經(jīng)歷情境數(shù)學(xué)化感悟建模一般化

【摘

要】“正方形拼擺問(wèn)題”是探討“周長(zhǎng)與面積”關(guān)系的基礎(chǔ)。以“正方形拼擺問(wèn)題”為研究對(duì)象，設(shè)計(jì)相關(guān)測(cè)評(píng)工具，在此基礎(chǔ)上制訂相應(yīng)的評(píng)估量表，劃分學(xué)生數(shù)學(xué)建模力的水平層次，并通過(guò)實(shí)證分析，提出了“經(jīng)歷情境數(shù)學(xué)化”“感悟建模一般化”的相關(guān)教學(xué)改進(jìn)對(duì)策?！娟P(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模力；正方形拼擺問(wèn)題；周長(zhǎng)與面積作為探討“周長(zhǎng)與面積”關(guān)系的基礎(chǔ)，“正方形拼擺問(wèn)題”被安排在人教版教材三年級(jí)上冊(cè)“長(zhǎng)方形和正方形”單元中。教材以純數(shù)學(xué)問(wèn)題為載體，引導(dǎo)學(xué)生嘗試用16個(gè)小正方形進(jìn)行拼組，結(jié)合計(jì)算、對(duì)比和說(shuō)理等活動(dòng)，得出“4×4”拼出的圖形周長(zhǎng)最短，并初步歸納出“所拼圖形最接近正方形（長(zhǎng)與寬最接近）時(shí)周長(zhǎng)最短”的模型。這一學(xué)習(xí)過(guò)程為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)周長(zhǎng)與面積的意義聯(lián)結(jié)、關(guān)系聯(lián)結(jié)奠定了基礎(chǔ)。在學(xué)生掌握面積概念、學(xué)習(xí)圓之后，再引導(dǎo)學(xué)生探討“如何拼組周長(zhǎng)最短”的模型，進(jìn)而轉(zhuǎn)向“面積與周長(zhǎng)關(guān)系”的相關(guān)模型，如“等面積圖形，形狀越接近正方形，周長(zhǎng)越短”“等周長(zhǎng)圍成的正多邊形，邊數(shù)越多，面積越大”等，甚至可以拓展到“面積與體積關(guān)系”的模型。可見(jiàn)，“正方形拼擺問(wèn)題”是后續(xù)模型學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，對(duì)于模型的建立、理解和應(yīng)用具有重要意義，具體可以體現(xiàn)為數(shù)學(xué)建模力的表現(xiàn)。那么，三年級(jí)學(xué)生在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，表現(xiàn)出的建模力水平究竟如何呢？筆者以“正方形拼擺問(wèn)題”為研究背景，進(jìn)行了相應(yīng)的測(cè)評(píng)分析與教學(xué)思考。一、測(cè)評(píng)工具設(shè)計(jì)本研究從“識(shí)別、簡(jiǎn)化、求解、應(yīng)用”四個(gè)維度出發(fā)來(lái)設(shè)計(jì)“正方形拼擺問(wèn)題”的測(cè)評(píng)工具，以實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模力的準(zhǔn)確測(cè)評(píng)。（一）問(wèn)題情境從下列繪畫(huà)作品中選出12幅，制作成一個(gè)“繪畫(huà)園地”，并在其四周貼上花邊。怎樣設(shè)計(jì)“繪畫(huà)園地”，才能使貼的花邊最短？（1）你獲取了哪些數(shù)學(xué)信息？需要解決什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？（2）你打算怎樣選擇作品？如何設(shè)計(jì)？（畫(huà)一畫(huà)、算一算、寫(xiě)一寫(xiě)）（3）如果12幅作品都換成圓形作品，你又會(huì)怎樣設(shè)計(jì)？（畫(huà)一畫(huà)、寫(xiě)一寫(xiě)）（4）木材加工廠接到一批訂單，要訂制一種由5張相片（尺寸：10厘米×15厘米）組合的木制相框，設(shè)計(jì)師給出了兩個(gè)設(shè)計(jì)方案（如圖1）。如果你是木材加工廠的老板，你會(huì)選擇哪個(gè)設(shè)計(jì)方案？（想一想、寫(xiě)一寫(xiě)）圖1（二）模型分析要解決“用12幅作品設(shè)計(jì)‘繪畫(huà)園地，并在其四周貼上花邊，如何設(shè)計(jì)才能使貼的花邊最短”這一實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生需識(shí)別與關(guān)聯(lián)“作品形狀”和“作品組合”兩個(gè)關(guān)鍵要素，將實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化為“如何拼組周長(zhǎng)最短”的數(shù)學(xué)問(wèn)題。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)經(jīng)歷以下數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建過(guò)程。模型1：僅能將12幅正方形作品拼成1×12或2×6的非周長(zhǎng)最短的組合，只意識(shí)到圖形組合后周長(zhǎng)會(huì)縮短，但并不清楚“如何拼組周長(zhǎng)最短”。模型2：能將12幅正方形作品拼成包含周長(zhǎng)最短情況在內(nèi)的多種組合，并通過(guò)計(jì)算比較，得出3×4的組合周長(zhǎng)最短。模型3：能將12幅正方形作品直接拼成3×4的組合，或包含3×4在內(nèi)的多種組合，并基于經(jīng)驗(yàn)直接得出3×4的組合周長(zhǎng)最短，具有初步的“所拼圖形最接近正方形時(shí)周長(zhǎng)最短”的模型意識(shí)。模型4：能將12幅長(zhǎng)方形作品拼成周長(zhǎng)最短（2×6）的組合，并根據(jù)“12個(gè)正方形組合為3×4時(shí)周長(zhǎng)最短”的結(jié)論，從圖形替換的角度對(duì)“12個(gè)長(zhǎng)方形如何拼組周長(zhǎng)最短”進(jìn)行解釋說(shuō)明，如用2個(gè)長(zhǎng)方形縱向拼擺代替2個(gè)正方形橫向拼擺等。模型5：能將12幅長(zhǎng)方形作品拼成周長(zhǎng)最短（2×6）的組合，并能應(yīng)用“所拼圖形最接近正方形時(shí)周長(zhǎng)最短”進(jìn)行解釋?zhuān)邆涑醪降哪Ｐ瓦w移應(yīng)用意識(shí)。模型6：能將模型遷移應(yīng)用到圓形拼組的情境中，如將12幅圓形作品鋪成周長(zhǎng)最短（3×4）的組合，并能應(yīng)用“所拼圖形最接近正方形時(shí)周長(zhǎng)最短”進(jìn)行解釋?zhuān)煌瑫r(shí)，能將模型遷移應(yīng)用到復(fù)雜情境中，如將包含長(zhǎng)方形和正方形的12幅作品混合在一起，拼出周長(zhǎng)最短的組合，并發(fā)現(xiàn)只要拼組后長(zhǎng)是8分米、寬是6分米，即為周長(zhǎng)最短的情況。從模型1至模型6，代表在解決“正方形拼擺問(wèn)題”的過(guò)程中，學(xué)生數(shù)學(xué)建模力層次從低到高逐漸上升。二、評(píng)估量表及分析（一）量表制訂及總體數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)基于以上分析，本研究制訂了相應(yīng)的評(píng)估量表，從杭州市富陽(yáng)區(qū)的三所小學(xué)中各選取一個(gè)三年級(jí)班級(jí)的學(xué)生，對(duì)他們進(jìn)行建模力測(cè)評(píng)。本次測(cè)評(píng)共有119名學(xué)生參與，具體測(cè)評(píng)結(jié)果如表1所示。綜合分析可知，大部分學(xué)生具備一定的將實(shí)際問(wèn)題識(shí)別和簡(jiǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，并能應(yīng)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解，但在更高階的“解釋?xiě)?yīng)用”層次中表現(xiàn)不佳。（二）水平層次分析為了使對(duì)建模力的評(píng)估更為精準(zhǔn)，本研究對(duì)各水平層次進(jìn)行了細(xì)化，并通過(guò)賦分對(duì)學(xué)生的建模力進(jìn)行量化，具體分析如下。1.識(shí)別能力整體水平較高，花邊問(wèn)題簡(jiǎn)化基礎(chǔ)好從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，119名參加測(cè)評(píng)的學(xué)生在“識(shí)別理解”層次中的整體表現(xiàn)較好，賦分均值達(dá)到了2.29分。其中，能準(zhǔn)確識(shí)別“作品形狀”和“作品組合”兩個(gè)關(guān)鍵要素，并基于此提出有關(guān)“周長(zhǎng)最短”問(wèn)題的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的83.19%。這說(shuō)明在面對(duì)周長(zhǎng)問(wèn)題這一現(xiàn)實(shí)情境時(shí)，絕大部分學(xué)生具備一定的識(shí)別能力。2.同類(lèi)問(wèn)題簡(jiǎn)化水平較高，相近問(wèn)題表征聯(lián)結(jié)弱“表征聯(lián)結(jié)”層次的均值為1.46分，其中近54%的學(xué)生能基于“正方形”對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，僅有30.25%的學(xué)生能基于不同形狀簡(jiǎn)化問(wèn)題情境。大部分學(xué)生難以提出不同形狀組合“如何拼組周長(zhǎng)最短”的數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)據(jù)分析表明，學(xué)生對(duì)同類(lèi)問(wèn)題的簡(jiǎn)化水平較高，但對(duì)相近問(wèn)題的表征聯(lián)結(jié)較弱，高水平簡(jiǎn)化能力明顯不足，這也將限制學(xué)生水平層級(jí)的提升。3.求解能力峰值層級(jí)后移，最短周長(zhǎng)模型類(lèi)比難“解答反思”層次的整體水平明顯下降，均值降至1.12分。該數(shù)據(jù)再次凸顯上一個(gè)水平層次所反映出的問(wèn)題：高水平能力不足。結(jié)合統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，更多的學(xué)生只能基于教材中的“正方形拼組”進(jìn)行求解，能將求解方法類(lèi)比遷移到新形狀的僅占總?cè)藬?shù)的10.08%。這說(shuō)明學(xué)生較難將周長(zhǎng)最短模型進(jìn)行類(lèi)比遷移，也很難為后續(xù)的高階遷移應(yīng)用提供動(dòng)力。4.應(yīng)用能力高階遷移無(wú)力，模型本質(zhì)結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)淺“解釋?xiě)?yīng)用”層次的整體水平較低，均值僅為0.70分。其中，學(xué)生占比最高（30.25%）的能力水平，也只能實(shí)現(xiàn)對(duì)其他單一圖形同類(lèi)情境的簡(jiǎn)單遷移。當(dāng)面臨更高水平的遷移應(yīng)用時(shí)，學(xué)生無(wú)法把握模型中“拼成形狀”與“周長(zhǎng)長(zhǎng)短”之間的基本關(guān)系，難以在其他同類(lèi)情境中進(jìn)行正確的遷移應(yīng)用。這表明學(xué)生對(duì)模型結(jié)構(gòu)的本質(zhì)理解不夠深入，無(wú)法支持更高水平的遷移應(yīng)用。此外，在應(yīng)用模型解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題“選擇相框設(shè)計(jì)方案”時(shí)，大部分學(xué)生無(wú)法將“周長(zhǎng)最短”與“木材最省”“成本最低”建立關(guān)聯(lián)，說(shuō)明學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)還有待提高。三、教學(xué)啟示“正方形拼擺問(wèn)題”建模力測(cè)評(píng)結(jié)果表明，學(xué)生對(duì)相關(guān)模型的識(shí)別能力、簡(jiǎn)化能力較強(qiáng)，但較高水平的遷移應(yīng)用能力明顯較弱，這為后續(xù)將該模型遷移應(yīng)用到“圖形周長(zhǎng)與面積關(guān)系”的模型埋下了隱患。那么，如何提高數(shù)學(xué)建模力呢？主要可以從以下兩方面入手。（一）強(qiáng)調(diào)理解，經(jīng)歷情境數(shù)學(xué)化在解決“正方形拼擺問(wèn)題”的過(guò)程中，模型的構(gòu)建最初是通過(guò)發(fā)現(xiàn)“邊的重合”與“周長(zhǎng)”的關(guān)系得到的。要讓學(xué)生的認(rèn)知從“一般拼組”進(jìn)階到“盡量拼組成正方形”，教學(xué)時(shí)就可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷計(jì)算對(duì)比、說(shuō)理反思和歸納總結(jié)的過(guò)程（如圖2），從而關(guān)注模型的本質(zhì)。此外，人教版教材采用純數(shù)學(xué)問(wèn)題作為教學(xué)引入，而數(shù)學(xué)建模則更側(cè)重從現(xiàn)實(shí)世界中識(shí)別數(shù)學(xué)要素和問(wèn)題，通過(guò)解答進(jìn)行說(shuō)理，最終實(shí)現(xiàn)解釋?xiě)?yīng)用的過(guò)程。因此，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)關(guān)注從“現(xiàn)實(shí)情境”到“數(shù)學(xué)情境”的數(shù)學(xué)化過(guò)程。測(cè)評(píng)分析中所使用的“如何設(shè)計(jì)花邊最短”情境便是適宜的載體。這一情境源于教材的課后練習(xí)，教學(xué)過(guò)程中可以將該情境簡(jiǎn)化為“如何拼組周長(zhǎng)最短”，進(jìn)而得出“所拼圖形越接近正方形，周長(zhǎng)越短”。然后回歸現(xiàn)實(shí)情境，討論“為什么要研究花邊最短的問(wèn)題”，引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到“花邊長(zhǎng)短（即周長(zhǎng)長(zhǎng)短）”與“材料用量”“成本花銷(xiāo)”等之間的關(guān)聯(lián)。最后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行遷移應(yīng)用，如“你覺(jué)得正方形拼組問(wèn)題還能用來(lái)解決哪些問(wèn)題？找找身邊的例子”等。像這樣放大并引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)化過(guò)程，有助于學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境中感悟“周長(zhǎng)”與“面積”的區(qū)別，同時(shí)讓學(xué)生完整地經(jīng)歷“為什么學(xué)”和“學(xué)以致用”的過(guò)程，為提升學(xué)生建模力奠定基礎(chǔ)。（二）多維呈現(xiàn)，感悟建模一般化測(cè)評(píng)結(jié)果顯示，學(xué)生在面對(duì)與教材教學(xué)背景相似的題目時(shí)，大多能較好地完成初步模型的構(gòu)建，但在處理其他同類(lèi)情境的遷移應(yīng)用時(shí)，則有較大困難。這可能是教學(xué)過(guò)程中所采用的素材呈現(xiàn)方式過(guò)于單一造成的。選用的組合圖形無(wú)論是形狀還是數(shù)量，基本都是固定的，這導(dǎo)致學(xué)生僅停留在“機(jī)械套用結(jié)論”的層面，無(wú)法實(shí)現(xiàn)“遷移應(yīng)用模型”的目標(biāo)。因此，在教學(xué)時(shí)要注重多維表征的呈現(xiàn)。例如，在學(xué)生通過(guò)正方形拼組得到初步結(jié)論后，教師需進(jìn)一步提問(wèn)：“如果將正方形變成長(zhǎng)方形，這個(gè)結(jié)論還成立嗎？”引導(dǎo)學(xué)生提出猜想，然后運(yùn)用多種方式進(jìn)行驗(yàn)證、嘗試說(shuō)理，最終完善建模過(guò)程（可參考模型4至模型6的進(jìn)階過(guò)程）。這是一個(gè)“先立再破而后立”的循環(huán)過(guò)程。唯有如此，解決問(wèn)題的一般化模型才算真正構(gòu)建起來(lái)，而在此之前所得到的僅屬于階段性數(shù)學(xué)結(jié)論。此外，練習(xí)中也應(yīng)呈現(xiàn)多維度的其