第11講 直線的方程（學(xué)生版）-2023年新高二暑期數(shù)學(xué)銜接（新人教版）

第11講直線的方程【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式，兩點(diǎn)式及一般式)2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)【基礎(chǔ)知識】一、直線的點(diǎn)斜式方程1.直線的點(diǎn)斜式方程點(diǎn)斜式已知條件點(diǎn)P0(x0,y0)和斜率k

圖示?方程形式

y-y0=k(x-x0)

適用條件斜率存在

2.點(diǎn)斜式方程的應(yīng)用(1)經(jīng)過點(diǎn)P0(x0,y0),且斜率不存在的直線不能用點(diǎn)斜式方程表示,其方程為x=x0.(2)經(jīng)過點(diǎn)P0(x0,y0),且斜率為0的直線能用點(diǎn)斜式方程表示,其方程為y=y0.(3)過定點(diǎn)P0(x0,y0)的直線系方程:我們可設(shè)直線的方程為y-y0=k(x-x0),由于過點(diǎn)P0(x0,y0)且與x

軸垂直的直線不能用y-y0=k(x-x0)表示,因此直線系y-y0=k(x-x0)(k∈R)中沒有直線x=x0.二、直線的斜截式方程1.把直線l與y軸的交點(diǎn)(0,b)的縱坐標(biāo)b叫做直線l在y軸上的截距

(1)直線l在y軸上的截距,就是直線l與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)

.(2)直線l在y軸上的截距存在,等價于直線l的斜率存在.2.直線的斜截式方程斜截式已知條件斜率k和直線在y軸上的截距

b圖示?方程形式

y=kx+b

適用條件斜率存在

3.斜截式方程的應(yīng)用(1)斜率為k的直線系方程:若直線的斜率存在,則可設(shè)直線的方程為y=kx+b,當(dāng)b取不同值時,

這個方程表示斜率為k的直線系方程.(2)對于直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2.l1∥l2?k1=k2,且b1≠b2;l1⊥l2?k1k2=-1.4.截距不是距離,截距是一個點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo),是一個實數(shù),可以是正數(shù),也可以是負(fù)數(shù)和

零,而距離是一個非負(fù)數(shù).三、直線的兩點(diǎn)式方程1.直線的兩點(diǎn)式方程名稱已知條件圖形方程適用條件兩點(diǎn)式直線上兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)?直線不垂直于x軸

和y軸2.對直線的兩點(diǎn)式方程的理解(1)直線的兩點(diǎn)式方程不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線.(2)直線的兩點(diǎn)式方程也可以寫成(y-y2)(x1-x2)=(x-x2)(y1-y2)的形式,則可表示任意的直線,但不再稱其為直線的兩點(diǎn)式方程.3.寫直線的兩點(diǎn)式方程的步驟(1)已知直線上的兩點(diǎn),首先判斷直線是否垂直于坐標(biāo)軸.(2)若直線垂直于坐標(biāo)軸,則直接寫出方程.(3)若直線不垂直于坐標(biāo)軸,則可根據(jù)兩點(diǎn)式求出直線的方程.4.運(yùn)用直線的兩點(diǎn)式方程時的注意事項(1)當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo),求過這兩點(diǎn)的直線方程時,首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條

件:兩點(diǎn)的連線不垂直于坐標(biāo)軸,若滿足,則考慮用兩點(diǎn)式求方程.(2)由于減法是有序的,所以用兩點(diǎn)式求直線方程時常因字母或數(shù)字的順序錯位而導(dǎo)致錯誤.四、直線的截距式方程1.直線的截距式方程名稱已知條件圖形方程適用條件截距式在x,y軸上的截距

分別為a,b,且a≠0,

b≠0?直線不垂直于x軸

和y軸,且不過原點(diǎn)2.對直線的截距式方程的理解(1)若直線與x軸相交于點(diǎn)(a,0),則稱a為直線在x軸上的截距,也稱橫截距;若直線與y軸相交

于點(diǎn)(0,b),則稱b為直線在y軸上的截距,也稱縱截距.(3)在方程中,要求a、b存在,且a≠0,b≠0,即兩個截距存在且都不為0,因此它不能表示過坐標(biāo)原點(diǎn)和垂直于x軸、y軸的直線.3.運(yùn)用直線的截距式方程時的注意事項題目中出現(xiàn)直線在兩坐標(biāo)軸上的“截距相等”“截距互為相反數(shù)”“在一坐標(biāo)軸上的截距是另一坐標(biāo)軸上截距的m倍(m>0)”等條件時,若采用截距式求直線的方程,一定要注意考慮“零截距”的情況.五、直線的一般式方程1.概念在平面直角坐標(biāo)系中,任意一條直線都可以用一個關(guān)于x,y的二元一次方程表示出來,每一

個關(guān)于x,y的二元一次方程都表示一條直線,我們把關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0

(其中A,B不同時為0)叫做直線的一般式方程

,簡稱一般式.2.在Ax+By+C=0中,若B=0,A≠0,則x=,它表示一條與y軸平行或重合的直線;若A=0,B≠0,則y=,它表示一條與x軸平行或重合的直線.3.直線方程的五種形式的比較名稱方程形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0)(x0,y0)是直線上一定點(diǎn),

k是斜率不垂直于x軸的直線斜截式y(tǒng)=kx+bk是斜率,b是直線在y軸上的截距不垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式(x1≠x2,y1≠y2)(x1,y1),(x2,y2)是直線上兩定點(diǎn)不垂直于x軸和y軸的直線截距式?(a≠0,b≠0)a是直線在x軸上的非零截距,b是直線在y軸上的非零截距不垂直于x軸和y軸,且不過原點(diǎn)的直線一般式Ax+By+C=0(A,B不同時為0)A,B,C為系數(shù)任何位置的直線【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：直線的點(diǎn)斜式方程例1．(2020-2021學(xué)年廣西高二上學(xué)期學(xué)業(yè)水平考試)已知直線l的斜率為2，且經(jīng)過點(diǎn)，那么直線l的方程為(

)A． B．C． D．考點(diǎn)二：直線的斜截式方程例2．已知，，則下列直線的方程不可能是的是(

)A． B．C． D．考點(diǎn)三：直線的兩點(diǎn)式方程例3．(2021-2022學(xué)安徽省合肥市六校聯(lián)考高二上學(xué)期期末)已知直線過點(diǎn)，，則直線的方程為(

)A． B． C． D．考點(diǎn)四：直線的截距式方程例4．(2022學(xué)年廣東省佛山市第一中學(xué)高二上學(xué)期段考)已知直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等，則滿足條件的直線有(

)條A．1 B．2 C．3 D．4考點(diǎn)五：直線的一般式方程例5．(2022學(xué)年山東省青島第十九中學(xué)高二上學(xué)期10月月考)過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為(

)A． B．C． D．考點(diǎn)六：直線的平行問題例6．(2022學(xué)年廣東省名校聯(lián)盟高二下學(xué)期大聯(lián)考)若直線與直線平行，則m=(

)A．4 B． C．1 D．考點(diǎn)七：直線的垂直問題例7．(2022學(xué)年廣東省茂名市五校聯(lián)盟高二上學(xué)期期末聯(lián)考)若直線與直線垂直，則a=(

)A．-2 B．0 C．0或-2 D．1考點(diǎn)8：直線的方程與其他知識的交匯例8．過點(diǎn)作直線l分別與x，y軸正半軸交于點(diǎn)A，B.(1)若是等腰直角三角形，求直線l的方程；(2)對于①最小，②面積最小，若選擇___________作為條件，求直線l的方程.【真題演練】1.(2022學(xué)年河北省臨城中學(xué)高二下學(xué)期開學(xué)考試)已知直線l的傾斜角為120°，則下列直線中，與直線l垂直的是(

)A． B．C． D．2.(2022學(xué)年湖南省湖湘教育三新探索協(xié)作體高二上學(xué)期11月期中)過點(diǎn)且方向向量為的直線的方程為(

)A． B．C． D．3.(2022學(xué)年浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高二上學(xué)期期末)直線的傾斜角的取值范圍是(

)A． B．C． D．4.(2022學(xué)年上海市復(fù)興高級中學(xué)高二上學(xué)期期末)已知直線過點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)A?B，若的面積為24，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則這樣的直線有(

)A．1條 B．2條 C．3條 D．4條5.(2022學(xué)年云南省昆明市第三中學(xué)高二上學(xué)期期中)已知直線l∶x+y-2-a=0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值可以是(

)A．0 B．1 C．-1 D．-2.6.(2022學(xué)年浙江省紹興市上虞區(qū)高二上學(xué)期期末)下列說法正確的是(

)A．直線的傾斜角范圍是B．若直線與直線互相垂直，則C．過兩點(diǎn)，的直線方程為D．經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為7.(2022學(xué)年湖北省部分重點(diǎn)學(xué)校聯(lián)考高三上學(xué)期12月月考)已知某直線滿足以下兩個條件，寫出該直線的一個方程：________．(用一般式方程表示)①傾斜角為；②不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．8.(2020-2021學(xué)年重慶市青木關(guān)中學(xué)高二上學(xué)期第二次月考)如圖，在平行四邊形中，邊所在直線方程為，點(diǎn).(1)求直線的方程；(2)求邊上的高所在直線的方程.【過關(guān)檢測】1.(2022學(xué)年吉林省白山市高二上學(xué)期期末)與直線平行，且經(jīng)過點(diǎn)(2，3)的直線的方程為(

)A． B． C． D．2.(2022學(xué)年河北省張家口市宣化第一中學(xué)高二上學(xué)期期末)如果，，那么直線不經(jīng)過的象限是(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.已知直線，直線，且，則的值為()A． B． C．-2或-1 D．4.已知的三個頂點(diǎn)，則的高CD所在的直線方程是(

)A． B．C． D．5.(多選)下列說法正確的是(

)A．＝k不能表示過點(diǎn)M(x1，y1)且斜率為k的直線方程B．在x軸，y軸上的截距分別為a，b的直線方程為C．直線y＝kx+b與y軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為bD．過兩點(diǎn)A(x1，y1)B(x2，y2)的直線方程為6.(多選)直線的方程分別為，，它們在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是(

)A． B．C． D．7.(2022學(xué)年浙江省杭州第二中學(xué)濱江校區(qū)高二上學(xué)期期中)過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程是___________.8.經(jīng)過點(diǎn))且