第06講 基本不等式（學(xué)生版）-2023年新高一（初升高）暑期數(shù)學(xué)銜接（新人教版）

第06講基本不等式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握基本不等式2.結(jié)合具體實(shí)例，能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值的問題．【基礎(chǔ)知識(shí)】一、幾個(gè)重要的不等式1.eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0，b>0)2.a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．3.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號(hào))．4.ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．5.eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等號(hào)成立的條件均為a＝b.二、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab)，基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．三、利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則1.如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值2eq\r(p).(簡記：積定和最小)2.如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值eq\f(p2,4).(簡記：和定積最大)3.應(yīng)用基本不等式時(shí)的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)一正數(shù)：指式子中的a，b均為正數(shù).(2)二定值：只有ab為定值時(shí)才能應(yīng)用基本不等式，因此有時(shí)需要構(gòu)造定值.(3)三相等：即“=”必須成立，求出的定值才是要求的最值.4.在利用基本不等式求最值時(shí)，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式．湊配法求最值的基本技巧：①配湊系數(shù)；②配湊常數(shù)；③配湊分子；④配湊分母；=5\*GB3⑤配湊項(xiàng)數(shù)5.條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求最值．求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)型最值問題，常通過“1”來進(jìn)行轉(zhuǎn)化，但不是所有的最值都可以通過基本不等式解決，有一些看似可以通過基本不等式解決的問題，由于條件的限制，等號(hào)不能夠成立，這時(shí)就不能用基本不等式來解決，而要借助于其他求值域的方法來解決．四、基本不等式的其他應(yīng)用1.基本不等式除具有求最值的功能外，還具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”以及將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，常用于比較數(shù)(式)的大小2.一般地，對(duì)含參的不等式求范圍問題通常采用分離變量轉(zhuǎn)化為恒成立問題，對(duì)于“恒成立”的不等式，一般的解題方法是先分離然后求函數(shù)的最值．另外，要記住幾個(gè)常見的有關(guān)不等式的等價(jià)命題：(1)a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立?a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解?a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解?a＜f(x)max.3.利用基本不等式證明不等式的策略從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后轉(zhuǎn)化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.對(duì)不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型，再使用.4.構(gòu)造不等式求范圍利用或ab≤將式子轉(zhuǎn)化為含ab或a+b的一元二次不等式，將ab，(a+b)作為整體解出范圍5．函數(shù)法求最值：若利用基本不等式時(shí)等號(hào)取不到，則無法利用基本不等式求最值，則可將要求的式子看成一個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值.6.利用基本不等式解決實(shí)際問題的步驟解實(shí)際問題時(shí)，首先審清題意，然后將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)(函數(shù)及不等式性質(zhì)等)解決問題.用基本不等式解決此類問題時(shí)，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：(1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù).(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題.(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值.(4)正確寫出答案.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：利用基本不等式判斷命題的真假例1．(2022學(xué)年江西省贛州市贛縣高一下學(xué)期開學(xué)考試)下列說法正確的為(

)A．B．函數(shù)的最小值為4C．若則最大值為1D．已知時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得最小值8考點(diǎn)二：利用基本不等式比較大小例2．(2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高一上學(xué)期期中)若a＞0，b＞0，且a≠b，則(

)A．＜＜ B．＜＜C．＜＜ D．＜＜考點(diǎn)三：利用基本不等式求最值例3．(2022學(xué)年吉林省延邊州高一上學(xué)期期末)已知，則函數(shù)的最小值是(

)A． B． C．2 D．考點(diǎn)四：利用基本不等式求范圍例4．(2022學(xué)年湖北省黃石市有色第一中學(xué)高一上學(xué)期期中)設(shè)，，且，求的取值范圍考點(diǎn)五：利用基本不等式證明不等式例5．已知均為正實(shí)數(shù)，且滿足證明：(1)；(2)．考點(diǎn)六：利用基本不等式求解恒成立問題例6.已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．﹣8≤m≤1 B．m≤﹣8或m≥1 C．﹣1≤m≤8 D．m≤﹣1或m≥8考點(diǎn)七：基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用例7.(2022學(xué)年河北省唐縣第一中學(xué)高一下學(xué)期5月月考)冬奧會(huì)期間，冰墩墩成熱銷商品，一家冰墩墩生產(chǎn)公司為加大生產(chǎn)，計(jì)劃租地建造臨時(shí)倉庫儲(chǔ)存貨物，若記倉庫到車站的距離為(單位：)，經(jīng)過市場調(diào)查了解到：每月土地占地費(fèi)(單位：萬元)與成反比，每月庫存貨物費(fèi)(單位：萬元)與成正比；若在距離車站處建倉庫，則與分別為萬元和萬元.記兩項(xiàng)費(fèi)用之和為.(1)求關(guān)于的解析式；(2)這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最?。壳蟪鲎钚≈担菊骖}演練】1．(2020-2021學(xué)年陜西省榆林市第十中學(xué)高一下學(xué)期期末)若，且，則的最大值為(

)A．4 B．2 C． D．2.(2022學(xué)年福建省三明第一中學(xué)高一上學(xué)期學(xué)段考)已知，，，則下列結(jié)論一定成立的是(

)A． B． C． D．3．(2022學(xué)年貴州省六盤水紅橋?qū)W校高一上學(xué)期期中)設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是()A．4 B．2 C． D．4.(2022學(xué)年安徽省阜陽市太和縣三校高一上學(xué)期期中聯(lián)考)下列命題中正確的是(

)A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，5.(2022學(xué)年甘肅省金昌市永昌縣高一上學(xué)期期末)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則對(duì)于，下列說法準(zhǔn)確的是(

)A．取得最小值時(shí)a＝ B．最小值是5C．取得最小值時(shí)b＝ D．最小值是6.(2022學(xué)年安徽省宣城市涇縣中學(xué)高一上學(xué)期10月月考)某項(xiàng)研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量(單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過測量點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí))與車流速度(假設(shè)車輛以相同速度行駛，單位：米/秒)，平均車長(單位：米)的值有關(guān)，其公式為.如果不限定車型，，則最大車流量為__________輛/時(shí).7.(2022學(xué)年廣西河池市高一上學(xué)期八校聯(lián)考)已知，求證.8.(2022學(xué)年湖北省孝感市高一上學(xué)期期中聯(lián)考)已知且，求的最小值．【過關(guān)檢測】1.(2022學(xué)年四川省南充市白塔中學(xué)高一下學(xué)期月考)已知，，則的最小值為(

)A． B． C． D．2.(2022學(xué)年江西省豐城中學(xué)高一下學(xué)期入學(xué)考試)已知都是正實(shí)數(shù)，若，則的最小值為(

)A．2 B．4 C．6 D．83.(2022學(xué)年四川省內(nèi)江市威遠(yuǎn)中學(xué)校高一下學(xué)期階段性測試)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A． B． C． D．4.(2022學(xué)年河南省開封市高一上學(xué)期期末)已知，都是正數(shù)，則下列命題為真命題的是(

)A．如果積等于定值，那么當(dāng)時(shí)，和有最大值B．如果和等于定值，那么當(dāng)時(shí)，積有最小值C．如果積等于定值，那么當(dāng)時(shí)，和有最小值D．如果和等于定值，那么當(dāng)時(shí)，積有最大值5.(多選)(2022學(xué)年山東省棗莊市滕州市高一上學(xué)期期末)設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則(

)A．的最小值為B．的最小值為2C．的最大值為1D．的最小值為26.(多選)(2022學(xué)年湖北省部分高中聯(lián)考協(xié)作體高一上學(xué)期期中)有下列4個(gè)關(guān)于不等式的結(jié)論，其中正確的是(

)A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7.(2022學(xué)年上海市延安中學(xué)高一上學(xué)期期中)已知，，，則在下列不等式①；②；③；④；⑤其中恒成立的是___________.(寫出所有正確命題的序號(hào))8.已知，，，則的最小值為__．9.(2022學(xué)年湖北省十堰市車城高中高一上學(xué)期9月月考)(1)已知，，，求的最小值；(2)已知，求的最大值.10.(2022學(xué)年江蘇省南通市海安市高一