函數(shù)的單調(diào)性教學設計A

1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲担ǖ谝徽n時）教學設計教學內(nèi)容解析：(1)教學內(nèi)容的內(nèi)涵、數(shù)學思想方法、核心與教學重點；本課教學內(nèi)容出自人教版《普通高中課程標準實驗教科書必修數(shù)學1》（以下簡稱“新教材”）第一章3.1節(jié)。函數(shù)的單調(diào)性是研究當自變量x不斷增大時，它的函數(shù)y增大還是減小的性質(zhì)．如增函數(shù)表現(xiàn)為“隨著x增大，y也增大”這一特征．與函數(shù)的奇偶性不同，函數(shù)的奇偶性是研究x成為相反數(shù)時，y是否也成為相反數(shù)，即函數(shù)的對稱性質(zhì)．函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的極值類似，是函數(shù)的局部性質(zhì)，在整個定義域上不一定具有．這與函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的最大值、最小值不同，它們是函數(shù)在整個定義域上的性質(zhì)．函數(shù)單調(diào)性的研究方法也具有典型意義，體現(xiàn)了對函數(shù)研究的一般方法：加強“數(shù)”與“形”的結(jié)合，由直觀到抽象；由特殊到一般．首先借助對函數(shù)圖象的觀察、分析、歸納，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的增、減變化的直觀特征，進一步量化，發(fā)現(xiàn)增、減變化數(shù)字特征，從而進一步用數(shù)學符號刻畫．函數(shù)單調(diào)性的概念是研究具體函數(shù)單調(diào)性的依據(jù)，在研究函數(shù)的值域、定義域、最大值、最小值等性質(zhì)中有重要應用（內(nèi)部）；在解不等式、證明不等式、數(shù)列的性質(zhì)等數(shù)學的其他內(nèi)容的研究中也有重要的應用（外部）．可見，不論在函數(shù)內(nèi)部還是在外部，函數(shù)的單調(diào)性都有重要應用，因而在數(shù)學中具有核心地位．教學的重點是：引導學生對函數(shù)定義域I的給定區(qū)間D上“隨著x增大，y也增大（或減?。边@一特征進行抽象的符號描述：在區(qū)間D上任意取x1，x2，當x1＜x2時，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)（或減函數(shù)）．(2)教學內(nèi)容的知識類型；在本課教學內(nèi)容中，包含了四種知識類型。函數(shù)單調(diào)性的相關概念屬于概念性知識，函數(shù)單調(diào)性的符號語言表述屬于事實性知識，利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟屬于程序性知識，發(fā)現(xiàn)問題----提出問題----解決問題的研究模式，以及從直觀到抽象，由特殊到一般，從感性到理性、先猜想后證明等研究問題的一般方法，屬于元認知知識.(3)教學內(nèi)容的上位知識與下位知識；在本課教學內(nèi)容中，函數(shù)的單調(diào)性，是文字語言、圖形語言、符號語言的上位知識.圖象法、作差法是判斷證明函數(shù)單調(diào)性的下位知識.(4)思維教學資源與價值觀教育資源；生活常見數(shù)據(jù)曲線圖例子，能引發(fā)觀察發(fā)現(xiàn)思維；函數(shù)f(x)=0.001x+1和函數(shù)，能引發(fā)提出問題---分析問題----解決問題的研究思維，不等關系等價轉(zhuǎn)化為作差定號，是轉(zhuǎn)化化歸思維的好資源，是樹立辯證唯物主義價值觀的好契機；創(chuàng)設熟悉的二次函數(shù)探究背景，是引發(fā)從直觀到抽象，由特殊到一般，從感性到理性、先猜想后證明思維的好材料，樹立了“事物是普遍聯(lián)系的”價值觀.二、教學目標設置：本課教學以《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》（以下統(tǒng)稱為“課標”）為基本依據(jù)，以“數(shù)學育人”作為根本目標設置?！罢n標”數(shù)學1模塊內(nèi)容要求是：不僅把函數(shù)看成變量之間的依賴關系，還要用集合與對應的語言刻畫函數(shù)，體會函數(shù)的思想方法與研究方法，結(jié)合實際問題，體會函數(shù)在數(shù)學和其他學科中的重要性。“課標”對本課課堂教學內(nèi)容要求是：通過已學過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性.(第一課時)為盡好達到以上要求，結(jié)合學生實際，本課課堂教學目標設置如下：(1)知識與技能：理解函數(shù)單調(diào)性的概念，讓學生能清晰表述函數(shù)單調(diào)性的定義與相關概念；能利用圖象法直觀判斷函數(shù)的單調(diào)性；初步掌握利用函數(shù)單調(diào)性定義從正反兩個角度分析、判斷、證明函數(shù)單調(diào)性.理解函數(shù)單調(diào)性定義蘊含的不等關系，初步掌握利用作差比較推理證明函數(shù)單調(diào)性的方法.(2)過程與方法：經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象概括、符號表示、推理論證等思維過程，提高相應的數(shù)學思維能力；探索函數(shù)單調(diào)性的符號語言表述，體會數(shù)形結(jié)合、分類討論、特殊與一般、無限與有限、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想.(3)情感、態(tài)度與價值觀：通過觀察生活常見數(shù)據(jù)例子，感受數(shù)學的科學價值與應用價值，提高學習數(shù)學的興趣。通過自主學習、小組合作探究，形成獨立思考、討論爭辯、合作整理的良好學習模式與氛圍.通過知識的探究過程培養(yǎng)學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生感知從直觀到抽象，由特殊到一般，從感性到理性、先猜想后證明的認知過程，形成對后續(xù)函數(shù)性質(zhì)的一般研究方法，形成批判性的思維習慣，崇尚數(shù)學的理性精神，樹立辯證唯物主義世界觀.三、學生學情分析：(1)學生已有基礎：認知基礎：從學生知識最近發(fā)展區(qū)來看。他們在初中已經(jīng)接觸過函數(shù)的單調(diào)性，不過那時沒有提函數(shù)的單調(diào)性，而是用體現(xiàn)變量之間依賴關系的文字語言“y隨x的增大而增大，y隨x的增大而減小”來描述，符合學生的認知規(guī)律，同時一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象直觀地體現(xiàn)了函數(shù)的這一性質(zhì).能理解不等關系，理解a＞b可以等價轉(zhuǎn)化為a－b＞0,a＜b可以等價轉(zhuǎn)化為a－b＜0.非認知基礎：通過小學、初中和高中階段集合與函數(shù)概念的學習，學生具有一定的抽象概括、類比歸納、符號表示的能力.具備相當?shù)娜粘Ｉ罱?jīng)驗,能看懂曲線圖.(2)教學難點及難點突破：難點1：能用不等關系對“隨著”、“增大”、“減小”這種文字語言進行符號化.這個差距是從自然描述抽象概括為符號表述.抽象能力稍強的學生可以通過同時對比函數(shù)的列表和圖象，用數(shù)形結(jié)合思想，自主消除差距.如果學生抽象能力稍弱，教師可以提示“增大、減小都是體現(xiàn)大小比較的詞匯”，啟發(fā)學生用比較大小的方法抽象概括.并用“當…時，有…”來體現(xiàn)“隨著”這種變量間的伴隨關系.難點2：能理解“任意…都…”這個句式的具體含義：第一，不能取特定值來判別函數(shù)的單調(diào)性；這里的差異是學生要理解可以用特殊推廣到一般，但不能用特殊代替一般，學生也許理解不透徹，需要教師提起注意，本課設置了辨析題1解決這個問題；第二，正是由于取值的任意性，造就了函數(shù)的單調(diào)性的局部性。這里的差異是學生要理解如果不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值驗證，會出現(xiàn)不能界定單調(diào)性的矛盾.學生第一次接觸這樣高度概括的符號語言，這個差距多數(shù)需要教師設置有效教學環(huán)節(jié)幫助消除，本課設置了辨析題2，并采用小組合作探究的學習模式，讓學生獨立思考、充分討論、正誤對比來獲得正確認識.第三、用“任意”的必要性，體現(xiàn)化無限為有限的思想.這里的差距是學生要理解“任意”這個說法的必要性，由于是高度概括的文字語言，理解起來需要演繹推理的過程，這個差距是需要教師幫助消除的，本課通過下列問題串來解決：“師問：x1和x2是一對具有代表性的符號，它們究竟代表了多少對數(shù)值？生答：無數(shù)對師問：無數(shù)對還是所有對？生答：所有對師問：無數(shù)能代替所有嗎？生答：不能師問：什么可以代替？生答：可以用“任意”來代替”.四、教學策略分析：(1)教學材料分析；學生在初中已經(jīng)接觸過函數(shù)的單調(diào)性，不過那時沒有提函數(shù)的單調(diào)性，而是用體現(xiàn)變量之間依賴關系的文字語言描述，符合學生的認知規(guī)律，同時一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象直觀地體現(xiàn)了函數(shù)的這一性質(zhì).可以選擇他們熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)函數(shù)通過有效組織成為教學材料，在不經(jīng)意中展示函數(shù)f(x)=0.001x+1引發(fā)不能靠圖象直觀判斷，要靠解析式代值驗證；再展示函數(shù)說明靠解析式代值驗證操作性很差，需要發(fā)展新知識----利用解析式快速判斷單調(diào)性，這兩個教學材料貼近學生實際出發(fā)，能有效引發(fā)思考，十分自然地推動了知識發(fā)展；再以二次函數(shù)f(x)=x2承擔主要探究材料，組織列表和圖象對比材料，驅(qū)動學生由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”，提煉符號語言描述；組織兩道辨析題，問題驅(qū)動深挖定義的內(nèi)涵；組織直觀判斷單調(diào)性的例1以及需要用定義判斷證明的例2及練習，肯定了利用函數(shù)解析式探求函數(shù)單調(diào)性的方法.(2)教學方法分析；本課教學內(nèi)容重點是函數(shù)單調(diào)性符號語言描述的抽象概括過程，是學生遇到的抽象程度極高的符號語言，所以結(jié)合幻燈片、實物投影等多媒體技術的教學手段，選擇觀察發(fā)現(xiàn)式、問題啟發(fā)式、合作討論式的教學方法.(3)設計“問題串”的分析：依據(jù)的學生認知規(guī)律，從問題1至問題5以及兩個思考，“問題串”的設計體現(xiàn)了從直觀到抽象，由特殊到一般，從感性到理性、先猜想后證明的脈絡，有利于形成對后續(xù)函數(shù)性質(zhì)的一般研究方法.“問題串”的設計也體現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)問題----提出問題----解決問題的研究模式，不斷激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，樹立學好數(shù)學的信心.通過設計快問快答的預備“小問題串”，貼切學生思維，拉升思維速度，極大地滿足學生的成功感，樹立了學生的自信，激發(fā)了探索欲望.(4)縮小認知差距的分析：通過設計探究、發(fā)現(xiàn)與合作交流．全程參與新知識的形成過程，及時獲得評價與反饋。通過問題的合理設計激發(fā)興趣，在師生互動、生生互動中，體驗知識與方法的生成過程．形成學生主動參與，自主與合作探究的課堂氣氛．為不同認知基礎的學生提供相應的學習機會和適當幫助(5)學習反饋的分析：通過兩道辨析題反饋對函數(shù)單調(diào)性定義中“任意”的理解；通過例1反饋對函數(shù)單調(diào)性相關概念的理解；通過例2的練習反饋利用函數(shù)單調(diào)性定義、作差法來判斷、證明單調(diào)性的學習效果.通過課堂小結(jié)反饋學生的知識、方法、思想、學法上的收獲.五、教學過程/步驟(一)感知數(shù)學引入新課觀察以上圖象，它們都反映了事物的哪種變化規(guī)律？【活動】讓全班觀察，請若干學生發(fā)言【設計意圖】創(chuàng)設了生活中常見數(shù)據(jù)曲線圖的例子情境，激發(fā)學生的學習興趣.通過問題滲透函數(shù)是研究事物運動變化規(guī)律的好模型，通過兩種語言的描述：“上升”“下降”和“f(x)隨著x的增大而增大或減小”，完成對函數(shù)單調(diào)性概念的第一次認識．點出課題，同時獲得判斷單調(diào)性的直觀方法----圖象法.(二)激發(fā)沖突由形入數(shù)問題1：觀察下列函數(shù)的圖象,描述函數(shù)有什么變化趨勢【活動】引導學生用文字語言描述：函數(shù)在哪個區(qū)間上，f（x）隨著x的增大而增大或減小【設計意圖】從初中所學的兩個熟悉的函數(shù)出發(fā)，要求用文字語言描述它們的單調(diào)性．加強定量分析的意識，完成對函數(shù)單調(diào)性概念的第二次認識．為第三個函數(shù)埋伏筆.在不經(jīng)意中展示函數(shù)f(x)=0.001x+1，經(jīng)過思考回答，得到不能靠圖象直觀判斷，要靠解析式代值驗證的結(jié)論；再展示函數(shù)，說明靠解析式代值驗證操作性很差，需要發(fā)展新知識----利用解析式和不等關系快速判斷單調(diào)性的結(jié)論.這兩個教學材料貼近學生實際出發(fā)，能有效構(gòu)造知識矛盾沖突，激發(fā)思維運轉(zhuǎn)，十分自然地推動了知識發(fā)展.學生強烈感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠?qū)嵱煤途_，需要結(jié)合解析式進行嚴密化、精確化的研究．必須由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”，由“感性”轉(zhuǎn)“理性”，從函數(shù)解析式和不等關系尋找出路判斷單調(diào)性.(三)表格過渡突破難點問題2：如何利用函數(shù)f(x)=x2的解析式描述該函數(shù)“在區(qū)間(0,+∞)上,f(x)隨著x增大而增大”.思考在表中任取一些自變量的值，比較它們對應的函數(shù)值的大小，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？【活動】先讓學生觀看表格生成的動畫，體會f(x)隨著x增大而增大，再用自己的語言總結(jié)歸納出“當x1＜x2時，有f(x1)＜f(x2)”這個符號表述.【設計意圖】通過同時對比函數(shù)的列表和圖象，借助“數(shù)”，“形”同時呈現(xiàn)形成的感受,讓學生更容易概括.提示“增大是體現(xiàn)大小比較的詞匯”，啟發(fā)學生用比較大小的方法抽象概括.并用“當…時，有…”來體現(xiàn)“隨著”這種變量間的伴隨關系.【活動】教師自寫結(jié)論“當x1＜x2＜x3時，有f(x1)＜f(x2)＜f(x3)”，讓全班對比前面“當x1＜x2時，有f(x1)＜f(x2)”的結(jié)論并點評哪個好，并問理由，通過“問題串”引出“任意…都…”句式：“師問：x1和x2是一對具有代表性的符號，它們究竟代表了多少對數(shù)值？生答：無數(shù)對師問：無數(shù)對還是所有對？生答：所有對師問：無數(shù)能代替所有嗎？生答：不能師問：什么可以代替？生答：可以用“任意”來代替.”【設計意圖】突破本課難點之一：用“任意”的必要性.讓學生初步理解單調(diào)性定義里的不等關系，突破了立足于大小比較的符號語言的生成這個難點之后，接著從表內(nèi)聯(lián)想到表外，認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量．突破了“任意…都…”這個句式的理解難點把對單調(diào)性的認識由感性上升到理性認識的高度,對增函數(shù)作初步理解．通過設計快問快答的預備“小問題串”，貼切學生思維，拉升思維速度，極大地滿足學生的成功感，樹立了學生的自信，激發(fā)了探索欲望.問題3：能仿照這樣的描述，說明函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間(－∞,0)上是減函數(shù)嗎？【活動】全班思考后齊聲回答【設計意圖】激發(fā)類比思維，滲透分類整合的思想，讓學生體會完善知識結(jié)構(gòu)過程.(四)規(guī)范語言建構(gòu)定義問題4如何用符號語言刻畫函數(shù)y=f(x)在定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上是增函數(shù)（或減函數(shù)）？【活動】師生共同整理完善增函數(shù)的概念、學生閱讀教材對比、再蓋上課本用自己的話復述，教師指出大聲小聲都可以.【設計意圖】把二次函數(shù)推廣到一般函數(shù)，并把討論區(qū)間一般化，由特殊到一般，具體到抽象，生成規(guī)范準確的符號語言，完成對概念的第三次認識．引導學生閱讀教材，書讀百遍其義自見，用自己的語言對比，提高語言表達能力，加深印象，鞏固學習效果.問題5：能類比增函數(shù)的定義得到減函數(shù)的定義嗎？【活動】全班類比得出減函數(shù)的定義,這次教師指出要求全部大聲朗讀減函數(shù)的定義.【設計意圖】類比增函數(shù)的定義得到減函數(shù)的定義，滲透類比、分類整合等數(shù)學思想.形成由特殊到一般，由局部到整體等研究問題的一般方法.思考利用函數(shù)解析式判斷單調(diào)性時，f(x1)與f(x2)的大小關系怎樣比較？【設計意圖】通過思考，認識函數(shù)單調(diào)性定義與不等式的關系，為證明函數(shù)單調(diào)性作鋪墊.(五)理性認識螺旋上升例1回顧此圖，根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并說說在每一個單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？【活動】學案上寫出單調(diào)區(qū)間，教師選個別成果展示，師生一起點評.【設計意圖】回顧引入的例子，體現(xiàn)數(shù)學的應用價值；用單調(diào)性的知識來作答，鞏固新學的概念；加強函數(shù)單調(diào)性是個局部性質(zhì)的意識和鞏固圖象觀察法.（概念辨析）辯一辯你認為下列說法是否正確，請說明理由.辨析1：若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x)滿足f(2)>f(1),則函數(shù)f(x)在該區(qū)間上是增函數(shù).【活動】請同學舉手回答，用預設動畫驗證想法【設計意圖】突破本課難點之一：不能取特定值來判別函數(shù)的單調(diào)性.設計意圖是要學生理解可以用特殊推廣到一般，但不能用特殊代替一般，學生也許理解不透徹，因此設置了辨析題1提起注意.辨析2：若函數(shù)在區(qū)間(1,3)和區(qū)間[3,5]上都是增函數(shù)，則在區(qū)間(1,5]上也是增函數(shù).（小組探究活動）【活動】先獨立思考一分鐘，然后全班分成若干小組合作探究，判斷對錯，并作圖說明理由，上臺展示成果，全班討論點評.【設計意圖】突破本課難點之一：正是由于取值的任意性，造就了函數(shù)的單調(diào)性的局部性。設計意圖是要學生理解如果不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值驗證，會出現(xiàn)不能界定單調(diào)性的矛盾.學生第一次接觸這樣高度概括的符號語言，需要設置辨析題2，并采用小組合作探究的學習模式，讓學生獨立思考、充分討論、正誤對比來獲得正確認識.(六)掌握證法適當延展例2物理學中的波利爾定律p＝（k是正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當體積V減小，壓強p將增大．試用函數(shù)的單調(diào)性證明之．【活動】教師引導分析題意，師生一起完成證明過程，并引導學生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：取值、作差、變形、定號、結(jié)論．【設計意圖】利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，是本課教學內(nèi)容重點之一，是學生第一次接觸用解析式和不等式關系的結(jié)合體-----作差法證明函數(shù)單調(diào)性的環(huán)節(jié)，由師生共同完成，有示范性作用，對后續(xù)學習形成良好示范.總結(jié)步驟，讓學生由概念性知識轉(zhuǎn)化到程序性知識，加深對函數(shù)單調(diào)性定義和發(fā)展函數(shù)單調(diào)性符號語言的理解.練習試判斷函數(shù)f(x)=0.001x+1在定義域上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.【活動】在學案上獨自完成解答過程，教師選一些成果展示，全班點評.【設計意圖】回顧前面提出的知識矛盾沖突問題，完成了解決問題的目的，完善了提出---分析---解決問題的過程，給學生深刻的體會.(七)歸納小結(jié)，提高認識假如把我們這節(jié)課當成一次旅游，哪些景點給你印象最深？從知識---方法---思想---感悟幾個角度分別說說.【活動】學生交流在本節(jié)課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，并由幾位學生發(fā)言總結(jié)．【設計意圖】，框架提示給出小結(jié)反思的方向，有利于學生形成小結(jié)的學習習慣.(八)作業(yè)1.必做作業(yè)：⑴教材第39頁習題2-3A組1，2題⑵已知函數(shù)y=f(x)對于區(qū)間D上的任意x1,x2(x1≠x2),都有，問函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上的單調(diào)性如何？2.探究作業(yè)：研究函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合描點法畫出函數(shù)的草圖．【活動】課后繼續(xù)完成探究【設計意圖】分層作業(yè)設置，彈性要求，讓基礎厚的學生勇于挑戰(zhàn)，基礎稍弱的學生也得到充分的思維鍛煉.(九)板書設計函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)例2圖形上升下降文字x大f(x)大x大f(x)小符號任意x1＜x2任意x1＜x2都有f(x1)＜f(x2)都有f(x1)＞f(x2)f(x1)－f(x2)＜0增f(x1)－f(x2)＞0減【設計意圖】板書展現(xiàn)了圖形語言—文字語言---符號語言的知識發(fā)展過程，顯得整節(jié)課思路清晰，框架合理，又留有無限遐想。自然、清新、質(zhì)樸、有效《函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲怠伏c評《函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲怠返慕虒W課呈現(xiàn)以下三個鮮明特色：設計自然，教學有序教學按知識的發(fā)生發(fā)展的邏輯順序設計并有序執(zhí)行。教學中教師從豬肉價格曲線，人的情緒控制曲線，溫度變化圖引入，讓學生感知數(shù)學學習的必要性，既激發(fā)學生學習興趣和探究欲望，又反映了函數(shù)共同特征——單調(diào)性。接著蔡老師從學生熟悉的兩個函數(shù)出發(fā)，用圖形語言，文字語言描述單調(diào)性。在圖形語言描述單調(diào)性碰到困難時，再過渡到以二次函數(shù)為例，用符號語言描述函數(shù)的單調(diào)性，并由特殊推廣到一般函數(shù)單調(diào)性概念，繼而對概念的核心進行深入探討，并初步應用定義解決問題，這樣設計，教學主干線清晰，從特殊到一般的數(shù)學方法凸顯，符合知識的發(fā)展規(guī)律，也順應學生的認識規(guī)律?？v觀整個教學過程，情節(jié)舒展流暢，學生知識的建構(gòu)，方法的掌握，思想的感悟，能力的形成，都是水到渠成。2.問題導學，啟發(fā)探究課堂設計了環(huán)環(huán)相扣的問題鏈。通過問題串，蔡老師巧妙引導學生探究出增，減函數(shù)概念，在問題探究中，蔡