湖南省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月聯(lián)考試題含解析

湖南省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月聯(lián)考試題留意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出，得到，，從而列出方程，求出，，得到答案.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，則，因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)?，，所以，解得，?故選：B2.定義差集且，已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)差集的定義干脆求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以．故選：B3.“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)二倍角的余弦公式以及充分條件、必要條件的概念即可得結(jié)果.【詳解】若，則．若，則或．故“”是“”的充分不必要條件．故選：A.4.已知某種裝水的瓶?jī)?nèi)芯近似為底面半徑是4dm、高是8dm的圓錐，當(dāng)瓶?jī)?nèi)裝滿水并喝完一半，且瓶正立旋置時(shí)（如圖所示），水的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.1.62dm B.1.64dm C.3.18dm D.3.46dm【答案】B【解析】【分析】由題意可知當(dāng)裝水的瓶正立放置時(shí)，圓錐上半部分的體積占圓錐體積的一半，設(shè)上半部分小圓錐的底面半徑為rdm，則小圓錐的高為2rdm，然后列方程可求出，從而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槠績(jī)?nèi)裝滿水并喝完一半，所以當(dāng)裝水的瓶正立放置時(shí)，圓錐上半部分的體積占圓錐體積的一半，設(shè)上半部分小圓錐的底面半徑為rdm，則由題意可得小圓錐的高為2rdm，則，解得，即，．則剩余的水的高度為．故選：B5.若函數(shù)在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】干脆解方程，然后依據(jù)解的要求列不等式得結(jié)論．【詳解】由，得或．依題意可得，且，所以，且．故選：D．6.綻開(kāi)式中的系數(shù)為（）A. B.21 C. D.35【答案】A【解析】【分析】先將原式整理為，視為兩項(xiàng)的綻開(kāi)式，要含有的項(xiàng)，須要在中找即可【詳解】因?yàn)榫`開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，所以當(dāng)時(shí)，含有的項(xiàng)，此時(shí)，故的系數(shù)為．故選：A7.若，橢圓C：與橢圓D：的離心率分別為，，則（）A.的最小值為 B.的最小值為C.的最大值為 D.的最大值為【答案】D【解析】【分析】依據(jù)，求得兩個(gè)橢圓的離心率，然后利用基本不等式求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為，無(wú)最小值．故選：D8.正三棱柱的底面邊長(zhǎng)是4，側(cè)棱長(zhǎng)是6，M，N分別為，的中點(diǎn)，若點(diǎn)P是三棱柱內(nèi)（含棱柱的表面）的動(dòng)點(diǎn)，MP∥平面，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡面積為（）A. B.5 C. D.【答案】C【解析】【分析】取AB的中點(diǎn)Q，證明平面平面得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為△MQC及其內(nèi)部（挖去點(diǎn)M）．然后計(jì)算△MQC的面積即可．【詳解】取AB的中點(diǎn)Q，連接MQ，CQ，MC，由M，N，Q分別為，，AB的中點(diǎn)可得，平面，平面，所以平面，同理得平面，，平面，則平面平面，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為△MQC及其內(nèi)部（挖去點(diǎn)M）．在正三棱柱中，△ABC為等邊三角形，Q為AB的中點(diǎn)，則，平面平面，平面平面，則CQ⊥平面，平面，所以．因?yàn)椋?，因?yàn)閭?cè)棱長(zhǎng)是6，所以．所以，則△MQC的面積，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡面積為．故選：C【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查空間點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，空間點(diǎn)的軌跡幾種常見(jiàn)情形：（1）平面內(nèi)到空間定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)，可結(jié)合球面得軌跡；（2）與定點(diǎn)的連線與某平面平行，利用平行平面得點(diǎn)的軌跡；（3）與定點(diǎn)的連線與某直線垂直，利用垂直平面得點(diǎn)的軌跡；（4）與空間定點(diǎn)連線與某直線成等角，可結(jié)合圓錐側(cè)面得軌跡；二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列函數(shù)滿意的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)，有，逐項(xiàng)推斷.【詳解】解：因?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，必有．若，則，則A錯(cuò)誤．若，則，則B正確．若，則，則C錯(cuò)誤．若，則，則D正確．故選：BD10.已知圓C：，則（）A.圓C與圓D：相交B.直線與圓C可能相切C.直線與圓C必相交D.直線，各自被圓C所截得的弦長(zhǎng)恰好相等【答案】ACD【解析】【分析】利用直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系推斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以圓C與圓D：相交，A正確．對(duì)于B，點(diǎn)C到直線的距離，則直線與圓C相離，B錯(cuò)誤．對(duì)于C，，得，令，得，解得，，所以直線l過(guò)定點(diǎn)，易知在圓C的內(nèi)部，所以直線與圓C必相交，C正確．對(duì)于D，因?yàn)?，所以點(diǎn)C到這兩條直線的距離相等，且這兩條直線與圓C相交，所以直線，各自被圓C所截得的弦長(zhǎng)恰好相等，D正確．故選：ACD11.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，再將所得圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象，若在內(nèi)恰有5個(gè)極值點(diǎn)，則的取值可能是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用三角函數(shù)的平移變換和伸縮變換得到，再依據(jù)因?yàn)樵趦?nèi)恰有5個(gè)極值點(diǎn)，由求解.【詳解】解：將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象，再將所得圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，得到，設(shè)，由，得，因?yàn)樵趦?nèi)恰有5個(gè)極值點(diǎn)，所以，解得．故選：BCD12.若，，，，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)比較大小，構(gòu)造函數(shù)比較大小，利用三角函數(shù)定義有比較大小，從而得結(jié)論．【詳解】由，令，則，故為增函數(shù)．由，得．由，令，則，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，則，則在上單調(diào)遞減，則，得在上單調(diào)遞減，所以，得，故．依據(jù)三角函數(shù)的定義可證，故，即．故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查實(shí)數(shù)大小比較，解題關(guān)鍵是依據(jù)數(shù)據(jù)的形式構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性后，由單調(diào)性得大小關(guān)系．三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則____________．【答案】5【解析】【分析】由向量共線的坐標(biāo)表示求解.【詳解】由A，B，C三點(diǎn)共線知，則，解得．故答案為：5．14.若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)___________．【答案】（或）【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由其為偶函數(shù)得值，然后計(jì)算出斜率，再計(jì)算出，由點(diǎn)斜式得直線方程并整理．【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，解得，則．又，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．故答案為：．15.已知，點(diǎn)P滿意，動(dòng)點(diǎn)M，N滿意，，則的最小值是____________．【答案】3【解析】【分析】以的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的中垂線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，由雙曲線定義得點(diǎn)P的軌跡是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的左支，然后依據(jù)雙曲線的性質(zhì)，數(shù)量積的運(yùn)算律求解．【詳解】以的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的中垂線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，由雙曲線定義可知，點(diǎn)P的軌跡是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的左支，即點(diǎn)P的軌跡方程為．，由，可得．因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以的最小值?．故答案為：3.16.設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則____________；若不等式對(duì)隨意恒成立，則正數(shù)k的最小值為_(kāi)___________．【答案】①.；②..【解析】【分析】由與關(guān)系，推出為等差數(shù)列，即可求出，再由原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，，可證出為遞增數(shù)列，不等式轉(zhuǎn)化為，即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，得．當(dāng)時(shí)，，，兩式相減得，得，所以．又因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以，即．因?yàn)?，所以，即．記，所以為遞增數(shù)列，．所以，解得，則正數(shù)k的最小值為．故答案為：，.四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟．17.在①，，②，，③，這三個(gè)條件中選一個(gè)合適的補(bǔ)充在下面的橫線上，使得問(wèn)題可以解答，并寫(xiě)出完整的解答過(guò)程．問(wèn)題：在鈍角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知，．（1）求△ABC的面積；（2）求△ABC外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑．【答案】（1）選①③不合題意，選②面積為（2）【解析】【分析】（1）先推斷選①③不合題意，若選②，利用余弦定理、平方關(guān)系以及三角形面積公式可得答案；（2）由正弦定理可得△ABC外接圓的半徑，由三角形面積相等可得△ABC內(nèi)切圓的半徑.【小問(wèn)1詳解】若選①，則，，，可得，則△ABC為銳角三角形，不合題意；若選③，則，，，可得，則△ABC為銳角三角形，不合題意；若選②，因?yàn)?，所以，故△ABC的面積．【小問(wèn)2詳解】由（1）知選①③不合題意；若選②，設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，由正弦定理得，所以．設(shè)△ABC內(nèi)切圓的半徑為r，由，得．18.已知在等比數(shù)列中，，且,,成等差數(shù)列，數(shù)列滿意,，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）由已知條件求得等比數(shù)列的公比和首項(xiàng)，即可求得其通項(xiàng)公式；（2）求得的通項(xiàng)公式，結(jié)合（1）的結(jié)論可得，利用分組求和法，結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?,成等差數(shù)列，所以,又因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中，,所以，得的公比，所以,解得，故.【小問(wèn)2詳解】由,，，得，則是等差數(shù)列，因?yàn)?所以，則，則．19.故宮太和殿是中國(guó)形制最高的宮殿，其建筑采納了重檐廡殿頂?shù)奈蓓敇邮?，廡殿頂是“四出水”的五脊四坡式，由一條正脊和四條垂脊組成，因此又稱五脊殿．由于屋頂有四面斜坡，故又稱四阿頂．如圖，某幾何體ABCDEF有五個(gè)面，其形態(tài)與四阿頂相類似．已知底面ABCD為矩形，AB＝2AD＝2EF＝8，EF∥底面ABCD，EA＝ED＝FB＝FC，M，N分別為AD，BC的中點(diǎn)．（1）證明：EF∥AB且BC⊥平面EFNM．（2）若二面角為，求CF與平面ABF所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)結(jié)合已知條件可證得EF∥AB，由等腰三角形的性質(zhì)可得EM⊥AD，F(xiàn)N⊥BC，再結(jié)合線面垂直的判定可證得BC⊥平面EFNM；（2）過(guò)點(diǎn)E作，垂足為H，作，垂足為K，以H為原點(diǎn)，以的方向?yàn)閤軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解即可.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)镋F∥底面ABCD，平面ABFE，平面底面，所以．因?yàn)?，M，N分別為AD，BC中點(diǎn)，所以EM⊥AD，F(xiàn)N⊥BC，，因?yàn)椤?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以四邊形EFNM梯形，且EM與FN必相交于一點(diǎn)，又，所以，因?yàn)槠矫?，故BC⊥平面．【小問(wèn)2詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作，垂足為H，由（1）知BC⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以EH平面，由，，得為二面角的平面角，則．因?yàn)?，所以．作，垂足為K．以H為原點(diǎn)，以的方向?yàn)閤軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，．設(shè)平面ABF的法向量為，則，令，得．因?yàn)?，所以，故CF與平面ABF所成角的正弦值為．20.某學(xué)校在50年校慶到來(lái)之際，實(shí)行了一次趣味運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目競(jìng)賽，競(jìng)賽由傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目和新增運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目組成，每位參賽運(yùn)動(dòng)員共須要完成3個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目．對(duì)于每一個(gè)傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，若沒(méi)有完成，得0分，若完成了，得30分．對(duì)于新增運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，若沒(méi)有完成，得0分，若只完成了1個(gè)，得40分，若完成了2個(gè)，得90分．最終得分越多者，獲得的資金越多．現(xiàn)有兩種參賽的方案供運(yùn)動(dòng)員選擇．方案一：只參與3個(gè)傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目．方案二：先參與1個(gè)傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，再參與2個(gè)新增運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目．已知甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員能完成每個(gè)傳統(tǒng)項(xiàng)目的概率為，能完成每個(gè)新增運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的概率均為，且甲、乙參與的每個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目是否能完成相互獨(dú)立．（1）若運(yùn)動(dòng)員甲選擇方案一，求甲得分不低于60分的概率．（2）若以最終得分的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，請(qǐng)問(wèn)運(yùn)動(dòng)員乙應(yīng)當(dāng)選擇方案一還是方案二？說(shuō)明你的理由．【答案】（1）（2）運(yùn)動(dòng)員乙應(yīng)當(dāng)選擇方案一；理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）甲得分不低于60分等價(jià)甲至少要完成2項(xiàng)傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目；（2）方案一聽(tīng)從二項(xiàng)分布從而可求數(shù)學(xué)期望，再由方案二得分的分布列求得數(shù)學(xué)期望，比較兩個(gè)期望的大小.【小問(wèn)1詳解】運(yùn)動(dòng)員甲選擇方案一，若甲得分不低于60分，則甲至少要完成2項(xiàng)傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，故甲得分不低于60分的概率．【小問(wèn)2詳解】若乙選擇方案一，則乙完成的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的個(gè)數(shù)，所以乙最終得分?jǐn)?shù)學(xué)期望為．若乙選擇方案二，則乙得分Y的可能為取值為0，30，40，70，90，120，，，，，，．所以Y的數(shù)學(xué)期，因?yàn)?，所以運(yùn)動(dòng)員乙應(yīng)當(dāng)選擇方案一．21.已知拋物線，過(guò)點(diǎn)作直線與交于，兩點(diǎn)，當(dāng)該直線垂直于軸時(shí)，的面積為2，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求的方程.（2）若的一條弦經(jīng)過(guò)的焦點(diǎn)，且直線與直線平行，試問(wèn)是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）由的面積為2可得，求解即