第02講 正弦定理與余弦定理（學(xué)生版）-2023年新高二暑期數(shù)學(xué)銜接（新人教版）

第02講正弦定理與余弦定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.借助向量的運(yùn)算,探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系,掌握余弦定理、正弦定理2.能用余弦定理、正弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題【基礎(chǔ)知識(shí)】一、三角形中的誘導(dǎo)公式在△ABC中1.；2.；3.,.二、正弦定理1.在三角形ABC中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等,即．其中R是三角形ABC外接圓的半徑．2.正弦定理的其他形式：①a＝2RsinA,；②sinA＝eq\f(a,2R),sinB＝,sinC＝；③a∶b∶c＝.【解讀】①適用范圍:正弦定理對(duì)任意的三角形都成立.②結(jié)構(gòu)形式:分子為三角形的邊長(zhǎng),分母為相應(yīng)邊所對(duì)角的正弦的連等式.③揭示規(guī)律:正弦定理指出的是三角形中三條邊與對(duì)應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式,它描述了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系.3.利用正弦定理求解“角角邊”型:已知兩角和任一邊.已知角B,C和邊a.4.利用正弦定理求解“邊邊角”型:已知兩邊和其中一邊的對(duì)角.已知角A和邊a,b(有解).5.在△ABC中,已知a、b和A時(shí),解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解6.利用正弦定理判斷三角形形狀①化邊：通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀．②化角：通過(guò)三角恒等變換,得出內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷三角形的形狀,此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論．三、余弦定理1.余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍．即,,.2.余弦定理的變形：cosA＝,cosB＝,cosC＝.3.由余弦定理可知,若C為銳角,則cosC>0,即a2＋b2>c2；若C為鈍角,則cosC<0,即a2＋b2<c2；若C為直角,則cosC=0,即a2＋b2=c2.故由a2＋b2與c2值的大小比較,可以判斷C為銳角、鈍角或直角．4.利用余弦定理求解“邊邊邊”型,即已知三邊.已知邊a,b,c.5.利用余弦定理求解“邊角邊”型,即已知兩邊及夾角.已知邊a,b和角C.6.利用余弦定理求解(3)“邊邊角”型,即已知兩邊和其中一邊的對(duì)角.已知邊a,b和角A.7.給出a2＋b2－c2＝λab形式求角,可用余弦定理；若,則；若成等差數(shù)列,或成等比數(shù)列,則8.三角形中多次使用正、余弦定理問(wèn)題三角形中多次使用正、余弦定理是圖形問(wèn)題求解時(shí)的常用策略,求解時(shí)要借助相等角、互補(bǔ)角、相等的線段在幾個(gè)三角形中分別使用正、余弦定理,列出多個(gè)關(guān)系式,相加或相減,或解方程組進(jìn)行求解.四、三角形面積公式1.2.(p＝eq\f(a＋b＋c,2)),3.S＝rp(R為三角形外接圓半徑,r為三角形內(nèi)切圓半徑,p＝eq\f(a＋b＋c,2))．4.△ABC的面積.五、解三角形的應(yīng)用1.應(yīng)用正、余弦定理解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：(1)分析：理解題意,分清已知與未知,畫出示意圖；(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo),把已知量與求解量盡量集中到一個(gè)三角形中,建立一個(gè)解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形,求得數(shù)學(xué)模型的解；(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求得的解是否符合實(shí)際意義,從而得出實(shí)際問(wèn)題的解．2.與測(cè)量有關(guān)的幾類角(1)仰角和俯角與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖①)．(2)方向角相對(duì)于某正方向的水平角,如南偏東30°,北偏西45°等．(3)方位角指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)．(4)視角觀察物體時(shí),從物體兩端引出的光線在人眼光心處所成的夾角(5)坡度(坡比)在修堤、筑壩、開(kāi)渠、挖河時(shí),我們常常需要表示斜坡的傾斜程度.在上坡公路旁的指示牌上也?？吹狡露鹊臉?biāo)志.坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做這個(gè)斜坡的坡度(或坡比).若用i表示坡度,則有,由坡度的意義可知,"坡度"是一個(gè)比值,它并不是表示一個(gè)角度.我們把斜坡面與水平面的夾角叫做坡角,若用α表示,可知坡度與坡角的關(guān)系是=tanα【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：利用正弦定理求角例1．(2022學(xué)年廣西憑祥市高級(jí)中學(xué)高一下學(xué)期第一次素質(zhì)檢測(cè))已知的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若,則(

)A． B． C． D．考點(diǎn)二：利用正弦定理求邊例2．(2022學(xué)年河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟高一下學(xué)期階段性檢測(cè))記的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若,,,則(

)A． B．3 C． D．2考點(diǎn)三：利用余弦定理求角例3．(2022學(xué)年山西省高一下學(xué)期第三次月考)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若,且,則角A的余弦值為(

)A． B． C． D．考點(diǎn)四：利用余弦定理求邊例4．(2022年天津市南開(kāi)區(qū)普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試)在中,若,則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．考點(diǎn)五：求三角形的面積例5．(2022學(xué)年北京市第六十六中學(xué)高一下學(xué)期線上診斷)已知的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且,,則△ABC的面積為(

)A． B． C． D．考點(diǎn)六：判斷三角形的形狀例6．(2022學(xué)年江蘇省徐州市沛縣高一下學(xué)期第一次學(xué)情調(diào)研)在中,角所對(duì)的邊分別是,且,則的形狀為(

)A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形考點(diǎn)七：三角變換與解三角形的交匯例7．(2022屆山東師范大學(xué)附屬中學(xué)高三下學(xué)期考前檢測(cè))在①,②兩個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中,并解答該問(wèn)題.在中,內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別是、、,且________.(1)求角；(2)若,點(diǎn)是的中點(diǎn),求線段的取值范圍.考點(diǎn)八：四邊形中的解三角形例8．(2022屆安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)高三下學(xué)期適應(yīng)性考試)如圖,圓內(nèi)接四邊形ABCD中,,,．(1)求邊的長(zhǎng)；(2)設(shè),,求的值．考點(diǎn)九：三角形中的最值與范圍例9.(2022屆湖北省黃岡中學(xué)高三下學(xué)期5月適應(yīng)性考試)在中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知,且滿足．(1)求角B的大??；(2)求的面積的最大值．考點(diǎn)十：解三角形中的開(kāi)放題例10.(2022屆江蘇省南京市天印高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期考前模擬)在①,②AC邊上的高為,③這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并完成解答.問(wèn)題：記ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知,,______.(1)求c的值；(2)若點(diǎn)是邊上一點(diǎn),且,求AD的長(zhǎng)..考點(diǎn)十一：解三角形的應(yīng)用例11.(2022學(xué)年上海市華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高一下學(xué)期5月月考)市政部門要在一條道路路邊安裝路燈,如圖所示截面中,要求燈柱AB與地面AD垂直,燈桿為線段BC,,路燈C采用錐形燈罩,射出光線范圍為,A?B?C?D在同一平面內(nèi),路寬米,設(shè).(1)求燈柱AB的高；(2)市政部門應(yīng)該如何設(shè)置的值才能使路燈燈柱AB與燈桿BC所用材料的總長(zhǎng)度最?。孔钚≈禐槎嗌?？(結(jié)果精確到0.01)【真題演練】1．(2021年高考全國(guó)卷Ⅱ)2020年12月8日,中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848．86(單位：m),三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一．如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖,現(xiàn)有A．B．C三點(diǎn),且A．B．C在同一水平面上的投影滿足,．由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為,與的差為100；由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為,則A．C兩點(diǎn)到水平面的高度差約為() ()A．346 B．373 C．446 D．4732．(2020年高考全國(guó)卷Ⅲ)在△ABC中,cosC=,AC=4,BC=3,則cosB= ()A． B． C． D．3．(2021年高考全國(guó)卷Ⅱ)記的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,面積為,,,則________．4．(2020年高考全國(guó)卷Ⅰ卷)如圖,在三棱錐P–ABC的平面展開(kāi)圖中,AC=1,,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,則cos∠FCB=______________．5．(2021新高考全國(guó)卷Ⅰ)記的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,．已知,點(diǎn)在邊上,．(1)證明：；(2)若,求．6.(2021新高考全國(guó)卷Ⅱ)在中,角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、、,,.．(1)若,求的面積；(2)是否存在正整數(shù),使得為鈍角三角形?若存在,求出的值；若不存在,說(shuō)明理由．7.(2020新高考山東卷)在①,②,③這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,若問(wèn)題中的三角形存在,求的值；若問(wèn)題中的三角形不存在,說(shuō)明理由．問(wèn)題：是否存在,它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且,,________?注：如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分．8．(2020年高考全國(guó)卷Ⅱ)中,sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．(1)求A；(2)若BC=3,求周長(zhǎng)的最大值．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1．(2022屆上海市高三高考沖刺卷)如圖,在中,已知,D是邊上的一點(diǎn),,則的長(zhǎng)為(

)A． B． C． D．2.(2022學(xué)年遼寧省鐵嶺市清河高級(jí)中學(xué)高一下學(xué)期期中)在中,已知,那么一定是(

)A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等邊三角形3.(2022學(xué)年河南省洛陽(yáng)市創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟高一下期5月階段檢測(cè))在中,AC＝2,,若有解,則BC的取值范圍為(

)A．[1,2) B．[1,＋∞) C． D．[2,＋∞)4.(多選)(2022學(xué)年遼寧師范大學(xué)附屬中學(xué)高一下學(xué)期5月考試)在中,分別為,,的對(duì)邊,下列敘述正確的是(

)A．若為鈍角三角形,則B．若是銳角三角形,則不等式恒成立C．,則D．若,則為鈍角三角形5.(多選)(2022學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市東北師范大學(xué)附屬中學(xué)高一下學(xué)期期中)如圖,在平面四邊形ABCD中,,,,,則CD的值可能為(

)A．1 B． C． D．26.(2022學(xué)年四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一下學(xué)期期中)在△ABC中,角A、B、C所對(duì)邊分別為a、b、c,且,則______．7．(2022學(xué)年三湘名校教育聯(lián)盟高一下學(xué)期5月聯(lián)考)如圖,無(wú)人機(jī)在離地面高300m的A處,觀測(cè)到山頂M處的仰角為、山腳C處的俯角為,已知,則山的高度MN為_(kāi)__m．8.(2022屆四川省宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校高三下學(xué)期高考適應(yīng)性考試)已知的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,．(1)求角A的大?。?2)若,,且AD平分,求的面積．9.(2022學(xué)年湖北省十堰市部分高中高二下學(xué)期5月聯(lián)考)在①,②,③這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題的橫線上并作答.問(wèn)題：在中,內(nèi)角,,的對(duì)邊分