第12講最值問題(計(jì)算、垂線段最短、將軍飲馬)-2023年中考數(shù)學(xué)重點(diǎn)核心知識(shí)點(diǎn)專題講練(原卷版+解析)

第12講最值問題1題型一：計(jì)算出來的最值問題【例1】如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的AB邊上，AE=3，BE=9，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)（不與B、C重合），PQ⊥EP，PQ交CD于點(diǎn)Q，則CQ的長(zhǎng)度不可能是（

）A．5 B．4 C．3 D．21．如圖，點(diǎn)O是正方形ABCD的對(duì)稱中心，射線OM，ON分別交正方形的邊AD，CD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF，已知AD=2，∠EOF=90°．（1）以點(diǎn)E，O，F(xiàn)，D為頂點(diǎn)的圖形的面積為_________；（2）線段EF的最小值是_________．2．如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，⊙C的半徑為3，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙C的切線PQ，切點(diǎn)為Q，則PQ的最小值為（A．23 B．15 C．3 D．3．如圖，已知正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF⊥AE交CD于點(diǎn)F，以AE，EF為邊作矩形AEFG，若AB=4，則線段CF的最大值是____________．4．如圖，半徑為2的⊙A，圓心A在直線y=34x?3上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)O作⊙A的一條切線OP，P5．如圖，在Rt△ABC中，AB=BC=3，D是BC邊上任意一點(diǎn)，分別作點(diǎn)D關(guān)于AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)E、F，以AE、AF為鄰邊作平行四邊形AEGF，邊FG交BC于點(diǎn)H，則BH6．如圖，點(diǎn)A坐標(biāo)為(2，1)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(2，8)，C為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形ACD和（1）線段AB的長(zhǎng)為_______．（2）則DE長(zhǎng)的最小值是_______．7．如圖，在⊙O中，弦AB=1，點(diǎn)C在AB上移動(dòng)，連接OC，過點(diǎn)C作CD⊥OC交⊙O于點(diǎn)D，則CD的最大值為________________．8．如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形ABCO，B點(diǎn)坐標(biāo)為4,2，A、C分別在y軸、x軸上；若D點(diǎn)坐標(biāo)為1,0，連結(jié)AD，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別從A點(diǎn)、B點(diǎn)出發(fā)，在AB上相向而行，速度均為1個(gè)單位/每秒，當(dāng)E、F兩點(diǎn)相遇時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)；過E點(diǎn)作EG∥AD交x軸于H點(diǎn)，交y軸于G點(diǎn)，連結(jié)FG、FH，在運(yùn)動(dòng)過程中，題型二：將軍飲馬型最值【例2】如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PQ，則PB+PQ的最小值為________________．9．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為4，面積是16，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點(diǎn)，若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM周長(zhǎng)的最小值為（

）A．6 B．8 C．10 D．1210．如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE=α（∠BAE為鈍角），∠B=∠E=90°，在BC，DE上分別找一點(diǎn)M，N，當(dāng)△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MAN的度數(shù)為（

）A．12α B．α?90° C．2α?180° 11．如圖，在平行四邊形ABCD中，BD⊥AD，AB=2AD，E是AB的中點(diǎn)，P是邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，若AD=2，則PE+PB的最小值為（A．22 B．23 C．10 12．如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)B的坐標(biāo)為3，4，D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，當(dāng)△CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，則點(diǎn)13．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為3，∠BAD＝60°，點(diǎn)E、F在對(duì)角線AC上（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)），且EF＝1，則DE+BF最小值為________14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(3,6),B(?2,2)，在x軸上取兩點(diǎn)C，D（點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)），且始終保持CD=1，線段CD在x軸上平移，當(dāng)AD+BC的值最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為________．15．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，AD為△ABC的角平分線．M為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，N為線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BM、CN、MN，當(dāng)CN+MN取得最小值時(shí)，△ABM的面積為______．題型三：立體圖形中的最值【例3】如圖，圓柱形容器的高17cm，底面周長(zhǎng)是24cm，在外側(cè)底面S處有一蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口處1cm點(diǎn)FA．20cm B．83cm C．43316．已知圓錐底面半徑為1，母線長(zhǎng)為4，地面圓周上有一點(diǎn)A，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓錐側(cè)面運(yùn)動(dòng)一周后到達(dá)母線PA中點(diǎn)B，則螞蟻爬行的最短路程為（）A．π B．5π C．25 17．如圖，長(zhǎng)、寬、高分別為2，1，1的長(zhǎng)方體木塊上有一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著長(zhǎng)方體的外表面爬到頂點(diǎn)B，則它爬行的最短路程是（

）A．10 B．3 C．5 D．218．如圖，一只螞蟻要從圓柱體下底面的A點(diǎn)，沿圓柱側(cè)面爬到與A相對(duì)的上底面的B點(diǎn)，圓柱底面直徑為4，母線為6，則螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)為（

）A．36+16π2 C．36+π219．如圖，圓柱底面半徑為4厘米，高18π厘米，點(diǎn)A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A、B在同一母線上，用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B20．如圖，圓柱形容器高為18cm，底面周長(zhǎng)為24cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)B處有乙滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外幣A處到達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離為_______．題型四：線段差的最大值差最大值問題問題：已知兩定點(diǎn)A，B位于直線l的異側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA－PB))的值最大．問題解決：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′并延長(zhǎng)，交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．原理：三角形的任意兩邊之差小于第三邊．圖示：21．如圖，在正方形ABCD中，AB=4，AC與BD交于點(diǎn)O,N是AO的中點(diǎn)，點(diǎn)M在BC邊上，且BM=3,P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，當(dāng)對(duì)角線BD平分∠NPM時(shí)，PM-PN值為(

)A．1 B．2 C．2 D．222．如圖，在正方形ABCD中，AB=22，AC與BD交于點(diǎn)O，N是AO的中點(diǎn)，點(diǎn)M在BC邊上，且BM=3，P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，則PM?PN23．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，BD=4，點(diǎn)E為OD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AB上一點(diǎn)，且AF=3BF，點(diǎn)P為AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PE、PF，則PF?PE的最大值為______．題型五：垂線段最短【例4】如圖，等邊△ABC中，AO⊥BC，O為垂足且AO=3，E是線段AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE，線段BF與線段BE關(guān)于直線BA對(duì)稱，連接AF、OF，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)OF24．如圖，在Rt△ABC中，以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以E、F為圓心，以相同長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)O，P為射線AO上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AC，交AC于點(diǎn)M，連接PC，若AC=2，BC=3A．321 B．2217 C．425．如圖，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，CF=BF，則MA+MF的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．226．已知在Rt△ACB中，∠C=90°,∠ABC=75°，AB=5．點(diǎn)E為邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，則線段FE+EB的最小值是（

）A．532 B．52 C．527．如圖，在ΔABC中，∠BAC=45°，AB=AC=4，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，則對(duì)角線PQ28．一個(gè)含30度角的三角板和一個(gè)含45度角的三角板按如圖所示的方式拼接在一起，經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，AC=CE=3，取AB中點(diǎn)O，連接OF.∠FCE在∠ACB內(nèi)部任意轉(zhuǎn)動(dòng)(包括邊界)，則CE在運(yùn)動(dòng)過程中掃過的面積為______，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段OF29．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=75°，AB=6，點(diǎn)E為邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，則線段FE+EB30．菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC=45°，點(diǎn)P、Q分別是BC、BD上的動(dòng)點(diǎn)，CQ+PQ的最小值為______．第12講最值問題1題型一：計(jì)算出來的最值問題【例1】如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的AB邊上，AE=3，BE=9，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)（不與B、C重合），PQ⊥EP，PQ交CD于點(diǎn)Q，則CQ的長(zhǎng)度不可能是（

）A．5 B．4 C．3 D．2答案:

1

2分析：（1）連接AO，DO，證明△AEO≌△DFOASA，可得S四邊形EOFD（2）設(shè)AE=x，則ED=2?x，由勾股定理可得EF2=2【詳解】解：（1）連接AO，DO，∵∠EOF=90°，∴∠EOD+∠FOD=90°，∵四邊形ABCD是正方形，O是中心，∴∠AOD=90°，AO=DO，∠EAO=∠FDO=45°，∴∠EOD+∠AOE=90°，∴∠FOD=∠AOE，∴△AEO≌∴S四邊形EOFD∵AD=2，∴SΔ∴S故答案為：1；（2）設(shè)AE=x，則ED=2?x，∵△AEO≌∴DF=AE=x,在Rt△EDF中，EF∴當(dāng)x=1時(shí)，EF有最小值2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)求最值的方法是解題的關(guān)鍵．1．如圖，點(diǎn)O是正方形ABCD的對(duì)稱中心，射線OM，ON分別交正方形的邊AD，CD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF，已知AD=2，∠EOF=90°．（1）以點(diǎn)E，O，F(xiàn)，D為頂點(diǎn)的圖形的面積為_________；（2）線段EF的最小值是_________．答案:

1

2分析：（1）連接AO，DO，證明△AEO≌△DFOASA，可得S（2）設(shè)AE=x，則ED=2?【詳解】解：（1）連接AO，DO，∵∠EOF∴∠EOD∵四邊形ABCD是正方形，O是中心，∴∠AOD=90°，AO=∴∠EOD∴∠FOD∴△AEO∴S四邊形EOFD∵AD=2∴SΔ∴S故答案為：1；（2）設(shè)AE=x，則∵△AEO∴DF在Rt△EDF中，∴當(dāng)x=1時(shí)，EF有最小值2故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)求最值的方法是解題的關(guān)鍵．2．如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，⊙C的半徑為3，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙C的切線PQ，切點(diǎn)為Q，則PQ的最小值為（A．23 B．15 C．3 D．答案:C分析：連接CQ、CP，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，根據(jù)切線的性質(zhì)得到CQ⊥PQ，根據(jù)勾股定理求出【詳解】解：連接CQ、CP，過點(diǎn)C作CH⊥AB于∵PQ是⊙∴CQ∴PQ當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CP最小，∵△ABC∴∠B∴CH∴PQ的最小值為：(2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理、解直角三角形，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．3．如圖，已知正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF⊥AE交CD于點(diǎn)F，以AE，EF為邊作矩形AEFG，若AB=4，則線段CF的最大值是____________．答案:1分析：因∠AEF=90°得∠AEB+∠FEC=90°，在Rt△ABE中【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFG是矩形，∴∠B∵∠AEB+∠FEC∴∠BAE∴△ABE∴AB設(shè)BE=x，即44?整理得：y=?∵y=?1∴當(dāng)x=2時(shí)，y∴線段CF的最大值是1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)求最值等相關(guān)知識(shí)，重點(diǎn)掌握三角形相似的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)是將相似三角形的相似比相等轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解析式求最值．4．如圖，半徑為2的⊙A，圓心A在直線y=34x?3上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)O作⊙A的一條切線OP，P答案:2115分析：連接OA，由勾股定理得到OP【詳解】解：如圖，連接OA，∵圓心A在直線y=∴設(shè)Ax∵OP是切線，PA是半徑，∴PA⊥∴OP2=整理，得OP∴OP2的最小值為∴OP的最小值為4425故答案為：211【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)，利用勾股定理求得OP5．如圖，在Rt△ABC中，AB=BC=3，D是BC邊上任意一點(diǎn)，分別作點(diǎn)D關(guān)于AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)E、F，以AE、AF為鄰邊作平行四邊形AEGF，邊FG交BC于點(diǎn)H，則BH答案:9分析：根據(jù)對(duì)稱軸的性質(zhì)推出C、B、E三點(diǎn)共線，設(shè)BE=x，AE=x2+9，證明平行四邊形AEGF是正方形，進(jìn)而推出△EGH【詳解】解：∵點(diǎn)D和點(diǎn)E關(guān)于AB對(duì)稱，∴AE=AD，∠∴C設(shè)BE=∴AE同理可得：AF=AD，∴AF=AE∵△ABC∴∠BAC∴∠EAF∵四邊形AEGF是平行四邊形，∴平行四邊形AEGF是正方形，∴∠AEG=∠G∴∠AEB∵∠AEB∴∠GEC∵∠G∴△EGH∴GE∴x∴EH∴BH∴當(dāng)x=32時(shí)，BH故答案為：94【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，正方形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是設(shè)線段長(zhǎng)，建立二次函數(shù)關(guān)系式求最值6．如圖，點(diǎn)A坐標(biāo)為(2，1)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(2，8)，C為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形ACD和（1）線段AB的長(zhǎng)為_______．（2）則DE長(zhǎng)的最小值是_______．答案:

7

7分析：（1）由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)知，AB∥x軸，則由兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得（2）設(shè)AC=x，則BC=7?x，由已知可得CD、【詳解】（1）∵點(diǎn)A坐標(biāo)為(2，1)，點(diǎn)B坐標(biāo)為∴AB∥∴AB即AB的長(zhǎng)為7；故答案為：7；（2）設(shè)AC=x，則∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，且AC、∴DA=DC，EC∴∠DCE由勾股定理得：DC=22∵D∴D則當(dāng)x=72時(shí)，DE2取得最小值49故答案為：72【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是利用勾股定理建立DE7．如圖，在⊙O中，弦AB=1，點(diǎn)C在AB上移動(dòng)，連接OC，過點(diǎn)C作CD⊥OC交⊙O于點(diǎn)D，則CD的最大值為________________．答案:12分析：連接OD，如圖，利用勾股定理得到CD，利用垂線段最短得到當(dāng)OC⊥AB時(shí)，OC最小，再求出即可．【詳解】解：連接OD，如圖，∵CD⊥OC，∴∠DCO=90°，∴CD=當(dāng)OC的值最小時(shí)，CD的值最大，而OC⊥AB時(shí)，OC最小，此時(shí)D、B兩點(diǎn)重合，∴CD=CB=12AB=12×1=即CD的最大值為12故答案為：12【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段最短，勾股定理和垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，能求出符合題意的點(diǎn)C的位置是解此題的關(guān)鍵．8．如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形ABCO，B點(diǎn)坐標(biāo)為4,2，A、C分別在y軸、x軸上；若D點(diǎn)坐標(biāo)為1,0，連結(jié)AD，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別從A點(diǎn)、B點(diǎn)出發(fā)，在AB上相向而行，速度均為1個(gè)單位/每秒，當(dāng)E、F兩點(diǎn)相遇時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)；過E點(diǎn)作EG∥AD交x軸于H點(diǎn)，交y軸于G點(diǎn)，連結(jié)FG、FH，在運(yùn)動(dòng)過程中，答案:9分析：先求直線AD的解析式，進(jìn)而設(shè)直線EG的解析式為y=?2x+b，得出BF=AE=【詳解】解：∵矩形ABCO，B點(diǎn)坐標(biāo)為4,2，∴OA∴A設(shè)直線AD的解析式為y=把D點(diǎn)坐標(biāo)為1,0代入，得0=k解得k=?2∴直線AD的解析式為y=?2∵EG∥∴設(shè)直線EG的解析式為y=?2∴G0,當(dāng)y=2時(shí)，x∴E∴AE∴BF∴EF∴S=1∵?1∴△FGH的最大面積為4.5故答案為:4.5．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．題型二：將軍飲馬型最值【例2】如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PQ，則PB+PQ的最小值為________________．答案:2分析：根據(jù)最短路徑可知BF是PB+PQ的最短路徑，再根據(jù)勾股定理即可求得【詳解】解：作點(diǎn)Q的對(duì)稱點(diǎn)F，連接BF與AC交于P'∵根據(jù)最短路徑可知BF是最短路徑，∴BF=∵在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，∴CF=∴在Rt△BCF中，BF故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑，正方形的性質(zhì)，勾股定理等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，掌握最短路徑的畫法是解題的關(guān)鍵．9．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為4，面積是16，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點(diǎn)，若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM周長(zhǎng)的最小值為（

）A．6 B．8 C．10 D．12答案:C分析：連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是底邊BC的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長(zhǎng)為【詳解】解：連接AD，∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是底邊BC∴AD∴S△ABC∵EF是線段AC∴點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴AD的長(zhǎng)為CM∴△CDM的周長(zhǎng)最短=AD故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱?最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．10．如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE=α（∠BAE為鈍角），∠B=∠E=90°，在BC，DE上分別找一點(diǎn)M，N，當(dāng)△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MAN的度數(shù)為（

）A．12α B．α?90° C．2α?180° 答案:C分析：分別延長(zhǎng)AB、AE到點(diǎn)A'、A″，使A″E=AE，A'B=AB，連接【詳解】解：∵∠B∴如圖，分別延長(zhǎng)AB、AE到點(diǎn)A'、A″，使A″E=AE，∵BM垂直平分AA'，EN垂直平分∴A'M=∴∠AA'∵∠BAE∴∠A∴∠A∴∠MAN故選C．【點(diǎn)睛】本題考查平面內(nèi)最短路徑問題，涉及兩點(diǎn)之間線段最短、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握平面內(nèi)最短路徑的求解方法是解答的關(guān)鍵.11．如圖，在平行四邊形ABCD中，BD⊥AD，AB=2AD，E是AB的中點(diǎn)，P是邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，若AD=2，則PE+PB的最小值為（A．22 B．23 C．10 答案:C分析：由BD⊥AD得∠ADB＝90°，由勾股定理求出BD＝2，得到∠BAD＝∠ABD＝45°，延長(zhǎng)BD至點(diǎn)B'，使得B'D＝BD＝2，連接B'E，則點(diǎn)P在B'E與AD的交點(diǎn)時(shí)，PE＋PB的值最小，給出證明，再過點(diǎn)E作EF⊥B【詳解】解：∵BD∴∠ADB＝90°∵AB=2∴AB＝22由勾股定理得BD＝AB∴AD＝BD＝2∴∠BAD＝∠ABD＝45°∵E是AB的中點(diǎn)，∴BE＝AE＝12AB＝延長(zhǎng)BD至點(diǎn)B'，使得B'D＝BD＝2，連接則點(diǎn)P在B'理由如下：∵’BD⊥AD，∴AD垂直平分BB∴AD上任意一點(diǎn)P,總有PB＝PB'由“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知，點(diǎn)P在B'PE＋PB的值最小，最小值為B'E的長(zhǎng)，此時(shí)過點(diǎn)E作EF⊥BB則∠EFB＝∠EFB'∵∠ABD＝45°∴EF＝BF∴EF2＋BF2＝BE2＝2EF2∴EF＝BF＝BE∴B'F＝BD＋B在Rt△B'B'E＝EF2+B即PE+PB故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑問題、勾股定理、等腰直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，掌握最短路徑的確定方法、靈活應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．12．如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)B的坐標(biāo)為3，4，D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，當(dāng)△CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，則點(diǎn)答案:(3，分析：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)H，連接CH與AB的交點(diǎn)為E，此時(shí)△CDE的周長(zhǎng)最小，先求出直線CH的解析式，再求出直線CH與AB【詳解】解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)H，連接CH與AB的交點(diǎn)為E，此時(shí)△CDE∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為3，4，DOH=是OA的中點(diǎn)，∴A(3，0)，D(3∴OH∴H(設(shè)直線CH的解析式為y=把H(92∴k=?∴直線CH的解析式為y=?∴x=3時(shí)，y∴點(diǎn)E坐標(biāo)(3，4故答案為：(3，4【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、軸對(duì)稱-最短問題、一次函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱找到點(diǎn)E位置，學(xué)會(huì)利用一次函數(shù)解決交點(diǎn)問題．13．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為3，∠BAD＝60°，點(diǎn)E、F在對(duì)角線AC上（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)），且EF＝1，則DE+BF最小值為________答案:10分析：作DM∥AC，使得DM=EF=1，連接BM交AC于F，由四邊形DEFM是平行四邊形，推出DE=FM，推出DE+BF=FM+FB=BM，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時(shí)DE+FB最短，由四邊形ABCD是菱形，在Rt△BDM中，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，連接BM交AC于F，∵DM＝EF，DM∥EF，∴四邊形DEFM是平行四邊形，∴DE＝FM，∴DE+BF＝FM+FB＝BM，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時(shí)DE+FB最短，∵四邊形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°∴AD＝AB，∴△ABD是等邊三角形，∴BD＝AB＝3，∵BD⊥AC，DM∥AC，∴BD⊥DM，在Rt△BDM中，BM＝12+∴DE+BF的最小值為10．故答案為10．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，把問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短解決，屬于中考填空題中的壓軸題．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(3,6),B(?2,2)，在x軸上取兩點(diǎn)C，D（點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)），且始終保持CD=1，線段CD在x軸上平移，當(dāng)AD+BC的值最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為________．答案:（-1，0）分析：作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，將B′向右平移1個(gè)單位得到B″，連接AB″，與x軸交于點(diǎn)D，過點(diǎn)B′作AB″的平行線，與x軸交于點(diǎn)C，得到此時(shí)AD+BC的值最小，求出直線AB″，得到點(diǎn)D坐標(biāo)，從而可得點(diǎn)C坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，將B′向右平移1個(gè)單位得到B″，連接AB″，與x軸交于點(diǎn)D，過點(diǎn)B′作AB″的平行線，與x軸交于點(diǎn)C，可知四邊形B′B″DC為平行四邊形，則B′C=B″D，由對(duì)稱性質(zhì)可得：BC=B′C，∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，則此時(shí)AB″最小，即AD+BC最小，∵A（3，6），B（-2，2），∴B′（-2，-2），∴B″（-1，-2），設(shè)直線AB″的表達(dá)式為：y=kx+b，則6=3k+b∴直線AB″的表達(dá)式為：y=2x，令y=0，解得：x=0，即點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，0），∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（-1，0），故答案為：（-1，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，最短路徑問題，一次函數(shù)表達(dá)式，解題的關(guān)鍵是找到AD+BC最小時(shí)的情形．15．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，AD為△ABC的角平分線．M為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，N為線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BM、CN、MN，當(dāng)CN+MN取得最小值時(shí)，△ABM的面積為______．答案:18分析：利用點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)確定N點(diǎn)，當(dāng)C、N、M'三點(diǎn)共線且CM'⊥AB時(shí)，CN+NM'的長(zhǎng)取得最小值，再利用三角形的面積公式求出【詳解】∵AD為△ABC的角平分線，將AC沿AD∴M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M'一定在AB∴CN∴當(dāng)C、N、M'三點(diǎn)共線且CMCN+∵在Rt△ABC中，AB=5∴AC∵S∴CM∴在Rt△AM∴S△【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑問題以及勾股定理，靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．題型三：立體圖形中的最值【例3】如圖，圓柱形容器的高17cm，底面周長(zhǎng)是24cm，在外側(cè)底面S處有一蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口處1cm點(diǎn)FA．20cm B．83cm C．433答案:A分析：把圓柱的側(cè)面展開，根據(jù)勾股定理求出SF的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖所示，SF=故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平面展開-最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是計(jì)算出圓柱展開后所得長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬的值，然后用勾股定理進(jìn)行計(jì)算．16．已知圓錐底面半徑為1，母線長(zhǎng)為4，地面圓周上有一點(diǎn)A，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓錐側(cè)面運(yùn)動(dòng)一周后到達(dá)母線PA中點(diǎn)B，則螞蟻爬行的最短路程為（）A．π B．5π C．25 答案:C分析：要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓錐的側(cè)面展開，連接AB，根據(jù)展開所得扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)求得扇形的圓心角，進(jìn)而解三角形即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，將該圓錐展開如下圖所示的扇形，則線段AB就是螞蟻爬行的最短距離．∵點(diǎn)B是母線PA的中點(diǎn)，PA=4∴PB=2∵圓錐的底面圓的周長(zhǎng)=扇形的弧長(zhǎng)，又∵圓錐底面半徑為1，∴扇形的弧長(zhǎng)=圓錐底面周長(zhǎng)，即l=2由弧長(zhǎng)公式可得：l∴扇形的圓心角n=90°在Rt△APB中，由勾股定理可得：AB=所以

螞蟻爬行的最短路程為25故選：C．【點(diǎn)睛】.本題考查平面展開--最短路徑問題、圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式、弧長(zhǎng)計(jì)算公式，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是“化曲為直”，將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形．17．如圖，長(zhǎng)、寬、高分別為2，1，1的長(zhǎng)方體木塊上有一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著長(zhǎng)方體的外表面爬到頂點(diǎn)B，則它爬行的最短路程是（

）A．10 B．3 C．5 D．2答案:D分析：螞蟻有兩種爬法，就是把正視和俯視（或正視和側(cè)視）二個(gè)面展平成一個(gè)長(zhǎng)方形，然后求其對(duì)角線，比較大小即可求得最短路程．【詳解】解：如圖所示，路徑一：AB=路徑二：AB=∵22∴螞蟻爬行的最短路程為22故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了立體圖形中的最短路線問題；通常應(yīng)把立體幾何中的最短路線問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的求兩點(diǎn)間距離的問題；注意長(zhǎng)方體展開圖形應(yīng)分情況進(jìn)行探討．18．如圖，一只螞蟻要從圓柱體下底面的A點(diǎn)，沿圓柱側(cè)面爬到與A相對(duì)的上底面的B點(diǎn)，圓柱底面直徑為4，母線為6，則螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)為（

）A．36+16π2 C．36+π2答案:B分析：要求最短路線，首先要把圓柱的側(cè)面展開，利用兩點(diǎn)之間線段最短，再利用勾股定理來求．【詳解】解：把圓柱側(cè)面展開，展開圖如圖所示，點(diǎn)A，B的最短距離為線段AB的長(zhǎng)，BC＝6，AC為底面半圓弧長(zhǎng)，AC＝2π，所以AB＝62故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題，本題的關(guān)鍵是要明確，要求兩點(diǎn)間的最短線段，就要把這兩點(diǎn)放到一個(gè)平面內(nèi)，即把圓柱的側(cè)面展開再計(jì)算．19．如圖，圓柱底面半徑為4厘米，高18π厘米，點(diǎn)A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A、B在同一母線上，用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B答案:30π厘米分析：要求圓柱體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將圓柱體展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【詳解】解：圓柱體的展開圖如圖所示：用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B的運(yùn)動(dòng)最短路線是：AC→CD→DB；即在圓柱體的展開圖長(zhǎng)方形中，將長(zhǎng)方形平均分成3個(gè)小長(zhǎng)方形，A沿著3個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)角線運(yùn)動(dòng)到B的路線最短；∵圓柱底面半徑為4，∴長(zhǎng)方形的寬即是圓柱體的底面周長(zhǎng)：2π×4=8π；又∵圓柱高為18π，∴小長(zhǎng)方形的一條邊長(zhǎng)是18π÷3=6π；根據(jù)勾股定理求得AC=CD=DB=6π∴AC+CD+DB=30π．故答案為：30π厘米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱的計(jì)算、平面展開--路徑最短問題．圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)長(zhǎng)方形，此長(zhǎng)方形的寬等于圓柱底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱的高．本題就是把圓柱的側(cè)面展開成長(zhǎng)方形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．20．如圖，圓柱形容器高為18cm，底面周長(zhǎng)為24cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)B處有乙滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外幣A處到達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離為_______．答案:20cm##20厘米分析：將杯子側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B的長(zhǎng)度即為所求．【詳解】解∶如圖，將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B即為最短距離．根據(jù)勾股定理，得A'故答案為：20cm．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開---最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．題型四：線段差的最大值差最大值問題問題：已知兩定點(diǎn)A，B位于直線l的異側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA－PB))的值最大．問題解決：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′并延長(zhǎng)，交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．原理：三角形的任意兩邊之差小于第三邊．圖示：21．如圖，在正方形ABCD中，AB=4，AC與BD交于點(diǎn)O,N是AO的中點(diǎn)，點(diǎn)M在BC邊上，且BM=3,P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，當(dāng)對(duì)角線BD平分∠NPM時(shí)，PM-PN值為(

)A．1 B．2 C．2 D．2答案:A分析：作以BD為對(duì)稱軸作N的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接PN'，MN'，依據(jù)PM-PN=PM-PN'≤MN'，可得當(dāng)P，M，N'三點(diǎn)共線時(shí)，PM-PN'=MN'，再求得CMBM=CN'AN'=【詳解】解：如圖所示，作以BD為對(duì)稱軸作N的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接PN'，MN'，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)可知，PN=PN'，∴PM-PN=PM-PN'≤MN'，當(dāng)P，M，N'三點(diǎn)共線時(shí)，PM-PN'=MN'，∵正方形邊長(zhǎng)為4，∴AC=2AB=42，∵O為AC中點(diǎn)，∴AO=OC=22，∵N為OA中點(diǎn)，∴ON=2，∴ON'=CN'=2，∴AN'=32，∵BM=3，∴CM=AB-BM=4-3=1，∴CM∴PM∥AB∥CD，∠CMN'=90°，∵∠N'CM=45°，∴△N'CM為等腰直角三角形，∴CM=MN'=1，即PM-PN=1，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．22．如圖，在正方形ABCD中，AB=22，AC與BD交于點(diǎn)O，N是AO的中點(diǎn)，點(diǎn)M在BC邊上，且BM=3，P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，則PM?PN答案:1分析：作N關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接PE，ME，過點(diǎn)M作MQ⊥AC，垂足為Q，可判定當(dāng)點(diǎn)P，E，M三點(diǎn)共線時(shí)，PM-PE的值最大，為ME的長(zhǎng)，求出CE，CQ，得到EQ，利用垂直平分線的性質(zhì)得到EM=CM=1即可．【詳解】解：如圖：作N關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接PE，ME，過點(diǎn)M作MQ⊥AC，垂足為Q，∴PN=PE，則PM-PN=PM-PE，∴當(dāng)點(diǎn)P，E，M三點(diǎn)共線時(shí)，PM-PE的值最大，為ME的長(zhǎng)，在正方形ABCD中，AB=4，∴AC=42∵N是AO的中點(diǎn)，點(diǎn)N和E關(guān)于BD成軸對(duì)稱，∴點(diǎn)E是OC中點(diǎn)，∴CE=14AC=2∵BC=4，BM=3，∴CM=1=14∵∠BCQ=45°，∴△MCQ為等腰直角三角形，∴CQ=CM2=2∴EQ=22∴CM=EM=1，即PM-PN的最大值為1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．23．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，BD=4，點(diǎn)E為OD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AB上一點(diǎn)，且AF=3BF，點(diǎn)P為AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PE、PF，則PF?PE的最大值為______．答案:1分析：取OB中點(diǎn)E'，作射線FE'交AC于點(diǎn)P'．P'、E'、F三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，PF?PE'有最大值，即為FE'的長(zhǎng)，證明△BE'F為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：取OB中點(diǎn)E'，連接PE'，作射線FE'交AC于點(diǎn)P'．則PE=PE'，∴PF?PE=PF?PE'≤FE'，當(dāng)P與P'重合，P'、E'、F三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，PF?PE'有最大值，即為FE'的長(zhǎng)，∵在菱形ABCD中，∠ABC=120°，∴∠ABD=60°，∠DAB=60°，∴△ABD為等邊三角形．∴AB=BD=AD=4．∴OD=OB=2．∵點(diǎn)E'為OB的中點(diǎn)，E'B=1，AF=3BF，∴BF=14AB=1，∵∠ABD=60°，∴△BE'F為等邊三角形，∴E'F=FB=1．故PF?PE的最大值為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，得到P'、E'、F三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，PF?PE'有最大值是解題的關(guān)鍵．題型五：垂線段最短【例4】如圖，等邊△ABC中，AO⊥BC，O為垂足且AO=3，E是線段AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE，線段BF與線段BE關(guān)于直線BA對(duì)稱，連接AF、OF，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)OF答案:3分析：過點(diǎn)O作OH⊥AF于H，連接OF，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)得到點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路線，再根據(jù)垂線段最短得到點(diǎn)F、H重合時(shí)OF最小，然后利用含30度直角三角形的性質(zhì)求得【詳解】解：如圖，過點(diǎn)O作OH⊥AF于H，連接∵△ABC是等邊三角形，AO∴∠BAO∵線段BF與線段BE關(guān)于直線BA對(duì)稱，，∴AE=AF，∠BAF∴點(diǎn)F在射線AF上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)F和H重合時(shí)，OF的值最小，即為OH的長(zhǎng)度，此時(shí)AE=在Rt△AHO中，∠∴AH=即當(dāng)OF的長(zhǎng)取得最小值時(shí)，AE的長(zhǎng)為32故答案為：32【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，找到點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路線以及使OF最小時(shí)的位置是解題的關(guān)鍵．24．如圖，在Rt△ABC中，以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以E、F為圓心，以相同長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)O，P為射線AO上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AC，交AC于點(diǎn)M，連接PC，若AC=2，BC=3A．321 B．2217 C．4答案:B分析：如圖，過點(diǎn)P作PT⊥AB于T，過點(diǎn)C作CR⊥AB于R，利用面積法求出CR，再證明【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作PT⊥AB于T，過點(diǎn)C作在Rt△ABC中，∠ACB=90°∴AB∵CR∴1∴CR由作圖可知，AO平分∠CAB∵PM⊥AC∴PM∴PC∵PC∴PC∴PC+PM故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查作圖﹣基本作圖，角平分線的性質(zhì)定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明PM=25．如圖，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，CF=BF，則MA+MF的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．2答案:C分析：連接AF，則AF的長(zhǎng)就是AM+FM的最小值，證明△ABC是等邊三角形，AF是高線，利用三角函數(shù)即可求解．【詳解】解：連接AF，則AF的長(zhǎng)就是AM+FM的最小值．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∵CF∴F是BC的中點(diǎn)，∴AF⊥BC．則AF＝AB?sin60°＝2×3即MA+MF的最小值是故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形以及三角函數(shù)，確定AF的長(zhǎng)就是MA+26．已知在Rt△ACB中，∠C=90°,∠ABC=75°，AB=5．點(diǎn)