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Mathematica教程第1章Mathematica概述第2章Mathematica基本量第3章Mathematica基本運算第4章Mathematica函數(shù)作圖第5章Mathematica微積分基本操作第6章Mathematica微分方程求解第7章Mathematica程序設計1第1頁第1章Mathematica概述1.運行和開啟介紹怎樣開啟Mathematica軟件，怎樣輸入并運行命令2.表示式輸入介紹怎樣使用表示式3.幫助使用怎樣在Mathematica中尋求幫助。2第2頁1.1.1Mathematica開啟和運行

Mathematica是美國Wolfram研究企業(yè)生產(chǎn)一個數(shù)學分析型軟件，以符號計算見長，也含有高精度數(shù)值計算功效和強大圖形功效。假設在Windows環(huán)境下已安裝好Mathematica4.0，開啟Windows后，在“開始”菜單“程序”中單擊，就開啟了Mathematica4.0，在屏幕上顯示如圖Notebook窗口，系統(tǒng)暫時取名Untitled-1，直到用戶保留時重新命名為止。3第3頁

輸入1+1，然后按下Shift+Enter鍵，這時系統(tǒng)開始計算并輸出計算結果，并給輸入和輸出附上次序標識In[1]和Out[1]，注意In[1]是計算后才出現(xiàn)；再輸入第二個表示式，要求系統(tǒng)將一個二項式展開，按Shift+Enter輸出計算結果后，系統(tǒng)分別將其標識為In[2]和Out[2]。如圖4第4頁5第5頁在MathematicaNotebook界面下，能夠用這種交互方式完成各種運算，如函數(shù)作圖，求極限、解方程等，也能夠用它編寫像C那樣結構化程序。在Mathematica系統(tǒng)中定義了許多功效強大函數(shù)，我們稱之為內(nèi)建函數(shù)（built-infunction）,直接調(diào)用這些函數(shù)能夠取到事半功倍效果。這些函數(shù)分為兩類：

(1)一類是數(shù)學意義上函數(shù)，如：絕對值函數(shù)Abs[x]，正弦函數(shù)Sin[x]，余弦函數(shù)Cos[x]，以e為底對數(shù)函數(shù)Log[x]，以a為底對數(shù)函數(shù)Log[a,x]等；

(2)第二類是命令意義上函數(shù)，如作函數(shù)圖形函數(shù)Plot[f[x],{x,xmin,xmax}]，解方程函數(shù)Solve[eqn,x]，求導函數(shù)D[f[x],x]等。6第6頁Mathematica嚴格區(qū)分大小寫。普通地，內(nèi)建函數(shù)首寫字母必須大寫，有時一個函數(shù)名是由幾個單詞組成，則每個單詞首寫字母也必須大寫，如：求局部極小值函數(shù)FindMinimum[f[x],{x,x0]等。第二點要注意是，在Mathematica中，函數(shù)名和自變量之間分隔符是用方括號“[]”，而不是普通數(shù)學書上用圓括號“（）”，初學者很輕易犯這類錯誤。必須注意是7第7頁假如輸入了不合語法規(guī)則表示式，系統(tǒng)會顯示犯錯信息，而且不給出計算結果。比如：要畫正弦函數(shù)在區(qū)間[-10，10]上圖形，輸入plot[Sin[x],{x,-10,10}]，則系統(tǒng)提醒“可能有拼寫錯誤，新符號‘plot’很像已經(jīng)存在符號‘Plot’”，實際上，系統(tǒng)作圖命令“Plot”第一個字母必須大寫，普通地，系統(tǒng)內(nèi)建函數(shù)首寫字母都要大寫。再輸入Plot[Sin[x],{x,-10,10}，系統(tǒng)又提醒缺乏右方括號，而且將不配正確括號用藍色顯示，如圖8第8頁9第9頁一個表示式只有準確無誤，方能得出正確結果。學會看系統(tǒng)犯錯信息能幫助我們較快找犯錯誤，提升工作效率。10第10頁1.1.2表示式輸入

Mathematica提供了各種輸入數(shù)學表示式方法。除了用鍵盤輸入外，還能夠使用工具欄或者快捷方式健入運算符、矩陣或數(shù)學表示式。

1．數(shù)學表示式二維格式輸入

11第11頁Mathematic擔提供了兩種格式數(shù)學表示式。形如x/(2+3x)+y*(x-w)稱為一維格式，形如稱為二維格式。你能夠使用快捷方式輸入二維格式，也可用基本輸入工具欄

輸入二維格式。12第12頁可從FILE菜單中激活Palettes->BasicInput

工具欄，也可輸入，

而且使用工具欄可輸入更復雜數(shù)學表示式。

如圖：2．特殊字符輸入13第13頁MathemMatica還提供了用以輸入各種特殊符號工具樣?；据斎牍ぞ邩影藨T用特殊字符（上圖），只要單擊這些字符按鈕即可輸入。若要輸入其它特殊字符或運算符號，必須使用從FILE

菜單中選取CompleteCharacters工具欄,

如圖：14第14頁1.2Mathematica聯(lián)機幫助系統(tǒng)

用Mathematica過程中，經(jīng)常需要了解一個命令詳細使用方法，或者想知系統(tǒng)中是否有完成某一計算命令，聯(lián)機幫助系統(tǒng)永遠是最詳細、最方便資料庫1．獲取函數(shù)和命令幫助：在Notebook界面下,用？或??可向系統(tǒng)查詢運算符、函數(shù)和命令定義和使用方法,獲取簡單而直接幫助信息。

比如,向系統(tǒng)查詢作圖函數(shù)Plot命令使用方法？Plot系統(tǒng)將給出調(diào)用Plot格式以及Plot命令功效(假如用兩個問號“??”，則信息會更詳細一些)。?Plot*給出全部以Plot這四個字母開頭命令2．Help菜單：任何時候都能夠經(jīng)過按F1鍵或點擊幫助菜單項HelpBrowser,調(diào)出幫助菜單,以下列圖所表示15第15頁16第16頁Built-inFunction內(nèi)建函數(shù)，按數(shù)值計算、代數(shù)計算、圖形和編程分類存放Add-ons

有程序包（StandardPackages）MathLinkLibrary等內(nèi)容TheMathematicaBook完整Mathematica使用手冊GettingStarted/Demos初學者入門指南和各種演示OtherInformation菜單命令快捷鍵，二維輸入格式等MasterIndex按字母命令給出命令、函數(shù)和選項索引表其中各按鈕用途以下表所表示

17第17頁假如要查找Mathematica中含有某個功效函數(shù)，能夠經(jīng)過幫助菜單中Mahematica使用手冊，經(jīng)過其目錄索引能夠快速定位到自己要找?guī)椭畔?。比如：需要查找Mathematica中相關解方程命令，單擊“TheMathematicaBook”按鈕，再單擊“Contents”，在目錄中找到相關解方程節(jié)次，點擊對應超鏈接，相關內(nèi)容詳細說明就馬上調(diào)出來了。假如知道詳細函數(shù)名，但不知其詳細使用說明，能夠在命令按鈕Goto右邊文本框中鍵入函數(shù)名，按回車鍵后就顯示相關函數(shù)定義、例題和相關聯(lián)章節(jié)。比如，要查找函數(shù)Plot使用方法，只要在文本框中鍵入Plot，按回車鍵后顯示如圖窗口，18第18頁19第19頁再按回車鍵，則顯示Plot函數(shù)詳細使用方法和例題。假如已經(jīng)確知Mathematica中有含有某個功效函數(shù)，但不知詳細函數(shù)名，能夠點擊Built-inFunctions按鈕，再按功效分類從粗到細一步一步找到詳細函數(shù)，比如，要找畫一元函數(shù)圖形函數(shù)，點擊Built-inFunctions->GraphicsandSound->2DPlots->Plot，找到Plot幫助信息。

假如知道詳細函數(shù)名，但不知其詳細使用說明，能夠在命令按鈕Goto右邊文本框中鍵入函數(shù)名，按回車鍵后就顯示相關函數(shù)定義、例題和相關聯(lián)章節(jié)。比如，要查找函數(shù)Plot使用方法，只要在文本框中鍵入Plot，按回車鍵后顯示如圖1-5窗口，再按回車鍵，則顯示Plot函數(shù)詳細使用方法和例題。假如已經(jīng)確知Mathematica中有含有某個功效函數(shù)，但不知詳細函數(shù)名，能夠點擊Built-inFunctions按鈕，再按功效分類從粗到細一步一步找到詳細函數(shù)，比如，要找畫一元函數(shù)圖形函數(shù)，點擊Built-inFunctions->GraphicsandSound->2DPlots->Plot，找到Plot幫助信息。20第20頁21第21頁第2章Mathematica基本量1.數(shù)據(jù)類型和常量mathematica中數(shù)據(jù)類型和基本常量2.變量變量定義，變量替換，變量去除等3.函數(shù)函數(shù)概念，系統(tǒng)函數(shù)，自定義函數(shù)方法4.表表創(chuàng)建，表元素操作，表應用5.表示式表示式操作6.慣用符號經(jīng)常使用一些符號意義22第22頁2.1數(shù)據(jù)類型和常數(shù)

1數(shù)值類型在Mathematic中，基本數(shù)值類型有四種：整數(shù)，有理數(shù)、實數(shù)和復數(shù)。假如你計算機內(nèi)存足夠大，Mathemateic能夠表示任意長度準確實數(shù)，而不受所用計算機字長影響。整數(shù)與整數(shù)計算結果仍是準確整數(shù)或是有理數(shù)。比如：2100次方是一個31位整數(shù)：

ln[1]:=2^100Out[1]=126765060022822822940149670320537623第23頁

在Mathematica中允許使用分數(shù)，也就是用有理數(shù)表示化簡過分數(shù)。當兩個整數(shù)相除而又不能整除時，系統(tǒng)就用有理數(shù)來表示，即有理數(shù)是由兩個整數(shù)比來組成如：

In[2]:=12345/5555Out[2]=2469/1111

實數(shù)是用浮點數(shù)表示，Mathematica實數(shù)有效位可取任意位數(shù)，是一個含有任意準確度近似實數(shù)，當然在計算時候也能夠控制實數(shù)精度。實數(shù)有兩種表示方法：一個是小數(shù)點另外一個是用指數(shù)方法表示。如：

24第24頁ln[3]:=0.239998Out[3]=0.23998ln[4]:=0.12*10^11Out[4]=0.12*10^11

實數(shù)也能夠與整數(shù)，有理數(shù)進行混合運算結果還是一個實數(shù)。

復數(shù)是由實部和虛部組成。實部和虛部能夠用整數(shù)，實數(shù)，有理數(shù)表示。在Mathematica中，用I表示虛數(shù)單位如：

In[6]:=3+0.7IOut[6]:=3+0.7I25第25頁2.不一樣類型數(shù)轉換

在Mathematica不一樣應用中，通常對數(shù)字類型要求是不一樣。比如在公式推導中數(shù)字慣用整數(shù)或有理數(shù)表示，而在數(shù)值計算中數(shù)字慣用實數(shù)表示。在普通情況下在輸出行Out[n]中，系統(tǒng)依據(jù)輸入行l(wèi)n[n]數(shù)字類型對計算結果做出對應處理。假如有一些特殊要求，就要進行數(shù)據(jù)類型轉換。在Mathematica中提供以下幾個函數(shù)到達轉換目標：26第26頁N[x]將x轉換成實數(shù)

N[x,n]將x轉換成近似實數(shù)，精度為nRationalize[x]給出x有理數(shù)近似值Rationalize[x,dx]

給出x有理數(shù)近似值,誤差小于dx27第27頁[舉例]ln[1]=N[5/3,20]Out[1]=1.66666666666666666667ln[2]:=N[%,10]Out[2]=1.66666667二行輸出是把上面計算結果變?yōu)?0位精度數(shù)字。％表示上一輸出結果。

In[3]=Rationalize[%]Out[3]=5/328第28頁3.數(shù)學常數(shù)Mathematica中定義了一些常見數(shù)學常數(shù)，這些數(shù)學常數(shù)都是準確數(shù)，比如表示圓周率。Pi

圓周率，π=

3.1415926535897932…E

自然對數(shù)底，e=2.7182818284590452…DegreePi/180I虛數(shù)單位，I=

√-1Infinity

無窮大，∞－Infinity負無窮大，-∞GoldenRatio

黃金分割數(shù)，Ф=

1.6180339887498948…29第29頁數(shù)學常數(shù)可用在公式推導和數(shù)值計算中。在數(shù)值計算中表示準確值,如：

In[1]:=Pi^2Out[1]=ln[2]:=Pi^2//NOut[2]=9.8696130第30頁4.數(shù)輸出形式在數(shù)輸出中能夠使用轉換函數(shù)進行不一樣數(shù)據(jù)類型和精度轉換。另外對一些特殊要求格式還能夠使用以下格式函數(shù)：NumberForm[expr,n]以n位精度實數(shù)形式輸出實數(shù)exprScientificForm[expr]以科學記數(shù)法輸出實數(shù)exprEngineeringForm[expr]以工程記數(shù)法輸出實數(shù)expr31第31頁比如：

ln[1]:=N[Pi^30,30]Out[1]=ln[2]:=NumberForm[%,10]Out[2]//NumberForm=下面函數(shù)輸出冪值可被3整除實數(shù)

In[3]=EngineeringForm[%%]Out[3]//EngineeringForm=32第32頁2.2變量

1．變量命名

Mathematica中內(nèi)部函數(shù)和命令都是以大寫字母開始標示符。為了不會與它門混同，我們自定義變量應該是以小寫字母開始，后跟數(shù)字和字母組合，長度不限。比如：a12,ast,aST都是正當，而12a，z*a是非法。另外在Mathematica中變量是區(qū)分大小寫在Mathematica中，變量不但能夠存放一個數(shù)值，還能夠存放表示式或復雜算式。33第33頁2．給變量賦值

在Mathmatica中用等號＝為變量賦值。同一個變量能夠表示一個數(shù)值，一個數(shù)組，一個表示式，甚至一個圖形。如：

In[1]:=x=3Out[1]=3In[2]:=x^2+2xOut[2]=15In[3]:=x=%+1Out[3]=1634第34頁對不一樣變量可同時賦不一樣值,比如：

In[4]:={u,v,w}={1,2,3}Out[4]={1,2,3}In[5]:=2u+3v+wOut[5]=1135第35頁對于已定義變量，當你不再使用它時，為預防變量值混同，能夠隨時用＝.去除它值，假如變量本身也要去除用函數(shù)Clear[x]比如

ln[6]:=u=.ln[7]:=2u+vOut[7]=2+2u36第36頁3.變量替換在給定一個表示式時其中變量可能取不一樣值，這是可用變量替換來計算表示式不一樣值。方法為用expr/.比如：

In[1]:=f=x/2+1Out[1]=In[2]:=f/.x->1Out[2]=In[3]:=f/.x->2Out[3]=337第37頁假如表示式中有多個變量也能夠同時替換方法為比如有兩個：expr/.{x->xval,y->val}In[4]:=(x+y)(x-y)^2/.{x->3,y->1-a}Out[4]=(4-a)(2+a)^238第38頁2.3函數(shù)

1．系統(tǒng)函數(shù)

在Mathmatic中定義了大量數(shù)學函數(shù)能夠直接調(diào)用，這些函數(shù)其名稱普通表示了一定意義，能夠幫助我們了解。下面是幾個慣用函數(shù)：Floor[x]

不比x大最大整數(shù)Ceiling[x]

不比x小最小整數(shù)Sign[x]

符號函數(shù)Round[x]靠近x整數(shù)39第39頁Abs[x]x絕對值Max[x1,x2,x3……..]x1,x2,x3…….中最大值Min[x1,x2,x3……..]

x1,x2,x3…….中最小值Random[]

0~1之間隨機函數(shù)Random[Real,xmax]0~xmax之間隨機函數(shù)Random[Real,{xmin,xmax}]

xmin~xmax之間隨機函數(shù)Exp[x]

指數(shù)函數(shù)Log[x]

自然對數(shù)函數(shù)lnxLog[b,x]

以b為底對數(shù)函數(shù)Sin[x],Cos[x],Tan[x],Csc[x],Sec[x],Cot[x]三角函數(shù)（變量是以弧度為單位）40第40頁Sinh[x],Cosh[x],Tanhx[x],Csch[x],Sech[x],Coth[x]雙曲函數(shù)ArcSech[x],ArcCoth[x]

雙曲函數(shù)Mod[m,n]

m被n整除余數(shù)，余數(shù)與n符相同Quotient[m,n]

m/n整數(shù)部分GCD[n1,n2,n3……]或GCD[s]

n1,n2,…最大條約數(shù)，s為一數(shù)集合

LCM[n1,n2……]或LCM[s]n1,n2…….最小公倍數(shù)，s為數(shù)據(jù)集合n!n階乘n!!n雙階乘41第41頁Mathematica中函數(shù)與數(shù)學上函數(shù)有些不一樣地方，Mathematica中函數(shù)是一個含有獨立功效程序模塊，能夠直接被調(diào)用。同時每一函數(shù)也能夠包含一個，或多個參數(shù)，也能夠沒有參數(shù)。參數(shù)數(shù)據(jù)類型也比較復雜。愈加詳細能夠參看系統(tǒng)幫助，了解各個函數(shù)功效和使用方法是學習Mathematica軟件基礎42第42頁2．函數(shù)定義（1）函數(shù)馬上定義馬上定義函數(shù)語法以下

f[x_]=expr

函數(shù)名為f,自變量為x，expr是表示式。在執(zhí)行時會把expr中x都換為f自變量x(不是x_)。函數(shù)自變量含有局部性，只對所在函數(shù)起作用。函數(shù)執(zhí)行結束后也就沒有了，不會改變其它全局定義同名變量值。請看下面例子定義函數(shù)f[x_]=x*Sinx+x^2對定義函數(shù)我們能夠求函數(shù)值，也可繪制它圖形。

43第43頁44第44頁對于定義函數(shù)我們能夠使用命令Clear[f]去除掉而Remove[f]則從系統(tǒng)中刪除該函數(shù)。（2）多變量函數(shù)定義也能夠定義多個變量函數(shù)，格式為f[x_,y_,z_,…]=expr

自變量為x,y,z….,對應expr中自變量會被替換。比如定義函數(shù)

f(x,y)=xy+ycosx45第45頁（3）延遲定義函數(shù)

延遲定義函數(shù)從定義方法上與即時定義區(qū)分為“=”與“：=”延遲定義格式為f[x_]：=expr其它操作基本相同。那么延遲定義和即時定義主要區(qū)分是什么？即時定義函數(shù)在輸入函數(shù)后馬上定義函數(shù)并存放在內(nèi)存中并可直接調(diào)用。延時定義只是在調(diào)用函數(shù)時才真正定義函數(shù)。46第46頁（4）使用If命令定義函數(shù)假如要定義如：這么分段函數(shù)能夠用If語句來定義。

If語句格式為If[條件，值1，值2]假如條件成立取“值1”，不然取“值2”，下面用If語句定義結果47第47頁這里使用了兩個If嵌套

48第48頁2.4表

將一些相互關聯(lián)元素放在一起，使它們成為一個整體。既能夠對整體操作，也能夠對整體中一個元素單獨進行操作。在Mathematica中這么數(shù)據(jù)結構就稱作表（List）。表主要有三個使用方法：表｛a,b,c｝能夠表示一個向量；表{{a,b},{c,d}}可表示一個矩陣。49第49頁1．建表在表中元素較少時，能夠采取直接列表方式列出表中元素，如｛1,2,3｝.請看下面操作

In[1]:={1,2,3}Out[1]={1,2,3}下面是符號表示式列表

In[2]:=1+%x+x^%Out[2]={1+2x,1+2x+x2,1+3x+x2}50第50頁下面是對列表中表示式對x求導

In[3]:=D[%,x]Out[3]={2,2+2x,3+3x2}In[4]:=%/.x->1Out[4]={2,4,6}假如表中元素較多時，能夠用建表函數(shù)進行建表。51第51頁Table[f,{I,min,max,step}]以step為步長給出f數(shù)值表，i由min變到maxTable[f,{min,max}]給出f數(shù)值表，I由min變到max步長為1Table[f,max]

給出max個f表Table[f,{I,imin,imax},{j,jmin,jmax},….]生成一個多維表TableForm[list]

以表格格式顯示一個表Range[n]

生成一個｛1,2,……..｝列表Range[n1,n2,d]

生成｛n1,n1+d,n1+d,….,n2｝列表52第52頁下面給出x乘i值表，i改變范圍為[2,6]:In[1]:=Table[x*i,{i,2,6}]Out[1]={2x,3x,4x,5x,6x}In[2]:=Table[x^2,{4}]Out[2]={x2,x2,x2,x2}用Range函數(shù)生成一個序列數(shù)

In[3]:=Range[10]Out[3]={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}下面這個序列是以步長為2，范圍從8到20In[4]:=Range[8,20,2]Out[4]={8,10,12,14,16,18,20}53第53頁上面參數(shù)改變都是只有一個，也可制成包含多個參數(shù)表，下面生成一個多維表：In[5]:=Table[2i+j,{i,1,3},{j,3,5}]Out[5]={{5,6,7},{7,8,9},{9,10,11}}使用函數(shù)TableForm能夠以表格方式輸出

In[6]:=%//TableFormOut[6]//TableForm=5677899101154第54頁2．表元素操作當t表示一個表時，t[[i]]或者Part[t,i]表示t中第i個子表。假如t={1,2,a,b},那么t[[3]]表示“a”。如：

ln[1]:=t=Table[I+2j,{I,1,3},{j,3,5}]Out[1]={{7,9,11},{8,10,12},{9,11,13}}ln[2]:=t[[2]]Out[2]={8,10,12}55第55頁表操作

{e1,e2,...}一個表，元素能夠為任意表示式，無窮嵌套Table[expr,{imax}]生成一個表，共imax個元素Table[expr,{i,imax}}生成一個表，共imax個元素expr間Table(expr,{i，imin,imax}，{j,jmin,jmax},..]多維表Range[imax]簡單數(shù)表f1，2+，imax)Range[imin，imax，di]以di為步長數(shù)表Array[f,n]一維表，元素為fI¨(i從1到n)Array[f,{n1,n2..}]多維表，元素為玎i?。?(各自從1到ni)IdentityMatrix[n]n階單位陣DiagonalMatrix[list]對角陣1、制表函數(shù)

56第56頁2、元素操作

Part[expr,i]或expr[[i]]第i個元素expr[[-i]]倒數(shù)第i個元素expr[{i,j,..}]多維表元素expr[{i1,i2,..}]返回由第i(n)元素組成子表FirstCexpr]第一個元素Last[expr]最終一個元素Head[expr]函數(shù)頭，等于expr[[0]]Extract[expr,list]取出由表list指定位置上expr元素值Take[list,n]取出表list前n個元素組成表Take[list，{m,n}]取出表list從m到n元素組成表Drop[list,n]去掉表list前n個元素組下表Rest[expr]去掉表list第一個元素剩下表57第57頁Select[USt，crit]把crit作用到每一個list元素上，為True全部元素組成表Length[expr]expr第一層元素個數(shù)Dimensions[expr]表維數(shù)返回(n1,n2..},expr為一個nl*n2…陣TensorRank[expr)秩Depth[expr]expr最大深度Level[expr,n]給出expr中第n層子表示式列表Count[USt，paUem]滿足模式list中元素個數(shù)MembefQ[1ist，form]list中是否有匹配form元素FreeQ[expr,form]MemberQ反函數(shù)FreeQ[expr,form]

表中匹配模式pattern元素位置列表Cases[{e1,e2…}，pattem}

匹配模式pattem全部元素ei表58第58頁3、表操作

Append[exp[elem]返回在表expr最終追加elem元素后表Prepend[expr,elem)返回在表expr最前添加elem元素后表Insert[1ist，elem，n]在第n元素前插入elemlnsert[expr,elem,{i,j,...}]在元素expr[[{i,j,..}]]前插入elemDelete[expr,{i,j,..}]刪除元素expr[[{i,j,..}]]后剩下表DeleteCases[expr,pattem]刪除匹配pattern全部元素后剩下表ReplacePart[expr,new,n]將expr第n元素替換為newSort[list]返回list按次序排列表59第59頁Reverse[expr]把表expr倒過來RotateLeft[expr,n]把表expr循環(huán)左移n次RotateRight[expr,n]把表expr循環(huán)右移n次Partition[list,n]把list按每n個元素為一個子表分割后再組成大表Flatten[1istl抹平全部子表后得到一維大表Flatten[1ist,n]抹平到第n層Split[1ist]把相同元素組成一個子表，再合成大表60第60頁2.5表示式

1.表示式含義

Mathematica能處理數(shù)學公式，表以及圖形等多各種數(shù)據(jù)形式。盡管他們從形式上看起來不一樣，但在Mathematica內(nèi)部都被看成同種類型，即都把他們看成表示式形式。Mathematica中表示式是由常量、變量、函數(shù)、命令、運算符和括號等組成，他最經(jīng)典形式是f[x,y]61第61頁2．表示式表示形式

在顯示表示式時，因為需要不一樣，有時我們需要表示式展開形式，有時又需要其因子乘積形式。在我們計算過程中可能得到很復雜表示式，這時我們又需要對它們進行化簡。慣用處理這種情況函數(shù)。變換表示式表示形式函數(shù)表示式表示形式函數(shù)

意義Expand[expr]按冪次升高次序展開表示式Factor[expr]以因子乘積形式表示表示式Simplify[expr]進行最正確代數(shù)運算，并給出表示式最少項形式62第62頁

表示式(x+y)^4(x+y^2)展開：

還原上面表示式為因子乘積形式：63第63頁3．關系表示式與邏輯表示式

我們已經(jīng)知道“＝”表示給變量賦值?，F(xiàn)在我們來學習一些其它邏輯與關系算子。關系表示式是最簡單邏輯表示式，我們慣用關系表示式表示一個判別條件。比如：x>0,y=0。關系表示式普通形式是：表示式＋關系算子＋表示式。其中表示式可為數(shù)字表示式、字符表示式或意義更廣泛表示式，如一個圖形表示式等。在我們實際利用中，這兒表示式經(jīng)常是數(shù)字表示式或字符表示式。下面出Mathematica中各種關系算子。64第64頁x==y相等x!=y不相等x>y大于x>=y大于或等于x<y小于x<=y小于等于x==y==z都相等x!=y!=z都不相等x>y>z,etc嚴格遞減65第65頁給變量x,y賦值，輸出后以變量值，如：

In[1]:=x=2;y=9Out[1]=9;In[2]:=x>yOut[2]=False下面是比較兩個表示式大小

In[3]:=3^2>y+1Out[3]=False66第66頁用一個關系式只能表示一個判定條件，要表示幾個判定條件胡組合，必須用邏輯運算符將關系表示式組織在一起，我們稱表示判定條件表示式為邏輯表示式。下面是常用邏輯運算和它們意義?。悍?、&&：并、||：或、Xor：異或、If：條件比如下面例子說明它們應用In[4]:=3x^2<Y+1&&3^2==yOut[4]=FalseIn[5]:=3x^2+1||3^2==yOut[5]=True67第67頁第3章Mathematica基本運算1.多項式運算多項四則運算，多項式化簡等2.方程求解求解普通方程，條件方程，方程數(shù)值解以及方程組求解3.求積求和求積與求和68第68頁3.1多項式表示形式

可認為多項式是表示式一個特殊形式，所以多項式運算與表示式運算基本一樣，表示式中各種輸出形式也可用于多項式輸出。Mathematica提供一組按不一樣形式表示代數(shù)式函數(shù)。69第69頁Expand[ploy]按冪次展開多項式ployExpandAll[ploy]

全部展開多項式ployFactor[ploy]

對多項式poly進行因式分解FactorTerms[ploy，{x,y,…}]按變量x,y,…進行分解Simplify[poly]

把多項式化為最簡形式FullSimplify[ploy]把多項式展開并化簡Collect[ploy,x]把多項式poly按x冪展開Collect[poly,{x,y…}]把多項式poly按x,y….冪次展開70第70頁3.2方程及其根表示

因為Mathematica把方程看作邏輯語句。在數(shù)學方程式表示為形如“x2-2x+1=0”形式。在Mathematica中“=”用作賦值語句，用“==”表示邏輯等號，則方程應表示為

x^2-2x+1==0。方程解同原方程一樣被看作是邏輯語句。比如用Roots求方程x^2-3x+2根顯示為71第71頁這種表示形式說明x取1或2均可。而用Solve[]可得解集形式1求解一元代數(shù)方程下面是慣用一些方程求解函數(shù)72第72頁Solve[lhs==rhs,vars]給出方程解集NSolve[lhs==rhs,vars]直接給出方程數(shù)值解集Roots[lhs==rhs,vars]

求表示式根FindRoot[lhs==rhs,{x,x0}

求x=x0時，方程解值73第73頁Solve函數(shù)例子Solve函數(shù)可處理主要方程是多項式方程。Mathematica總能對不高于四次方程進行準確求解，對于三次或四次方程，解形式可能很復雜。74第74頁比如求x3+5x+3=0這時可用N函數(shù)近似數(shù)值解.75第75頁

當方程中有一些復雜函數(shù)時，Mathematica可能無法直接給出解來。在這種情況下我們可用FindRoot[]來求解，但要給出起始條件。比如：求3Cosx=logx解

76第76頁但只能求出x=1附近解，假如方程有幾個不一樣解，當給定不一樣條件時，將給出不一樣解。如上例若求x=10附近解命令為：所以確定解起始位置是比較關鍵，一個慣用方法是，先繪制圖形觀察后再解

77第77頁78第78頁如上例經(jīng)過圖形可斷定在x=5附近有另一根79第79頁2.求方程組根使用Solve和NSolve，F(xiàn)indRoot也可求方程組解，只是使用時格式略有不一樣下面給出一個Solve函數(shù)例子：求解：80第80頁3.求方程全解假如我們求ax2+bx+c=0根我們用Solve函數(shù)解結果是：81第81頁這顯然是不合理，因為對不一樣a,b,c方程解有不一樣情況，而上面只是給出部分解假如要處理這個問題可用Reduce命令，它可依據(jù)，a,b,c取值給出全部值。82第82頁4.解條件方程在作方程計算時，能夠把一個方程看作你要處理主要方程，而把其它方程作為必須滿足輔助條件，你將會發(fā)覺這么處理很方便。譬如在求解像x4+bx2+c=0這么方程時，通常我們采取x2=y代換方法使求解方程得到簡化。在Mahematica中，我們通常是首先命名輔助條件組，然后用名字把輔助條件包含在你要用函數(shù)Solve[]求解方程組中。用Sc定義方程：Sin2x+Cos2x=1，在這種條件下，求解方程。83第83頁84第84頁3.3求和與求積

在Mathematica中，數(shù)學上各式符號用Sum表示，連乘用Product表示。下面列出求和與求積函數(shù)形式和意義：Sum[f,{i,imin,imax}]求和Sum[f,{i,imin,imax,di}]以步長di增加i求和85第85頁Sum[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}]嵌套求和

Product[f,{i,imain,imax}]求積

Product[f,{i,imin,imax,di}]以步長di增加i求和Product[f,{I,imin,imax},{j,jmin,jmax}]嵌套求積

Nsum[f,{i,imin,Infinity}]求

近似值NProduct[f,{i,imin,Infinity}]求

近似值86第86頁87第87頁第4章函數(shù)作圖1.二維函數(shù)作圖普通函數(shù)作圖，參數(shù)方程繪圖。2.二維圖形元素點，線等圖形元素使用3.圖形樣式圖形樣式，對圖形進行設置4.圖形重繪和組合重新顯示所繪圖形，將多個圖形組合在一起。5.三維圖形繪制三維圖形繪制，三維參數(shù)方程圖形，三維圖形設置。88第88頁4.1基本二維圖形

Mathematica在直角坐標系中作一元函數(shù)圖形用以下基本命令。Plot[f，{x，xmin，xmax}，option->value]

在指定區(qū)間上按選項定義值畫出函數(shù)在直角坐標系中圖形.Plot[{f1,f2,f3,…},{x,xmin,xmax},option->value]在指定區(qū)間上按選項定義值同時畫出多個函數(shù)在直角坐標系中圖形89第89頁Mathematica繪圖時允許用戶設置選項值對繪制圖形細節(jié)提出各種要求。比如：要設置圖形高寬比，給圖形加標題等。每個選項都有一個確定名字，以“選項名->選項值”形式放在Plot中最右邊位置，一次可設置多個選項，選項依次排列，用逗號隔開，也能夠不設置選項，采取系統(tǒng)默認值。90第90頁選項說明默認值AspectRatio圖形高、寬比1/0.618AxesLabel給坐標軸加上名字不加PlotLabel給圖形加上標題不加PlotRange指定函數(shù)因變量區(qū)間計算結果PlotStyle用什么樣方式作圖（顏色，粗細等）值是一個表PlotPoint畫圖時計算點數(shù)2591第91頁1.舉例(1)．比如繪制

圖形。

92第92頁(2)．假如要取消刻度能夠使用Ticks選項93第93頁(3)假如要標注坐標名稱x軸為“Time”,y軸為“Height”94第94頁(4)．將坐標交點(3，0)，并標注圖形名稱。95第95頁(5)．修改x方向刻度，y軸方向刻度則用默認值。96第96頁(6)．定義y軸繪圖范圍97第97頁(7)另外我們也能夠將圖形結果定義給變量，但不顯示圖形，后用Show命令顯示。98第98頁2.數(shù)據(jù)集合圖形

Mathematica用于繪數(shù)字集合圖形命令與前而介紹繪函數(shù)圖形命令是相同。以下:ListPlot[{y1,y2,…..}]繪出在x值為1，2…時y1,y2,…圖形ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},…..}]繪出離散點（xi,yi）ListPlot[List,PlotJoined->True]把離散點連成曲線99第99頁(1)．下面舉例說明下面是一個離散數(shù)據(jù)集合圖形100第100頁3.二維參數(shù)作圖

前面我們使用Plot命令能夠繪出直角坐標系下函數(shù)圖形，使用ParametrecPlot能夠繪制參數(shù)曲線下面給出ParametricPlot慣用形式ParametricPlot[{fx,fy},{t,tmin,tmax}]繪出參數(shù)圖ParametricPlot[{fx,fy},{gx,gy},….{t,tmin,tmax}]繪出一組參數(shù)圖ParametricPlot[{fx,fy},{t,tmin,tmax},AspectRatio->Automatic]設法保持曲線形101第101頁(1).繪制參數(shù)方程

圖形

102第102頁(2)．下面將一個圓與上面參數(shù)繪在同一個坐標下，并確保圖形形狀正確。

103第103頁4.3圖形樣式

下面給出選項用于設置圖形樣式。Graykvel[]灰度介于0(黑)到l(白)之間RGBColor[r,g,b]由紅、綠，藍組成顏色，每種色彩取0到1之間數(shù)Hue[A]取0到1之間色彩Hue[h,s,b]指定色調(diào)，位置和亮度顏色，每項介于0到1之間PointSize[d]給出半徑為d點，單位是Plot一個分數(shù)104第104頁AbsolutePointSize[d]給出半徑為d點(以絕對單位量取)Thickness[w]給全部線寬度w，單位是Plot分數(shù)AbsoluteThickness[w]給全部線寬度w，(以絕對單位量取)Dashing[wl,w2,….]給全部線為一系列虛線，虛線段長度為wl，w2,…Absolutedashing[{w1,w2,…..}]以絕對單位給出虛線長度PlotStyle->style設置Plot中全部曲線格調(diào)PlotStyle->{{Style1},{Style2}…….}設置Plot中一些列曲線格調(diào)MeshStyle->Style設置寬度和表面網(wǎng)格格調(diào)105第105頁1.圖形顏色設置在Mathematicaa提供各種圖形指令中，對圖形元素顏色設置是一個很主要設置。下面給出三條不一樣顏色正弦曲線.106第106頁107第107頁下面用不一樣色調(diào)對三個菱形進行著色。108第108頁2.圖形大小下面是一些點，注意點大小控制。109第109頁下面點控制是用絕對單位110第110頁3.線段控制下面例子是控制線段寬度，使用是絕對控制。111第111頁4.4圖形重繪和組合

每次繪制圖形后，Mathematica保留了圖形全部信息，所以用戶能夠重繪這些圖形。下面是慣用重繪圖形函數(shù)。Show[plot]重繪圖形Show[plot,option->value]改變方案重繪圖形Show[plot1,plot2,plot3…]多個圖形繪制Show[GraphcisArray[{{plot1,plot2,…}…}]]繪制圖形矩陣InputForm[plot]給出全部圖形信息112第112頁1.使用Show顯示圖形下面繪制函數(shù)Sin[x^2]圖形。113第113頁重繪圖形時，能夠改變命令設置，下面改變y百分比同時給圖邊框114第114頁2.使用Show命令進行組合也可使用Show進行圖形組合。圖形組合與圖形是否有相同百分比無關，這時Mathematica會自動選擇新百分比來繪制圖形。下面繪制函數(shù)-xsin(2x+Pi)圖形和xcos(2x)然后繪制在一張圖時。115第115頁116第116頁3．將多個圖形組合為一個圖形我們也可把圖形組合為一個圖形，我們還能夠用GraphicsArray把多個圖形繪制在一個圖形矩陣中以下列圖。117第117頁4.5基本三維圖形

繪制函數(shù)f(x，y)在平面區(qū)域上三維立體圖形基本命令是Plot3D，Plot3D和Plot工作方式和選項基本相同。ListPlot3D能夠用來繪制三維數(shù)字集合三維圖形，其使用方法也類似于ListPlot，下面給出這兩個函數(shù)慣用形式。Plot3D[f,(x,xmin,xmax)，(y,ymin,ymax)]繪制以x和y為變量三維函數(shù)f圖形ListPlot3D[{Z11,Z12,…}，{Z21,Z22,…},…..]]繪出高度為Zvx數(shù)組三維圖形118第118頁選項取值意義AxesTrue是否包含坐標軸AxesLabelNone在軸上加上標志：zlabel要求z軸標志，{xlabel,ylabel,zlabel}要求全部軸標志BoxedTrue是否在曲面周圍加上立方體ColorFunctionAutomatic使用什么顏色明暗度；Hue表示使用一系列顏色TextStyleSTextStyle用于圖形文本缺省類型OrmatTypeStandardForm用于圖形文本缺省格式類型DisplayFunctionSdlisplayFunction怎樣繪制圖形，Indentity表示不顯示119第119頁FaceGridsNone怎樣在立體界面上繪上網(wǎng)格；All表示在每個界面上繪上網(wǎng)格HiddenSurfaceTrue是否以立體形式繪出曲面LighdngTrue是否用明暗分布米給表面加色MeshTrue是否在表面上繪出xy網(wǎng)格PlotRangeAutomatic圖中坐標范圍；能夠要求為All，{zmin,zmax}或{xminn,xmax}，{ymin,ymax},{zmin,zmax}ShadingTrue表面是用陰影還是留空白ViewPoint{1．3，-2．4,2}表面空間觀察點120第120頁1.三維繪圖舉例

(1)．函數(shù)Sin(x+y)Cos(x+y)立體圖121第121頁用PlotRange設定曲線表面改變范圍122第122頁(3)．圖形軸上加上標識，且在每個平面上畫上網(wǎng)格。123第123頁(4)．視圖改變124第124頁2.用數(shù)據(jù)來進行繪圖三維圖形也可用數(shù)據(jù)來進行繪圖。下面給出數(shù)據(jù)矩陣，因其較大未表示其結果。125第125頁3.三維空間參數(shù)方程繪圖三維空間中參數(shù)繪圖函數(shù)ParametricPlot3D[{fx,fv,fz},{t,tmin,tmax}]和二維空間中ParametricPlot很相仿。在這種情況下，Mathematica實際上都是依據(jù)參數(shù)t來產(chǎn)生系列胡點，然后再連接起來。

三維參數(shù)作圖基本形式為：126第126頁ParametricPlot3D[{fx,fv,fz},{t,tmin,tmax}]給出空間曲線參數(shù)圖ParametricPlot3D[{fx,fv,fz},{t,tmin,tmax},{u,umin,umax}]給出空間曲面參數(shù)圖ParametricPlot3D[{fx,fv,fz,s}…..]按照函數(shù)關系s繪出參數(shù)圖陰影部分ParametricPlot3D[{fx,fv,fz},{gx,gy,gz}…..]]把一些圖形繪制在一起127第127頁ParametricPlot3D[{fx,fv,fz},{t,tmin,tmax}，{u,umin,umax}]產(chǎn)生一個空間曲面而不是一條曲線，曲面是由四邊形組成。128第128頁129第129頁第5章微積分基本操作1.函數(shù)極限怎樣求函數(shù)極限2.導數(shù)與微分怎樣求函數(shù)導數(shù)，微分。3.定積分與不定積分怎樣求函數(shù)不定積分和定積分，以及數(shù)值積分。4.多變量函數(shù)微分怎樣求多元函數(shù)偏導數(shù)，微分130第130頁5.1極限

Mathematica計算極限命令是Limit它使用方法主要有Limit[expr,x->x0]當x趨向于x0時求expr極限Limit[expr,x->x0,Direction->1]當x趨向于x0時求expr左極限Limit[expr,x->x0,Direction->-1]當x趨向于x0時求expr右極限趨向點能夠是常數(shù)，也能夠是+∞，-∞

比如1．求

131第131頁2．求

132第132頁5.2微分

1.函數(shù)微分

在Mathematica中，計算函數(shù)微分或是非常方便，命令為D[f,x],表示對x求函數(shù)f導數(shù)或偏導數(shù)。該函數(shù)慣用格式有以下幾個D[f,x]計算微分

D[f,x1,x2,…]計算多重偏微分

D[f,{x,n}]計算n階微分

D[f,x,NonConstants->{v1,v2,----}]計算微分

其中v1,v2…依賴于x133第133頁比如

1.求函數(shù)Sinx導數(shù)2.求函數(shù)exSinx2階導數(shù)

134第134頁3.假設a是常數(shù)能夠對Sinax求導

4.假如對二元函數(shù)f(x,y)=x^2*y+y^2求對x,y求一階和二階偏導

135第135頁136第136頁Mathematica能夠求函數(shù)式未知函數(shù)微分，通常結果使用數(shù)學上表示法比如：

137第137頁對鏈導法則一樣可用

假如要得到函數(shù)在某一點導數(shù)值能夠把這點代入導數(shù)如：

138第138頁2.全微分在Mathematica中，D[f,x]給出f偏導數(shù)，其中假定f中其它變量與x無關。當f為單變量時，D[f,x]計算f對x導數(shù)。函數(shù)Dt[f,x]給出f全微分形式，并假定f中全部變量依賴于x.下面是Dt命令慣用形及意義Dt[f]求全微分dfDt[f,x]求全微分

Dt[f,x1,x2,…]求多重全微分

Dt[f,x,Constants->{c1,c2,….}]求全微分其中c1,c2..是常數(shù)139第139頁下面我們求x^2+y^2偏微分和全微分能夠看出第一個情況y與x沒相關系，第二種情況y是x函數(shù)。再看以下求多項式

x^2+xy^3+yz全微分并假定z保持不變是常數(shù)140第140頁假如y是x函數(shù)，y被看成是常數(shù)141第141頁5.3計算積分

1.不定積分

在Mathematica中計算不定積分命令為Integerate[f,x]。當然并不是全部不定積分都能求出來。比如若求

Mathematica就無能為力。

142第142頁但對于一些手工計算相當復雜不定積分，MatheMatica還是能輕易求得，比如求

143第143頁2.定積分定積分求解主要命令也是用Integrate只是要在命令中加入積分限Integrate[f,{x,min,max}]比如求

144第144頁顯然這條命令也能夠求廣義積分比如：求

145第145頁求無窮積也能夠比如

146第146頁3.數(shù)值積分

數(shù)值積分是處理求定積分另一個有效方法，它能夠給出一個近似解。尤其是對于用Integrate命令無法求出定積分，數(shù)值積分更是能夠發(fā)揮巨大作用。

它命令格式為

Nintegrate[f,{x,a,b}]在[a,b]上求f數(shù)值積分NIntegrate[expr,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},...]多重積分Nintegrate[f,{x,a,x1,x2,…,b}]以x1,x2….為分割求[a,b]上數(shù)值積分147第147頁下面我們求Sinsinx在[0,Pi]上積分值，因為這個函數(shù)不定積分求不出，所以使用Integrate命令無法得到詳細結果，但能夠用數(shù)值積分求148第148頁假如積分函數(shù)存在不連續(xù)點，或存在奇點我們可對積分進行分段求解。比如函數(shù)

在[-1，1]上，顯然x=0點是一個無窮間斷點。所以若要求其數(shù)值積分，必須在其中插入點0

149第149頁5.4多變量函數(shù)微分

下面是計算多變量函數(shù)偏導數(shù)及全微分命令與單變量基本相同(

I

)D[f,x1,x2,...,xn]

計算偏導數(shù)

下面是實際例子:150第150頁151第151頁第6章微分方程求解1.微分方程解微分方程求解2.微分方程數(shù)值解怎樣求微分方程數(shù)值解152第152頁6.1微分方程解

在Mathematica中使用Dsolove[]能夠求解線性和非線性微分方程，以及聯(lián)立微分分方程組。在沒有給定方程初值條件下，我們所得到解包含C[1],C[2]是待定系數(shù)。求解微分方程就是尋找未知函數(shù)表示式，在Mathematica中，未穩(wěn)中有降函數(shù)用y[x]表示，其微分用y‘[x],y’‘[x]等表示。下面給出微分方程(組)求解函數(shù)。153第153頁Dsolve[eqn,y[x],x]求解微分方程y[x]Dsolve[eqn,y,x]求解微分方程函數(shù)yDsolve[{eqn1,eqn2,…},{y1,y2,….},x]求解微分方程組154第154頁1．用Dsolve求解微分方程y[x]

155第155頁解y[x]僅適合其本身，并不適合于y[x]其它形式，如y’[x]，y[0]等，也就是說y[x]不是函數(shù)，比如我們假如有以下操作，y’[x],y[0]并沒有發(fā)生改變.156第156頁2．解純函數(shù)形式使用Dsolve命令能夠給出解純函數(shù)形式，即y,請分析下面例子157第157頁這里y適合y全部情況下面例子能夠說明這一點158第158頁3．求微分方程組例子159第159頁4．帶初始條件微分方程解當給定一個微分方程初始條件能夠確定一個待定系數(shù)。例子160第160頁6.2微分方程數(shù)值解

在Mathematica中用函數(shù)DSolve[]得到微分方程準確解，用函數(shù)NDSolve得到微分方程數(shù)值解，當然在此處要給出求解區(qū)間(x,xmin,xmax)。

NDSolve也是既能計算單個微分方程，也能計算聯(lián)立微分方程組。它能對大多數(shù)常微分方程和部分偏微分方程求解。在常微分可能有一些未知函數(shù)yi，但這些未知函數(shù)都依賴于一個單變量x。161第161頁NDSolve[{eqn1,eqn2,…},y,{x,xmin,xmax}]求函數(shù)y數(shù)值解，x屬于[xmin,xmax]NDSolve[{eqnl,eqn2,…}，{y1,y2,…}{x,xmin,xmax}]求多個函數(shù)yi數(shù)值解162第162頁使用Mathematica頁能夠很輕易得到解圖形。這兒給出怎樣觀察微商逆函數(shù)近似值圖形。我們使用命令Evaluate代替InterpolatingFunction能夠節(jié)約時間。比如：163第163頁164第164頁第7章Mathematica程序設計1.模塊

模塊概念和定義方法2.條件結構

條件結構使用和定義方法3.循環(huán)結構

循環(huán)結構使用165第165頁7.1模塊

Module[{x,y,...},body]含有局部變量x,y…模塊Module[{x=x0,y=y0,…},body]含有初始值局部變量模塊lhs:=Module[vars,rhs/:cond]rhs和cond共享局部變量Block[{x,y,...},body]利用局部值x,y,…計算bodyBlock[{x=x0,y=y0,…},bddy]給x,y,..賦初始值166第166頁下面定義有初值變量t,Mathematica默認它為全局變量:ln[1]:=t=10Out[1]=10模塊中t為局部變量,所以它獨立于全局變量tln[2]:=Module[{t},t=8;Print[t]]167第167頁

全局變量t值仍為10:ln[3]=t=10Out[3]=10168第168頁全局變量t值仍為10:ln[6]:=t=10Out[6]=10169第169頁Mathematica中模塊允許你把某變量名看作局部變量名。然而又存在有時你又希望它們?yōu)槿肿兞繒r,但變量值為局部矛盾,這時我們能夠用Block[]函數(shù)。下面是一個含有全局變量x表示式,使用x局部值計算上面表示式:

170第170頁Module[vars,body]所要做是把執(zhí)行模塊時表示式body形式看成Mathematica程