浙江省寧波市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試題含解析

Page19浙江省寧波市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試題一、選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分，每小題只有一個(gè)正確答案）1.已知i為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和幾何意義即可推斷.【詳解】，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第三象限.故選：C.2.設(shè)是兩個(gè)不共線的向量，若向量()與向量共線，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)平面對(duì)量共線定理即可求解．【詳解】∵是兩個(gè)不共線的向量，且∥，故存在實(shí)數(shù)λ，使得．故選：A．3.高一年級(jí)有男生510人，女生490人，小明按男女比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，總樣本量為100.則在男生中抽取的樣本量為（）A48 B.51 C.50 D.49【答案】B【解析】【分析】利用分層抽樣的比例關(guān)系列式求解即可得到答案?！驹斀狻扛咭荒昙?jí)共有人，所以男生抽取的人數(shù)為人.故選：B.4.如圖，是水平放置的的斜二測(cè)直觀圖，為等腰直角三角形，其中與重合，，則的面積是（）A.9 B. C.18 D.【答案】D【解析】【分析】將直觀圖還原為原圖，并由此計(jì)算出三角形的面積.【詳解】在斜二測(cè)直觀圖中，由為等腰直角三角形，，可得，還原原圖形如圖：則，，則.故選：D.5.一個(gè)射手進(jìn)行射擊，記事務(wù)=“脫靶”，=“中靶”，=“中靶環(huán)數(shù)大于4”，則在上述事務(wù)中，互斥而不對(duì)立的事務(wù)是（）A.與 B.與 C.與 D.以上都不對(duì)【答案】B【解析】【分析】依據(jù)給定條件，利用互斥事務(wù)、對(duì)立事務(wù)的意義逐項(xiàng)分析推斷作答.【詳解】射手進(jìn)行射擊時(shí)，事務(wù)=“脫靶”，=“中靶”，=“中靶環(huán)數(shù)大于4”，事務(wù)與不行能同時(shí)發(fā)生，并且必有一個(gè)發(fā)生，即事務(wù)與是互斥且對(duì)立，A不是；事務(wù)與不行能同時(shí)發(fā)生，但可以同時(shí)不發(fā)生，即事務(wù)與是互斥不對(duì)立，B是；事務(wù)與可以同時(shí)發(fā)生，即事務(wù)與不互斥不對(duì)立，C不是，明顯D不正確.故選：B6.在中，已知?jiǎng)t該三角形的形態(tài)為（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形【答案】C【解析】【分析】依據(jù)正弦定理可得出，從而可得出，然后可得出C為鈍角，從而得出正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以依?jù)正弦定理得，，則，故，且，所以C為鈍角，為鈍角三角形.故選：C.7.已知是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】C【解析】【分析】由線、面平行和垂直的推斷與性質(zhì)定理推斷每個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)A，若，則或，故A錯(cuò)；對(duì)B，若，則或相交，故B錯(cuò)；對(duì)C，由面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定定理可知，故C正確；對(duì)D，，則或相交，故D錯(cuò).故選：C8.已知圖1是棱長(zhǎng)為1的正六邊形，將其沿直線折疊成如圖2的空間圖形，其中，則空間幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過(guò)作，過(guò)作，易得平面平面，將幾何體轉(zhuǎn)化為三棱柱和兩個(gè)三棱錐的體積之和求解..【詳解】如圖，過(guò)作，垂足為，連接，則，過(guò)作，垂足為，連接，則，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，即三棱柱為直三棱柱.∵，，所以，，同理求得，，又，∴，∴空間幾何體的體積為：.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.某士官參與軍區(qū)射擊競(jìng)賽，打了6發(fā)子彈，報(bào)靶數(shù)據(jù)如下：7，8，9，10，6，8，（單位：環(huán)），下列說(shuō)法正確的有（）A.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8B.這組數(shù)據(jù)的極差是4C.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是8.5D.這組數(shù)據(jù)的方差是2【答案】AB【解析】【分析】依據(jù)平均數(shù)，極差，中位數(shù)，方差的定義和計(jì)算公式分別求得，即可推斷各個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】解：對(duì)于A，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，故A正確；對(duì)于B，這組數(shù)據(jù)的極差是，故B正確；對(duì)于C，這組數(shù)據(jù)從小到大為6，7，8，8，9，10，∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是8，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，這組數(shù)據(jù)的方差是，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），下列說(shuō)法正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于其次象限B.當(dāng)時(shí)，為純虛數(shù)C.最大值為D.的共軛復(fù)數(shù)為【答案】BC【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)幾何意義、概念及共軛復(fù)數(shù)的含義即可推斷.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于第四象限，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，為純虛數(shù)，故B正確；對(duì)于C，，最大值為，故C正確；對(duì)于D，的共軛復(fù)數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.某班級(jí)到一工廠參與社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)O1O2，在軸截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列說(shuō)法正確的有（）A.該圓臺(tái)軸截面ABCD面積為B.該圓臺(tái)的體積為C.該圓臺(tái)的母線AD與下底面所成的角為30°D.沿著該圓臺(tái)表面，從點(diǎn)C到AD中點(diǎn)的最短距離為5cm【答案】ABD【解析】【分析】求出圓臺(tái)的高，依據(jù)梯形面積公式可求圓臺(tái)軸截面的面積，從而可推斷A；依據(jù)圓臺(tái)的體積公式可推斷B；圓臺(tái)的母線與下底面所成的角為，從而可推斷C；由圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，可得大圓錐的母線長(zhǎng)為4cm，底面半徑為2cm，設(shè)的中點(diǎn)為P，連接，求出，即為沿著該圓臺(tái)表面，從點(diǎn)C到中點(diǎn)的最短距離，從而可推斷D.【詳解】由，且CD＝2AB，可得，高,則圓臺(tái)軸截面的面積為,故A正確；圓臺(tái)的體積為，故B正確；圓臺(tái)的母線與下底面所成的角為，其正弦值為,所以，故C錯(cuò)誤；由圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，可得大圓錐的母線長(zhǎng)為4cm，底面半徑為2cm，側(cè)面綻開(kāi)圖的圓心角.設(shè)的中點(diǎn)為P，連接，可得,則.所以沿著該圓臺(tái)表面，從點(diǎn)C到中點(diǎn)的最短距離為5cm，故D正確.故選:ABD.12.已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為、、，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為14，且、、三點(diǎn)共線，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-5B.向量在向量上的投影向量為C.D.的最大值為1【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A：設(shè)，再由、、三點(diǎn)共線，得存在，使得，即可記得，，即可推斷A是否正確；對(duì)于B：向量在向量上的投影向量為，計(jì)算即可推斷B是否正確；對(duì)于C：設(shè)，由，得①，由點(diǎn)在邊上，得②，解得，，進(jìn)而可得點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算，，即可推斷C是否正確；對(duì)于D：由為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，且，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，計(jì)算最大值，即可推斷D是否正確.【詳解】解：對(duì)于A：設(shè)，則，，由、、三點(diǎn)共線，得存在，使得，得，解得，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由上可知，，向量在向量上的投影向量為，故B正確；對(duì)于C：設(shè)，則，又，則由，得①，因?yàn)辄c(diǎn)在邊上，所以，即②，由①②得，，，所以，所以，，所以，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)闉榫€段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，且，則，，所以，，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為1.故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若球的大圓半徑為2，球的體積為_(kāi)__________.【答案】##【解析】【分析】由球的大圓半徑為2，可得球的半徑為2，從而可求出球的體積.【詳解】因?yàn)榍虼髨A半徑為2，所以球的半徑為2，所以球的體積為，故答案為：14.天氣預(yù)報(bào)，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒(méi)有影響，則這兩地中恰有一個(gè)地方降雨的概率為_(kāi)_______．【答案】0.38【解析】【分析】利用相互獨(dú)立事務(wù)及對(duì)立事務(wù)的概率公式求得結(jié)果.【詳解】設(shè)甲地降雨為事務(wù)A，乙地降雨為事務(wù)B，則兩地恰有一地降雨為A＋B，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝038.故答案為：0.38.15.如圖，在三棱錐中，，，則二面角的余弦值為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】作出二面角的平面角，利用余弦定理求得二面角的余弦值.【詳解】取的中點(diǎn)，連接?，因?yàn)椋?，，所以即為二面角的平面角，因?yàn)?，，所以，而，在中，由余弦定理可得，故答案為?16.如圖，某登山隊(duì)在山腳A處測(cè)得山頂B的仰角為45°，沿傾斜角為30°的斜坡前進(jìn)2千米后到達(dá)D處，又測(cè)得山頂B的仰角為75°，則山的高度BC為_(kāi)__________千米.【答案】2【解析】【分析】依據(jù)條件可得，，，然后利用正弦定理即可求出的長(zhǎng)度，從而可求出的長(zhǎng)【詳解】解：作,垂足為，如圖所示：由題意得，，所以，，，且，在中，由正弦定理得，即，，解得，所以，故答案為：2四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.現(xiàn)有兩個(gè)紅球（記為，），兩個(gè)白球（記為，），采納不放回簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣從中隨意抽取兩球.（1）寫出試驗(yàn)的樣本空間；（2）求恰好抽到一個(gè)紅球一個(gè)白球的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）按樹(shù)形結(jié)構(gòu)寫出基本領(lǐng)件得事務(wù)空間；（2）事務(wù)空間中有6個(gè)樣本點(diǎn)，再視察恰好抽到一個(gè)紅球一個(gè)白球這個(gè)事務(wù)含有的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)后可得概率．【詳解】解：（1）兩個(gè)紅球（記為，），兩個(gè)白球（記為，），采納不放回簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣從中隨意抽取兩球，則試驗(yàn)的樣本空間.（2）試驗(yàn)的樣本空間，包含6個(gè)樣本點(diǎn)，其中恰好抽到一個(gè)紅球一個(gè)白球包含4個(gè)樣本點(diǎn)，∴恰好抽到一個(gè)紅球一個(gè)白球的概率.18.已知向量，若，（1）求與的夾角θ；（2）求；（3）當(dāng)λ為何值時(shí)，向量與向量相互垂直？【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)向量的模及數(shù)量積求出夾角的余弦值即可；（2）依據(jù)結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可；（3）由題意，得，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，，所以，又因，所以；【小?wèn)2詳解】解：；【小問(wèn)3詳解】解：當(dāng)向量與向量相互垂直時(shí)，，即，即，解得.19.如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；（2）求證：平面平面．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)可得出，利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）證明出平面，利用面面平行的判定定理可證得結(jié)論成立.【小問(wèn)1詳解】證明：連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，平面，平面，因此，平面.【小問(wèn)2詳解】證明：因?yàn)榍遥瑸榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，，，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，所以，平面，因?yàn)?，因此，平面平?20.為了了解我市參與年浙江中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)考的考試結(jié)果狀況，從中選取名同學(xué)將其成果（百分制，均為正數(shù)）分成、、、、、六組后，得到部分頻率分布直方圖（如圖），視察圖形，回答下列問(wèn)題：（1）求分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率；（2）依據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)本次考試成果的均值和分位數(shù).【答案】（1）（2）均值為分，分位數(shù)為分【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖中全部矩形面積之和為可求得分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率；（2）利用百分位數(shù)和平均數(shù)的定義可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】解：由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為.【小問(wèn)2詳解】解：本次考試成果的均值為（分），分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為，分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為，設(shè)本次考試成果分位數(shù)為，則，則，解得，因此，本次考試成果的均值為分，分位數(shù)為分.21.如圖，垂直于⊙所在的平面，為⊙的直徑，，，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)．（1）證明：平面AEF⊥平面PBC；（2）當(dāng)點(diǎn)F與C點(diǎn)重合，求PB與平面AEF所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由垂直于⊙所在的平面，可得，再由圓的性質(zhì)可得，則由線面垂直的判定可得平面，則，從而平面，進(jìn)而由面面垂直的判定可證得結(jié)論，（2）過(guò)點(diǎn)作∥交于點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用可求出，然后由可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)榇怪庇凇阉诘钠矫?，即平面，平面，所以，又為⊙的直徑，所以，因?yàn)?，所以平面，又平面，所以，因?yàn)椋云矫?，又平面，所以平面平面．【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，由，?如圖，過(guò)點(diǎn)作∥交于點(diǎn)，則，可得，又，所以，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，可得，所以解得，所以當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，與平面所成角的正弦值為．22.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分