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文檔簡介
第13講函數(shù)y=Asin(3x+6)的圖像與性質(zhì)(3大考點(diǎn))
Q考點(diǎn)考向
—函數(shù)y=Hsin(0x+O)的圖象
1.函數(shù)y=/sin(。才+。)的有關(guān)概念
y=Jsin(3才+
振幅周期頻率相位初相
0)
T=
13
U>0,。>0)Af-?-3*+00
2nT2n
—
2.用五點(diǎn)法畫y=4sin(ox+。)一個周期內(nèi)的簡圖
用五點(diǎn)法畫y=/fsin(Qx+。)一個周期內(nèi)的簡圖時,要找五個關(guān)鍵點(diǎn),如下表所示:
_±Jt0Jl—03-。2Ji一。
X
G)233G)233G)
JI3五
3才+0JI
0~22n
y=Jsin(QX+
0A0-A0
0)
3.由函數(shù)/=5打X的圖象變換得到y(tǒng)=4sin(3x+0)(力>0,。>0)的圖象的兩種方法
法一法二
一
步
驟2
一
-
步
驟
3
一
一
步
得到片Asin(3%+6的圖象驟4
_
二函數(shù)y=Asin(s+°)與函數(shù)y=Acos(5+°)的性質(zhì)
函數(shù)y=Asin(5+°)與函數(shù)y=24cos(s+0)可看作是由正弦函數(shù)y=sinx,余弦函數(shù)了=以)5%
復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),因此它們的性質(zhì)可由正弦函數(shù)丁=5也%,余弦函數(shù)丁=以光]類似地得到:
(1)定義域:R;
(2)值域:[-AA];
(3)單調(diào)區(qū)間:求形如y=Asin(8+°)與函數(shù)y=48$(5+夕)(4口>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過
解不等式的方法去解答,即把公r+e視為一個“整體”,分別與正弦函數(shù)丁=411犬,余弦函數(shù)>=<:05%的
單調(diào)遞增(減)區(qū)間對應(yīng)解出x,即為所求的單調(diào)遞增(減)區(qū)間.比如:由
TT7T
2k?!?lt;a)x+(p<2k7r+-(keZ)解出x的范圍所得區(qū)間即為增區(qū)間,由
22
7T
2攵萬+1W奴+9<2%%+三(左€2)解出了的范圍,所得區(qū)間即為減區(qū)間.
(4)奇偶性:正弦型函數(shù)y=Asin(3x+°)和余弦型函數(shù)y=Acos(公r+e)(A,3>0)不一定具備奇偶
JT
性.對于函數(shù)丁=Asin(5+e),當(dāng)夕=%左(攵EZ)時為奇函數(shù),當(dāng)°=Z;T±5(Z£Z)時為偶函數(shù);對于
JT
函數(shù)〉=Acos(s+e),當(dāng)夕=%/(左£z)時為偶函數(shù),當(dāng)o=Za±3(&£z)時為奇函數(shù).
(5)周期:函數(shù)y=Asin(ax+9)及函數(shù)丁=71以)$(5+0)的周期與解析式中自變量太的系數(shù)有關(guān),其
周期為T='.
co
(6)對稱軸和對稱中心
77
與正弦函數(shù)y=sinx比較可知,當(dāng)。X+Q=%乃±彳(2ez)時,函數(shù)y=Asin(a)x+e)取得最大值(或最
TT
小值),因此函數(shù)y=Asin(cox+(p)的對稱軸由/工+夕=攵乃土,依£z)解出,其對稱中心的橫坐標(biāo)
cox+(p=k7r(kGz),即對稱中心為f——9,0)(攵Gz).同理,y=Acos(〃猶+0)的對稱軸由
CDX+(p=k7l(kGZ)解出,對稱中心的橫坐標(biāo)由。入+0=壯士萬(&EZ)解出.
u考點(diǎn)精講
一.五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin(a)x+(p)的圖象(共4小題)
1.(2021秋?水磨溝區(qū)校級期末)用“五點(diǎn)法”作y=2sinx的圖象時,首先描出的五個點(diǎn)的橫坐標(biāo)是()
兀兀
A.Q,—,兀,3打,2兀B.0,3兀,n
224'2,4
JT兀兀2兀
C.0,TT,2n,3n,4KD.0,
6,3,2'3
[分析]根據(jù)y=2sinx與y=siar的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.
【解答】解:y—2sirLv與y=siar對應(yīng)五點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同,則五點(diǎn)法對應(yīng)五點(diǎn)的橫坐標(biāo)
ITQ
0,—,兀,,兀,2兀,
故選:A.
【點(diǎn)評】本題主要考查五點(diǎn)法作圖,根據(jù)>=24聯(lián)與丁=411天的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.
2.(2021秋?香坊區(qū)校級期末)已知函數(shù)f(x)=2sin&x立卷>xCR.
(1)運(yùn)用五點(diǎn)作圖法在所給坐標(biāo)系內(nèi)作出/(x)在彳以一名,寫_]內(nèi)的圖像;
(2)求函數(shù)/(x)的對稱軸,對稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間.
【分析】(1)通過列表描點(diǎn)用五點(diǎn)作圖法即可作出f(x)在一個周期上的圖象;
(2)利用正弦函數(shù)的對稱軸方程,求解/(x)的對稱軸:通過正弦函數(shù)的對稱中心,求解/(x)的對稱中
心;利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,即可求函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間.
【解答】解:⑴函數(shù)f(x)=2sinx6R,
列表如下:
工+三0TT3-2n
262
X-兀2冗5兀8打11K
33333
y020-20
262
可得函數(shù)/(x)的對稱軸為彳=等+2也,依Z,
令工+-^-=日,
26
7T
即x=--+2Anr,keZ
3
故對稱中心為(-2L+2E,0)(jiez)
3
令2E-2LwL+2I_W2hT+2L,Z6Z,解得4聞-依z,
226233
可得函數(shù)/"(x)的單調(diào)增區(qū)間為[4E-竺,4內(nèi)1+”],依Z.
33
【點(diǎn)評】本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),函數(shù)的單調(diào)性以及正弦函數(shù)對稱性,屬于基礎(chǔ)題.
3.(2021秋?肇慶期末)函數(shù)y=sin(2x^4^L)在區(qū)間[工,兀]上的簡圖是()
32
V
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)判斷各個選項即可得到結(jié)論.
【解答】解:因為y=f(x)=sin(2乂n匕),f(0)=且,所以排除BD;
32
由2k兀-■兀<2k兀依Z,得k兀-1;;4x《k兀-2^'反工,
所以可知函數(shù)/(x)在囁,%]上單調(diào)遞增.在[0,需]上單調(diào)遞減,所以排除A.
故選:C
【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)圖象的判斷,根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵.
4.(2021秋?惠農(nóng)區(qū)校級期末)己知函數(shù)f(x)域sin(2x4^-),^eR求:
(1)求函數(shù)f(x)在[0,7T]上的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)畫出函數(shù)在[0,7T]上的圖像.
n
TT715。377}組界57T
~8TS4;8:
【分析】(1)由2配+三?班+工?2匕1+”,依2得》的范圍,即可得解函數(shù)/G)在[0,司上的單調(diào)遞
242
減區(qū)間.
(2)根據(jù)用五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin(3x+0)的圖像的步驟和方法,作出函數(shù)/(x)在[0,可上的圖像.
【解答】解:⑴因為f(x)f歷sin
令2E+2Lw2x+2Lw2hr+^2L,kez,解得而+2LwxWhr+-^2L,kez,
24288
令4=0得:函數(shù)/a)在區(qū)間[o,m上的單調(diào)遞減區(qū)間為:[2L,亞].
88
(2)f(x)=2sin(2JC+-2E_),列表如下:
兀
X0K35兀7兀71
V888
2x+—1T3兀2n9兀
44224
f(X)1001
描點(diǎn)連線畫出函數(shù)/(X)在一個周期上[0,TI]的圖象如圖所示:
【點(diǎn)評】本題主要考查用五點(diǎn)法作函數(shù)》=4出(OJX+0)的圖象,以及函數(shù)、=45皿(UU+0)的單調(diào)性,屬
于中檔題.
二.函數(shù)y=Asin(o)x+(p)的圖象變換(共9小題)
5.(2022秋?青銅峽市校級期中)將函數(shù)f(x)=2sin(2xf)的圖象向左平移左后,所得圖象對應(yīng)的函
數(shù)為()
兀JT
A-g(x)=2sin(2x-B-g(x)=2sin(2x"^-)
c-g(x)=2sin(2x-[;)D-g(x)=2sin
【分析】由條件利用函數(shù)y=4sin(3x+(p)的圖象變換規(guī)律即可求得g(x)的解析式,
【解答】解:將函數(shù)/G)=2sin(2x-2L)的圖象向左平移三個單位,
34
得到函數(shù)g(x)=2sin[2(x+—L)-2L]=2sin(2x+.2L)的圖象.
436
故選:B.
【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)y=Asin(a)A+(p)的圖象變換規(guī)律,考查了函數(shù)思想,屬于基礎(chǔ)題.
6.(2021秋?光明區(qū)期末)要得到函數(shù)y=siirv+cosx的圖象,只需將函數(shù)yScos2x的圖象上所有的點(diǎn)
()
A.先向右平移三個單位長度,再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)
8
B.先向左平移?L個單位長度,再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的上(縱坐標(biāo)不變)
82
C.先向右平移三個單位長度,再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)
D.先向左平移三個單位長度,再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的工(縱坐標(biāo)不變)
42
【分析】利用兩角和的余弦公式化簡為y=&cos(x-2L),再由函數(shù)丫=48$(3x+(p)的圖象變換規(guī)律
得出結(jié)論.
【解答】解:y=sinx+cosjc=V^cos(%--2L),
將函數(shù)y=J5cos2x的圖象上所有的點(diǎn)向右平移衛(wèi)個單位長度得到y(tǒng)=&cos2(》-衛(wèi)_)=J5cos(2x-
再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍得到y(tǒng)=&cos(x-2L).
故選:A.
【點(diǎn)評】本題主要考查誘導(dǎo)公式,函數(shù)y=Asin(3x+(p)的圖象變換規(guī)律,統(tǒng)一這兩個三角函數(shù)的名稱,
是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.
7.(2022秋?晉江市校級期中)己知函數(shù)f(x)=sinxcosx-Fcos2xX&.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再將所得圖象向左平移三個
6
單位,得到函數(shù)g(X)的圖象,當(dāng)xE[-y,兀]時,求函數(shù)g(x)的取值范圍.
【分析】(1)直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換,把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù),進(jìn)一步求出函數(shù)的
單獨(dú)叫遞減區(qū)間;
(2)利用函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用求出結(jié)果.
【解答】解:(1)函數(shù)f(x)=sinxcosx"§='^_sin2x-亭~(l+cos2x)=
,71、
sin(2x^-)-
令~^+2k冗《2x-g42k兀+'0~'(攵€Z),
整理得:翳+k兀4x《k兀咤L(髭Z),
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為:[且L+kii,k打包口,(依Z).
(2)將函數(shù)/(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再將所得圖象向左平移三個
6
單位,得到函數(shù)g(x)=sin(X-2L)的圖象,
6
TT
由于:x€[—)兀],
所以:兀二「兀5兀i
TTI
故sinE[,1]-
故函數(shù)g(x)的取值范圍為1].
【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn):三角函數(shù)關(guān)系式的變換,正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算
能力和數(shù)學(xué)思維能力,屬于基礎(chǔ)題.
8.(2021秋?寧縣期末)已知函數(shù)/(x)=sin(n-a)x)coscox-cos2(3乂4^~)(3>。)的最小正周期為
1T.
(1)求/(X)圖象的對稱軸方程;
(2)將/(x)的圖象向左平移工個單位長度后,得到函數(shù)g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)在[0,三]上的
62
值域.
【分析】(1)由二倍角公式及誘導(dǎo)公式,可得函數(shù)的解析式,進(jìn)而求出函數(shù)的對稱軸的方程;
(2)由函數(shù)的平移可得g(x)的解析式,再由自變量的范圍,求出函數(shù)的值域.
,兀、
1+cos(2WX+-Z-)[][]
【解答】解:(1)/(x)=sinoircosoir-----------------——=Asin2(Dx+—sin2a)x-'=sin23x-A,
22222
3>0,所以函數(shù)的最小正周期7=22三=71:,可得3=1,
23
所以f(x)=sin2x-A,
可得對稱軸滿足的條件2x=2L+hT,依Z,
2
即對稱軸方程為x=2L+Kn,左z;
42
⑵吟)
(2)由(1)可得g(x)—f)=sin[2(x+——)]-2=sin.^1—9
6622
因為.詫[0,—],
2
所6以二I、I2gx+-兀--cG.r[-兀--,—4兀——]],
333
所以sin(2x+-^-)e[-I],
32
所以g(X)的值域為[-1-L,工]?
222
【點(diǎn)評】本題考查三角恒等變形及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
9.(2022秋?長安區(qū)校級月考)已知f(x)=2sin2(3xg)-1(3>0),給出下列結(jié)論:
①若/(X/)=1,f(X2)=-b且陽-切加"=TT,則3=1;
②存在3c(0,2),使得f(x)的圖象向左平移工■個單位長度后得到的圖象關(guān)于y軸對稱;
6
③若/(x)在[0,2m上恰有7個零點(diǎn),則3的取值范圍為里■];
L2424J
④若/(X)在[玲,上單調(diào)遞增,則3的取值范圍為(0,1],
其中,所有錯誤結(jié)論的編號是()
A.①②B.①③C.②③D.②④
【分析】根據(jù)已知函數(shù)解析式變形,求得函數(shù)的最小正周期為工,由已知條件可得函數(shù)的最小正周期,求
3
得3的值判斷①;求出變換后的函數(shù)解析式,由對稱性求得3值判斷②;求出函數(shù)的零點(diǎn),再由已知列關(guān)
于3的不等式,求出3范圍判斷③;求出函數(shù)的增區(qū)間,由題意列關(guān)于3的不等式組,求得3范圍判斷
④.
2
【解答】解:;f(x)=2sin(0)x+~^-)-l=-cos(20))=sin(23x+~^~)'
:.f(x)的最小正周期為22LJL.
23GO
對于①:因為/(XI)=1,f(X2)=-b-X2\min=Tt,
所以/(X)的最小正周期為T=如,
.?.22^=2兀=3,,故①錯誤;
232
對于②:將『(X)的圖象向左平移三個單位長度后得到的函數(shù)為y=sin(23xv"4),
636
若其圖象關(guān)于),軸對稱,
則粵冗,k€z,
362
解得a)=l+3匕依Z,
當(dāng)&=0時,o)=16(0,2).故②正確;
對于③:設(shè)■器,
當(dāng)x€[0,2n]時,t=2G)x」^E[―,43兀
666
若/(X)在[0,2可上有7個零點(diǎn),
即),=如/在tC[3-,40?!梗萆嫌?個零點(diǎn),
66
兀
所以7兀443n-t^-<8H>
解得我43〈里,故③錯誤;
24%24
對于④:由4+2卜兀w23x*W3+2kn,k€Z>
解得-兀+卜兀wx4兀+卜兀,k€Z-
333633
取后=0,可得———《xW無’
3363
71
若/(X)在[,工]上單調(diào)遞增,
^64」
兀n
則
兀兀
634
解得0<3故④正確.
綜上,①③錯誤,②④正確,
故選:B.
【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.
10.(2021秋?衡陽縣期末)已知函數(shù)f(x)=Asin(3x+(p)(A>0,3>0,|<p|<—)的部分圖像如圖所
2
示.則能夠使得y=2siar變成函數(shù)/(x)的變換為()
A.先橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,再向左平移三
224
B.先橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,再向左平移三
12
C.先向左平移三,再橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼墓け?/p>
62
D.先向左平移匹,再橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍
24
【分析】由頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A,由周期求出3,由五點(diǎn)作圖求出年,可得/(x)的解析式,再根據(jù)函數(shù))=Asin
(u)x+(p)的圖象變換規(guī)律,得出結(jié)論.
【解答】解:根據(jù)函數(shù)/(無)=4sin(3x+(p)(A>0,3>0,|<p|<2L)的部分圖像,
2
可得A=2,lx2兀=5兀.兀,?'?3=2.
40)126
再根據(jù)五點(diǎn)法作圖,2X工+(p=2L,.?.(p=三,故f(x)=2sin(2x+工).
6266
故把y=2sinx的圖像先向左平移,,再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,可得函數(shù)/(x)的圖像.
也可先把y=2sinx的圖像的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼纳媳?,可得y=sin2x的圖像,
2
再向左平移二個單位,可得函數(shù)f(x)=2sin(2X+2L)的圖像,
126
故選:C.
【點(diǎn)評】本題主要考查由函數(shù)y=Asin(3x+(p)的部分圖象求函數(shù)的解析式,由頂點(diǎn)坐標(biāo)求出4,由周期求
出3,由五點(diǎn)作圖求出叩,函數(shù)y=Asin(o)x+(p)的圖象變換規(guī)律,屬于中檔題.
11.(2021秋?衡陽期末)已知函數(shù)/(x)=2sin(a)x+(p)的部分圖象如圖所示,將函數(shù)/(x)的圖象向右
平移三個單位長度,得到函數(shù)g(X)的圖象,則g(cp)=()
6
D.1
【分析】由周期求出3,由五點(diǎn)作圖求出隼,可得/(x)的解析式,再利用函數(shù)y=Asin(3x+(p)的圖象變
換規(guī)律,求得g(x)的解析式,從而求得g(<p).
【解答】解:根據(jù)函數(shù)/(x)=2sin(3"(p)的部分圖象,可得旦x22L=3L-三,,3=2.
4①123
再根據(jù)五點(diǎn)法作圖,2X?L+<p=m.?.5=匹,
33
故/(x)=2sin(2x+1I_).
將函數(shù)/(x)的圖象向右平移三個單位長度,得到函數(shù)g(x)=2sin2x的圖象,
6
則g(q>)=2sin2<p=2sinZ2L=J^,
3
故選:B.
【點(diǎn)評】本題主要考查由函數(shù)y=Asin(sx+(p)的部分圖象求函數(shù)的解析式,由周期求出3,由五點(diǎn)作圖
求出<p,還考查了函數(shù)y=Asin(3x+(p)的圖象變換規(guī)律,屬于中檔題.
12.(2021秋?新鄉(xiāng)期末)若將函數(shù)f(x)=2cos(2x*)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的.,縱坐標(biāo)
不變,再向右平移工個單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象.
8
(1)求g(x)圖象的對稱中心;
⑵若f(2x)Vg(x>求tan的值?
【分析】(1)由題意利用函數(shù)y=Asin(3"(p)的圖象變換可求函數(shù)解析式
g(x)=2cos[4(x^-)-*^-]=2cos(4x-^-),利用余弦函數(shù)的對稱性即可求解?
/兀\
TTsin
(2)由題意利用誘導(dǎo)公式,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tan(4%不)工=2.進(jìn)而利用
n
cos
二倍角的正切公式即可求解.
【解答】解:(1)將函數(shù)f(x)=2cos(2x哈)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的1,縱坐標(biāo)不變,再
k=
向右平一移1個單位長度,得到g(x)=2cos[4(xT")-^]2cos(4x/~>
oob0
由4x—^-]-+k兀(Aez),
得(Aez),
244
故g(無)圖象的對稱中心為(葛-丹L,0)&ez).
,c、riiHis±*/旦/兀、/兀、/7T7T、.7T、
⑵山避忌得2cos(4X-H-^-)=COS(4X^-)=CQS(4X-^—二sin
/兀、
JTsin
所以tan(4x-+^-^)-
/兀、=2-
COS(4x-^)
/兀、
2tan
4
故tan(8x+-^-)-
1-tan2(4x-t^~)
【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù))'=Asin(3x+<p)的圖象變換,余弦函數(shù)的對稱性,誘導(dǎo)公式,同角三角函數(shù)基
本關(guān)系式以及二倍角的正切公式的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想的應(yīng)用,屬于中檔題.
13.(2022秋?渝中區(qū)校級月考)已知函數(shù)f(x)=3sin(3x+?)(|。|<子)滿足對任意的底氏都
有f(x)=f(2:-x>且f(0)=-七
(1)求滿足條件的最小正數(shù)3及此時/(X)的解析式;
(2)若將問題(1)中的/(無)的圖象向右平移三個單位得到函數(shù)g(x)的圖象,設(shè)集合A={x|0WxWir},
6
集合3={x|f(x)+g(x)■卜求ACB.
【分析】(1)由題意,利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性以及/(0)=-§,求出⑴和3,可得函數(shù)的解析式.
2
(2)由題意,利用函數(shù)y=4sin(3x+<p)的圖象變換規(guī)律,求得g(x)的解析式,可得集合8,從而求出
ACB.
【解答】解:(1)???函數(shù)f(x)=3sin(3x+0)(|0|<g)滿足對任意的xeR,都有
f(x)=fW-x),
...函數(shù)/"(x)的圖象關(guān)于直線x=2L對稱,
3
.,.wx2L+(p=jtn+—,k€Z①.
32
-3,...=-X.^=-2L
V/(0)=3sin(pSin(p
226
再結(jié)合①可得3=3A+2,Z6Z,;.3=2,f(x)=3sin(2x-—).
6
(2)把f(x)=3sin(2x--ZL)的圖象向右平移三個單位,得到函數(shù)g(x)=3sin(2x-2L)=-3cos2x
662
的圖象.
設(shè)集合A={x|0WxWit},
,集合B—{x|f(x)+g(x)£)={M3sin⑵-看)-3cos2x=—)={x|W-sin2x-9cos2%=亞}=
2222
{x|sin(2x--2I_)=A}
62
={x\2x--=2lai+—^2kn+^lk&Z}={jc|x=jtrr+—nglcn+—,髭Z},
66662
:.ACyB={—,2L}.
62
【點(diǎn)評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對稱性,正弦函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)),=Asin(3x+(p)的圖象變換規(guī)
律,屬于中檔題.
三.由y=Asin(a)x+(p)的部分圖象確定其解析式(共12小題)
14.(2021秋?灌云縣校級期末)在①直線x=2L是函數(shù)/(x)圖象的一條對稱軸,②函數(shù)/(x)的最大值
6
為2,③函數(shù)/(x)的圖象與),軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是1這三個條件中任選兩個補(bǔ)充在下面題目中,并解答.
已知函數(shù)/(X)=Asin(2x+<p)(A〉0,0〈0-
(1)求函數(shù)/(x)的解析式;
(2)求函數(shù)/(x)在[0,子]上的值域.
【分析】(1)把2x+(p看成一個整體,利用y=sinx的性質(zhì)可求函數(shù)/(X)的解析式;(2)利用換元法的思
想求函數(shù)值域.
【解答】解:(1)選擇①②,易知A=2,
因為2x2L+(p=2&ii+2L,k6Z,0<(p<—,:.q)=2L
6226
所以/(x)=2sin(2x*^-。),
選擇①③,因為2義工+<p=2Hr+?I_,kEZ,0<(p<—,:.a)=—
6226
所以/(x)=Asin(2x-+-
又f(O)=1,所以Asin~^-=1,=1,解得A=2,
所以/(x)=2sin
選擇②③,易知A=2,
而/(0)=Asin(p=2sin(p=1,所以sin(p=-^,
2
又OVcpvJL,A(p=—.
26
所以/(x)=2sin
(2)由(1)知/(x)=2sin(2x4^-),
當(dāng)O&w今時,*2x吟《平,
則當(dāng)即*=三時,/(X)mw=2;
626
當(dāng)2x+—J2Lt即x=2L時,f(X)而"=-1,
662
所以函數(shù)/(x)在[0,上的值域是[-1,2].
【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.
15.(2021秋?河北區(qū)期末)函數(shù)/(x)=Asin(wx+(p)(A>0,3>0,|<p|<—)的部分圖象如圖所示:
2
(1)求函數(shù)/(x)的解析式;
(2)求函數(shù)/(x)的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間;
【分析】(1)根據(jù)函數(shù)/(X)的部分圖求出A、T、3和(p的值,即可寫出函數(shù)/(x)的解析式;
(2)根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式求出最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;
(3)求出花[0,2L]時2x+2L的取值范圍,即可得出函數(shù)f(x)的值域.
24
【解答】解:(1)由函數(shù)/(x)=Asin(3x+(p)的部分圖象知,
A=2,T=22L-(-_ZL)=K,所以3=^2L=2,
88T
由五點(diǎn)法畫圖知,(-工,0)是五點(diǎn)中的第一個點(diǎn),
8
則2義(--2L)+(p=o,解得(p=_ZL,
84
所以函數(shù)/(x)=2sin(2x+—).
(2)函數(shù)/(元)的最小正周期為7=7T,
令三依z,解得住Z,
24288
所以/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[三+E,且L+E],
88
(3)當(dāng)x6[0,工]時,2x+—e[—,且L],
2444
所以2sin(2x+—)6[-&,2],
4
所以函數(shù)/'(x)在[0,三]上的值域為[-&,2].
2
【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題,也考查了數(shù)形結(jié)合與函數(shù)思想,是基礎(chǔ)題.
(多選)16.(2022秋?聊城期中)已知函數(shù)f(x)=Asin(3x+0)(A>0,①>0,0<0<今)的
部分圖像如圖所示,將該函數(shù)圖象向右平移工個單位后,再把所得曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(縱
12
坐標(biāo)不變),得到函數(shù)g(X)的圖象,則下列選項中正確的有()
A/、/兀、
/、/兀、
B.g(x)=sin
C.》=更是曲線y=g(x)的對稱軸
3
D.直線是曲線y=/(X)的一條切線
2
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可確定A,3的值,利用特殊點(diǎn)代入函數(shù)解析式確定<p,即可得到函數(shù)解析式,判斷
A;根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換可得到g(x)表達(dá)式,判斷B;將X="代入驗證,可判斷C;利用導(dǎo)
3
數(shù)的幾何意義求得曲線的切線方程,可判斷D.
【解答】解:由圖象知A=I,22L/Z2LJL),解得3=2,
3=八21212J
將x*1■代入/(*)中得sin(2X表+。)=1,貝1J2又今+(1)=2k兀得-(k£Z),
因為0<。<3,。,f(x)=sin(2xV~>4正確;
由于將函數(shù)/(x)圖象向右平移喘個單位后,得函數(shù)y=sin[2(xn)4]=sin(2x哈)的圖象,
再把所得曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)丫=$1門(/乂2乂吟”sin(x*)
的圖象,故g(x)=sinB錯誤;
將x=4:代入g(x)=sin(乂好卷)中,sinx=^P■是曲線)1=g(》)的*j稱軸,C正
確;
f'(x)=2cos令/(X)=L即2cos(2乂4-)=1,,cos(2xV-)卷1
可得x=°時滿足cos(2x+-^~')V,此時f(0)=sin^~=手'
則f(x)=sin(2x+^~)在點(diǎn)(0,處的切線方程為y^^~=x-。,,'?y=x+^^_,。正確?
故選:ACD.
【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),屬于中檔題.
17.(2022秋?洪山區(qū)校級期中)函數(shù)/(x)=sin(3x+(p)(a)>0,|<p|<ir)的部分圖象如圖所示,其中MN
〃x軸.
(1)求函數(shù)y=/(x)的解析式;
(2)將),=/(x)的圖像向右平移—■個單位,再向上平移2個單位得到y(tǒng)=g(x)的圖像,求且(:)的值.
【分析】(1)由題意,先求出它的一條對稱軸方程,根據(jù)周期求出3,由五點(diǎn)法作圖求出<p的值,可得函
數(shù)的解析式.
(2)根據(jù)函數(shù)y=4sin(3x+<p)的圖象變換規(guī)律得到g(x)的解析式,再根據(jù)兩角和差的正弦公式求得g
(2L)的值.
8
【解答】解:(1)根據(jù)函數(shù)/(無)=sin(a)x+(p)(a)>0,|(p|<ir)的部分圖象,
兀兀
可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線尤='_*=-工對稱,且L+?L=3x22L,;.3=2.
231234W
再根據(jù)五點(diǎn)法作圖,可得2X且L+<p=O,求得9=-亞,
126
故函數(shù)/(x)=sin(2x-旦L).
6
(2)將y—fCx)的圖像向右平移?^個單位,可得y=sin(2r-----且L)=sin(2x--,T)=sin(2x+Z...)
42633
的圖象;
再向上平移2個單位得到y(tǒng)=g(x)=sin(法+空)+2的圖像.
3
44*/兀、兀.z7T7Tx.TV7T7T.7T、
故^=s.m—11—+2=sin+2=sm()+2=(sincoscossin)+2
1212343434
=巫X亞-亞)+2=VLV2.+2.
22224
【點(diǎn)評】本題主要考查由函數(shù)y=Asin(3x+(p)的部分圖象求解析式,由周期求出3,由五點(diǎn)法作圖求出(p
的值,函數(shù)y=Asin(3x+<p)的圖象變換規(guī)律,三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),兩角和差的三角公式,屬于中檔
題.
18.(2022秋?海門市期中)信息1:某同學(xué)用“五點(diǎn)法”作函數(shù)
f(x)=Asin(3x+。)(A>0,3>0,|。|〈今)在某一個周期內(nèi)的圖象時,列表并填入了部分?jǐn)?shù)
據(jù),見下表:
兀
o)x+(p0KIT32n
T2
Xa
一近
Asin(a)x+(p)00
2
信息2:如圖,4、C為函數(shù)f(x)=Asin(3x+0)(A>0,3>0,
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