2024–2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)暑假提升講義（北師大版）第15講 概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)（原卷版）

第15講概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．會(huì)用列表和畫樹狀圖等方法計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率；2．能利用重復(fù)試驗(yàn)的頻率估計(jì)隨機(jī)事件的概率；3．學(xué)會(huì)運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)一、用樹狀圖或表格求概率1.樹狀圖：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多個(gè)因素時(shí)，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖，也稱樹形圖、樹圖.樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.要點(diǎn)：(1)樹形圖法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)，求概率的問(wèn)題；(2)在用樹形圖法求可能事件的概率時(shí)，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同.2.列表法：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.要點(diǎn)：（1）列表法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)，求概率的問(wèn)題；（2）列表法適用于涉及兩步試驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率.3.用列舉法求概率的一般步驟（1）列舉（列表、畫樹狀圖）事件所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，并判斷每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性是否都相等；（2）如果都相等，再確定所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的個(gè)數(shù)n和其中出現(xiàn)所求事件A的結(jié)果個(gè)數(shù)m；（3）用公式計(jì)算所求事件A的概率.即P（A）=.知識(shí)點(diǎn)二、用頻率估計(jì)概率1.頻率與概率的定義頻率：在相同條件下重復(fù)n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生的次數(shù)m與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值.概率：事件A的頻率接近與某個(gè)常數(shù)，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記作P（A）.2.頻率與概率的關(guān)系事件的概率是一個(gè)確定的常數(shù)，而頻率是不確定的，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，頻率的大小搖擺不定，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)增大時(shí)，頻率的大小波動(dòng)變小，并逐漸穩(wěn)定在概率附近.可見(jiàn)，概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值.要點(diǎn)：（1）頻率本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定，無(wú)法從根本上來(lái)刻畫事件發(fā)生的可能性的大小，在大量重復(fù)試驗(yàn)的條件下可以近似地作為這個(gè)事件的概率；（2）頻率和概率在試驗(yàn)中可以非常接近，但不一定相等；（3）概率是事件在大量重復(fù)試驗(yàn)中頻率逐漸穩(wěn)定到的值，即可以用大量重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率去估計(jì)得到事件發(fā)生的概率，但二者不能簡(jiǎn)單地等同，兩者存在一定的偏差是正常的，也是經(jīng)常的.3.利用頻率估計(jì)概率當(dāng)試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個(gè)，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般用統(tǒng)計(jì)頻率的方法來(lái)估計(jì)概率.要點(diǎn)：用試驗(yàn)去估計(jì)隨機(jī)事件發(fā)生的概率應(yīng)盡可能多地增加試驗(yàn)次數(shù)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，結(jié)果將較為精確.考點(diǎn)一：列舉法求概率例1．（23-24九年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）小明要給小林打電話，他只記住了小林手機(jī)號(hào)碼的前位，后三位是三個(gè)數(shù)字的某一種排列順序，但具體順序忘記了，那么小明第一次就撥通電話的概率是（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2024·西藏日喀則·二模）現(xiàn)有條線段，長(zhǎng)度依次是，從中任選三條，能組成三角形的概率是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（23-24九年級(jí)下·湖北武漢·期中）從，3.1415926，，四個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù)，兩個(gè)數(shù)都是無(wú)理數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）從1、2、3、4中任取一個(gè)數(shù)作為十位上的數(shù)字，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)字中任取一個(gè)數(shù)作為個(gè)位上的數(shù)字，那么組成的兩位數(shù)是3的倍數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二：列表法或樹狀圖法求概率例2.（2024·廣東深圳·三模）酚酞試液是化學(xué)實(shí)驗(yàn)室中一種常見(jiàn)的酸堿指示劑，廣泛應(yīng)用于酸堿滴定過(guò)程中，通常情況下，酚酞遇酸性和中性溶液不變色，遇堿性溶液變紅色．一次化學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，老師讓學(xué)生用酚酞溶液檢測(cè)4瓶因標(biāo)簽污損無(wú)法分辨的無(wú)色溶液的酸堿性，已知這4種溶液分別是：A鹽酸（呈酸性）、B硝酸鉀溶液（呈中性）、C氫氧化鈉溶液（呈堿性）、D碳酸鈉溶液（呈堿性）中的一種，小明和小亮從中各選1瓶溶液滴入酚酞試液進(jìn)行檢測(cè)．(1)小明檢測(cè)的溶液變成紅色的概率為；(2)用列表或畫樹狀圖的方法，表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，并求小明和小亮檢測(cè)的兩瓶溶液都變成紅色的概率．【變式2-1】（2024·江蘇泰州·一模）中國(guó)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著悠久的歷史和豐富的成就，其中廣為流傳的數(shù)學(xué)著作有《九章算術(shù)》，《周髀算經(jīng)》．而代表古希臘數(shù)學(xué)最高成就的著作當(dāng)屬《幾何原本》．學(xué)校圖書館現(xiàn)有《九章算術(shù)》現(xiàn)代印刷版2本，《周髀算經(jīng)》，《幾何原本》現(xiàn)代印刷版各1本．愛(ài)好數(shù)學(xué)的小穎、小華一起來(lái)到圖書館，想從這4本數(shù)學(xué)著作中先后各自隨機(jī)選取一本進(jìn)行閱讀．(1)小穎恰好選取《周髀算經(jīng)》的概率為；(2)將2本《九章算術(shù)》，1本《周髀算經(jīng)》，1本《幾何原本》分別用、、B、C表示，請(qǐng)用列表或樹狀圖的方法，求小穎、小華都選取到中國(guó)數(shù)學(xué)著作的概率．【變式2-2】（2024·江西·中考真題）某校一年級(jí)開(kāi)設(shè)人數(shù)相同的A，B，C三個(gè)班級(jí)，甲、乙兩位學(xué)生是該校一年級(jí)新生，開(kāi)學(xué)初學(xué)校對(duì)所有一年級(jí)新生進(jìn)行電腦隨機(jī)分班．(1)“學(xué)生甲分到A班”的概率是______；(2)請(qǐng)用畫樹狀圖法或列表法，求甲、乙兩位新生分到同一個(gè)班的概率．【變式2-3】（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）某初中九年級(jí)開(kāi)展數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)，設(shè)置了“視力的變化”，“哪種方式更合算”，“設(shè)計(jì)調(diào)查方案”三種課題供學(xué)生選擇，每名同學(xué)只選擇一項(xiàng)課題進(jìn)行學(xué)習(xí)．(1)小明隨機(jī)選擇了其中一個(gè)課題，他選中的是“哪種方式更合算”的概率為_(kāi)_______；(2)某班有男女四名學(xué)生選擇了“視力的變化”課題，老師決定從這四人中隨機(jī)選取兩人作為組長(zhǎng)，請(qǐng)你用列表或畫樹狀圖的方法，求這兩人正好是男女的概率．考點(diǎn)三：利用概率判斷游戲的公平性例3.（2024·甘肅·中考真題）在一只不透明的布袋中，裝有質(zhì)地、大小均相同的四個(gè)小球，小球上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．甲乙兩人玩摸球游戲，規(guī)則為：兩人同時(shí)從袋中隨機(jī)各摸出1個(gè)小球，若兩球上的數(shù)字之和為奇數(shù)，則甲勝；若兩球上的數(shù)字之和為偶數(shù)，則乙勝．(1)請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法，求甲獲勝的概率．(2)這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)甲乙雙方公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式3-1】（23-24九年級(jí)下·云南曲靖·期中）一個(gè)不透明的口袋中有三個(gè)小球，一個(gè)標(biāo)有字母，另外兩個(gè)都標(biāo)有字母，所標(biāo)字母不同外，其它完全相同，小明和小剛做摸球游戲，小明從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球記下字母后放回并攪勻，小剛再隨機(jī)摸出一個(gè)小球，兩次摸出的小球所標(biāo)字母相同則小明贏，所標(biāo)字母不同則小剛贏．(1)請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法中的一種方法，表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：(2)你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式3-2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）小明和小軍做游戲，他們?cè)O(shè)計(jì)了如圖所示的可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤被分成了兩個(gè)扇形，分別標(biāo)上數(shù)字1和2，其中標(biāo)有數(shù)字1的扇形圓心角為120°．兩人分別轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，并記錄下轉(zhuǎn)盤停止時(shí)指針指向的扇形的數(shù)字（若指針指向分割線處，則重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤），并將兩次所得的數(shù)字相加，若結(jié)果為偶數(shù)，則小明勝；若結(jié)果為奇數(shù)，則小軍勝．(1)小明轉(zhuǎn)出數(shù)字2的概率是______；(2)利用畫樹狀圖或列表的方法，說(shuō)明這個(gè)游戲是否公平．【變式3-3】（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）2024年5月18日是第48個(gè)國(guó)際博物館日，主題為“博物館致力于教育與研究”本屆國(guó)際博物館日中國(guó)主會(huì)場(chǎng)定于陜西歷史博物館秦漢館．為了提升博物館的服務(wù)質(zhì)量，以便更好地發(fā)揮其文化宣揚(yáng)和傳承方面的作用，某博物館面向社會(huì)招募志愿者．某校現(xiàn)有10名志愿者準(zhǔn)備參加該博物館志愿服務(wù)工作，其中男生6人，女生4人．(1)若從這10名志愿者中隨機(jī)選取一人作為聯(lián)絡(luò)員，則選到女生的概率為_(kāi)_____；(2)若該博物館的某項(xiàng)工作只在甲、乙兩名志愿者中選一名，他們準(zhǔn)備以游戲的方式?jīng)Q定由誰(shuí)參加，游戲規(guī)則如下：將四張牌面數(shù)字分別為2、3、4、5的撲克牌（背面完全相同）洗勻后，數(shù)字朝下放于桌面，甲先從四張牌中隨機(jī)抽取一張，不放回，乙再?gòu)氖Ｏ碌呐浦须S機(jī)抽取一張，若所抽取的兩張牌的牌面數(shù)字之和為偶數(shù)，則甲參加，否則，乙參加．請(qǐng)用畫樹狀圖或列表法說(shuō)明該游戲?qū)﹄p方公平嗎？考點(diǎn)四：幾何概率例4.（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）一個(gè)小球在如圖所示的地板上自由滾動(dòng)，并隨機(jī)停在某塊方磚上，如果每一塊方磚除顏色外完全相同，那么小球最終停留在黑磚上的概率是．【變式4-1】（2024·浙江紹興·二模）如圖，轉(zhuǎn)盤中黃色扇形的圓心角為，綠色扇形的圓心角為，現(xiàn)讓轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動(dòng)一次，則指針落在黃色區(qū)域的概率為．（注：當(dāng)指針恰好指在分界線上時(shí)，無(wú)效重轉(zhuǎn)）【變式4-2】（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，一塊矩形飛鏢游戲板，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作分別交邊，于點(diǎn)，．假設(shè)飛鏢投中游戲板上的每一點(diǎn)是等可能的（若投中矩形中各三角形的邊界或沒(méi)有投中游戲板，則重投1次），現(xiàn)向該游戲板隨機(jī)投擲飛鏢1次，則飛鏢投中陰影區(qū)域的概率為．【變式4-3】（2024·寧夏石嘴山·一模）如圖，在正方形中，點(diǎn)在上，連接，，隨機(jī)地往正方形內(nèi)投一粒米（米粒大小忽略不計(jì)），則米落在陰影區(qū)域的概率為．考點(diǎn)五：概率的應(yīng)用例5.（22-23七年級(jí)下·貴州貴陽(yáng)·期末）5月26日，“2023中國(guó)國(guó)際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)”在貴陽(yáng)開(kāi)幕，主辦方設(shè)了6個(gè)展館，分別是：A國(guó)際綜合館，B東數(shù)西算館，C數(shù)字產(chǎn)業(yè)館，D產(chǎn)業(yè)數(shù)字館，E創(chuàng)新場(chǎng)景館，F(xiàn)數(shù)字生活館，某校七年級(jí)某班同學(xué)計(jì)劃參觀其中一個(gè)展館．(1)如圖①，小紅設(shè)計(jì)了一個(gè)均勻的轉(zhuǎn)盤被等分成6個(gè)扇形，用字母A，B，C，D，E，F(xiàn)分別表示六個(gè)展館，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針落在某一區(qū)域，就參觀相應(yīng)的展館．若轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，指針落在“E創(chuàng)新場(chǎng)景館”區(qū)域的概率是；(2)小紅希望轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤時(shí)，指針落在“A國(guó)際綜合館”區(qū)域的概率最大，同時(shí)又要讓每個(gè)展館都有被選中的機(jī)會(huì)，于是設(shè)計(jì)了被等分成8個(gè)扇形的如圖②所示的轉(zhuǎn)盤，請(qǐng)按小紅的要求在圖②的扇形中填上代表各展館的字母，并求出指針落在“A國(guó)際綜合館”區(qū)域的概率．【變式5-1】（23-24九年級(jí)上·福建泉州·期末）貴州“村超”火出圈！所謂“村超”，其實(shí)是目前火爆全網(wǎng)的貴州鄉(xiāng)村體育賽事一一榕江（三寶侗寨）和美鄉(xiāng)村足球超級(jí)聯(lián)賽，被大家簡(jiǎn)稱為“村超”．“村超”的民族風(fēng)、鄉(xiāng)土味、歡樂(lè)感，讓每個(gè)人盡情享受著足球帶來(lái)的快樂(lè)．甲乙丙三人模仿“村超”進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判，設(shè)各局中雙方獲勝的概率均，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判．(1)求第4局甲當(dāng)裁判的概率；(2)求前4局中乙恰好當(dāng)1次裁判的概率．【變式5-2】（23-24九年級(jí)上·遼寧營(yíng)口·階段練習(xí)）某體育館有A，B兩個(gè)入口，每個(gè)入口有3個(gè)通道可同時(shí)通行，C，D，E三個(gè)出口，其中C、D出口有2個(gè)通道，E出口只有一個(gè)通道，每個(gè)通道在規(guī)定時(shí)間內(nèi)可通行100人，規(guī)定：觀眾進(jìn)館時(shí)須持票任意從兩個(gè)入口進(jìn)入，出館時(shí)只可任意從三個(gè)出口離開(kāi)．甲、乙、丙三名觀眾分別從兩個(gè)入口中隨機(jī)選擇一個(gè)入口進(jìn)入．(1)求甲從A口進(jìn)入，C口離開(kāi)的概率；(2)求甲、乙、丙三名觀眾選擇同一入口進(jìn)館的概率．(3)學(xué)校有七、八、九三個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)場(chǎng)觀看比賽，七年級(jí)80人，八年級(jí)150人，九年級(jí)160人，比賽結(jié)束后，為了能夠在規(guī)定時(shí)間內(nèi)使所有同學(xué)都能有序離開(kāi)，請(qǐng)你合理安排七、八、九三個(gè)年級(jí)的學(xué)生從C、D、E三個(gè)出口（每個(gè)年級(jí)的學(xué)生走同一個(gè)出口）離開(kāi)（安排一種即可），并說(shuō)明理由．【變式5-3】（22-23九年級(jí)上·河南平頂山·期末）某商場(chǎng)，為了吸引顧客，在“元旦”當(dāng)天舉辦了商品有獎(jiǎng)酬賓活動(dòng)，凡購(gòu)物滿200元者，有兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案供選擇：方案一：是直接獲得20元的禮金卷；方案二：是得到一次播獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)．規(guī)則如下：已知如圖是由轉(zhuǎn)盤和箭頭組成的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤A、B，這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤除了顏色不同外，其它構(gòu)造完全相同，搖獎(jiǎng)?wù)咄瑫r(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，指針?lè)謩e指向一個(gè)區(qū)域（指針落在分割線上時(shí)重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤），根據(jù)指針指向的區(qū)域顏色（如表）決定送禮金券的多少．指針指向兩紅一紅一藍(lán)兩藍(lán)禮金券（元）27927(1)請(qǐng)你用列表法（或畫樹狀圖法）求兩款轉(zhuǎn)盤指針?lè)謩e指向一紅區(qū)和一藍(lán)區(qū)的概率．(2)如果一名顧客當(dāng)天在本店購(gòu)物滿200元，若只考慮獲得最多的禮品券，請(qǐng)你幫助分析選擇哪種方案較為實(shí)惠．考點(diǎn)六：由頻率估計(jì)概率例6.（2024八年級(jí)下·上海·專題練習(xí)）在拋擲硬幣的試驗(yàn)中，連續(xù)多次拋擲一枚硬幣，每一次都記錄出現(xiàn)的“正面”或“反面”．下面的說(shuō)法正確的是（

）A．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，出現(xiàn)“正面”的頻率就越來(lái)越接近0.5B．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，出現(xiàn)“正面”的頻率就越來(lái)越遠(yuǎn)離0.5C．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，出現(xiàn)“正面”的頻率整體變化趨勢(shì)越來(lái)越接近0.5D．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，出現(xiàn)“正面”的頻率整體變化趨勢(shì)越來(lái)越接近0.6【變式6-1】（2024年浙江省寧波市五校聯(lián)考中考數(shù)學(xué)模擬試題）如表是一位同學(xué)在罰球線上投籃的試驗(yàn)結(jié)果，根據(jù)表中數(shù)據(jù)回答下列問(wèn)題：投籃次數(shù)（n）50100150200250300500投中次數(shù)（m）286078104124153252估計(jì)這位同學(xué)投籃一次，投中的概率約是（精確到0.01）（）A．0.56 B．0.51 C．0.50 D．0.52【變式6-2】（2024·浙江溫州·二模）在一個(gè)不透明袋子中裝有個(gè)只有顏色不同的球，其中個(gè)紅球、個(gè)黃球、個(gè)藍(lán)球和個(gè)綠球，從中任意摸出一個(gè)球，某種顏色的球出現(xiàn)的頻率如圖所示，則該球的顏色最有可能是（

）A．紅色 B．黃色 C．藍(lán)色 D．綠色【變式6-3】（2024八年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）某實(shí)驗(yàn)小組做“用頻率估計(jì)概率”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，則符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)最有可能的是（

）A．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小剛隨機(jī)出的是“石頭”B．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽取一張牌的花色是方塊C．布袋中有個(gè)紅球和個(gè)黃球，它們只是顏色上有區(qū)別，從中任取一球是黃球D．?dāng)S一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的點(diǎn)數(shù)是考點(diǎn)七：用頻率估計(jì)概率的綜合應(yīng)用例7.（23-24七年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）某種油菜籽在相同條件下進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)，結(jié)果如下表所示：每批粒數(shù)n1001502005008001000發(fā)芽粒數(shù)m65111a345560700發(fā)芽的頻率0.650.740.680.690.70b(1)填空：_____，_____；(2)任取一粒油菜籽，估計(jì)它發(fā)芽的概率．【變式7-1】（23-24九年級(jí)下·江蘇鹽城·期中）主題為“安全騎行，從頭盔開(kāi)始”的安全教育活動(dòng)在本市全面開(kāi)展．為了解市民騎電動(dòng)自行車出行自覺(jué)佩戴頭盔的情況，某數(shù)學(xué)實(shí)踐探究小組在某路口進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)過(guò)連續(xù)6天的同一時(shí)段的調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到數(shù)據(jù)并整理如下表：經(jīng)過(guò)路口的電動(dòng)自行車數(shù)量/輛180230280260240300自覺(jué)佩戴頭盔人數(shù)/人171216266250228285自覺(jué)佩戴頭盔的頻率0.950.940.950.960.95m(1)表格中______；(2)由此數(shù)據(jù)可估計(jì)，經(jīng)過(guò)該路口的電動(dòng)自行車騎行者佩戴了頭盔的概率為（結(jié)果精確到0.01）(3)若該小組某天調(diào)查到經(jīng)過(guò)該路口的電動(dòng)自行車共有1000輛，請(qǐng)問(wèn)其中佩戴了頭盔的騎行者大約有多少人？【變式7-2】在一只不透明的口袋里，裝有若干個(gè)除了顏色外均相同的小球，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)．如下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)摸到白球的次數(shù)摸到白球的頻率(1)上表中的________，________；(2)“摸到白球的”的概率的估計(jì)值是________（精確到）；(3)如果袋中有個(gè)白球，那么袋中除了白球外，還有________個(gè)其它顏色的球．【變式7-3】（23-24八年級(jí)下·江蘇連云港·期中）在一個(gè)不透明的箱子里，裝有若干個(gè)除了顏色外均相同的小球，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回箱子中，重復(fù)該操作，下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1001502005008001000摸到白球的次數(shù)m5993b295480601摸到白球的頻率0.59a0.610.590.600.601(1)上表中的______，______；(2)“摸到白球”的概率的估計(jì)值是______；（精確到0.1）(3)如果箱子中一共有30個(gè)白球，估計(jì)箱子里一共有多少個(gè)小球？一、單選題1．（2024·廣東汕頭·一模）在標(biāo)有數(shù)字3，5，7的三張卡片中，將這三張卡片任意擺成一個(gè)三位數(shù)，擺出的三位數(shù)是5的倍數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．2．（2024·河南南陽(yáng)·三模）“四大發(fā)明”是指中國(guó)古代對(duì)世界具有很大影響的四種發(fā)明，它是中國(guó)古代勞動(dòng)人民的重要?jiǎng)?chuàng)造，具體指印刷術(shù)、造紙術(shù)、火藥和指南針?biāo)捻?xiàng)發(fā)明，如圖，這是小東同學(xué)收集到的中國(guó)古代四大發(fā)明卡片，四張卡片除內(nèi)容外其余完全相同，將這四張卡片背面朝上，洗放好．從這四張卡片中隨機(jī)抽取一張（放回），再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張，抽到的兩張卡片恰好都是“造紙術(shù)”的概率為（

）A． B． C． D．3．（2024·遼寧錦州·二模）如圖，是由智力玩具七巧板的七塊板拼成的正方形，其中1，2，3，5，7號(hào)板是等腰直角三角形，4號(hào)板是正方形，6號(hào)板是平行四邊形．若隨機(jī)向正方形上投擲一個(gè)米粒，那么米粒剛好停在7號(hào)板區(qū)域的概率是(

)A． B． C． D．4．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）小明做“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)時(shí)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)最有可能是（

）A．同時(shí)拋擲兩枚硬幣，落地后兩枚硬幣正面都朝上B．一副去掉大小王的撲克牌，洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃C．拋一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體骰子，朝上的面點(diǎn)數(shù)是3D．一個(gè)不透明的袋子中有4個(gè)白球、1個(gè)黑球，它們除了顏色外都相同，從中抽到黑球5．（2024·山東濟(jì)南·三模）兩千多年前我們的祖先使用“算籌”表示數(shù)．算籌有縱式和橫式兩種排列方式，各個(gè)數(shù)字及其算籌表示的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：0123456789縱式〇橫式用“算籌”表示數(shù)時(shí)，個(gè)位采用縱式，十位采用橫式，百位采用縱式，千位采用橫式……縱式和橫式依次交替出現(xiàn)．如“”表示87，“”表示502，從“”、“”、“”、“”、“”可以組成的所有兩位數(shù)中，隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，是奇數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．二、填空題6．（2024·浙江溫州·三模）某路口紅綠燈的時(shí)間設(shè)置為：紅燈30秒，綠燈50秒，黃燈3秒．當(dāng)車輛隨意經(jīng)過(guò)該路口時(shí)，遇到綠燈的概率是．7．（23-24八年級(jí)下·江蘇常州·期中）一個(gè)不透明的袋中裝有除顏色外均相同的9個(gè)紅球，3個(gè)白球，若干個(gè)綠球，每次搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回袋中，經(jīng)過(guò)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到綠球的頻率穩(wěn)定在，則任意摸一個(gè)球是綠球的概率為．8．（2024·山西晉城·二模）我國(guó)人工智能行業(yè)可按照應(yīng)用領(lǐng)域分為決策類人工智能、人工智能機(jī)器人、語(yǔ)音及語(yǔ)義人工智能、視覺(jué)人工智能四大類別，某班要求班級(jí)中每位同學(xué)都從中隨機(jī)選擇一種類別進(jìn)行調(diào)查，并制作相關(guān)的手抄報(bào)在“人工智能”的班會(huì)上展示．若王老師將四大類別的圖標(biāo)分別制成四張卡片（卡片背面完全相同），并把四張卡片背面朝上洗勻，一位同學(xué)隨機(jī)抽取一張，記錄卡片的內(nèi)容后放回洗勻，下一位同學(xué)再隨機(jī)抽取一張，如此重復(fù)，則小兵和小強(qiáng)抽取卡片的類別相同的概率為．

9．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）如圖，是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形及其內(nèi)切圓，隨機(jī)地往正方形內(nèi)投一米粒，則下列說(shuō)法正確的是．（填序號(hào)）①若投次，有次落在圓內(nèi)，則米粒落在圓內(nèi)的頻率為；②若投次，有次落在圓內(nèi)，則投次，米粒落在圓內(nèi)的概率為；③米粒落在圓內(nèi)的概率＝；④若投次，有次落在圓內(nèi)，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，則的值接近于．10．（2024·河南許昌·二模）化學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，張老師帶來(lái)了（鎂）、（鋁）、（鋅）、（銅）四種金屬，這四種金屬分別用四個(gè)相同的不透明容器裝著，讓同學(xué)們隨機(jī)選擇一種金屬與鹽酸反應(yīng)來(lái)制取氫氣．（根據(jù)金屬活動(dòng)順序可知：、、可以置換出氫氣，而不能置換出氫氣）小明和小紅分別從四種金屬中隨機(jī)選一種金屬進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，則二人所選金屬均能置換出氫氣的概率是．三、解答題11．（2024·云南昭通·二模）今年春節(jié)電影A《熱辣滾燙》，B《飛馳人生2》，C《熊出沒(méi)逆轉(zhuǎn)時(shí)空》，D《第二十條》在網(wǎng)絡(luò)上持續(xù)引發(fā)熱議，根據(jù)國(guó)家電影局2月18日發(fā)布數(shù)據(jù)，我國(guó)2024年春節(jié)檔電影票房達(dá)80.16億元，創(chuàng)造了新的春節(jié)檔票房紀(jì)錄．甲、乙兩位同學(xué)打算去觀看這四部影片的其中一部：(1)甲選擇看A電影的概率是_______________；(2)請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求甲乙兩同學(xué)選擇觀看同一部電影的概率．12．（2024·陜西西安·一模）五一假期，芳芳和麗麗兩家一起開(kāi)車去秦嶺動(dòng)物園玩，到了秦嶺動(dòng)物園停車