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Page12024屆大題強(qiáng)化訓(xùn)練(10)1.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=cosB,b=cosA.(1)求證:存在△ABC,使得c=1;(2)求△ABC面積S的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)eq\f(3\r(,3),16)【解析】(1)因a=cosB,b=cosA,由正弦定理eq\f(a,sinA)=\f(b,sinB)得eq\f(cosB,sinA)=\f(cosA,sinB),所以sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,在△ABC中,A,B∈(0,π),且A+B<π,所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或eqA+B=\f(π,2),當(dāng)eqA+B=\f(π,2)時(shí),eqC=\f(π,2),所以eqc\s\up6(2)=cos\s\up6(2)A+cos\s\up6(2)B=cos\s\up6(2)A+sin\s\up6(2)A=1,即c=1,所以存在△ABC,使得c=1.(2)①當(dāng)eqA+B=\f(π,2)時(shí),eqS\s\do(△ABC)=\f(1,2)cosAcosB=\f(1,2)sinAcosA=\f(1,4)sin2A≤\f(1,4);②當(dāng)A=B時(shí),eqS\s\do(△ABC)=\f(1,2)cos\s\up6(2)Asin(π-2A)=\f(1,2)cos\s\up6(2)Asin2A=sinAcos\s\up6(3)A,所以eqS\s\up6(2)\s\do(△ABC)=sin\s\up6(2)Acos\s\up6(6)A=(1-cos\s\up6(2)A)cos\s\up6(6)A,令eqx=cos\s\up6(2)A∈(0,1),則eqS\s\up6(2)\s\do(△ABC)=f(x)=(1-x)x\s\up6(3),所以f′(x)=eq-x\s\up6(3)+3(1-x)x\s\up6(2)=x\s\up6(2)(3-4x),當(dāng)eqx∈(0,\f(3,4))時(shí),f′(x)>0;當(dāng)eqx∈(\f(3,4),1)時(shí),f′(x)<0,所以當(dāng)eqx=\f(3,4)時(shí),eqf\s\do(max)(x)=f(\f(3,4))=\f(3\s\up6(3),4\s\up6(4)),即當(dāng)eqcos\s\up6(2)A=\f(3,4),A=\f(π,6)時(shí),eq(S\s\do(△ABC))\s\do(max)=\f(3\r(,3),16),又eq\f(3\r(,3),16)>\f(1,4),所以△ABC面積的最大值為eq\f(3\r(,3),16).2.在數(shù)列中,已知,,.(1)若,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記,若在數(shù)列中,,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】(1)由題意,,得:,運(yùn)用累加法:,,,,n=1時(shí),也成立,∴;(2)由(1),,由題意,即,化簡得:,當(dāng)時(shí),,即,當(dāng)時(shí),,即,即;綜上,,.3.如圖1所示,在直角梯形ABCD中,BC//AD,AD⊥CD,BC=2,AD=3,CD=,邊AD上一點(diǎn)E滿意DE=1,現(xiàn)將△ABE沿BE折起到△PBE的位置,使平面PBE⊥平面BCDE,如圖2所示.(1)求證:;(2)求平面PBE與平面PCE所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)取BE中點(diǎn)O,連接AO,CO,CE,因?yàn)锽C=2,AD=3,DE=1,所以,又因AD//BC,所以AE//BC,所以四邊形ABCE是平行四邊形,因?yàn)樗?,所以ABCE為邊長為2的菱形,且,所以和都是正三角形,所以PO⊥BE,CO⊥BE,又因,所以BE⊥平面POC,又因?yàn)槠矫鍼OC,所以PC⊥BE.(2)由于平面PBE⊥平面BCDE,且交線為,,所以平面,所以,由(1)知OB、OC、OP兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,,∴,設(shè)平面PCE的法向量為,則,令得,由(1)知平面PBE的法向量為,所以平面PBE與平面PCE所成銳二面角的余弦值為.4.為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育熬煉的主動(dòng)性,某中學(xué)須要了解性別因素是否對(duì)學(xué)生體育熬煉的常常性有影響,為此隨機(jī)抽查了男女生各100名,得到如下數(shù)據(jù):性別熬煉不常常常常女生4060男生2080(1)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育熬煉的常常性有關(guān)系;(2)從這200人中隨機(jī)選擇1人,已知選到的學(xué)生常常參與體育熬煉,求他是男生的概率;(3)為了提高學(xué)生體育熬煉的主動(dòng)性,集團(tuán)設(shè)置了“學(xué)習(xí)女排精神,塑造健康體魄”的主題活動(dòng),在該活動(dòng)的某次排球訓(xùn)練課上,甲乙丙三人相互做傳球訓(xùn)練,第1次由甲將球傳出,每次傳球時(shí),傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人.求第次傳球后球在甲手中的概率.附:0.0100.0050.0016.6357.87910.828【答案】(1)可以認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育熬煉的常常性有關(guān)系,理由見解析(2)(3)【解析】(1),故依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn),可以認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育熬煉的常常性有關(guān)系;(2)設(shè)從這200人中隨機(jī)選擇1人,設(shè)選到常常熬煉的學(xué)生為事務(wù)A,選到的學(xué)生為男生為事務(wù)B,則,則已知選到的學(xué)生常常參與體育熬煉,他是男生的概率;(3)設(shè)n次傳球后球在甲手中的概率為,,則有,,設(shè),則,所以,解得:,所以,其中,故數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,所以,故,故第次傳球后球在甲手中的概率為.5.已知,為橢圓的左、右焦點(diǎn),且A為橢圓上的一點(diǎn).(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)直線與拋物線相交于兩點(diǎn),射線,與橢圓E分別相交于M?N.摸索究:是否存在數(shù)集D,對(duì)于隨意時(shí),總存在實(shí)數(shù)t,使得點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi)?若存在,求出數(shù)集D并證明你的結(jié)論;若不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在,,證明見解析【解析】(1)由題意知,為橢圓上的一點(diǎn),且垂直于x軸,則,,所以,即,所以,故橢圓的方程為;(2)方程為,聯(lián)立拋物線方程,得,整理得,則,則①,設(shè),,,,則,,則,由的坐標(biāo)為,則,,,,由與同向,與同向,則點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi),則,則,則,即,則,即②,當(dāng)且僅當(dāng),即,總存在使得②成立,且當(dāng)時(shí),由韋達(dá)定理可知的兩個(gè)根為正數(shù),故使②成立的,從而滿意①,故存在數(shù)集,對(duì)隨意時(shí),總存在,使點(diǎn)在線段為直徑的圓內(nèi).6.已知函數(shù).(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;(2)記函數(shù),若恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減;(2)【解析】(1)解:由題意得函數(shù)的定義域?yàn)?,若,則,令,則,而,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減;(2)解:若恒成立,則,整理得,
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