B）C）1（D3z(1+i)z=23．已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)z的共軛復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（C）第三象限（D）第四象限（A）第一象限B）第二象限4．一個(gè)盒子中裝有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，若從中任取2個(gè)球，則“恰有1個(gè)紅球”的概率是16131223（A）（B）C）（D）5．已知數(shù)據(jù)x，x，x，，xn的平均數(shù)為x，方差為s2，數(shù)據(jù)31?1，32?1，33?1，，1233n?121的平均數(shù)為，方差為，則下列結(jié)論中正確的是xs1（A）1=3x，s2=9s21（B）x=3x，s2=9s2?111（C）1=3x?1，s2=9s21（D）x=3x?1，s2=9s2?1116.在正方體ABCD－ABCD中，直線ACBC所成角的大小為1111111（A）30°（B45°（C60°（D）120°7.在△中，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)．記CA=a，CD=b，則CB=?a?b?a+2ba?2b（A）2（B）（C）a+2b（D）8.同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，記事件A=“點(diǎn)數(shù)之和為5B=“點(diǎn)數(shù)之積為6C“至少有一個(gè)點(diǎn)數(shù)為3D=“點(diǎn)數(shù)都不為（A）A為不可能事件（B）A與B相互獨(dú)立（D）C與D互為對(duì)立（C）B與D互斥9.已知直線，b與平面，，，下列說(shuō)法正確的是（A）若a∥，a⊥，則⊥（C）若⊥，⊥，則∥B）若a∥，a∥，則∥D）若，b⊥a，，則⊥第1頁(yè)/共頁(yè)10．八卦是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的一部分，八個(gè)方位分別象征天、地、風(fēng)、雷、水、火、山、澤八種自然現(xiàn)象.八卦模型如圖1所示，其平面圖形為正八邊形，如圖2所示，點(diǎn)O為該正八邊形的中心，設(shè)|OA=1，點(diǎn)P是正八邊形ABCDEFGH邊上任一點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是圖1圖2π①與的夾角為；4②|OA?OC=|DH|；22③在OD上的投影向量為?ee（其中為與OD2④PA+PB+PC+PD+PE+PF+PG+PH的取值范圍是+2216]．（A）1（B）2（C）3（D）4第二部分（非選擇題共110分）二．填空題共5小題，每小題5分，共25分。P()=0.3，P(B)=0.2，則設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)互斥事件，P(A.12.已知復(fù)數(shù)z和(z2都是純虛數(shù)，則+z=．13.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，，c.已知acosCc=7，則b=______.=csinA,那么C=________，若a=2，14.知一木制陀螺模型內(nèi)接于一表面積為16cm2的球，其中圓柱的兩個(gè)底面為球的兩個(gè)截面，圓錐的頂點(diǎn)在該球的球面上，若圓柱的高為2cm，則該圓柱的體積為_______，該陀螺的表面積為______.15.已知正方體ABCD－ABCDE，F(xiàn)，G分別為棱AB，AA，CD的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：1111111第2頁(yè)/共頁(yè)①直線FG與平面ACD1②直線B1D⊥平面EFG；3③若AB=1D到平面ACD1的距離為；3④該正方體的棱所在直線與平面EFG所成的角都相等.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________．三．解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。16.（本小題13分）a=0)，|b=2，且|a+b=3設(shè)平面向量.（Ⅰ）求ab的值；a（Ⅱ）判斷與是否平行，并說(shuō)明理由；b(a+b)(a+b)=12，求實(shí)數(shù)的值.（Ⅲ）若17.（本小題14分）某校為普及航天知識(shí)，在高一年級(jí)開展了航天知識(shí)競(jìng)賽.將成績(jī)（單位：分）分成6組，繪制成頻率分布直方圖，如圖所示：（Ⅰ）估計(jì)該校高一年級(jí)航天知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的第80百分位數(shù)；（Ⅱ）為了進(jìn)一步了解學(xué)生對(duì)航天知識(shí)的掌握情況，在成績(jī)位于70)和90)的兩組中，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取5名學(xué)生.（i）求這5名學(xué)生中位于90)內(nèi)的人數(shù)；（ii）若從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行訪談，求這2名學(xué)生中至少有1人成績(jī)?cè)?0)內(nèi)的概率.第3頁(yè)/共頁(yè)18.（本小題13分）如圖，在三棱錐P-ABC中，E，F(xiàn)分別是線段AB，BC的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：EF∥平面；（Ⅱ）過(guò)直線EF作平面，若平面與直線PC交于點(diǎn)G，直線PB∥平面.求證：G是線段PC的中點(diǎn).19.（本小題15分）在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角BC的對(duì)邊分別為ac．已知b2+c2+bc=a2.（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）將射線AB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90交線段BC于點(diǎn)E=1.（i）若b=3，求c；（ii）求△ABC面積的最小值.20.（本小題15分）如圖，在三棱柱ABC-ABC中，ABC=90o，AA=AB=1ABBA平面ABC.111111（Ⅰ）求證：AB⊥AC；11（Ⅱ）從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，當(dāng)直線A1C與平面ABC所成角為30o時(shí)，（?。┣笞C：平面ABCACCA；1（ⅱ）求二面角B-1C-A的正弦值.條件①：AC=AC；111條件②：A1=2.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.第4頁(yè)/共頁(yè)21.（本小題共15分）設(shè)n為正整數(shù)，集合Att==,,,,,,,,,,．對(duì)于集合A中的任意元素12=(xx,x)=(yy,,M)|xy|+|xy|+|．和，記12n121122（Ⅰ）當(dāng)n（Ⅱ）當(dāng)n==3時(shí)，若=,?,，=，求M)和M)的值；4時(shí)，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意元素，當(dāng)M)相同時(shí)，是奇數(shù)；當(dāng)不同時(shí)，M)是偶數(shù)．求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值；,,（Ⅲ）給定不小于2的nAn2個(gè)兩兩互不相同的元素+,n+2.12證明：存在ijijn2)+，使得M)1．,ij第5頁(yè)/共頁(yè)參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．題號(hào)答案12345678910CBDADCCBDA二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．π12．i13．；3．0.5314．6πcm3；(3+63)πcm215．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16.（本小題13分）a=，所以|a=1,因?yàn)閨a+b=3，|b=2ab)9,+2=22a2+2ab+b2=9，所以a+ab+b=,29所以1+2ab+4=9，所以ab=2.…………4分（Ⅱ）平行，理由如下：ab|a||b|122abcos=，==1，解法1：設(shè)與的夾角為因?yàn)棣衇，所以=a…………9分0，與b平行.解法2：因?yàn)閨a+b|a|+|b|a，當(dāng)且僅當(dāng)與共線時(shí)等號(hào)成立，b又因?yàn)閨a+b=3，|a|+|b=3a，所以與共線，即與平行.abbb=a，2（Ⅲ）由（Ⅱ）及已知條件得：因?yàn)樗运?a+b)(a+b)12，(a+2a)(a+2a)=+2)a2=+2)=12，=2.解法2：因?yàn)?a+b)(a+b)=12，所以a2+ab+ab+b2=12，因?yàn)閨a=1，|b=2，ab=2，++22+4=12，所以=2所以.…………分17.（本小題14分）0.005202+0.0075200.0220a200.0025201，+++=可得a0.01.=由頻率分布直方圖可知，分以下的所占比例為0.350.40.75，+=因此，80%分位數(shù)一定位于130)內(nèi).第6頁(yè)/共頁(yè)0.050.2由110+20=115，估計(jì)該校高一年級(jí)航天知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的80%分位數(shù)約為分.………………5分i）由題意70)與90)的頻率之比為2:3，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5名學(xué)生，則需在90)分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取人…………8分3.（ii）在70)分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取2人，分別記為，A1A，2在90)分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取3人，分別記為，，B.3B1B2=AAABABABABABABBBBBBB3，2從這5名學(xué)生中任取2人的樣本空間121112132122231213設(shè)“從這5名學(xué)生中任取2人，至少有1人成績(jī)?cè)?0)內(nèi)”為事件A，而事件A包含7個(gè)可能結(jié)果，即{AAABABABABABAB}，312111213212227()=所以PA，107故抽取的這2名學(xué)生至少有1人成績(jī)?cè)?0)內(nèi)的概率為……………14分.1018.（本小題13分）E，F(xiàn)分別是AB，的中點(diǎn)，所以EF∥AC.因?yàn)镋F平面，AC平面，所以EF∥平面.…………6分（Ⅱ）依題意知，平面∩平面PBC=FG,因?yàn)橹本€PB∥平面，PB?平面PBC，所以PB∥FG，因?yàn)镕是線段BC中點(diǎn)，所以G是線段PC.…………13分19.（本小題15分）b2+c2+bc=a2，由余弦定理得：A=b2+c2?a2bc12=?，因?yàn)锳為三角形內(nèi)角，所以A=.…………5分32π2πππi=和⊥，可知CAE=?=，3326因?yàn)閎=3，在△AEC中，由余弦定理得：CE2=AE2+b2?2AEbcosCAE第7頁(yè)/共頁(yè)3=1+3?213=1，2π所以CE=AE，所以CAE=C=，62ππ因?yàn)锳=，所以B=，所以c=b=3.…10分362π2πππ（ii）解法：由BAC=和ABAE，可知⊥CAE=?=，3326S=S+S，AEC因?yàn)锳BCAEB1112所以sinBAC=cAEsinBAE+bAEsinCAE，222πππ312=sin=sin+bsin=c+又因?yàn)?，所以，即bcb，32bc，23623121又bc=c+b2cb=2212433當(dāng)且僅當(dāng)c=b，即b=c=時(shí)，等號(hào)成立，38所以所以S，31183233=sin=，223223所以ABC的面積的最小值為.…………分32π2πππ解法2：由=和⊥，可知CAE=?=，3326因?yàn)?,=AEC=+B，所以sinAEC=cosB22π312因?yàn)?，所以sinCsin(=?B)=cosB?sinB,332b=在△AEC中，由正弦定理得：AEsin,sinsinC1B1所以b===,sinC31312B?sinB?B2221在△AEB中，c=,B第8頁(yè)/共頁(yè)1所以S=bcsinA213=2tanB(3?tanB)π因?yàn)锽(0)，所以tanB,3),,33233所以當(dāng)tanB=時(shí)，ABC的面積的最小值為.220.（本小題15分）ABC=90o，所以ABBC，因?yàn)槠矫鍭BBA⊥平面ABC，平面ABBA∩平面ABC=AB，BC?平面ABC，⊥1111所以BC⊥平面ABBA，11因?yàn)锳B?ABBA，111所以BC⊥AB1，因?yàn)槿庵鵄BC-ABC，所以四邊形ABBA是平行四邊形，11111因?yàn)锳AAB，所以ABBA是菱形，111所以AB⊥AB，11因?yàn)锳B∩BC=B，ABBC?平面ABC，111所以AB⊥ABC，11因?yàn)锳?ABCAB⊥AC.…………6分1111（Ⅱ）選條件①：（?。┮?yàn)锳C=AC，所以平行四邊形ACCA為矩形，所以AA⊥AC，11111由（Ⅰ）知，AA1⊥BC，因?yàn)锳C∩BC=C，BC，AC?平面ABC，所以AA1⊥ABC，因?yàn)锳A?ACCA，所以平面ACCA⊥平面ABC.………分11111（ⅱ）因?yàn)椤推矫鍭BC，ACABC=C，11所以直線AC與平面ABC所成的角為ACAACA=30o，111因?yàn)锳AAB=1，所以AC=2，AC=3，BC=2，AB=2111作BD⊥AC于D，因?yàn)槠矫鍭CCA⊥平面ABC，11第9頁(yè)/共頁(yè)平面ACCA∩平面ABC=AC，BD?平面ABC，11所以BD⊥平面ACCABD⊥AC.111作DE⊥A1C于E，連接BE，因?yàn)锽D∩DE=D，BD，DE?平面BDE，所以A1C⊥BDE，因?yàn)锽E?BDE，所以A1C⊥BE，所以是二面角B-AC-A的平面角.16因?yàn)锳CBDABBC，所以BD==，36ACBE=ABBCBE=1因?yàn)椋?，所以sin==，1136所以二面角B-A1C-A的正弦值為.…………15分3條件②：A=2AB，因?yàn)锳A=AB，所以2+AB2=A2，所以AAAB，11111由（Ⅰ）知，AA1⊥BC，因?yàn)锳B∩BC=B，BC，AB?平面ABC，所以AA1⊥ABC，以下同條件①.21.（本小題15分）==，所以M(11=+(?)(?)+)1100=2，M(=+(?)+=.)1001111…………4分（Ⅱ）設(shè)=,,,，=,,,，xxxxyyyy12341234，其中i令'=x'1x'2x'3x'4'=y'1y'2y'3y'4'|ii|i|(i=4)'則M=)M(''='+'+'+)xxxx，'4M)=M'')=x'y'+x'y'+x'y'+x'y'，41231122334xxxx,,,?,,，則101x'x'x'x'，12341234當(dāng)|x|y|=M)=M)=M'')，且(i4)時(shí)，ii由題意知，M)是奇數(shù)，M)(不同