高等數(shù)學(xué)5-6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用課件

二、曲線的弧長第六節(jié)一、空間曲線的切線與法平面三、曲面的切平面與法線

多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用

第五章1高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.一、空間曲線的切線與法平面

1、空間曲線的參數(shù)方程:

可以看作是從區(qū)間的一個連續(xù)映射r

的像,的軌跡就是曲線

。r(t)的像就是向徑當(dāng)t在區(qū)間上變化時向徑的終點M

曲線也可以寫為(直線的)2高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.例如,圓柱螺旋線的參數(shù)方程為上升高度,稱為螺距

.3高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.設(shè)空間曲線

的方程為2.簡單曲線和有向曲線上連續(xù)，

為連續(xù)曲線；如果向量值函數(shù)

r(t)

在區(qū)間如果

為連續(xù)曲線，且任取都有，即在上r(t)為單射，則稱

為簡單曲線。如果

為簡單曲線,且則稱

為簡單閉曲線。則稱4高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.對于選定了參數(shù)t的曲線，我們規(guī)定t增大的的方向為曲線的正方向。對于規(guī)定了方向的曲線，我們稱為有向曲線。一般討論的曲線均為有向曲線。3.空間曲線的切線與法平面設(shè)空間曲線

的方程為其中向量值函數(shù)r(t)在上可導(dǎo)5高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.切線方程。我們來討論

在點處的與平面曲線的切線一樣，空間曲線上點處的切線也定義為曲線當(dāng)點P沿曲線趨向于點時的極限位置處的割線上過點6高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.要求此切線方程。關(guān)鍵在于求出一個方向向量。。從而向量為此在的臨近取點與P對應(yīng)的向徑分別為為割線的一個方向向量.易知也是割線的一個方向向量。對上式取極限有7高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.從而割線變?yōu)榍€

的切線，由此可見向徑r(t)的導(dǎo)數(shù)相應(yīng)的方向向量變?yōu)榍芯€的方向向量表示曲線

在相應(yīng)點的切線的方向向量。處切線的向量方程為曲線

在相應(yīng)點切向量8高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.其中為曲線上動點M(x,y,z)的向徑，t為參數(shù)。時，曲線

上都存在切線。消去參數(shù)處的切線的對稱式方程為若切線方向連續(xù)變化，此時稱曲線為光滑曲線。如果

不是光滑曲線，但將

分成若干段后，如果每9高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.段都是光滑曲線，則稱為分段光滑曲線。

過點且垂直于處切線的直線,稱為曲線

的法線，這些法線顯然位于一個平面內(nèi)，此平面為在點處的法平面法平面的法向量,所以法平面的方程為10高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.例

求曲線在點M(1,1,1)處的切線方程與法平面方程.解：點(1,1,1)對應(yīng)于故點M處的切向量為因此所求切線方程為法平面方程為即思考:

光滑曲線的切向量有何特點?答:切向量11高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.曲線為一般式的情況光滑曲線曲線上一點,且有

可表示為處的切向量為12高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.則在點切線方程法平面方程有或13高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.也可表為法平面方程(自己驗證)14高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.例5.

求曲線在點M(1,–2,1)處的切線方程與法平面方程.切線方程解法1

令則即切向量15高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.法平面方程即解法2

方程組兩邊對x求導(dǎo),得曲線在點M(1,–2,1)處有:切向量解得16高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.切線方程即法平面方程即點M(1,–2,1)處的切向量17高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.6.2曲線的弧長弧長折線的極限對于空間簡單曲線

：

的兩個端點A,B

分別對應(yīng),

在

上介于A,B之間分別沿

t

增大的方向依次取

n-1個分點，他們把

分成了n

段。用直線段把相鄰分點連接起來得到一折線，它的長度為18高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.定理6.1

弧長計算公式：如果不論分點怎么選取，最大長度折線長度有確定的極限s,線弧為可求長的.并稱此極限為曲線的長

,則稱此曲即弧微分P2819高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.證明：設(shè)分點對應(yīng)的參數(shù)分別為，這樣便有首先來求利用拉格朗日中值公式得其中20高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.為使上式右端根式中的函數(shù)在同一點處取值，將其變形得到于是有其中令，由定積分的定義和存在定理可知21高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.利用不等式這樣，由(6.13)(6.14)兩式可知，要想證明弧長因為公式，只需要證明由(6.12)可知在上連續(xù)，從而一致連續(xù)，22高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.證畢。于是只要便有故特別當(dāng)時有23高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.平面曲線為空間曲線的特例(z=0)：對于平面曲線

弧長為(1)如果曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:則參數(shù)方程為x=x,y=f(x),

于是有24高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.(2)曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:因此所求弧長則得25高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.例計算擺線一拱的弧長.解:26高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.例：求平面曲線的弧長：例：求螺旋線一個螺距之間的長度：27高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.弧微分設(shè)曲線的參數(shù)方程為可以將弧長視為參數(shù)t

的函數(shù)這樣，可得弧長的微分（弧微分）為：則t

增大的方向也是s

增大的方向，且有返回P1928高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.自然參數(shù)既然弧長可以視為參數(shù)t

的函數(shù)將反函數(shù)t=t(s)

代入曲線參數(shù)方程即弧長s成為曲線的參數(shù)，稱之為自然參數(shù)性質(zhì)：為單位切向量29高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.6.3曲面的切平面與法線曲面的參數(shù)方程圓柱面方程其參數(shù)方程為向量的形式即圓柱面可以看作平面區(qū)域到的連續(xù)映射下的像。30高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.解：任取一點如右圖，則因此，球面可以看成是平面區(qū)域到的連續(xù)映射（6.22）的像。例6.6

建立半徑為的球面的參數(shù)方程。31高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.一般的，曲面S看做某區(qū)域D到空間Oxyz的某一連續(xù)映射的像，從而S的方程可表為或?qū)懗上蛄康男问酱硕椒Q為曲面的參數(shù)方程，曲面上的曲線的表示若在D中固定則此映射r下的像點的集合應(yīng)是曲面S上的一條曲線，稱為曲面S上的u曲線，方程是32高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.同理可得曲面S上的v曲線的方程為這樣，過曲面S上的每一點P，就有u曲線和一條v曲線，它們的交點就是P。u曲線族和v曲線族構(gòu)成曲面S上的參數(shù)曲線網(wǎng)。

曲面S可以看成是映射r將平面uOv上的區(qū)域D在R3中變形后得到的，而D內(nèi)的坐標(biāo)網(wǎng)相應(yīng)的變成了曲面S的參數(shù)曲線網(wǎng)。如圖33高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.即為球面的經(jīng)線。即為球面的緯線。34高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.復(fù)習(xí)

例6.7

機械工程中常見的一種曲面稱為正螺面，它是當(dāng)長為l的一動直線段在平面上勻速地繞與此平面垂直的軸旋轉(zhuǎn)，而此直線段所在平面又勻速地沿此軸向上或向下運動時，該直線段的運動軌跡.試建立它的方程。解建立坐標(biāo)系，設(shè)運動開始時直線段位于x軸的正方向上，且直線段以原點為起點。記為OM。設(shè)OM的旋轉(zhuǎn)角速度為垂直移動的速度為b>0.正螺面上的任一點P(x,y,z)與z軸的距離為u。35高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.令于是正螺面的參數(shù)方程為曲面的切平面與法線曲面S的參數(shù)方程為其中r在D內(nèi)連續(xù)，在點存在偏導(dǎo)數(shù)36高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.且（點稱為曲面的正則點）曲面S上過點的u曲線為其在的切向量為在點的切向量為同理可得v曲線上述u曲線和v曲線的切線若是正則點，所以向量不平行，以為法線方向確定了一個平面它是過點且向量的平面。37高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.其方程為在S上過點任一條光滑曲線其中上式兩端在處對求導(dǎo)，是何種關(guān)系？曲面S上過點的任一曲線在點的切線與平面線性表示，于是曲線在點的切向量可用故曲線在點的切線必在平面上。由曲線的任意性知：曲面S上過點的任一曲線在38高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.點的切線均在平面上。于是稱平面為曲面在點的切平面。過點且垂直于切平面的直線稱為曲面在點處的法線。的方向向量稱為法向量。法線于是S在點的切平面方程是：法線方程為：全微分的幾何意義P4239高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.若均在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則稱曲面S是一光滑曲面。若曲面S的方程是直角坐標(biāo)方程且不妨設(shè)確定二元函數(shù)于是方程于是得曲面S的(雙)參數(shù)方程于是故法向量取40高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.于是曲面在點的切平面方程為：法線方程為：若曲面S的方程是直角坐標(biāo)方程于是曲面在點的切平面方程為：法線方程為：41高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.全微分的幾何意義二元函數(shù)在點的全微分為二元函數(shù)的全微分是：用切平面上的改變量代替曲面上的改變量。----局部線性化返回P3942高等數(shù)學(xué)5_6-1,2多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的簡單應(yīng)用.例6.8求正螺面在處的切平面與法線方程，其中常數(shù)a為非零常數(shù)。解于是對應(yīng)于點（1,1,