新教材適用2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.5空間中直線平面的平行8.5.3平面與平面平行素養(yǎng)作業(yè)新人教A版必修第二冊

第8章8.58.5.3A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點B∈β，則在平面β內(nèi)過點B的全部直線中(D)A．不肯定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在多數(shù)條與a平行的直線D．存在唯一與a平行的直線[解析]平行平面被第三個平面所截，交線平行，所以在平面β內(nèi)存在與直線a平行的直線，并且過點B只有一條直線與a平行．2．正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面BA1C1與直線AC的位置關(guān)系是(A)A．AC∥截面BA1C1B．AC與截面BA1C1相交C．AC在截面BA1C1內(nèi)D．以上答案都錯誤[解析]∵AC∥A1C1，又∵AC?平面BA1C1，A1C1?平面BA1C1∴AC∥面BA1C1.3．如圖，已知正方體ABCD－A′B′C′D′，點E，F(xiàn)，G，H分別是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中點，從中任取兩點確定的直線中，與平面AB′D′平行的條數(shù)是(D)A．0 B．2C．4 D．6[解析]連接EG，EH，EF，F(xiàn)G，GH，F(xiàn)H，∵EH∥FG且EH＝FG，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∴E，F(xiàn)，G，H四點共面．由EG∥AB′，AB′?平面AB′D′，EG?平面AB′D′，可得EG∥平面AB′D′；EH∥AD′，AD′?平面AB′D′，EH?平面AB′D′，可得EH∥平面AB′D′，又EG∩EH＝E，可得平面EFGH∥平面AB′D′.故平面EFGH內(nèi)的每條直線都平行平面AB′D′，從E，F(xiàn)，G，H中任取兩點確定的直線中，與平面AB′D′平行的條數(shù)是6.故選D.4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，若經(jīng)過D1B的平面分別交AA1和CC1于點E，F(xiàn)，則四邊形D1EBF的形態(tài)是(C)A．矩形 B．菱形C．平行四邊形 D．正方形[解析]因為過D1B的平面和左右兩個平行側(cè)面分別交于ED1，BF，所以ED1∥BF，同理D1F∥EB，所以四邊形D1EBF是平行四邊形．5.如圖所示，P是三角形ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，則△A′B′C′與△ABC面積的比為(D)A．2∶5 B．3∶8C．4∶9 D．4∶25[解析]∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.又∵PA′∶AA′＝2∶3，∴A′B′∶AB＝PA′∶PA＝2∶5.同理B′C′∶BC＝A′C′∶AC＝2∶5.∴△A′B′C′與△ABC相像，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.二、填空題6．已知平面α和β，在平面α內(nèi)任取一條直線a，在β內(nèi)總存在直線b∥a，則α與β的位置關(guān)系是_平行__(填“平行”或“相交”)．[解析]假如α∩β＝l，則在平面α內(nèi)，與l相交的直線a，設(shè)a∩l＝A，對于β內(nèi)的隨意直線b，若b過點A，則a與b相交，若b不過點A，則a與b異面，即β內(nèi)不存在直線b∥a.故α∥β.7．如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形態(tài)為_平行四邊形__.[解析]因為平面ABFE∥平面CDHG，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四邊形EFGH的形態(tài)是平行四邊形．8．設(shè)平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直線AB∩CD＝S，AS＝8，BS＝6，CS＝12，則SD＝_9__.[解析]依據(jù)題意可作圖如下：因為直線AB∩CD＝S，故可設(shè)它們確定的平面為γ，則γ和α的交線為AC，和β的交線為BD，因為α∥β，故AC∥BD，故eq\f(AS,BS)＝eq\f(CS,SD)，即eq\f(8,6)＝eq\f(12,SD)，則SD＝9.故答案為9.三、解答題9．如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為矩形，E、F、H分別為AB、CD、PD的中點．求證：平面AFH∥平面PCE.[證明]因為F為CD的中點，H為PD的中點，所以FH∥PC，又由于FH?平面PCE，PC?平面PCE，所以FH∥平面PCE.又AE∥CF且AE＝CF，所以四邊形AECF為平行四邊形，所以AF∥CE，又由于AF?平面PCE，CE?平面PCE，所以AF∥平面PCE.由FH?平面AFH，AF?平面AFH，F(xiàn)H∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.10．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M為DD1的中點．(1)求證：BD1∥平面AMC；(2)若N為CC1的中點，求證：平面AMC∥平面BND1.[證明](1)如圖1，連接BD，交AC于點O，連接OM，依據(jù)正方體的性質(zhì)可知，O是BD中點．因為M是DD1的中點，所以在△DBD1中，有OM∥BD1.因為BD1?平面AMC，OM?平面AMC，所以，BD1∥平面AMC.(2)如圖2，連接D1N，BN，因為N為CC1的中點，M為DD1的中點，所以CN＝D1M.依據(jù)正方體的性質(zhì)可知，CC1∥DD1，所以CN∥D1M.所以，四邊形CND1M為平行四邊形，所以D1N∥CM.因為D1N?平面AMC，CM?平面AMC，所以，D1N∥平面AMC.因為D1N∩BD1＝D1，D1N?平面BND1，BD1?平面BND1，所以，平面AMC∥平面BND1.B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中點，過C1，B，M作正方體的截面，則這個截面的面積為(B)A.eq\f(3\r(5),2) B．eq\f(9,2)C．eq\f(9,8) D．eq\f(3\r(5),8)[解析]取AA1的中點N，連接MN，NB，MC1，BC1，由于截面被平行平面所截，所以截面為梯形，且MN＝eq\f(1,2)BC1＝eq\r(2)，MC1＝BN＝eq\r(5)，所以梯形的高為eq\f(3,\r(2))，所以梯形的面積為eq\f(1,2)(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\f(3,\r(2))＝eq\f(9,2).2．(2024·泰安高一檢測)如圖，在下列四個正方體中，P，R，Q，M，N，G，H為所在棱的中點，則在這四個正方體中，陰影平面與P，R，Q三點所在平面平行的是(D)[解析]由題意可知，經(jīng)過P，Q，R三點的平面如圖：截面為六邊形PQEFRS(E，F(xiàn)，S為所在棱中點)，可知N在經(jīng)過P，Q，R三點的平面上，所以B，C錯誤；MC1與QE是相交直線，所以A不正確，故選D.3．(多選題)如圖是正方體的平面綻開圖，在這個正方體中，以下說法正確的是(ACD)A．BM∥平面ADEB．CN∥AFC．平面BDM∥平面AFND．平面BDE∥平面NCF[解析]以四邊形ABCD為下底還原正方體，如圖所示，則有BM∥平面ADE，選項A正確；由正方體可知，CN與AF是異面直線，所以B錯；在正方體中，BD∥FN，F(xiàn)N?平面AFN，BD?平面AFN，所以BD∥平面AFN，同理BM∥平面AFN，BM∩BD＝B，BM，BD?平面BDM，所以平面BDM∥平面AFN，同理平面BDE∥平面NCF，選項C，D正確，故選ACD.二、填空題4.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，過BB1的中點E作一個與平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，則eq\f(MN,AC)＝eq\f(1,2).[解析]∵平面MNE∥平面ACB1，由面面平行的性質(zhì)定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，又∵E為BB1的中點，∴M，N分別為BA，BC的中點，∴MN＝eq\f(1,2)AC，即eq\f(MN,AC)＝eq\f(1,2).5．如圖是四棱錐的平面綻開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E、F、G、H分別為PA、PD、PC、PB的中點，在此幾何體中，給出下面四個結(jié)論：①平面EFGH∥平面ABCD；②BC∥平面PAD；③AB∥平面PCD；④平面PAD∥平面PAB.其中正確的有①②③.(填序號)[解析]把平面綻開圖還原為四棱錐如圖所示，則EH∥AB，所以EH∥平面ABCD.同理可證EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱錐的四個側(cè)面，則它們兩兩相交．∵AB∥CD，∴AB∥平面PCD.同理平面BC∥PAD.三、解答題6．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是AD1，BD和B1C的中點．求證：(1)MN∥平面CC1D1D；(2)平面MNP∥平面CC1D1D.[證明](1)如圖所示，連接AC，CD1.因為四邊形ABCD為正方形，N為BD的中點，所以N為AC的中點，又因為M為AD1的中點，所以MN∥CD1，因為MN?平面CC1D1D，CD1?平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D.(2)連接BC1，C1D.因為四邊形BB1C1C為正方形，P為B1C的中點，所以P為BC1的中點，又因為N為BD的中點，所以PN∥C1D.因為PN?平面CC1D1D，C1D?平面CC1D1D，所以PN∥平面CC1D1D.由(1)知MN∥平面CC1D1D，又MN∩PN＝N，所以平面MNP∥平面CC1D1D.C組·探究創(chuàng)新如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長是2，側(cè)棱長是2eq\r(5)，M為A1C1的中點，N是側(cè)面BCC1B1上一點，且MN∥平面ABC1，則線段MN的最大值為2eq\r(2).[解析]如圖，取B1C1的中點D，取BB1的中點E，連接MD，DE，ME，∵DM∥A1B1，AB∥A1B1，∴DM∥AB，∵DM?平面ABC1，A