2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第9章統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例第1節(jié)隨機(jī)抽樣教師用書

第一節(jié)隨機(jī)抽樣考試要求：了解簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣和分層隨機(jī)抽樣的必要性，駕馭分層隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)，知道獲得數(shù)據(jù)的基本途徑．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣(1)定義：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N(N為正整數(shù))個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)抽取n(1≤n＜N)個(gè)個(gè)體作為樣本，假如抽取是放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣；假如抽取是不放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)未進(jìn)入樣本的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣．放回簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣．(2)最常用的簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣方法有兩種——抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．(3)應(yīng)用范圍：總體個(gè)體數(shù)較少．2．分層隨機(jī)抽樣一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，再把全部子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣．(1)每一個(gè)子總體稱為層．在分層隨機(jī)抽樣中，假如每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的安排方式為比例安排．(2)假如層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n，則2層的樣本平均數(shù)分別為x，y，2層的總體平均數(shù)分別為X，Y，總體平均數(shù)為W則w＝mm+nx＋nm(3)在比例安排的分層隨機(jī)抽樣中，可以干脆用樣本平均數(shù)w估計(jì)總體平均數(shù)W.兩種抽樣方法的特點(diǎn)、聯(lián)系及適用范圍類別簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣分層隨機(jī)抽樣共同點(diǎn)抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等各自特點(diǎn)從總體中逐個(gè)抽取將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取聯(lián)系—各層抽樣時(shí)，采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣適用范圍總體個(gè)數(shù)較少總體由差異明顯的幾部分組成二、基本技能·思想·活動(dòng)閱歷1．推斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的畫“√”，錯(cuò)的畫“×”．(1)簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)不一樣，與先后有關(guān)． (×)(2)在抽簽法中，先抽的人抽中的可能性大． (×)(3)在分層隨機(jī)抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān)．(×)2．現(xiàn)有以下兩項(xiàng)調(diào)查：①?gòu)?0臺(tái)冰箱中抽取3臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢查；②某社區(qū)有600戶家庭，其中高收入家庭180戶，中等收入家庭360戶，低收入家庭60戶，為了調(diào)查家庭購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo)，擬抽取一個(gè)容量為30的樣本．則完成這兩項(xiàng)調(diào)查最相宜采納的抽樣方法分別是()A．①②都采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣B．①②都采納分層隨機(jī)抽樣C．①采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，②采納分層隨機(jī)抽樣D．①采納分層隨機(jī)抽樣，②采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣C解析：對(duì)于①，“從10臺(tái)冰箱中抽取3臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢查”，總體容量比較少，應(yīng)采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法；對(duì)于②，總體容量較多，且樣本差異比較明顯，應(yīng)采納分層隨機(jī)抽樣法．3．在“世界讀書日”前夕，為了了解某地5000名居民的閱讀時(shí)間，從中抽取了200名居民的閱讀時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析．在這個(gè)問(wèn)題中，5000名居民的閱讀時(shí)間的全體是()A．總體B．個(gè)體C．樣本量D．從總體中抽取的一個(gè)樣本A解析：由題目條件知，5000名居民的閱讀時(shí)間的全體是總體；其中每1名居民的閱讀時(shí)間是個(gè)體；從5000名居民某天的閱讀時(shí)間中抽取的200名居民的閱讀時(shí)間是從總體中抽取的一個(gè)樣本，樣本量是200.4．某學(xué)校高二年級(jí)選擇“史政地”“史政生”和“史地生”這三種組合的學(xué)生人數(shù)分別為210，90和60.若采納分層隨機(jī)抽樣的方法從中隨機(jī)抽取12名學(xué)生，則從“史政生”組合中抽取的學(xué)生人數(shù)為()A．7 B．6C．3 D．2C解析：由題意可知，“史政地”“史政生”和“史地生”這三種組合的學(xué)生人數(shù)分別為210，90和60，故“史政生”所占的比例為90210+90+60＝14.由于分層隨機(jī)抽樣是按比例抽取，可得“史政生”組合中抽取的學(xué)生人數(shù)為12×5．下列狀況適合用全面調(diào)查的是()A．了解一批玉米種子的發(fā)芽率B．了解某城市居民的食品消費(fèi)結(jié)構(gòu)C．調(diào)查一個(gè)縣各村的糧食播種面積D．調(diào)查一條河的水質(zhì)C解析：A．了解一批玉米種子的發(fā)芽率適合抽樣調(diào)查，故不符合題意；B．了解某城市居民的食品消費(fèi)結(jié)構(gòu)適合抽樣調(diào)查，故不符合題意；C．調(diào)查一個(gè)縣各村的糧食播種面積適合全面調(diào)查，故符合題意；D．調(diào)查一條河的水質(zhì)適合抽樣調(diào)查，故不符合題意．故選C．6．某班60名同學(xué)中選出4人參與戶外活動(dòng)，利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本時(shí)，先將60名同學(xué)按01，02，…，60進(jìn)行編號(hào)，然后從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列數(shù)字起先從左往右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的第4個(gè)同學(xué)的編號(hào)為()0347437386369647366146986371629774246292428114572042533237321676(注：表中的數(shù)據(jù)為隨機(jī)數(shù)表的第1行和第2行)A．24 B．36C．46 D．47C解析：由題知從隨機(jī)數(shù)表的第1行的第5列和第6列數(shù)字起先，由表可知依次選取43，36，47，46.故選出的第4個(gè)同學(xué)的編號(hào)為46.7．要完成下列三項(xiàng)調(diào)查：①某商城從10臺(tái)同款平板電腦中抽取4臺(tái)作為商城促銷的獎(jiǎng)品；②某市從老、中、青三代市民中抽取100人調(diào)查他們網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物的狀況．適合采納的抽樣方法依次為_(kāi)___________．①抽簽法；②分層隨機(jī)抽樣解析：對(duì)于①，所收集的數(shù)據(jù)沒(méi)有明顯差異，且數(shù)量較少，應(yīng)用抽簽法；對(duì)于②，所收集的數(shù)據(jù)差異明顯，應(yīng)用分層隨機(jī)抽樣．考點(diǎn)1統(tǒng)計(jì)中的基本概念、數(shù)據(jù)獲得——基礎(chǔ)性1．為了了解某省高考數(shù)學(xué)考試的狀況，抽取2000名考生的數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行分析，2000叫作()A．個(gè)體 B．樣本C．樣本量 D．總體C解析：2000是個(gè)數(shù)字，沒(méi)有單位，由樣本量的定義可知2000是樣本量．故選C．2．某中學(xué)進(jìn)行了該學(xué)年度期末統(tǒng)一考試，該校為了了解高一年級(jí)1000名學(xué)生的考試成果，從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的考試成果，就這個(gè)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，下面說(shuō)法正確的是()A．1000名學(xué)生是總體B．每個(gè)學(xué)生是個(gè)體C．1000名學(xué)生的考試成果是一個(gè)個(gè)體D．樣本量是100D解析：依據(jù)題意得，本題的總體、個(gè)體與樣本考查的對(duì)象都是學(xué)生成果，而不是學(xué)生，選項(xiàng)A，B表達(dá)的對(duì)象都是學(xué)生，不是成果，A，B都錯(cuò)誤；C中1000名學(xué)生的成果是總體，不是個(gè)體，所以C錯(cuò)誤；D中樣本量是100，所以D正確．概念不清致誤(1)區(qū)分總體、總體容量：總體由全部探討對(duì)象組成，由探討對(duì)象確定；總體容量是總體樣本的個(gè)數(shù)．(2)區(qū)分個(gè)體、樣本、樣本量：個(gè)體是指考查對(duì)象，樣本是抽取的個(gè)體，樣本量是指抽取的樣本個(gè)數(shù)．考點(diǎn)2簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣及其應(yīng)用——綜合性(1)下列抽取樣本的方式屬于簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的個(gè)數(shù)為()①?gòu)臒o(wú)限多個(gè)個(gè)體中抽取100個(gè)個(gè)體作為樣本；②從20件玩具中一次性抽取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)；③某班有56名同學(xué)，指定個(gè)子最高的5名同學(xué)參與學(xué)校組織的籃球賽．A．0 B．1C．2 D．3A解析：①不是簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，因?yàn)楸怀槿颖镜目傮w的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，而不是有限的；②不是簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，因?yàn)檫@是“一次性”抽取，而不是“逐個(gè)”抽??；③不是簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，因?yàn)椴皇堑瓤赡艹闃樱蔬xA．簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣適合總體中個(gè)數(shù)較少．留意隨機(jī)抽樣不是隨意或隨意抽取，隨意或隨意抽取都會(huì)帶有主觀或客觀的影響因素．(2)總體由編號(hào)為01，02，03，…，50的50個(gè)個(gè)體組成，利用隨機(jī)數(shù)表從中抽取5個(gè)個(gè)體，下面供應(yīng)隨機(jī)數(shù)表的第5行到第7行：931247795737891845503994557361116098496573509847303098372310447691460679266220620522若從表中第6行的第6列數(shù)字起先向右依次讀取，則抽取的第3個(gè)個(gè)體的編號(hào)是()A．09 B．03C．35 D．37B解析：利用隨機(jī)數(shù)表從第6行第6列起先向右讀取，依次為09，84(舍棄)，96(舍棄)，57(舍棄)，35，09(重復(fù)，舍棄)，84(舍棄)，73(舍棄)，03，所以抽取的第3個(gè)個(gè)體的編號(hào)是03.在運(yùn)用隨機(jī)數(shù)法時(shí)，如遇到三位數(shù)或四位數(shù)，可從選擇的隨機(jī)數(shù)表中的某行某列的數(shù)字計(jì)起，每三個(gè)或四個(gè)作為一個(gè)單位，自左向右選取，將超過(guò)總體號(hào)碼或出現(xiàn)重復(fù)號(hào)碼的數(shù)字舍棄．某工廠利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的600個(gè)零件進(jìn)行抽樣測(cè)試，先將600個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)，編號(hào)分別為001，002，…，599，600，從中抽取60個(gè)樣本，現(xiàn)供應(yīng)隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行：第4行：32211834297864540732524206443812234356773578905642第5行：84421253313457860736253007328623457889072368960804第6行：32567808436789535577348994837522535578324577892345若從表中第6行第6列起先向右依次讀取3個(gè)數(shù)據(jù)，則得到的第7個(gè)樣本編號(hào)為()A．522 B．324C．535 D．578B解析：第6行第6列的數(shù)起先的數(shù)為808(舍棄)，436，789(舍棄)，535，577，348，994(舍棄)，837(舍棄)，522，535(重復(fù)舍棄)，578，324.所以抽取的7個(gè)編號(hào)為436，535，577，348，522，578，324.即第7個(gè)樣本編號(hào)為324.考點(diǎn)3分層隨機(jī)抽樣——綜合性考向1求總體或樣本量(1)近年來(lái)，許多學(xué)生因?yàn)椴豢茖W(xué)運(yùn)用電子產(chǎn)品的原因其視力受到了很大的損害，中小學(xué)生的近視率也呈明顯的上升趨勢(shì)．某區(qū)為了了解中小學(xué)生的視力健康狀況，確定從城區(qū)的幾所學(xué)校隨機(jī)抽取一個(gè)樣本進(jìn)行調(diào)查．已知這幾所學(xué)校的小學(xué)生、初中生、中學(xué)生的人數(shù)比為5∶6∶7，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)樣本量為n的樣本，樣本中初中生的人數(shù)比小學(xué)生人數(shù)多50，則n＝()A．250 B．300C．800 D．900D解析：這幾所學(xué)校的小學(xué)生、初中生、中學(xué)生的人數(shù)比為5∶6∶7，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)樣本量為n的樣本，樣本中初中生的人數(shù)比小學(xué)生人數(shù)多50，則n6k5k+6k+7k-5k(2)(2024·寶雞模擬)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一抽樣問(wèn)題：“今有北鄉(xiāng)若干人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百人，而北鄉(xiāng)需遣一百零八人，問(wèn)北鄉(xiāng)人數(shù)幾何？”其意思為：今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，這三面要征調(diào)300人，而北面共征調(diào)108人(用分層隨機(jī)抽樣的方法)，則北面共有()A．8000人 B．8100人C．8200人 D．8300人B解析：設(shè)北面人數(shù)為x，依據(jù)題意知，xx+7488+6912＝108300，解得考向2分層隨機(jī)抽樣的均值某市的3個(gè)區(qū)共有中學(xué)學(xué)生20000人，且3個(gè)區(qū)的中學(xué)學(xué)生人數(shù)之比為2∶3∶5.現(xiàn)要從全部學(xué)生中抽取一個(gè)容量為200的樣本，調(diào)查該市中學(xué)學(xué)生的視力狀況．(1)試寫出抽樣過(guò)程；(2)若樣本中3個(gè)區(qū)的中學(xué)學(xué)生的平均視力分別為4.8，4.8，4.6，試估計(jì)該市中學(xué)學(xué)生的平均視力．解：(1)①由于該市中學(xué)學(xué)生的視力有差異，按3個(gè)區(qū)分成三層，用分層隨機(jī)抽樣法抽取樣本．②確定每層抽取的個(gè)體數(shù)，在3個(gè)區(qū)分別抽取的學(xué)生人數(shù)之比也是2∶3∶5，所以抽取的學(xué)生人數(shù)分別是200×22+3+5＝40，200×32+3+5＝60，200×52+3+5＝100.③(2)樣本中中學(xué)學(xué)生的平均視力為40200×4.8＋60200×4.8＋所以估計(jì)該市中學(xué)學(xué)生的平均視力約為4.7.分層隨機(jī)抽樣均值的計(jì)算假如總體的層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分別為M，N，抽取的樣本量分別為m，n，若2層的樣本平均數(shù)分別為x，y，2層的總體平均數(shù)分別為X，Y，總體平均數(shù)為W，樣本平均數(shù)為w，則w＝某校高二年級(jí)“化生史”組合只有2個(gè)班，且每班50人.在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，從兩個(gè)班抽取了20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成果進(jìn)行分析，統(tǒng)計(jì)得在該次測(cè)試中，兩班中各抽取的20名學(xué)生的平均成果分別為110分和106分，則該組合學(xué)生的平均成果約為_(kāi)_______分．108解析：樣本中40名學(xué)生的平均分為2040×110＋20課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(五十三)A組全考點(diǎn)鞏固練1．已知某校有教職工560人，其中女職工240人，現(xiàn)按性別用分層隨機(jī)抽樣的方法從該校教職工中抽取28人，則抽取的男職工人數(shù)與抽取的女職工人數(shù)之差是()A．2 B．4C．6 D．8B解析：抽取的女職工人數(shù)為2405602．某市教體局對(duì)全市高三年級(jí)的學(xué)生身高進(jìn)行抽樣調(diào)查，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，他們的身高都處在A，B，C，D，E五個(gè)層次內(nèi)．依據(jù)抽樣結(jié)果得到統(tǒng)計(jì)圖表，則樣本中B層人數(shù)是()A．12 B．24C．32 D．36D解析：樣本中，女生人數(shù)為9＋24＋15＋9＋3＝60，男生人數(shù)為100－60＝40，故樣本中B層人數(shù)為24＋40×30%＝36.3．在某種疫苗試驗(yàn)初期，某居民區(qū)有5000人自愿接種了此種疫苗，其中60～70歲的老年人有1400人，16～19歲的中學(xué)生有400人，其余為符合接種條件的其他年齡段的居民．在一項(xiàng)接種疫苗的追蹤調(diào)查中，要用分層隨機(jī)抽樣的方法從該居民區(qū)5000名接種疫苗的人群中抽取部分人作為樣本進(jìn)行追蹤調(diào)查．已知老年人中抽取了14人，則從其余符合接種條件的其他年齡段的居民中抽取的人數(shù)為()A．14 B．18C．32 D．50C解析：設(shè)從其余符合接種條件的其它年齡段的居民中抽取的人數(shù)為x，由分層隨機(jī)抽樣的性質(zhì)得：141400＝x5000-所以從其余符合接種條件的其他年齡段的居民中抽取的人數(shù)為32.故選C．4．(多選題)某工廠生產(chǎn)A，B，C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，其相應(yīng)產(chǎn)品數(shù)量之比為2∶5∶3，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法抽出一個(gè)容量為n的樣本，樣本中A型號(hào)產(chǎn)品有16件，則()A．此樣本量n為20B．此樣本量n為80C．樣本中B型號(hào)產(chǎn)品有40件D．樣本中B型號(hào)產(chǎn)品有24件BC解析：工廠生產(chǎn)A，B，C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，其相應(yīng)產(chǎn)品數(shù)量之比為2∶5∶3，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣法抽出一個(gè)容量為n的樣本，樣本中A型號(hào)產(chǎn)品有16件．設(shè)樣本量為n，則n＝16÷2k2k+5k+3k＝80，故A錯(cuò)誤，B正確；樣本中B型號(hào)產(chǎn)品有80×5k5．某校3個(gè)愛(ài)好小組的學(xué)生人數(shù)分布如表(每名學(xué)生只參與一個(gè)小組)(單位：人)：籃球組書畫組樂(lè)器組高一4530x高二151020已知用分層隨機(jī)抽樣的方法從參與這三個(gè)愛(ài)好小組的學(xué)生中共抽取30人，其中籃球組被抽出12人，則x的值為_(kāi)_______．30解析：依據(jù)分層隨機(jī)抽樣的定義和方法可得，1245+15＝30120+x，解得6．從某單位45名職工中隨機(jī)抽取6名職工參與一項(xiàng)社區(qū)服務(wù)活動(dòng)，用隨機(jī)數(shù)法確定這6名職工．選取方法是先將45名職工編號(hào)，分別為01，02，03，…，45，然后從下面的隨機(jī)數(shù)表第一行的第5列的數(shù)字7起先由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，從而確定6個(gè)個(gè)體的編號(hào)，則選出的第6個(gè)職工的編號(hào)為_(kāi)_______．1622779439495443548217379323788735209643844217533157245506887704744767217633502535解析：選出的6個(gè)個(gè)體的編號(hào)分別為：39，43，17，37，23，35，則選出的第6個(gè)職工的編號(hào)為35.B組新高考培優(yōu)練7．(多選題)分層隨機(jī)抽樣是將總體分成互不交叉的層，然后依據(jù)肯定的比例，從各層獨(dú)立地抽取肯定數(shù)量的個(gè)體，組成一個(gè)樣本的抽樣方法．在《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問(wèn)題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關(guān)，關(guān)稅百錢．欲以錢多少衰出之，問(wèn)各幾何？”其譯文為：今有甲持560錢，乙持350錢，丙持180錢．甲、乙、丙三人一起出關(guān)，關(guān)稅共100錢，要依據(jù)各人帶錢多少的比例進(jìn)行交稅．問(wèn)：三人各應(yīng)付多少稅？下列說(shuō)法正確的是()A．甲應(yīng)付5141109B．乙應(yīng)付3224109C．丙應(yīng)付1656109D．三者中甲付的錢最多，丙付的錢最少ACD解析：依題意，由分層隨機(jī)抽樣可知，100÷(560＋350＋180)＝10109，則甲應(yīng)付10109×560＝51乙應(yīng)付10109×350＝3212丙應(yīng)付10109×180＝1656結(jié)合選項(xiàng)知A，C，D正確，B錯(cuò)誤．8．交通管理部門為了了解機(jī)動(dòng)車駕駛員(簡(jiǎn)稱駕駛員)對(duì)某新法規(guī)的知曉狀況，對(duì)甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)做分層隨機(jī)抽樣調(diào)查．假設(shè)四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人．若在甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12，21，25，43，則這四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為()A．101 B．808C．1212 D．2012B解析：甲社區(qū)每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為1296＝18，樣本量為12＋21＋25＋43＝101，所以四個(gè)社區(qū)中駕駛員的總?cè)藬?shù)N＝9．用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的方法從含有10個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為3的樣本，其中某一個(gè)體a“第一次被抽到”的可能性與“其次次被抽到”的可能性分別是()A．110，C．15，A解析：在抽