遼寧省名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬調(diào)研卷一試題

Page12遼寧省名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高考模擬調(diào)研卷（一）試題本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)全集U＝{－2，0，－1，1，2}，集合，B＝{?1，1}，則（）A．{－2，0} B．{－2，2} C．{－2，0，2} D．{0，1，2}2．已知復(fù)數(shù)，且，，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（）A．－2 B．0 C．2 D．33．已知向量，夾角的余弦值為，且，，則（）A．－36 B．－12 C．6 D．364．為慶祝中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，某中學(xué)團(tuán)委舉辦了共青團(tuán)史學(xué)問(wèn)競(jìng)賽（滿分100分），其中高一、高二、高三年級(jí)參賽的共青團(tuán)員的人數(shù)分別為800，600，600．現(xiàn)用分層抽樣的方法從三個(gè)年級(jí)中抽取樣本，經(jīng)計(jì)算可得高一、高二年級(jí)共青團(tuán)員成果的樣本平均數(shù)分別為85，90，全校共青團(tuán)員成果的樣本平均數(shù)為88，則高三年級(jí)共青團(tuán)員成果的樣本平均數(shù)為（）A．87 B．89 C．90 D．915．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，點(diǎn)，若，則（）A． B． C． D．6．古印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅在《麗拉沃蒂》一書中提出如下問(wèn)題：某人給一個(gè)人布施，初日施2子安貝（古印度貨幣單位），以后逐日倍增，問(wèn)一月共施幾何？在這個(gè)問(wèn)題中，以一個(gè)月31天計(jì)算，記此人第n日布施了子安貝（其中1≤n≤31，），數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若關(guān)于n的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）A． B． C． D．7．在三棱錐A－BCD中，，∠ADC＝∠ABC＝90°，平面ABC⊥平面ACD，三棱錐A－BCD的全部頂點(diǎn)都在球O的球面上，E，F(xiàn)分別在線段OB，CD上運(yùn)動(dòng)（端點(diǎn)除外），．當(dāng)三棱錐E－ACF的體積最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作球O的截面，則截面面積的最小值為（）A．π B． C． D．2π8．已知雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M，N在C上，且，，則C的離心率為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知，則（）A． B． C． D．10．如圖，在直三棱柱中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，，E，F(xiàn)分別滿意，，則（）A．E，F(xiàn)，A，B四點(diǎn)共面 B．B1C⊥平面BEFC．異面直線AE與BB1所成的角大于60° D．存在過(guò)AB的平面與平面EFC平行11．某中學(xué)主動(dòng)響應(yīng)國(guó)家“雙減”政策，大力創(chuàng)新體育課堂，其中在課外活動(dòng)課上有一項(xiàng)“投實(shí)心球”嬉戲，其規(guī)則是：將某空地劃分成①②③④四塊不重疊的區(qū)域，學(xué)生將實(shí)心球投進(jìn)區(qū)域①或者②一次，或者投進(jìn)區(qū)域③兩次，或者投進(jìn)區(qū)域④三次，即認(rèn)為嬉戲成功，否則嬉戲失?。阎埻瑢W(xué)每次都能將實(shí)心球投進(jìn)這塊空地，他投進(jìn)區(qū)域①與②的概率均為p（0＜p＜1），投進(jìn)區(qū)域③的概率是投進(jìn)區(qū)域①的概率的4倍，每次投實(shí)心球的結(jié)果相互獨(dú)立．記小張同學(xué)其次次投完實(shí)心球后恰好成功的概率為P1，第四次投完實(shí)心球后恰好成功的概率為P2，則（）A． B．C． D．若，則p的取值范圍為12．已知函數(shù)f（x），g（x）的定義域均為R．且滿意，，，則（）A． B．C．的圖像關(guān)于點(diǎn)（3，1）對(duì)稱 D．三、填空題：全科免費(fèi)下載公眾號(hào)《中學(xué)僧課堂》本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的綻開(kāi)式中除常數(shù)項(xiàng)外的各項(xiàng)系數(shù)和為_(kāi)_____．14．過(guò)三點(diǎn)A（－2，0），B（－4，2），C（2，－2）中的兩點(diǎn)且圓心在直線y＝3x上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____．（寫出一個(gè)滿意條件的方程即可）15．已知函數(shù)（，）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，則ω的值為_(kāi)_____．16．已知和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則m的取值范圍是______．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（10分）記正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）記，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．18．（12分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）證明：；（2）若，，求△ABC的面積．19．（12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為直角梯形，，AD⊥CD，AD⊥PA，，．（1）證明：平面PBD⊥平面PAD；（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值．20．（12分）5G技術(shù)對(duì)社會(huì)和國(guó)家非常重要，從戰(zhàn)略地位來(lái)看，業(yè)界一般將其定義為繼蒸汽機(jī)革命、電氣革命和計(jì)算機(jī)革命后的第四次工業(yè)革命．某科技公司生產(chǎn)一種5G手機(jī)的核心部件，下表統(tǒng)計(jì)了該公司2017－2024年在該部件上的研發(fā)投入x（單位：千萬(wàn)元）與收益y（單位：億元）的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下：年份20172024202420242024研發(fā)投入x23456收益y23334（1）求研發(fā)投入x與收益y的相關(guān)系數(shù)r（精確到0.01）；（2）由表格可知y與x線性相關(guān)，試建立y關(guān)于x的線性回來(lái)方程，并估計(jì)當(dāng)x為9千萬(wàn)元時(shí)，該公司生產(chǎn)這種5G手機(jī)的核心部件的收益為多少億元；（3）現(xiàn)從表格中的5組數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2組數(shù)據(jù)并結(jié)合公司的其他信息作進(jìn)一步調(diào)研，記其中抽中研發(fā)投入超出4千萬(wàn)元的組數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考公式及數(shù)據(jù)：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（i＝1，2，3，?，n），相關(guān)系數(shù)，其回來(lái)直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，，．21．（12分）已知橢圓（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作一條直線交C于R，S兩點(diǎn)，線段RS長(zhǎng)度的最小值為3，C的離心率為．（1）求C的方程；（2）不過(guò)C的左頂點(diǎn)A的直線l與C相交于P，Q兩點(diǎn)，且直線AP與AQ的斜率之積恰好等于．試問(wèn)直線l是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．（12分）已知函數(shù)（）．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍．?dāng)?shù)學(xué)(一)一、選擇題1．B【解析】由已知得，所以，故．故選B項(xiàng)．2．C【解析】由題意得，即，所以解得所以．故選C項(xiàng)．3．A【解析】．故選A項(xiàng)．4．C【解析】設(shè)高三年級(jí)共青團(tuán)員成果的樣本平均數(shù)為x，則，解得．故選C項(xiàng)．5．B【解析】由題意知點(diǎn)A為C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，如圖，過(guò)點(diǎn)M作MN垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)N，令，則，由拋物線的定義可得，所以，所以．又，所以∠MAF＝∠AMN，所以．在△AMF中，由正弦定理得，所以，所以．故選B項(xiàng)．6．B【解析】由題意可知，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故(1≤n≤31)，所以．由，得，整理得對(duì)隨意1≤n≤31，且恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即n＝2時(shí)等號(hào)成立，所以t＜15，即實(shí)數(shù)t的取值范圍是．故選B項(xiàng)．7．C【解析】如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接OF，OB，因?yàn)椤螦DC＝∠ABC＝90°，所以，即O為球心，則球O的半徑R＝2．又AB＝BC，所以O(shè)B⊥AC，又平面ABC⊥平面ACD，平面平面ACD＝AC，所以O(shè)B⊥平面ACD．設(shè)CF＝x，則，所以，所以三棱錐E－ACF的體積，當(dāng)時(shí)，V取得最大值．由于OA＝OB＝OC＝OD，在△COF中，由余弦定理得，依據(jù)球的性質(zhì)可知，當(dāng)OF垂直于截面時(shí)，截面圓的面積最小，設(shè)此時(shí)截面圓的半徑為r，所以，則截面面積的最小值為．故選C項(xiàng)．8．D【解析】由可知，點(diǎn)F1是△MNF2的外心，由得，即，所以點(diǎn)F1是△MNF2的重心，所以△MNF2是等邊三角形，由對(duì)稱性可知MN⊥F1F2．且，∠MF1N＝120°，不妨設(shè)M在其次象限，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，故點(diǎn)．又點(diǎn)M在雙曲線(a＞0，b＞0)上，所以，即，整理得，所以，解得，所以，又e＞1，所以．故選D項(xiàng)．二、選擇題9．BCD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由a＞0與b＞c，得ab＞ac，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，由題a＞0＞b＞c，得－b＜－c，所以0＜a－b＜a－c，所以，所以，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由題得0＜－b＜－c，所以(－b)2＜(－c)2，即b2＜c2，故D項(xiàng)正確．故選BCD項(xiàng)．10．ABD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，由題得，所以，又，所以，所以E，F(xiàn)，A，B四點(diǎn)共面，A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，易知，，所以，所以∠B1CB＝∠B1BF，所以∠B1CB＋∠FBC＝∠B1BF＋∠FBC＝90°，所以FB⊥B1C，易證得B1C⊥EF，，所以B1C⊥平面BEF，B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，易知∠A1AE為異面直線AE與BB1所成的角，而，所以∠A1AE＜60°，C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，平面EFC，平面EFC，所以平面EFC，故存在過(guò)AB的平面與平面EFC平行，D項(xiàng)正確．故選ABD項(xiàng)．11．AC【解析】小張同學(xué)投進(jìn)區(qū)域③的概率為4p，投進(jìn)區(qū)域④的概率為1－6p，故0＜p＜16，A項(xiàng)正確；小張同學(xué)其次次投完實(shí)心球后，恰好嬉戲過(guò)關(guān)包含“第一次未投中區(qū)域①或者②，其次次投中區(qū)域①或者②”和“第一次與其次次均投中區(qū)域③”兩個(gè)事務(wù)，則概率，B項(xiàng)錯(cuò)誤；第四次投完實(shí)心球后，恰好嬉戲成功，則嬉戲成功需前三次投完后有一次投進(jìn)區(qū)域③且有兩次投進(jìn)區(qū)域④，因此，C項(xiàng)正確；，令2p(12p－1)(18p－5)＞0，得或，又，所以，D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選AC項(xiàng)．12．BC【解析】因?yàn)間(4－x)＋g(x)＝0，所以y＝g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱，所以g(2－x)＝－g(x＋2)，因?yàn)間(x)＋f(x－4)＝5，所以g(x＋2)＋f(x－2)＝5，即g(x＋2)＝5－f(x－2)，因?yàn)閒(x)－g(2－x)＝3，所以f(x)＋g(x＋2)＝3，代入得f(x)＋[5－f(x－2)]＝3，即f(x)－f(x－2)＝－2，A項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)槎x域?yàn)镽的函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱，所以g(2)＝0，B項(xiàng)正確；因?yàn)間(x)＋f(x－4)＝5，所以g(x＋4)＋f(x)＝5，與f(x)－g(2－x)＝3，聯(lián)立得g(x＋4)＋g(2－x)＝2，所以y＝g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(3，1)對(duì)稱，C項(xiàng)正確；由f(x)－g(2－x)＝3，得f(0)－g(2)＝3，即f(0)＝3，f(2)＝－2＋f(0)＝1．因?yàn)間(x＋4)＋g(2－x)＝2，所以2g（3）＝2，所以g（3）＝1，所以f(1)＝3－g（3）＝2．記an＝f(2n?1)，bn＝f(2n)，則數(shù)列是以2為首項(xiàng)，－2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，－2為公差的等差數(shù)列，故an＝2＋(n?1)(?2)＝?2n＋4，bn＝1＋(n－1)(－2)＝－2n＋3，所以，D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選BC項(xiàng)．三、填空題13．－5231【解析】綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式為．令，得r＝6，則綻開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是．令x＝1，得綻開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為(1－3)7＝－128，所以綻開(kāi)式中除常數(shù)項(xiàng)外的各項(xiàng)系數(shù)和為－128－5103＝－5231．14．(x－2)2＋(y－6)2＝52或(x＋1)2＋(y＋3)2＝10或(x－1)2＋(y－3)2＝26(寫出符合要求的一個(gè)答案即可)【解析】若圓過(guò)A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中垂線方程為，即y＝x＋4，與y＝3x聯(lián)立得圓心坐標(biāo)為(2，6)，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－6)2＝52；若圓過(guò)A，C兩點(diǎn)，則線段AC的中垂線方程為，即y＝2x－1，與y＝3x聯(lián)立得圓心坐標(biāo)為(－1，－3)，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y＋3)2＝10；若圓過(guò)B，C兩點(diǎn)，則線段BC的中垂線方程為，即，與y＝3x聯(lián)立得圓心坐標(biāo)為(1，3)，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－3)2＝26．15．2【解析】依題意得，即．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以()，則()，解得()，令k＝0，則1≤ω≤2，而，故，又ω∈Z，所以ω＝2，經(jīng)檢驗(yàn)，ω＝2符合題意．16．【解析】，故x＝x1和x＝x2是函數(shù)f′(x)＝0的兩個(gè)零點(diǎn)，即是方程e??2mx＝0的兩個(gè)根，又f′(0)＝1，所以x1≠0，x2≠0，所以x＝x1和x＝x2是方程的兩個(gè)根，所以函數(shù)的圖像與直線y＝2m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2．由于，所以當(dāng)x＜0或0＜x＜1時(shí)，g′(x)＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，g′(x)＞0，故g(x)在區(qū)間(－∞，0)，(0，1)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，且當(dāng)x＞0時(shí)，，作出g(x)的圖像如圖所示：由圖可知x1，x2＞0，且2m＞e，因?yàn)閤2≥3x1，所以取x2＝3x1，并令x1＝t(t＞0)，則x2＝3t，所以，解得，此時(shí)，故，即m的取值范圍是．四、解答題17．（1）證明：由題意得(n≥2)，因?yàn)?，所?n≥2)，即(n≥2)，所以(n≥2)．當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝T1，所以，解得T1＝3，故是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．（2）解：由（1）可知，，所以，所以．18．（1）證明：由題意得，即，由正、余弦定理得，整理得，即，又a＞0，b＞0，c＞0，所以b＋c＝2a，所以2a－b＝c．（2）解：由（1）得，由得，由余弦定理得，即，所以，所以△ABC的面積．19．（1）證明：因?yàn)镻A2＋PB2＝4＝AB2，所以PA⊥PB．因?yàn)锳D⊥CD，，所以AD⊥AB，又AD⊥PA，，所以AD⊥平面PAB，又平面PAB，所以PB⊥AD，又，所以PB⊥平面PAD．因?yàn)槠矫鍼BD，所以平面PBD⊥平面PAD．（2）解：取AB中點(diǎn)O，連接PO，OC，由PA＝PB，得PO⊥AB，又AD⊥平面PAB，平面PAB，所以AD⊥PO，又，所以PO⊥平面ABCD，又OB，平面ABCD，所以PO⊥OB，PO⊥OC．由O為AB的中點(diǎn)，AB＝2CD，四邊形ABCD是直角梯形，可知四邊形AOCD為矩形，所以O(shè)B⊥OC．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，1)，A(－1，0，0)，，，．設(shè)平面PBC的法向量為，則，則令b＝1，則．設(shè)直線PA與平面PBC所成的角為θ，則，即直線PA與平面PBC所成角的正弦值為．20．解：（1）由題可得，，，，所以．（2）因?yàn)?，，所以y關(guān)于x的線性回來(lái)方程為．當(dāng)x＝9時(shí)，，所以此時(shí)該公司生產(chǎn)這種5G手機(jī)的核心部件收益估計(jì)為5億元．（3）易知X的可能取值為0，1，2，，，，所以X的分布列為X012P所以．21．解：（1）依據(jù)題意得，解得所以C的方程為．（2）由（1）可知A(－2，0)，當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l方程為y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，聯(lián)立消去y整理得，，所以，．因?yàn)?，所以，所以，即，所以，即，?/p>