第13講 整式的加減-人教版新七年級(jí)《數(shù)學(xué)》暑假自學(xué)提升講義（解析版）

第第頁第13講整式的加減（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)+7個(gè)考點(diǎn)+易錯(cuò)分析）模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1.掌握去括號(hào)法則,能準(zhǔn)確地去括號(hào)2.會(huì)通過去括號(hào)、合并同類項(xiàng)將整式化簡(jiǎn)3.能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式加法和減法運(yùn)算:4.會(huì)運(yùn)用整式加減解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題知識(shí)點(diǎn)1.去括號(hào)（難點(diǎn)）去括號(hào)法則如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相同；如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相反．要點(diǎn)歸納：(1)去括號(hào)法則實(shí)際上是根據(jù)乘法分配律推出的：當(dāng)括號(hào)前為“+”號(hào)時(shí)，可以看作+1與括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)相乘；當(dāng)括號(hào)前為“-”號(hào)時(shí)，可以看作-1與括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)相乘．（2）去括號(hào)時(shí)，首先要弄清括號(hào)前面是“+”號(hào)，還是“-”號(hào)，然后再根據(jù)法則去掉括號(hào)及前面的符號(hào)．(3)對(duì)于多重括號(hào)，去括號(hào)時(shí)可以先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，也可以先去中括號(hào)．再去小括號(hào)．但是一定要注意括號(hào)前的符號(hào)．（4）去括號(hào)只是改變式子形式，但不改變式子的值，它屬于多項(xiàng)式的恒等變形．知識(shí)點(diǎn)2.整式的加減（重點(diǎn)）一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng)．要點(diǎn)歸納：（1）整式加減的一般步驟是：①先去括號(hào)；②再合并同類項(xiàng)．（2）兩個(gè)整式相減時(shí)，減數(shù)一定先要用括號(hào)括起來．(3)整式加減的最后結(jié)果的要求：①不能含有同類項(xiàng)，即要合并到不能再合并為止；②一般按照某一字母的降冪或升冪排列；③不能出現(xiàn)帶分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)要化成假分?jǐn)?shù)．易錯(cuò)點(diǎn)1.去括號(hào)時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤去括號(hào)時(shí),括號(hào)前面是“_”號(hào)時(shí),常忘記改變括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)的符號(hào),出現(xiàn)錯(cuò)誤;或者括號(hào)前有數(shù)字因數(shù),去括號(hào)時(shí)沒把數(shù)字因數(shù)與括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)相乘出現(xiàn)漏乘現(xiàn)象,只有嚴(yán)格按照去括號(hào)法則運(yùn)算,才可能避免上述錯(cuò)誤易錯(cuò)點(diǎn)2.進(jìn)行整式加減時(shí)忽略括號(hào)的作用在多項(xiàng)式加法運(yùn)算中，整式可以不加括號(hào),在多項(xiàng)式減法運(yùn)算中,被減式可以不加括號(hào)，但減式必須加上括號(hào)考點(diǎn)1.去括號(hào)【例1】下列去括號(hào)正確嗎？如有錯(cuò)誤，請(qǐng)改正．(1)＋(－a－b)＝a－b；(2)5x－(2x－1)－xy＝5x－2x＋1＋xy；(3)3xy－2(xy－y)＝3xy－2xy－2y；(4)(a＋b)－3(2a－3b)＝a＋b－6a＋3b.解析：先判斷括號(hào)外面的符號(hào)，再根據(jù)去括號(hào)法則選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄈダㄌ?hào)．解：(1)錯(cuò)誤，括號(hào)外面是“＋”號(hào)，括號(hào)內(nèi)不變號(hào)，應(yīng)該是：＋(－a－b)＝－a－b；(2)錯(cuò)誤，－xy沒在括號(hào)內(nèi)，不應(yīng)變號(hào)，應(yīng)該是：5x－(2x－1)－xy＝5x－2x＋1－xy；(3)錯(cuò)誤，括號(hào)外是“－”號(hào)，括號(hào)內(nèi)應(yīng)該變號(hào)，應(yīng)該是：3xy－2(xy－y)＝3xy－2xy＋2y；(4)錯(cuò)誤，有乘法的分配律使用錯(cuò)誤，應(yīng)該是：(a＋b)－3(2a－3b)＝a＋b－6a＋9b.方法總結(jié)：本題考查去括號(hào)的方法：去括號(hào)時(shí)，運(yùn)用乘法的分配律，先把括號(hào)前的數(shù)字與括號(hào)里各項(xiàng)相乘，再運(yùn)用括號(hào)前是“＋”，去括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)都不改變符號(hào)；括號(hào)前是“－”，去括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)．【變式1-1】（2024?翔安區(qū)二模）去括號(hào)的結(jié)果是A． B． C． D．【分析】根據(jù)去括號(hào)的方法即可得出答案．【解答】解：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查去括號(hào)的方法：去括號(hào)時(shí)，運(yùn)用乘法的分配律，先把括號(hào)前的數(shù)字與括號(hào)里各項(xiàng)相乘，再運(yùn)用括號(hào)前是“”，去括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)都不改變符號(hào)；括號(hào)前是“”，去括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)．【變式1-2】（2024?涼州區(qū)二模）下列去括號(hào)正確的是A． B． C． D．【分析】應(yīng)用去括號(hào)法則逐個(gè)計(jì)算得結(jié)論．【解答】解：，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)正確；，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查去括號(hào)的方法：去括號(hào)時(shí)，運(yùn)用乘法的分配律，先把括號(hào)前的數(shù)字與括號(hào)里各項(xiàng)相乘，再運(yùn)用括號(hào)前是“”，去括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)都不改變符號(hào)；括號(hào)前是“”，去括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)．順序?yàn)橄却蠛笮。咀兪?-3】去掉下列各式中的括號(hào)：(1).8m-(3n+5)；(2).n-4(3-2m)；(3).2(a-2b)-3(2m-n).【答案】(1).8m-(3n+5)＝8m-3n-5.(2).n-4(3-2m)＝n-(12-8m)＝n-12+8m.(3).2(a-2b)-3(2m-n)＝2a-4b-(6m-3n)＝2a-4b-6m+3n.考點(diǎn)2.去括號(hào)后進(jìn)行整式的化簡(jiǎn)【例2】先去括號(hào)，后合并同類項(xiàng)：(1)x＋[－x－2(x－2y)]；(2)eq\f(1,2)a－(a＋eq\f(2,3)b2)＋3(－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,3)b2)；(3)2a－(5a－3b)＋3(2a－b)；(4)－3{－3[－3(2x＋x2)－3(x－x2)－3]}．解析：去括號(hào)時(shí)注意去括號(hào)后符號(hào)的變化，然后找出同類項(xiàng)，根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則，即系數(shù)相加作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變．解：(1)x＋[－x－2(x－2y)]＝x－x－2x＋4y＝－2x＋4y；(2)原式＝eq\f(1,2)a－a－eq\f(2,3)b2－eq\f(3,2)a＋b2＝－2a＋eq\f(b2,3)；(3)2a－(5a－3b)＋3(2a－b)＝2a－5a＋3b＋6a－3b＝3a；(4)－3{－3[－3(2x＋x2)－3(x－x2)－3]}＝－3{9(2x＋x2)＋9(x－x2)＋9}＝－27(2x＋x2)－27(x－x2)－27＝－54x－27x2－27x＋27x2－27＝－81x－27.方法總結(jié)：解決本題是要注意去括號(hào)時(shí)符號(hào)的變化，并且不要漏乘．有多個(gè)括號(hào)時(shí)要注意去各個(gè)括號(hào)時(shí)的順序．【變式2-1】（2023秋·全國·七年級(jí)課堂例題）化簡(jiǎn)：（1）；（2）．【答案】【分析】（1）利用括號(hào)前是正號(hào)，去括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)都不改變符號(hào)，進(jìn)而得出答案；（2）利用括號(hào)前是負(fù)號(hào)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相反，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：（1）；故答案為：；（2），故答案為：；【點(diǎn)睛】此題主要考查了去括號(hào)法則，正確掌握去括號(hào)法則是解題關(guān)鍵．【變式2-2】化簡(jiǎn)：3(2x2－y2)－2(3y2－2x2)．解析：先運(yùn)用去括號(hào)法則去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)．注意去括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前是負(fù)號(hào)，那么括號(hào)中的每一項(xiàng)都要變號(hào)；合并同類項(xiàng)時(shí)，只把系數(shù)相加減，字母與字母的指數(shù)不變．解：3(2x2－y2)－2(3y2－2x2)＝6x2－3y2－6y2＋4x2＝10x2－9y2.方法總結(jié)：去括號(hào)時(shí)應(yīng)注意：①不要漏乘；②括號(hào)前面是“－”，去括號(hào)后括號(hào)里面的各項(xiàng)都要變號(hào)．【變式2-3】（2023秋?長(zhǎng)葛市期中）先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)（1）（2）【分析】（1）根據(jù)括號(hào)前是正號(hào)去括號(hào)不變號(hào)，括號(hào)前是負(fù)號(hào)去掉括號(hào)要變號(hào)，可去掉括號(hào)，根據(jù)合并同類項(xiàng)，可得答案；（2）根據(jù)括號(hào)前是正號(hào)去括號(hào)不變號(hào)，括號(hào)前是負(fù)號(hào)去掉括號(hào)要變號(hào)，可去掉括號(hào)，根據(jù)合并同類項(xiàng)，可得答案；【解答】解：（1）；（2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了去括號(hào)與添括號(hào)，合并同類項(xiàng)，括號(hào)前是正號(hào)去掉括號(hào)不變號(hào)，括號(hào)前是負(fù)號(hào)去掉括號(hào)要變號(hào)．考點(diǎn)3.整式的化簡(jiǎn)求值【例3】化簡(jiǎn)求值：eq\f(1,2)a－2(a－eq\f(1,3)b2)－(eq\f(3,2)a＋eq\f(1,3)b2)＋1，其中a＝2，b＝－eq\f(3,2).解析：原式去括號(hào)合并得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把a(bǔ)與b的值代入計(jì)算即可求出值．解：原式＝eq\f(1,2)a－2a＋eq\f(2,3)b2－eq\f(3,2)a－eq\f(1,3)b2＋1＝－3a＋eq\f(1,3)b2＋1，當(dāng)a＝2，b＝－eq\f(3,2)時(shí)，原式＝－3×2＋eq\f(1,3)×(－eq\f(3,2))2＋1＝－6＋eq\f(3,4)＋1＝－4eq\f(1,4).方法總結(jié)：化簡(jiǎn)求值時(shí)，一般先將整式進(jìn)行化簡(jiǎn)，當(dāng)代入求值時(shí)，要適當(dāng)添上括號(hào)，否則容易發(fā)生計(jì)算錯(cuò)誤，同時(shí)還要注意代數(shù)式中同一字母必須用同一數(shù)值代替，代數(shù)式中原有的數(shù)字和運(yùn)算符號(hào)都不改變．【變式3-1】先化簡(jiǎn)，再求值：已知x＝－4，y＝eq\f(1,2)，求5xy2－[3xy2－(4xy2－2x2y)]＋2x2y－xy2.解析：原式去括號(hào)合并得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把x與y的值代入計(jì)算即可求出值．解：原式＝5xy2－3xy2＋4xy2－2x2y＋2x2y－xy2＝5xy2，當(dāng)x＝－4，y＝eq\f(1,2)時(shí)，原式＝5×(－4)×(eq\f(1,2))2＝－5.方法總結(jié)：解決本題是要注意去括號(hào)，去括號(hào)要注意順序，先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)．負(fù)數(shù)代入求值時(shí)，要加上括號(hào)．【變式3-2】（2023秋?襄城區(qū)期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【分析】根據(jù)整式的加減混合運(yùn)算法則把原式化簡(jiǎn)，代入計(jì)算即可．【解答】解：當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是整式的加減混合運(yùn)算，掌握整式的加減混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2024?望城區(qū)一模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【分析】先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，化簡(jiǎn)后將，的值代入即可．【解答】解：原式，當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握去括號(hào)，合并同類項(xiàng)的法則把所求式子化簡(jiǎn)．考點(diǎn)4.整體思想在整式求值中應(yīng)用【例4】已知式子x2－4x＋1的值是3，求式子3x2－12x－1的值．解析：若從已知條件出發(fā)先求出x的值，再代入計(jì)算，目前來說是不可能的．因此可把x2－4x看作一個(gè)整體，采用整體代入法，則問題可迎刃而解．解：因?yàn)閤2－4x＋1＝3，所以x2－4x＝2，所以3x2－12x－1＝3(x2－4x)－1＝3×2－1＝5.方法總結(jié)：在整式的加減運(yùn)算中，運(yùn)用整體思想對(duì)某些問題進(jìn)行整體處理，常常能化繁為簡(jiǎn)，解決一些目前無法解決的問題．【變式4-1】．（2024春?道里區(qū)校級(jí)期中）【知識(shí)呈現(xiàn)】我們可把中的“”看成一個(gè)字母，使這個(gè)代數(shù)式簡(jiǎn)化為，“整體思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的一種重要的思想方法，它在多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)與求值中應(yīng)用極為廣泛．在數(shù)學(xué)中，常常用這樣的方法把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題．【解決問題】（1）上面【知識(shí)呈現(xiàn)】中的問題的化簡(jiǎn)結(jié)果為；（用含、的式子表示）（2）若代數(shù)式的值為3，求代數(shù)式的值為；【靈活運(yùn)用】應(yīng)用【知識(shí)呈現(xiàn)】中的方法解答下列問題：（3）已知，的值為最大的負(fù)整數(shù)，求的值．【分析】（1）令“”，則原式化為，然后合并同類項(xiàng)，最后將代入即可；（2）將變形為，然后整體代入求值即可；（3）由題意得出，結(jié)合即可得出，將變形為，然后代入求值即可．【解答】解：（1）令“”，則，故答案為：；（2）由題意得，，，，故答案為：；（3）的值為最大的負(fù)整數(shù)，①，②，①②，得，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整體思想，合并同類項(xiàng)，負(fù)整數(shù)，理解題意，熟練掌握整體思想是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】．（2023秋?南召縣期末）【教材呈現(xiàn)】“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中一種重要的思想方法，它在多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)與求值中應(yīng)用極為廣泛．下題是華師版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第117頁的部分內(nèi)容．代數(shù)式的值為7，則代數(shù)式的值為_____．【閱讀理解】小明在做作業(yè)時(shí)采用的方法如下：由題意得，則有，，所以代數(shù)式的值為5．【方法運(yùn)用】（1）若代數(shù)式的值為15，求代數(shù)式的值．（2）若時(shí)，代數(shù)式的值為11，當(dāng)時(shí)，求代數(shù)式的值．【拓展應(yīng)用】（3）若，．求的值．【分析】（1）讀懂題意，利用整體代入思想，化簡(jiǎn)求值即可得到答案；（2）將代入，得到；再將代入化簡(jiǎn)求值，整體代入即可得到答案；（3）分析所求代數(shù)式與條件之間的關(guān)系，化簡(jiǎn)，代值求解即可得到答案．【解答】解：（1），，；（2）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)：；（3），，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的化簡(jiǎn)求值，涉及整式運(yùn)算、整體代入求值等知識(shí)，熟練掌握整式運(yùn)算及整體代入思想是解決問題的關(guān)鍵．【變式4-3】數(shù)學(xué)中，運(yùn)用整體思想在求代數(shù)式的值時(shí)非常重要．例如：已知，則代數(shù)式，．請(qǐng)根據(jù)以上材料解答下列問題：(1)若，求的值；(2)若整式的值是8，求整式的值；(3)當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的值是5，求當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的值．【答案】(1)9(2)1(3)【分析】（1）將變形為，再整體代入，進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先由整式的值是8得到，再將變形為，整體代入，進(jìn)行計(jì)算即可；（3）先根據(jù)當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的值是5求出，再將代入得，最后整體代入，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，；（2）解：整式的值是8，，，；（3）解：當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的值是5，，，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了求代數(shù)式的值，熟練掌握整體代入的思想，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．考點(diǎn)5.利用“無關(guān)”進(jìn)行說理或求值【例5】有這樣一道題“當(dāng)a＝2，b＝－2時(shí)，求多項(xiàng)式3a3b3－eq\f(1,2)a2b＋b－(4a3b3－eq\f(1,4)a2b－b2)＋(a3b3＋eq\f(1,4)a2b)－2b2＋3的值”，馬小虎做題時(shí)把a(bǔ)＝2錯(cuò)抄成a＝－2，王小真沒抄錯(cuò)題，但他們做出的結(jié)果卻都一樣，你知道這是怎么回事嗎？說明理由．解析：先通過去括號(hào)、合并同類項(xiàng)對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后代入a，b的值進(jìn)行計(jì)算．解：3a3b3－eq\f(1,2)a2b＋b－(4a3b3－eq\f(1,4)a2b－b2)＋(a3b3＋eq\f(1,4)a2b)－2b2＋3＝(3－4＋1)a3b3＋(－eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,4))a2b＋(1－2)b2＋b＋3＝b－b2＋3.因?yàn)樗缓凶帜竌，所以代數(shù)式的值與a的取值無關(guān)．方法總結(jié)：解答此類題的思路就是把原式化簡(jiǎn)，得到一個(gè)不含指定字母的結(jié)果，便可說明該式與指定字母的取值無關(guān)．【變式5-1】（2023秋?斗門區(qū)期末）（1）已知兩個(gè)多項(xiàng)式、，，，求的值．（2）某位同學(xué)做一道題：已知兩個(gè)多項(xiàng)式、，求的值．他誤將看成，求得結(jié)果為，已知，求的正確答案．【分析】（1）把，代入計(jì)算即可；（2）先根據(jù)，求出的表達(dá)式，再求出的值即可．【解答】解：（1），，；（2），，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是整式的加減，熟知整式的加減實(shí)質(zhì)上是合并同類項(xiàng)是解答此題的關(guān)鍵．【變式5-2】．（2023秋?廣州期末）（1）已知，．當(dāng)，時(shí)，求的值．（2）是否存在數(shù)，使化簡(jiǎn)關(guān)于，的多項(xiàng)式的結(jié)果中不含項(xiàng)？若不存在，說明理由；若存在，求出的值．【分析】（1）先利用整式加減運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再把，看作一個(gè)整體，代入求值可得；（2）直接利用整式的加減運(yùn)算法則合并同類項(xiàng)，進(jìn)而得出，即可得出答案．【解答】解：（1），當(dāng)，時(shí)，；（2），關(guān)于，的多項(xiàng)式化簡(jiǎn)后結(jié)果中不含項(xiàng)，，解得：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的加減—化簡(jiǎn)求值，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】．（2023秋?雨湖區(qū)期末）（1）數(shù)學(xué)趙老師布置了一道數(shù)學(xué)題：已知，求整式的值，小涵觀察后提出：“已知是多余的．”你認(rèn)為小涵的說法對(duì)嗎？請(qǐng)說明理由．（2）已知整式，整式與整式之差是．①求整式；②若是常數(shù)，且的值與無關(guān)，求的值．【分析】（1）將原式去括號(hào)，合并同類項(xiàng)后即可得出答案；（2）①根據(jù)題意列式計(jì)算即可；②根據(jù)題意列式計(jì)算后得到關(guān)于的方程，解方程即可．【解答】解：（1）小涵的說法對(duì)，理由如下：，即整式的值與的取值無關(guān)，故小涵的說法對(duì)；（2）①，即整式為；②，的值與無關(guān)，，解得．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式5-4】．（2024春?鐵西區(qū)期中）【典例展示】若關(guān)于，的代數(shù)式的值與無關(guān)，求的值．解：原式代數(shù)式的值與無關(guān)，，．【理解應(yīng)用】已知，，且的值與無關(guān)，求的值；【拓展延伸】用6張長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形紙片按照如圖所示的方式不重疊地放在大長(zhǎng)方形內(nèi)，大長(zhǎng)方形中未被覆蓋的兩個(gè)部分，設(shè)左上角部分的面積為，右下角部分的面積為，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí)，的值始終保持不變，求與之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】【理解應(yīng)用】先計(jì)算可得到，根據(jù)題意可知項(xiàng)的系數(shù)為0，據(jù)此即可作答；【拓展延伸】設(shè)，由圖可知，，則，根據(jù)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí)，的值始終保持不變，所以的值與的值無關(guān)，即，則問題得解．【解答】解：【理解應(yīng)用】，，，的值與無關(guān)，，；（2）設(shè)，由圖可知，，則，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí)，的值始終保持不變，的值與的值無關(guān)，，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了整式加減中的無關(guān)型問題，涉及整式的乘法、整式的加減知識(shí)，熟練掌握整式加減乘法的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)6.整式加減的應(yīng)用【例6】某商店有一種商品每件成本a元，原來按成本增加b元定出售價(jià)，售出40件后，由于庫存積壓，調(diào)整為按售價(jià)的80%出售，又銷售了60件．(1)銷售100件這種商品的總售價(jià)為多少元？(2)銷售100件這種商品共盈利多少元？解析：(1)求出40件的售價(jià)與60件的售價(jià)即可確定出總售價(jià)；(2)由利潤＝售價(jià)－成本列出關(guān)系式即可得到結(jié)果．解：(1)根據(jù)題意得40(a＋b)＋60(a＋b)×80%＝88a＋88b(元)，則銷售100件這種商品的總售價(jià)為(88a＋88b)元；(2)根據(jù)題意得88a＋88b－100a＝－12a＋88b(元)，則銷售100件這種商品共盈利(－12a＋88b)元．方法總結(jié)：解決此類題目的關(guān)鍵是熟記去括號(hào)法則，熟練運(yùn)用合并同類項(xiàng)的法則．【變式6-1】如圖，小紅家裝飾新家，小紅為自己的房間選擇了一款窗簾(陰影部分表示窗簾)，請(qǐng)你幫她計(jì)算：(1)窗戶的面積是多大？(2)窗簾的面積是多大？(3)掛上這種窗簾后，窗戶上還有多少面積可以射進(jìn)陽光．解析：(1)窗戶的寬為b＋eq\f(b,2)＋eq\f(b,2)＝2b，長(zhǎng)為a＋eq\f(b,2)，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算方法求得答案即可；(2)窗簾的面積是2個(gè)半徑為eq\f(b,2)的eq\f(1,4)圓的面積和一個(gè)直徑為b的半圓的面積的和，相當(dāng)于一個(gè)半徑為eq\f(b,2)的圓的面積；(3)利用窗戶的面積減去窗簾的面積即可．解：(1)窗戶的面積是(b＋eq\f(b,2)＋eq\f(b,2))(a＋eq\f(b,2))＝2b(a＋eq\f(b,2))＝2ab＋b2；(2)窗簾的面積是π(eq\f(b,2))2＝eq\f(1,4)πb2；(3)射進(jìn)陽光的面積是2ab＋b2－eq\f(1,4)πb2＝2ab＋(1－eq\f(1,4)π)b2.方法總結(jié)：解決問題的關(guān)鍵是看清圖意，正確利用面積計(jì)算公式列式即可．【變式6-2】做大小兩個(gè)長(zhǎng)方體紙盒，尺寸如下（單位：cm）:長(zhǎng)寬高小紙盒abc大紙盒1.5a2b2c（1）做這兩個(gè)紙盒共用料多少平方厘米？（2）做大紙盒比小紙盒多用料多少平方厘米？解：（1）做這兩個(gè)紙盒共用料（單位：cm2）（2ab+2bc+2ac）+（6ab+8bc+6ca）=8ab+10bc+8ac.（2）做大紙盒比做小紙盒多用料（單位：cm2）（6ab+8bc+6ca）-（2ab+2bc+2ca）=4ab+6bc+4ac.【變式6-3】．（2023秋?成武縣期末）已知三角形的第一條邊的長(zhǎng)是，第二條邊長(zhǎng)是第一條邊長(zhǎng)的2倍少3，第三條邊比第二條邊短5．（1）用含、的式子表示這個(gè)三角形的周長(zhǎng)；（2）當(dāng)，時(shí)，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)；（3）當(dāng)，三角形的周長(zhǎng)為39時(shí)，求各邊長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)題意表示出三角形的周長(zhǎng)即可；（2）把與的值代入計(jì)算即可求出值；（3）根據(jù)周長(zhǎng)求出各邊長(zhǎng)即可．【解答】解：（1）原式；（2）當(dāng)，時(shí)，原式；（3）當(dāng)時(shí)，，，則第一條邊為10，第二條邊為17，第三條邊為12．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的加減，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式6-4】．（2023秋?社旗縣期末）如圖，為了方便學(xué)生停放自行車，學(xué)校建了一塊長(zhǎng)邊靠墻的長(zhǎng)方形停車場(chǎng)，其他三面用護(hù)欄圍起，其中停車場(chǎng)的長(zhǎng)為米，寬比長(zhǎng)少米．（1）用含、的代數(shù)式表示護(hù)欄的總長(zhǎng)度；（2）若，，每米護(hù)欄造價(jià)80元，求建此停車場(chǎng)所需護(hù)欄的費(fèi)用．【分析】（1）先求出停車場(chǎng)的寬，然后再求出護(hù)欄的長(zhǎng)度即可；（2）把，代入求值即可．【解答】解：（1）停車場(chǎng)的寬為：米，護(hù)欄的長(zhǎng)度為：米．（2）當(dāng)，時(shí)，（元，故建此停車場(chǎng)所需護(hù)欄的費(fèi)用是19600元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的加減，解題的關(guān)鍵是掌握去括號(hào)法則，合并同類項(xiàng)法則．考點(diǎn)7.整式加減的拓展創(chuàng)新題【例7】（2024春?高新區(qū)期末）對(duì)于一個(gè)三位自然數(shù)，若它的百位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字多6，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字多1，則稱為“兒童數(shù)”．如：三位數(shù)721，，，是“兒童數(shù)”．（1）請(qǐng)你寫出一個(gè)“兒童數(shù)”；除外）（2）將721按照如下程序運(yùn)算：721交換百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字127，用大數(shù)721減去小數(shù)127得到差為594，差594不為兩位數(shù)，594交換百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字495，用大數(shù)594減去小數(shù)495得到差為99，請(qǐng)你用（1）中所寫“兒童數(shù)”按照程序計(jì)算結(jié)果；（3）設(shè)任意一個(gè)“兒童數(shù)”，百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為，按照（2）的程序列式計(jì)算，并提出進(jìn)一步的猜想．【分析】（1）根據(jù)“兒童數(shù)”的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)所給的程序，對(duì)（1）的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算即可；（3）結(jié)合（2）中的程序進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：832，，，是“兒童數(shù)”，故答案為：832（答案不唯一）；（2），；（3）猜想：任意一個(gè)“兒童數(shù)”根據(jù)（2）中的程序運(yùn)算，最后的結(jié)果為99．，，故猜想成立．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查整式的加減，代數(shù)式求值，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．【變式7-1】（2023秋?北流市期末）我們定義：對(duì)于數(shù)對(duì)，若，則稱為“和積等數(shù)對(duì)”．如：因?yàn)?，，所以，都是“和積等數(shù)對(duì)”．（1）下列數(shù)對(duì)中，是“和積等數(shù)對(duì)”的是；（填序號(hào)）①；②，；③，．（2）若是“和積等數(shù)對(duì)”，求的值；（3）若是“和積等數(shù)對(duì)”，求代數(shù)式的值．【分析】（1）根據(jù)“和積等數(shù)對(duì)”的定義即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)“和積等數(shù)對(duì)”的定義列方程即可得到結(jié)論；（3）將原式去括號(hào)，合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)新定義內(nèi)容列出等式并化簡(jiǎn)，最后代入求值．【解答】解：（1），數(shù)對(duì)是“和積等數(shù)對(duì)”，，，不是“和積等數(shù)對(duì)”，，數(shù)對(duì)，是“和積等數(shù)對(duì)”，故答案為：①③；（2）是“和積等數(shù)對(duì)”，，解得：；（3），是“和積等數(shù)對(duì)”，原式．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于新定義內(nèi)容，考查解一元一次方程，整式的加減—化簡(jiǎn)求值，理解“積差等數(shù)對(duì)”的定義，掌握解一元一次方程的步驟以及合并同類項(xiàng)（系數(shù)相加，字母及其指數(shù)不變）和去括號(hào)的運(yùn)算法則（括號(hào)前面是“”號(hào)，去掉“”號(hào)和括號(hào)，括號(hào)里的各項(xiàng)不變號(hào)；括號(hào)前面是“”號(hào)，去掉“”號(hào)和括號(hào)，括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào)）是解題關(guān)鍵．【變式7-2】（2023秋?章貢區(qū)期末）給出定義如下：我們稱使等式的成立的一對(duì)有理數(shù)，為“相伴有理數(shù)對(duì)”，記為．如：，，所以數(shù)對(duì)，都是“相伴有理數(shù)對(duì)”．（1）數(shù)對(duì)，，中，是“相伴有理數(shù)對(duì)”的是；（2）若是“相伴有理數(shù)對(duì)”，則的值是；（3）若是“相伴有理數(shù)對(duì)”，求的值．【分析】（1）根據(jù)題意，分別將，和，代入中即可求解；（2）將，代入中即可求解；（3）先將進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將變形后整體代入即可求解．【解答】解：（1）由題意可得：當(dāng)，時(shí)，，，則，所以不是“相伴有理數(shù)對(duì)”，當(dāng)，時(shí)，，，則，所以，是“相伴有理數(shù)對(duì)”，所以數(shù)對(duì)，，中，是“相伴有理數(shù)對(duì)”的是，，故答案為：，；（2）是“相伴有理數(shù)對(duì)”，，解得，故答案為：；（3），，原式．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了整式的化簡(jiǎn)求值和有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解題意掌握去括號(hào)法則和合并同類項(xiàng)法則以及有理數(shù)的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，應(yīng)用了整體代入的數(shù)學(xué)思想．【變式7-3】（2023秋?播州區(qū)期末）對(duì)于一個(gè)各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的三位數(shù)，若它百位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大為正整數(shù)），十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大，則稱這個(gè)三位數(shù)為關(guān)于的“遞差數(shù)”．例如：三位數(shù)531，因?yàn)?，，所?31是關(guān)于2的“遞差數(shù)”三位數(shù)987，因?yàn)?，，所?87是關(guān)于1的“遞差數(shù)”（1）判斷三位數(shù)741是否為的“遞差數(shù)”，若是，求出的值；若不是，請(qǐng)說明理由．（2）若有一個(gè)三位數(shù)是關(guān)于的“遞差數(shù)”，其百位上的數(shù)字為，將其個(gè)位上的數(shù)字和百位上的數(shù)字交換，得到一個(gè)新的三位數(shù)，求原三位數(shù)與新三位數(shù)的和．（用含，的整式表示）．（3）若（2）中求得的和能被5整除，直接寫出滿足條件的關(guān)于的“遞差數(shù)”．【分析】（1）據(jù)新定義，三位數(shù)741，，，符合新定義，（2）寫出原來的三位數(shù)，交換后的三位數(shù)，原三位數(shù)和新三位數(shù)之和，化簡(jiǎn)即可．（3）的取值1，2，3，4，5，6，7，8，9，其中是正整數(shù)，所以，逐個(gè)進(jìn)行判斷．【解答】解：（1）根據(jù)新定義，三位數(shù)741，，，符合新定義，故741是關(guān)于3的“遞差數(shù)”．故為3．（2）原來的三位數(shù)：．交換后的三位數(shù)：．原三位數(shù)和新三位數(shù)之和：．答：原三位數(shù)和新三位數(shù)之和．（3）的取值1，2，3，4，5，6，7，8，9，其中是正整數(shù)，所以．①當(dāng)時(shí)，，不符合題意．②當(dāng)時(shí)，，不符合題意．③當(dāng)時(shí)，，不符合題意．④當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合題意．⑤當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合題意．⑥當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合題意．⑦當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合題意．答：綜上所述：當(dāng)，時(shí)，遞差數(shù)為654．當(dāng)，時(shí)，遞差數(shù)為753．當(dāng)，時(shí)，遞差數(shù)為852．當(dāng)，時(shí)，遞差數(shù)為951．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的加減以及乘除的概念結(jié)合的新定義問題，解決新定義題關(guān)鍵在于結(jié)合題意理清題意．一．選擇題（共5小題）1．（2023秋?青龍縣期末）化簡(jiǎn)正確的是A． B． C． D．【分析】去括號(hào)法則：如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相同；如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相反．【解答】解：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查去括號(hào)的方法：去括號(hào)時(shí)，運(yùn)用乘法的分配律，先把括號(hào)前的數(shù)字與括號(hào)里各項(xiàng)相乘，再運(yùn)用括號(hào)前是“”，去括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)都不改變符號(hào)；括號(hào)前是“”，去括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)．順序?yàn)橄却蠛笮。?．（2024?臨夏州一模）如圖，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是，寬是，則長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是A． B． C． D．【分析】直接根據(jù)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式進(jìn)行解答即可．【解答】解：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是，寬是，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是整式的加減及長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，熟知長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)（長(zhǎng)寬）是解答此題的關(guān)鍵．3．（2023秋?玄武區(qū)校級(jí)期末）下列去括號(hào)所得結(jié)果正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)去括號(hào)法則逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：．，因此選項(xiàng)不符合題意；．，因此選項(xiàng)不符合題意；．，因此選項(xiàng)符合題意；．，因此選項(xiàng)不符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查去括號(hào)，掌握去括號(hào)法則是正確解答的關(guān)鍵．4．（2023秋?游仙區(qū)期末）若，則的值是A． B．2 C．4 D．【分析】直接利用合并同類項(xiàng)法則計(jì)算，再把已知數(shù)據(jù)代入得出答案．【解答】解：，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的加減化簡(jiǎn)求值，正確合并同類項(xiàng)是解題關(guān)鍵．5．（2023秋?仙居縣期末）若，，則A．3 B．6 C． D．【分析】先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)即可得到答案【解答】解：，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式加減運(yùn)算，熟練掌握整式加減運(yùn)算法則求解是解決問題的關(guān)鍵．二．填空題（共7小題）6．（2024?涼州區(qū)二模）多項(xiàng)式與相加后，不含二次項(xiàng)，則常數(shù)的值是．【分析】直接利用整式的加減運(yùn)算法則合并，進(jìn)而得出二次項(xiàng)系數(shù)為零，進(jìn)而得出答案．【解答】解：多項(xiàng)式與相加后，不含二次項(xiàng)，，，解得：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的加減，正確合并同類項(xiàng)是解題關(guān)鍵．7．（2023秋?炎陵縣期末）去括號(hào)，合并同類項(xiàng)得：1．【分析】將原式去括號(hào)后合并同類項(xiàng)即可．【解答】解：原式，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的化簡(jiǎn)，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋?曾都區(qū)期末）去括號(hào)應(yīng)得．【分析】直接利用去括號(hào)法則計(jì)算得出答案．【解答】解：原式．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了去括號(hào)法則，正確去括號(hào)是解題關(guān)鍵．9．（2023秋?陽新縣期末）已知，，且滿足，則．【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義及，可得，的值，再根據(jù)有理數(shù)的減法法則，可得答案．【解答】解：丨，，，，而，時(shí)，；時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，原式；當(dāng)，時(shí)，原式；故．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算、合并同類項(xiàng)以及去括號(hào)法則，掌握相關(guān)定義與運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．10．（2024