第08講 有理數(shù)的乘方-人教版新七年級《數(shù)學(xué)》暑假自學(xué)提升講義（解析版）

第第頁第08講有理數(shù)的乘方（5個(gè)知識點(diǎn)+7個(gè)考點(diǎn)+易錯分析）模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1.理解有理數(shù)的乘方的意義,并能進(jìn)行乘方運(yùn)算2.掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算順序,并能熟練、正確地進(jìn)行計(jì)算3.借助生活進(jìn)一步感受較大的數(shù),并能用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于10的數(shù)4.了解近似數(shù)的意義,能按要求取近似數(shù)知識點(diǎn)1.有理數(shù)乘方的意義（重點(diǎn)）1、求個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫乘方，乘方的結(jié)果叫冪。叫底數(shù)，叫指數(shù)，讀作：的次冪(的次方)。2、乘方的意義：表示個(gè)相乘。3、寫法的注意：當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，底數(shù)一定要打括號，不然意義就全變了．如：＝()×()，表示兩個(gè)相乘．而＝，表示2個(gè)2相乘的積除以3的相反數(shù)．4、與－的區(qū)別．(1)表示個(gè)相乘，底數(shù)是，指數(shù)是，讀作：的次方．(2)－表示個(gè)乘積的相反數(shù)，底數(shù)是，指數(shù)是，讀作：的次方的相反數(shù)．如：底數(shù)是，指數(shù)是3，讀作(－2)的3次方，表示3個(gè)(－2)相乘．＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8．底數(shù)是2，指數(shù)是3，讀作2的3次方的相反數(shù)．＝－(2×2×2)＝－8．注：與的結(jié)果雖然都是－8，但表示的含義并不同?！纠?】把下列各式寫成乘方的形式，并指出底數(shù)和指數(shù)各是什么．(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)；(2)eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)；解析：首先化成冪的形式，再指出底數(shù)和指數(shù)各是什么．解：(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)＝(－3.14)5，其中底數(shù)是－3.14，指數(shù)是5；(2)eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝(eq\f(2,5))6，其中底數(shù)是eq\f(2,5)，指數(shù)是6；方法總結(jié)：乘方是一種特殊的乘法運(yùn)算，冪是乘方的結(jié)果，當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，要先用括號將底數(shù)括起來再寫指數(shù)．【變式1-1】（1）根據(jù)有理數(shù)乘方的意義，算式可表示為．（2）在中指數(shù)是，底數(shù)是．【答案】4【分析】（1）根據(jù)題意寫成有理數(shù)乘方的形式即可；（2）根據(jù)冪的概念即可求解．【詳解】解：（1）；（2）在中指數(shù)是，底數(shù)是．故答案為：；；；【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)乘方的應(yīng)用、冪的概念，掌握冪的概念是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022秋·浙江金華·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）表示（

）A．乘5 B．5個(gè)相加 C．5個(gè)相乘 D．2個(gè)相加【答案】C【分析】根據(jù)乘方的意義：表示個(gè)數(shù)相乘，即可．【詳解】解：表示5個(gè)相乘；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘方．熟練掌握表示個(gè)相乘，是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022秋?黃山期末）﹣25表示的意義是（）A．5個(gè)﹣2相乘 B．5個(gè)2相乘的相反數(shù) C．2個(gè)﹣5相乘 D．2個(gè)5相乘的相反數(shù)【分析】原式利用乘方的意義判斷即可．【解答】解：﹣25表示的意義是5個(gè)2相乘的相反數(shù)，故選：B．【點(diǎn)評】此題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的意義是解本題的關(guān)鍵．知識點(diǎn)2.有理數(shù)乘方運(yùn)算的符號規(guī)律（重點(diǎn)）乘方運(yùn)算的符號規(guī)律．(1)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)．(2)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)．(3)負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)．(4)0的奇數(shù)次冪，偶次冪都是0．所以，任何數(shù)的偶次冪都是正數(shù)或0。【例2】計(jì)算：(1)－(－3)3;(2)(－eq\f(3,4))2；(3)(－eq\f(2,3))3;(4)(－1)2015.解析：可根據(jù)乘方的意義，先把乘方轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)乘法的運(yùn)算法則來計(jì)算；或者先用符號法則來確定冪的符號，再用乘法求冪的絕對值．解：(1)－(－3)3＝－(－33)＝33＝3×3×3＝27；(2)(－eq\f(3,4))2＝eq\f(3,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(9,16)；(3)(－eq\f(2,3))3＝－(eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3))＝－eq\f(8,27)；(4)(－1)2015＝－1.方法總結(jié)：乘方的運(yùn)算可以利用乘法的運(yùn)算來進(jìn)行．負(fù)數(shù)的奇數(shù)次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次冪是正數(shù)；－1的奇數(shù)次冪是－1，－1的偶數(shù)次冪是1.【變式2-1】計(jì)算：，．【答案】1【詳解】解：，，【變式2-2】計(jì)算：；；．【答案】【變式2-3】計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方計(jì)算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)乘方運(yùn)算，掌握有理數(shù)乘方運(yùn)算的意義是解題的關(guān)鍵．知識點(diǎn)3.有理數(shù)的混合運(yùn)算（難點(diǎn)）1、有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，先算括號里面的，再算括號外面的。2、括號前帶負(fù)號，去掉括號后括號內(nèi)各項(xiàng)要變號，即，【例3】計(jì)算：(1)(－5)－(－5)×eq\f(1,10)÷eq\f(1,10)×(－5)；(2)－1－{(－3)3－[3＋eq\f(2,3)×(－1eq\f(1,2))]÷(－2)}．解析：(1)題是含有減法、乘法、除法的混合運(yùn)算，運(yùn)算時(shí)，一定要注意運(yùn)算順序，尤其是本題中的乘除運(yùn)算．要從左到右進(jìn)行計(jì)算；(2)題有大括號、中括號，在運(yùn)算時(shí)，可從里到外進(jìn)行．注意要靈活掌握運(yùn)算順序．解：(1)(－5)－(－5)×eq\f(1,10)÷eq\f(1,10)×(－5)＝(－5)－(－5)×eq\f(1,10)×10×(－5)＝(－5)－25＝－30；(2)－1－{(－3)3－[3＋eq\f(2,3)×(－1eq\f(1,2))]÷(－2)}＝－1－{－27－[3＋eq\f(2,3)×(－eq\f(3,2))]÷(－2)}＝－1－{－27－2÷(－2)}＝－1－{－27－(－1)}＝－1－(－26)＝25.方法總結(jié)：有理數(shù)的混合運(yùn)算可用下面的口訣記憶：混合運(yùn)算并不難，符號第一記心間；加法需取大值號，乘法同正異負(fù)添；減變加改相反數(shù)，除改乘法用倒數(shù)；混合運(yùn)算按順序，乘方乘除后加減．【變式3-1】計(jì)算：．【答案】20【詳解】解：．【變式3-2】計(jì)算：【答案】【詳解】解：原式．【變式3-3】計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)3(2)3【詳解】（1）原式；（2）原式【點(diǎn)睛】本題考查了含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握混合運(yùn)算的順序是解答本題的關(guān)鍵．混合運(yùn)算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運(yùn)算，按從左到右的順序計(jì)算．如果有括號，先算括號里面的，并按小括號、中括號、大括號的順序進(jìn)行．知識點(diǎn)4.科學(xué)記數(shù)法（重點(diǎn)）（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．【科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．】（2）規(guī)律方法總結(jié)：①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個(gè)負(fù)號．【例4】我區(qū)深入實(shí)施環(huán)境污染整治，關(guān)停和整改了一些化工企業(yè)，使得每年排放的污水減少了167000噸，將167000用科學(xué)記數(shù)法表示為()A．167×103B．16.7×104C．1.67×105D．1.6710×106解析：根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式，先確定a，再確定n，解此類題的關(guān)鍵是a，n的確定.167000＝1.67×105，故選C.方法總結(jié)：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．【變式4-1】2022年12月28日，臺州市域鐵路S1線開通運(yùn)營，標(biāo)志著臺州城市發(fā)展邁入軌道時(shí)代臺州市域鐵路S1線全長約52.4公里，總投資約228.19億元，是連接椒江區(qū)、路橋區(qū)及溫嶺市之間重要的城市快速通道．其中數(shù)據(jù)228.19億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.22819×1010 B．0.22819×1011 C．2.2819×1010 D．2.2819×1011【解答】解：228.19億＝22819000000＝2.2819×1010．故選：C．【變式4-2】用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)為4.315×103，這個(gè)數(shù)原來是（）A．4315 B．431.5 C．43.15 D．4.315【解答】解：用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)為4.315×103，這個(gè)數(shù)原來是4315，故選：A．【變式4-3】已知下列用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)，寫出原來的數(shù)：(1)2.01×104；(2)6.070×105；(3)－3×103.解析：(1)將2.01的小數(shù)點(diǎn)向右移動4位即可；(2)將6.070的小數(shù)點(diǎn)向右移動5位即可；(3)將－3擴(kuò)大1000倍即可．解：(1)2.01×104＝20100；(2)6.070×105＝607000；(3)－3×103＝－3000.方法總結(jié)：將科學(xué)記數(shù)法a×10n表示的數(shù)，“還原”成通常表示的數(shù)，就是把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)向右移動n位所得到的數(shù)．知識點(diǎn)5.近似數(shù)（難點(diǎn)）（1）有效數(shù)字：從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字．（2）近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個(gè)有效數(shù)字等說法．（3）規(guī)律方法總結(jié)：“精確到第幾位”和“有幾個(gè)有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實(shí)際意義是不一樣的，前者可以體現(xiàn)出誤差值絕對數(shù)的大小，而后者往往可以比較幾個(gè)近似數(shù)中哪個(gè)相對更精確一些．【例5.1】下列數(shù)據(jù)中，不是近似數(shù)的是()A．某次地震中，傷亡10萬人B．吐魯番盆地低于海平面155mC．小明班上有45人D．小紅測得數(shù)學(xué)書的長度為21.0cm解析：A.某次地震中，傷亡10萬人中的10為近似數(shù)，所以A選項(xiàng)錯誤；B.吐魯番盆地低于海平面155m中的155為近似數(shù)，所以B選項(xiàng)錯誤；C.小明班上有45人中45為準(zhǔn)確數(shù)，所以C選項(xiàng)正確；D.小紅測得數(shù)學(xué)書的長度為21.0cm中的21.0為近似數(shù)，所以D選項(xiàng)錯誤，故選C.方法總結(jié)：經(jīng)過“四舍五入”得到的叫近似數(shù)，一般用工具量出來的數(shù)都是近似數(shù)；能表示原來物體或事件的實(shí)際數(shù)量的數(shù)是準(zhǔn)確數(shù)，一般通過計(jì)數(shù)數(shù)出來的數(shù)都是準(zhǔn)確數(shù)．【例5.2】用四舍五入法按要求對0.05019分別取近似值，其中錯誤的是（）A．0.1（精確到0.1） B．0.05（精確到千分位） C．0.05（精確到百分位） D．0.0502（精確到0.0001）【解答】解：A、0.05019≈0.1（精確到0.1），所以此選項(xiàng)正確，故A不符合題意；B、0.05019≈0.050（精確到千分位），所以此選項(xiàng)錯誤，故B符合題意；C、0.05019≈0.05（精確到百分位），所以此選項(xiàng)正確，故C不符合題意；D、0.05019≈0.0502（精確到0.0001），所以此選項(xiàng)正確，故D不符合題意；故選：B．【例5.3】近似數(shù)1.70所表示的準(zhǔn)確值a的范圍是()A．1.700＜a≤1.705B．1.60≤a＜1.80C．1.64＜a≤1.705D．1.695≤a＜1.705解析：若是向前進(jìn)1得到的，那么a≥1.695；若是舍去下一位得到的，那么a＜1.705，∴1.695≤a＜1.705.故選D.方法總結(jié)：此題不是由準(zhǔn)確數(shù)求近似數(shù)，而是由近似數(shù)求準(zhǔn)確數(shù)的范圍，這是對逆向思維能力的考查．【變式5-1】下列由四舍五入得到的近似數(shù)，各精確到哪一位？(1)25.7;(2)0.407；(3)4000萬；(4)4.4千萬．解析：精確度由最后一位數(shù)字所在的位置確定，一般來說，近似數(shù)四舍五入到哪一位，就精確到哪一位．解：(1)25.7(精確到十分位)；(2)0.407(精確到千分位)；(3)4000萬(精確到萬位)；(4)4.4千萬(精確到百萬位)．方法總結(jié)：若是漢字單位為“萬”、“千”、“百”類的近似數(shù)，精確度依然是由其最后一位數(shù)所在的數(shù)位確定，但必須先把該數(shù)寫成單位為“個(gè)”的數(shù)，再確定其精確度．【變式5-2】下列說法正確的是()A．近似數(shù)4.60與4.6的精確度相同B．近似數(shù)5千萬與近似數(shù)5000萬的精確度相同C．近似數(shù)4.31萬精確到0.01D．1.45×104精確到百位解析：選項(xiàng)A.近似數(shù)4.60精確到百分位，4.6精確到十分位，故錯誤；選項(xiàng)B.近似數(shù)5千萬精確到千萬位，近似數(shù)5000萬精確到萬位，故錯誤；選項(xiàng)C.近似數(shù)4.31萬精確到百位．故錯誤；選項(xiàng)D.正確．故選D.方法總結(jié)：解答此題應(yīng)掌握數(shù)的精確度的知識，保留整數(shù)精確度為1，一位小數(shù)表示精確到十分之一，兩位小數(shù)表示精確到百分之一等．【變式5-3】用四舍五入法將下列各數(shù)按括號中的要求取近似數(shù)．(1)0.6328(精確到0.01)；(2)7.9122(精確到個(gè)位)；(3)47155(精確到百位)；(4)130.06(精確到0.1)；(5)4602.15(精確到千位)．解析：(1)把千分位上的數(shù)字2四舍五入即可；(2)把十分位上的數(shù)字9四舍五入即可；(3)先用科學(xué)記數(shù)法表示，然后把十位上的數(shù)字5四舍五入即可；(4)把百分位上的數(shù)字6四舍五入即可；(5)先用科學(xué)記數(shù)法表示，然后把百位上的數(shù)字6四舍五入即可．解：(1)0.6328≈0.63(精確到0.01)；(2)7.9122≈8(精確到個(gè)位)；(3)47155≈4.72×104(精確到百位)；(4)130.06≈130.1(精確到0.1)；(5)4602.15≈5×103(精確到千位)．方法總結(jié)：按精確度找出要保留的最后一個(gè)數(shù)位，再按下一個(gè)數(shù)位上的數(shù)四舍五入即可．易錯點(diǎn)：含乘方運(yùn)算時(shí)符號考慮不全產(chǎn)生漏解【例6】（23-24七年級上·貴州銅仁·階段練習(xí)）小明同學(xué)在計(jì)算：時(shí)，步驟如下：解：原式??（1）??（2）??（3）(1)小明的計(jì)算過程中開始出現(xiàn)錯誤的步驟是________；（填序號）(2)請給出正確的解題過程．【答案】(1)（1）(2)過程見解析【分析】本題考查的是含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算順序與運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵；（1）由乘方計(jì)算錯誤與除法計(jì)算錯誤可得答案；（2）先計(jì)算乘方，再計(jì)算乘除，最后計(jì)算加減運(yùn)算，有括號計(jì)算括號內(nèi)的運(yùn)算即可；【詳解】（1）解：第（1）步就出現(xiàn)錯誤；（2）；考點(diǎn)1：有理數(shù)的混合運(yùn)算1.計(jì)算：．【答案】【詳解】解：原式．2.計(jì)算：．【答案】【詳解】解：原式．3.計(jì)算：．【答案】【詳解】解：．4.計(jì)算：．【答案】【詳解】考點(diǎn)2：用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)5．“神威·太湖之光”超級計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度達(dá)每秒次，它工作可進(jìn)行多少次運(yùn)算？（結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示）【答案】它工作可進(jìn)行次運(yùn)算【詳解】解：，（次），答：它工作可進(jìn)行次運(yùn)算．6.在宇宙之中，光速是目前知道的最快的速度，可以達(dá)到3×108m/s，如果我們用光速行駛3.6×103s，請問我們行駛的路程為多少m？【解答】解：3×108×3.6×103＝3×3.6×108×103＝10.8×1011＝1.08×1012（m）．答：行駛的路程為1.08×1012m．7.已知一個(gè)U盤的名義內(nèi)存為10GB，平均每個(gè)視頻的內(nèi)存為512MB，平均每首音樂的內(nèi)存為10.24MB，平均每篇文章的內(nèi)存為10.24KB．現(xiàn)該U盤已存16個(gè)視頻，50首音樂．若該U盤的內(nèi)存的實(shí)際利用率為90%，求還可以存文章的最多篇數(shù)（用科學(xué)記數(shù)法表示）．（注：已知1GB＝1024MB，1MB＝1024KB）【解答】解：（10×1024×1024×0.9﹣512×1024×16﹣10.24×50×1024）÷10.24＝5.12×104，答：還可以存文章的最多篇數(shù)是5.12×104．考點(diǎn)3：按要求取近似值8.由四舍五入法得到的近似數(shù)8.8×103，下列說法中正確的是（）A．精確到十分位 B．精確到個(gè)位 C．精確到百位 D．精確到千位【解答】解：近似數(shù)8.8×103精確到百位．故選：C．9．小明的身高為1.68m，表示他實(shí)際身高a的范圍為（）A．1.675≤a＜1.685 B．1.675＜a≤1.685 C．1.675≤a≤1.685 D．1.675＜a＜1.685【解答】解：小明的身高為1.68m，表示他實(shí)際身高a的范圍為1.675≤a＜1.685．故選：A．10.數(shù)精確到位．【答案】百【詳解】解：數(shù)精確到百位，11.下列問題中出現(xiàn)的數(shù)，哪些是精確值哪些是近似值(1)某院校的某專業(yè)計(jì)劃招生人；(2)小明的立定跳遠(yuǎn)成績是；(3)若塵的這次數(shù)學(xué)考試成績是分；(4)據(jù)統(tǒng)計(jì)，公園門口每月的車流量大約是輛．【答案】(1)準(zhǔn)確數(shù)(2)近似數(shù)(3)準(zhǔn)確數(shù)(4)近似數(shù)【詳解】（1）解：某院校的某專業(yè)計(jì)劃招生人，是準(zhǔn)確數(shù)；（2）小明的立定跳遠(yuǎn)成績是，是近似數(shù)；（3）若塵的這次數(shù)學(xué)考試成績是分，是準(zhǔn)確數(shù)；（4）據(jù)統(tǒng)計(jì)，公園門口每月的車流量大約是輛，是近似數(shù)．考點(diǎn)4:有理數(shù)乘方與其他知識的綜合應(yīng)用12．（23-24七年級上·重慶江津·期中）若，則．【答案】【分析】本題主要考查了絕對值的非負(fù)性，平方的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是求出、的值，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算．先根據(jù)絕對值和平方的非負(fù)性求出、的值，然后再代入中計(jì)算即可．【詳解】，，，，，將，代入中得：，故答案為：．13．（22-23七年級上·廣東湛江·期末）若，則．【答案】【分析】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x，y的值，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，，∴，，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式求值，初中階段有三種類型的非負(fù)數(shù)：①絕對值；②偶次方；③二次根式（算術(shù)平方根）．當(dāng)它們相加和為0時(shí)，必須滿足其中的每一項(xiàng)都等于0．14．（23-24七年級上·河北石家莊·期中）若，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查有理數(shù)的乘方運(yùn)算，掌握絕對值、平方數(shù)的非負(fù)性，有理數(shù)的乘方運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)絕對值、平方數(shù)的非負(fù)性可求出的值，代入求值即可．【詳解】解：在中，∵，，∴，∴，故答案為：．考點(diǎn)5：有關(guān)乘方的規(guī)律探究問題15．觀察下列等式：，，，，…．通過觀察，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定的個(gè)位數(shù)字是（

）A．2 B．4 C．8 D．6【答案】C【詳解】解：繼續(xù)計(jì)算：，…，顯然個(gè)位數(shù)字是按2，4，8，6這一規(guī)律循環(huán)的，而，所以的個(gè)位數(shù)字是8；故選：C．16．觀察下列等式：，，，，，，解答下列問題：的末尾數(shù)字是【答案】2【詳解】解：∵，，，，，，∴末尾數(shù)，每4個(gè)一循環(huán)，∵，∴的末位數(shù)字相當(dāng)于：的末尾數(shù)為2．17．觀察下列算式：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，…那么的個(gè)位數(shù)字是．【答案】7【詳解】已知，末位數(shù)字為3，，末位數(shù)字為9，，末位數(shù)字為7，，末位數(shù)字為1，，末位數(shù)字為3，，末位數(shù)字為9，，末位數(shù)字為7，，末位數(shù)字為1，…由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次冪的末位數(shù)字以3、9、7、1四個(gè)數(shù)字為一循環(huán)，又，所以的末位數(shù)字與的末位數(shù)字相同是7．18．如圖是某種細(xì)胞分裂示意圖，這種細(xì)胞每過30分鐘便由1個(gè)分裂成2個(gè)．根據(jù)此規(guī)律可得：

(1)這樣的一個(gè)細(xì)胞經(jīng)過2小時(shí)后可分裂成多少個(gè)細(xì)胞？(2)這樣的一個(gè)細(xì)胞經(jīng)過多少小時(shí)后可分裂成64個(gè)細(xì)胞？【答案】(1)16(2)3【詳解】（1）解：經(jīng)過2小時(shí)，即第4個(gè)30分鐘后，可分裂成個(gè)細(xì)胞，經(jīng)過2小時(shí)后，可分裂成16個(gè)細(xì)胞；（2）解：根據(jù)題意，一個(gè)細(xì)胞第1個(gè)30分鐘分裂成2個(gè)，即個(gè)細(xì)胞；第2個(gè)30分鐘分裂成4個(gè)，即個(gè)；…依此類推，第個(gè)30分鐘分裂為個(gè)細(xì)胞；，解得，經(jīng)過6個(gè)30分鐘，即3小時(shí)后可分裂成64個(gè)細(xì)胞．考點(diǎn)6：利用有理數(shù)乘方解決實(shí)際問題19．（22-23七年級上·浙江溫州·期中）小明的文檔中有一個(gè)如圖1的實(shí)驗(yàn)中學(xué)，他想在這個(gè)文檔中用1000個(gè)這種，設(shè)計(jì)出一幅如圖2樣式的圖案．他使用“復(fù)制粘貼”（用鼠標(biāo)選中，右鍵點(diǎn)擊“復(fù)制”，然后在本文檔中“粘貼”的方式完成，則他需要使用“復(fù)制粘貼”的次數(shù)至少為（）A．9次 B．10次 C．11次 D．12次【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，理解題意是解題的關(guān)鍵．根據(jù)復(fù)制粘貼呈2倍的速度增加，所以求2的冪運(yùn)算．【詳解】解：，，故選：B20．（23-24七年級上·貴州六盤水·期末）如圖，將面積為1的長方形紙片分割成8個(gè)部分，部分①的面積是原長方形紙片面積的一半，部分②的面積是部分①面積的一半，部分③的面積是部分②面積的一半，依次類推，陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查圖形的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．根據(jù)題意和圖形，可以得到陰影部分的面積．【詳解】解：由圖可得，陰影部分的面積是，故選：C．21．（22-23七年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知第一個(gè)正方體紙盒的棱長為，第二個(gè)正方體紙盒的體積比第一個(gè)正方體紙盒的體積大．(1)求第二個(gè)正方體紙盒的棱長；(2)第二個(gè)正方體紙盒的表面積比第一個(gè)正方體紙盒的表面積多多少？【答案】(1)第二個(gè)正方體紙盒的棱長為(2)第二個(gè)正方體紙盒的表面積比第一個(gè)正方體紙盒的表面積多【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘方運(yùn)算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵熟練掌握正方體的體積公式和表面積公式．（1）先求出第一個(gè)正方體的體積，再求出第二個(gè)正方體的體積，得出其棱長即可；（2）根據(jù)正方體的表面積公式列出算式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：第一個(gè)正方體紙盒的體積為：，第二個(gè)正方體紙盒的體積為：，∵，∴第二個(gè)正方體紙盒的棱長為；（2）解：，答：第二個(gè)正方體紙盒的表面積比第一個(gè)正方體紙盒的表面積多．考點(diǎn)7：有關(guān)乘方的拓展創(chuàng)新題22．小明和同學(xué)們玩撲克牌游戲．游戲規(guī)則是：從一副撲克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進(jìn)行混合運(yùn)算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每張牌上的數(shù)字只能用一次，并使得運(yùn)算結(jié)果等于24．（1）小明抽到的牌如圖所示，請幫小明列出一個(gè)結(jié)果等于24的算式；（2）請你抽取任意數(shù)字不相同的4張撲克牌，并列出一個(gè)結(jié)果等于24的算式．【解答】解：（1）5×6﹣2×3＝24；（3+5）×（6÷2）＝24；（5﹣3）×2×6＝24；（2）如抽到黑桃3、紅桃4、方塊6、梅花10，則有：3×6+10﹣4＝24．23．閱讀下面的材料：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過“乘方”和“開方”運(yùn)算，下面給同學(xué)們介紹一種新的運(yùn)算，即對數(shù)運(yùn)算．定義：如果（，，），則b叫做以a為底N的對數(shù)，記作．例如：因?yàn)?，所以；因?yàn)椋裕?1)填空：，

(2)如果，求m的值．(3)對于“對數(shù)”運(yùn)算，小明同學(xué)認(rèn)為有“（，，，）”，他的說法正確嗎？如果正確，請給出證明過程；如果不正確，請說明理由，并加以改正．【答案】(1)1；4(2)29(3)不正確，理由見解析，【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，故答案為：1，4；（2）∵，∴，∴；（3）不正確，理由如下：設(shè)，，則，（，，，），∵，∴，∴，即．24.概念學(xué)習(xí)：現(xiàn)規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于0）的商的運(yùn)算叫做除方，比如，等，類比有理數(shù)的乘方，我們把寫作，讀作“2的圈3次方”，寫作，讀作“的圈4次方”，一般地把寫作a?，讀作“a的圈n次方”．初步探究：(1)直接寫出計(jì)算結(jié)果：；；(2)下列關(guān)于除方說法中，錯誤的有；（在橫線上填寫序號即可）A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1B．任何非零數(shù)的圈3次方都等于它的倒數(shù)C．負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)D．圈n次方等于它本身的數(shù)是1或-1．深入思考：我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，那么有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？(3)歸納：請把有理數(shù)的圈次方寫成冪的形式為：a?=；(4)比較：；（填“＞”“＜”或“=”）(5)計(jì)算：．【答案】(1)1，-3(2)D(3)(4)(5)【詳解】（1）；；故答案為：1；；（2）A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1，故A不符合題意；B．任何非零數(shù)的圈3次方都等于它的倒數(shù)，故B不符合題意；C．負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)，故C不符合題意；D．圈n次方等于它本身的數(shù)是1，的圈偶數(shù)次方等于1，的圈奇數(shù)次等于，故D符合題意；故選：D；（3）a?，故答案為：；（4）∵，，∴，故答案為：；（5）25．（本學(xué)期我們學(xué)習(xí)了“有理數(shù)乘方”運(yùn)算，知道乘方的結(jié)果叫做“冪”，下面介紹一種有關(guān)“冪”的新運(yùn)算．定義：與（，m，n都是正整數(shù)）叫做同底數(shù)冪，同底數(shù)冪除法記作．運(yùn)算法則如下：(1)填空：______，______；(2)如果，且，求出x的值；(3)如果，請直接寫出x的值______．【答案】(1)，；(2)；(3)，，．【詳解】（1）解：，，故答案為：，；（2）解：因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，解得：；?）由題意知，①，解得：；②，解得：；③且與為偶數(shù)，解得：；綜上，，，．一、單選題1．（23-24七年級上·福建南平·期末）年“亞運(yùn)＋雙節(jié)”讓杭州火出圈，相關(guān)數(shù)據(jù)顯示，國慶期間杭州共接待游客約人次，將數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．將一個(gè)數(shù)表示成的形式，其中，為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法，據(jù)此即可得到答案．【詳解】解：，故選：B．2．（23-24七年級上·重慶長壽·期中）下列各組數(shù)中，其值相等的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】C【分析】此題主要考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，熟練應(yīng)用有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵；分別利用有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則求出進(jìn)而比較得出即可；【詳解】解：A、，故不符合題意；B、，故不符合題意；C、，故符合題意；D、，故不符合題意；故選：C．3．（23-24七年級上·廣東廣州·期中）用四舍五入法對2.06032分別取近似值，其中錯誤的是（

）A．2.1（精確到 B．2.06（精確到百分位）C．2.0（精確到十分位） D．2.0603（精確到【答案】C【分析】本題考查了近似數(shù)與精確度，熟練掌握精確度的定義是解答本題的關(guān)鍵．要求精確到某一位，應(yīng)當(dāng)對下一位的數(shù)字進(jìn)行四舍五入．【詳解】解：A．（精確到，正確，不符合題意；B．（精確到百分位），正確，不符合題意；C．（精確到十分位），原說法錯誤，符合題意；D．（精確到，正確，不符合題意；故選C．4．（23-24七年級上·湖北武漢·期中）我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，采取滿七進(jìn)一的方式，用來記錄孩子自出生后的天數(shù)．例如圖1表示的是孩子出生后30天時(shí)打繩結(jié)的情況（因?yàn)椋海?，那么由圖2可知，孩子出生后的天數(shù)是（

）天

A．510 B．511 C．513 D．520【答案】A【分析】本題考查了計(jì)數(shù)方法，有理數(shù)的混合運(yùn)算．類比于現(xiàn)在我們的十進(jìn)制“滿十進(jìn)一”，可以表示滿七進(jìn)一的數(shù)為：千位上的數(shù)百位上的數(shù)十位上的數(shù)個(gè)位上的數(shù)，再列式計(jì)算即可．【詳解】解：（天），答：孩子自出生后的天數(shù)是510天．故選：A．5．（23-24七年級上·福建泉州·期中）為了紀(jì)念著名的數(shù)學(xué)家蘇步青及其卓越貢獻(xiàn)，國際上將一顆距地球約218000000公里的行星命名為“蘇步青星”，數(shù)據(jù)218000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時(shí)，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時(shí)，是負(fù)整數(shù)．【詳解】解：，故選：C．二、填空題6．（23-24七年級上·浙江杭州·階段練習(xí)）在中底數(shù)是，指數(shù)是．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的意義是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)冪的定義中指數(shù)與底數(shù)的說明解答本題．【詳解】解：在中底數(shù)是，指數(shù)是，故答案為：，7．（23-24七年級上·天津?qū)幒印て谥校┯盟纳嵛迦敕▽⒕_到百分位約為．【答案】【分析】本題考查了近似數(shù)，近似數(shù)精確到哪一位，應(yīng)當(dāng)看末位數(shù)字實(shí)際在哪一位．【詳解】解：用四舍五入法將精確到百分位約為．故答案為：．8．（22-23七年級上·江西宜春·期中）3.14（精確到十分位）．【答案】【分析】本題要求熟練掌握對近似數(shù)的精確度理解是否深刻，能熟練運(yùn)用四舍五入法取近似數(shù)．3.14精確到十分位，即精確到小數(shù)點(diǎn)后第一位．【詳解】3.14（精確到十分位），故答案為：．9．（23-24七年級上·江蘇徐州·階段練習(xí)）計(jì)算：，，．【答案】4/【分析】本題考查了去括號法則、有理數(shù)的乘方運(yùn)算，正確計(jì)算出結(jié)果是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)的乘方法則、去括號法則計(jì)算即可．【詳解】解：，，，故答案為：，4，．10．（23-24七年級上·重慶黔江·期中）下列說法正確的有①倒數(shù)為本身的數(shù)是0，；②絕對值為它的相反數(shù)的數(shù)一定是負(fù)數(shù)；③若，則；

④任何一個(gè)有理數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)．【答案】④【分析】此題考查絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)和有理數(shù)的乘方，關(guān)鍵是掌握絕對值、相反數(shù)和倒數(shù)的定義．根據(jù)絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)和有理數(shù)的乘方解答即可．【詳解】解：①倒數(shù)為本身的數(shù)是，故①錯誤；②絕對值為它的相反數(shù)的一定是0和負(fù)數(shù)，故②錯誤；③若，則，故③錯誤；④任何一個(gè)有理數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)，故④正確．所以，正確的結(jié)論是④．故答案為：④．11．（23-24七年級上·安徽黃山·期中）觀察算式：，，，，，，，，…，通過觀察，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定的個(gè)位數(shù)字是．【答案】7【分析】本題是一道找規(guī)律的題目，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．通過觀察得出3的乘方的末位數(shù)字以3、9、7、1四個(gè)數(shù)字為一循環(huán)是解決問題的關(guān)鍵．從運(yùn)算的結(jié)果可以看出尾數(shù)以3、9、7、1四個(gè)數(shù)字一循環(huán)，用2023除以4，余數(shù)是幾就和第幾個(gè)數(shù)字相同，由此解決問題即可．【詳解】解：已知，末位數(shù)字為3，，末位數(shù)字為9，，末位數(shù)字為7，，末位數(shù)字為1，，末位數(shù)字為3，，末位數(shù)字為9，，末位數(shù)字為7，，末位數(shù)字為1，…由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次冪的末位數(shù)字以3、9、7、1四個(gè)數(shù)字為一循環(huán)，又，所以的末位數(shù)字與的末位數(shù)字相同是7．故答案為：7．12．（23-24七年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖（單位：個(gè)），甲、乙、丙三只袋中裝有球29個(gè)、74個(gè)、38個(gè)，先從甲袋中取出個(gè)球放入乙袋，再從乙袋中取出個(gè)球放入丙袋，最后從丙袋中取出個(gè)球放入甲袋，此時(shí)三只袋中球的個(gè)數(shù)都相同，則的值等于．

【答案】5【分析】本題考查有理數(shù)的乘方，先求得三只袋中球的個(gè)數(shù)都相同時(shí)的個(gè)數(shù)，然后分別求得，的值后即可求得，的值，繼而求得的值．【詳解】解：，則①，，即②，由②得：，將②代入①整理得：，則，，故答案為：5．13．（23-24七年級上·江蘇蘇州·期末）一般地，n個(gè)相同因數(shù)a相乘：記為，如，此時(shí)，3叫做以2為底的8的對數(shù)，記為（即），那么．【答案】14【分析】本題主要考查定義新運(yùn)算，有理數(shù)的乘方運(yùn)算，由，，可求出，，繼而可計(jì)算出結(jié)果．【詳解】解：，，，，，故答案為：14．14．（23-24七年級上·河南鄭州·階段練習(xí)）你喜歡吃拉面嗎？拉面館的師傅，用一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再拉伸，反復(fù)幾次，如草圖所示．這樣捏合到第8次后可拉出根細(xì)面條．【答案】256【分析】此題考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用，熟練掌握乘方的意義是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意列出算式，計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：∵第1次后可拉出2根，第2次后可拉出根，第3次后可拉出根，…∴第8次后可拉出根，，故答案為：256．15．（21-22七年級上·廣東廣州·開學(xué)考試）數(shù)乘，積是一個(gè)完全平方數(shù)，則的最小值為．【答案】【分析】本題主要了考查完全平方數(shù)，根據(jù)題意先把分解因數(shù)，結(jié)合最小即可求得的值，解題的關(guān)鍵是正確理解完全平方數(shù)可以分解為兩個(gè)相同數(shù)的乘積．【詳解】解：由，∵數(shù)乘，積是一個(gè)完全平方數(shù)，∴是一個(gè)完全平方數(shù)，∴的最小值為，故答案為：．16．（23-24七年級上·四川成都·期末）《莊子》中記載：“一尺之捶，日取其半，萬世不竭．”這句話的意思是一尺長的木棍，每天截取它的一半，永遠(yuǎn)也截不完．若按此方式截一根長為1的木棍，第6天截取后木棍剩余的長度是．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，理解題意，正確找出數(shù)式規(guī)律，是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，先分別求出第一、二、三天截取后木棍剩余的長度，從而找出規(guī)律，由此得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：第一天截取后木棍剩余長度為：，第二天截取后木棍剩余長度為：，第三天截取后木棍剩余長度為：，第天截取后木棍剩余長度為：，第6天截取后木棍剩余長度為：．故答案為：．三、解答題17．（23-24七年級上·湖南岳陽·期末）計(jì)算：．【答案】．【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性即可．【詳解】解：原式18．（23-24七年級上·廣東珠?！るA段練習(xí)）計(jì)算：【答案】【分析】本題考查了求一個(gè)數(shù)的絕