高中數(shù)學(xué)第三章不等式3-2-2一元二次不等式及其解法習(xí)題課同步課件新人教A版必修5

第2課時一元二次不等式及其解法習(xí)題課

類型一簡單的分式不等式的解法【典例1】解下列分式不等式.(1)

(2)(3) (4)【解題指南】

將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式(組)再求解集.【解析】(1)≥0可轉(zhuǎn)化為即所以-2≤x<3,所以不等式≥0的解集為{x|-2≤x<3}.(2)≤1,即≤0,≤0,所以≥0,即解得x≥4或x<,所以原不等式的解集為∪[4,+∞).(3)原不等式等價于(x+1)(x2-2x-3)>0,即(x+1)(x+1)(x-3)>0,(x+1)2(x-3)>0,因為(x+1)2>0,所以x>3,所以原不等式的解集為{x|x>3}.(4)方法一:原不等式轉(zhuǎn)化為所以==因為x2-x+1=所以x2-10>0,解得x>或x<-,所以原不等式的解集為{x|x>或x<-}.方法二:因為所以原不等式可轉(zhuǎn)化為2x2-x-9>-(-x2+x-1).即x2-10>0,解得x>或x<-,所以原不等式的解集為{x|x>或x<-}.方法二:因為所以原不等式可轉(zhuǎn)化為2x2-x-9>-(-x2+x-1).即x2-10>0,解得x>或x<-,所以原不等式的解集為{x|x>或x<-}.【方法總結(jié)】分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式的常見方法(1)>0?f(x)g(x)>0,<0?f(x)g(x)<0,≥0?

≤0?

(3)>a(a≠0)?

?g(x)[f(x)-ag(x)]>0,≥a(a≠0)?

?

【拓展延伸】解分式不等式的三個注意點(diǎn)(1)解分式不等式一定要等價變形為標(biāo)準(zhǔn)形式,就是右邊為零,左邊為分式,然后再等價轉(zhuǎn)化為不等式組或高次不等式來求解.(2)若分式不等式含等號,等價轉(zhuǎn)化為整式不等式時,其分母不為零最易丟掉,這一點(diǎn)一定要注意.(3)當(dāng)分式不等式分母正負(fù)不確定時不可通過不等式兩邊同乘以分母的方法轉(zhuǎn)化為整式不等式.【跟蹤訓(xùn)練】1.不等式≥0的解集是 (

)

A. B.C. D.{x|x<2}【跟蹤訓(xùn)練】1.不等式≥0的解集是 (

)

A. B.C. D.{x|x<2}【解析】選B.不等式≥0,等價為(3x-1)(2-x)≥0,且2-x≠0,解得≤x<2.即解集為2.關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集為(-∞,1),則不等式的解集為(

)A.(-1,2) B.(-∞,1)∪(1,2)C.(1,2) D.(-∞,-1)∪(-1,2)【解析】選C.因為關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集為(-∞,1),所以a<0,且=1.則不等式>0,即<0,即(x-2)(x-1)<0,解得1<x<2.即不等式>0的解集為(1,2).【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.解下列不等式:(1)≥0.≥-1.【解析】(1)可轉(zhuǎn)化為或解得x≥1或x<0,所以不等式的解集為{x|x<0或x≥1}.(2)原不等式可化為即由于x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以原不等式等價于解得所以原不等式的解集為{x|-2≤x<1或1<x≤4}.2.解下列不等式:(1)<0.(2)≤2.【解析】(1)<0,即(x+2)(1-x)<0,(x+2)(x-1)>0,解得x>1或x<-2,所以原不等式的解集為{x|x>1或x<-2}.≤2,即-2≤0,≤0,所以≥0,所以解得x≥5或x<2.所以原不等式的解集為{x|x≥5或x<2}.類型二不等式恒成立問題【典例2】(1)當(dāng)x∈(1,2)時,不等式x2+mx+4<0恒成立,則m的取值范圍是 (

)A.(-∞,-4] B.(-∞,-5)C.(-∞,-5] D.(-5,-4)(2)二次函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(-x)+12x+f(0)-6,且f(-1)=1.①求f(x)的解析式;②當(dāng)x∈[-3,0]時,不等式f(2x)>4x+m恒成立,求m的取值范圍.【解題指南】(1)令f(x)=x2+mx+4,由建立不等式組求解.(2)①設(shè)f(x)=ax2+bx+c,根據(jù)待定系數(shù)法即可求解;②分離參數(shù)m得4x2+8x+6>m,令g(x)=4x2+8x+6,x∈[-3,0],求其最小值即可.【解析】(1)選C.令f(x)=x2+mx+4,因為x∈(1,2)時,不等式x2+mx+4<0恒成立,所以所以解得m≤-5.(2)①設(shè)f(x)=ax2+bx+c,則f(-x)=ax2-bx+c,f(0)=c.所以ax2+bx+c=ax2-bx+c+12x+c-6,即2bx=12x+c-6.所以得b=6,c=6.又f(-1)=a-b+c=1,得a=1,所以f(x)=x2+6x+6.②由①及f(2x)>4x+m,得4x2+8x+6>m,令g(x)=4x2+8x+6,x∈[-3,0],所以當(dāng)x=-1時,g(x)min=g(-1)=2,從而要使不等式f(2x)>4x+m恒成立,則m<2.【方法總結(jié)】一元二次不等式恒成立問題的解題方法(1)判別式法①ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立?

②ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立?

(2)分離參數(shù)法若不等式中的參數(shù)比較“孤單”,便可將參數(shù)分離出來,利用a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min求解.(3)參變換位法構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù),根據(jù)原變量的取值范圍,列式求解.常見的是轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)f(x)=ax+b(a≠0)在[m,n]上恒成立問題.若f(x)>0恒成立?

若f(x)<0恒成立?

【跟蹤訓(xùn)練】若關(guān)于x的不等式-x2+2x>mx在(0,2)上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】因為關(guān)于x的不等式-x2+2x>mx在(0,2)上恒成立,所以m<2-x在(0,2)上恒成立,由y=2-x在(0,2)遞減,可得2-x>1,則m≤1.即m的取值范圍是(-∞,1].類型三一元二次不等式的應(yīng)用【典例3】(2019·江陰高二檢測)某輛汽車以x千米/小時的速度在高速公路上勻速行駛(考慮到高速公路行車安全要求60≤x≤120)時,每小時的油耗(所需要的汽油量)為升,其中k為常數(shù),且60≤k≤100.(1)若汽車以120千米/小時的速度行駛時,每小時的油耗為11.5升,欲使每小時的油耗不超過9升,求x的取值范圍.(2)求該汽車行駛100千米的油耗的最小值.【解題指南】(1)將x=120代入每小時的油耗,解方程可得k=100,由題意可得≤9,解不等式可得x的范圍.(2)設(shè)該汽車行駛100千米油耗為y升,由題意可得換元,令t=,化簡整理可得t的二次函數(shù),討論t的范圍和對稱軸的關(guān)系,即可得到所求最小值.【解析】(1)由題意可得,當(dāng)x=120時,=11.5,解得k=100,由≤9,即x2-145x+4500≤0,解得45≤x≤100,又60≤x≤120,可得60≤x≤100,故欲使每小時的油耗不超過9升,x的取值范圍為[60,100].(2)設(shè)該汽車行駛100千米油耗為y升,則

=(60≤x≤120),令t=,則t∈即有y=90000t2-20kt+20=90000+20-,對稱軸為t=,由60≤k≤100,可得∈①若即75≤k≤100,則當(dāng)t=即x=時,ymin=20-;②若即60≤k<75,則當(dāng)t=,即x=120時,ymin=答:當(dāng)75≤k≤100時,該汽車行駛100千米的油耗的最小值為升;當(dāng)60≤k<75時,該汽車行駛100千米的油耗的最小值為升.【方法總結(jié)】解不等式應(yīng)用題的四步驟(1)審:認(rèn)真審題,把握問題中的關(guān)鍵量,找準(zhǔn)不等關(guān)系.(2)設(shè):引進(jìn)數(shù)學(xué)符號,用不等式表示不等關(guān)系.(3)求:解不等式.(4)答:回答實(shí)際問題.【跟蹤訓(xùn)練】國家為了加強(qiáng)對煙酒生產(chǎn)的宏觀管理,實(shí)行征收附加稅政策.現(xiàn)知某種酒每瓶70元,不加附加稅時,每年大約產(chǎn)銷100萬瓶,若政府征收附加稅,每銷售100元要征稅k元(叫做稅率k%),則每年的產(chǎn)銷量將減少10k萬瓶.要使每年在此項經(jīng)營中所收取附加稅金不少于112萬元,問k應(yīng)怎樣確定?【解析】設(shè)產(chǎn)銷量為每年x萬瓶,則銷售收入為每年70x萬元,從中征收的稅金為70x·k%萬元,其中x=100-10k.由題意,得70(100-10k)k%≥112,整理得k2-10k+16≤0,解得2≤k≤8.因此,當(dāng)2≤k≤8時,每年在此項經(jīng)營中所收附加稅金不少于112萬元.【拓展】高次不等式的解法解不等式：(1)(x+3)(x-2)(x-4)>0.(2)(2x+4)2(x-2)3(x-4)5<0.【解題指南】不等式為高次不等式,用數(shù)軸標(biāo)根法求解.【解析】(1)函數(shù)f(x)=(x+3)(x-2)(x-4)有三個零點(diǎn)-3,2,4,在數(shù)軸上標(biāo)出零點(diǎn).如圖所示.

所以原不等式的解集為{x|-3<x<2或x>4}.(2)函數(shù)f(x)=(2x+4)2(x-2)3(x-4)5有三個零點(diǎn)-2,2,4,在數(shù)軸上標(biāo)出零點(diǎn).因為-2是偶次重根,所以“穿而不過”,如圖所示.所以原不等式的解集為{x|2<x<4}.【方法總結(jié)】高次不等式的解法及其解法步驟①整理.先將不等式化成標(biāo)準(zhǔn)形式,即一端為0,另一端為一次(或二次)因式的積的形式,注意各因式中x的系數(shù)一定為正數(shù).②標(biāo)根.求出對應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn),并在數(shù)軸上依次標(biāo)出.③穿線.用一條曲線由右上方開始從右到左,從上到下依次穿過各根對應(yīng)的點(diǎn),注意偶次重根穿而不過,奇次重根照樣穿過,即“奇穿偶不穿”.④寫解集.在數(shù)軸上方的曲線所對應(yīng)的區(qū)間是不等式f(x)>0的解集;在數(shù)軸下方的曲線所對應(yīng)的區(qū)間是不等式f(x)<0的解集;在數(shù)軸上的點(diǎn)對應(yīng)的是方程f(x)=0的解.【補(bǔ)償訓(xùn)練】求不等式(x-1)(x+1)(x-2)<0的解集.【解析】令(x-1)(x+1)(x-2)=0,解得x=1或x=-1或x=2,即函數(shù)f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)有3個零點(diǎn)1,-1,2.在數(shù)軸上標(biāo)出零點(diǎn),函數(shù)圖象如圖所示.所以原不等式解集為(-∞,-1)∪(1,2).【知識思維導(dǎo)圖】Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,heals