新教材2025版高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何章末質(zhì)量檢測新人教A版選擇性必修第一冊

章末質(zhì)量檢測(一)空間向量與立體幾何考試時間：120分鐘滿分：150分一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．)1．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)(1，5，2)關(guān)于xOy坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)為()A．(－1，5，2)B．(1，－5，2)C．(1，5，－2)D．(－1，－5，－2)2．已知三維數(shù)組a＝(2，－1，0)，b＝(1，k，7)，且a⊥b，則實數(shù)k的值為()A．－2B．2C．eq\f(2,7)D．－93．平面α的一個法向量n＝(2，0，1)，點(diǎn)A(－1，2，1)在α內(nèi)，則點(diǎn)P(1，2，3)到平面α的距離為()A．2eq\r(2)B．eq\f(3\r(2),2)C．eq\f(6\r(5),5)D．eq\f(3\r(10),10)4.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，M為棱CC1的中點(diǎn)．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，AA1＝c，則eq\o(AM,\s\up6(→))等于()A．a(chǎn)＋b＋eq\f(1,2)cB．a(chǎn)－b＋eq\f(1,2)cC．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cD．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c5．空間三點(diǎn)A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，則()A．eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))是共線向量B．eq\o(AB,\s\up6(→))的單位向量是(1，1，0)C．eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))夾角的余弦值為eq\f(\r(55),11)D．平面ABC的一個法向量是(1，－2，5)6．已知向量a＝(1，0，1)，b＝(－2，2，1)，c＝(3，4，z)，若a，b，c共面，則z等于()A．－9B．－5C．5D．97．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(2)，PA⊥平面ABCD，PA＝1，則PC與平面ABCD所成的角為()A．30°B．45°C．60°D．120°8．《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵．在塹堵ABC-A1B1C1中，若AC＝BC＝1，AA1＝2，點(diǎn)P為線段BA1的中點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面A1B1C的距離為()A．3B．1C．eq\f(2,3)D．eq\f(1,3)二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．)9．下列空間向量為單位向量且與x軸垂直的有()A．a(chǎn)＝(1，0，0)B．b＝(0，0，1)C．c＝(0，eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2))D．d＝(0，eq\f(1,2)，eq\f(1,2))10．給出下列命題，其中不正確的有()A．若a·b<0，則〈a，b〉是鈍角B．若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))肯定共線C．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，則AB與CD為同一線段D．非零向量a、b、c滿意a與b，b與c，c與a都是共面對量，則a、b、c必共面11．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知點(diǎn)P(1，1，1)，A(1，0，1)，B(0，1，0)，則下列說法正確的是()A．點(diǎn)P關(guān)于yOz平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，1，1)B．若平面α的法向量n＝(2，－2，2)，則直線AB∥平面αC．若eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))分別為平面α，β的法向量，則平面α⊥平面βD．點(diǎn)P到直線AB的距離為eq\f(\r(6),3)12．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是A1D1和C1D1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯誤的是()A．A1C1∥平面CEFB．B1D⊥平面CEFC．eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋DD1－eq\o(DC,\s\up6(→))D．點(diǎn)D與點(diǎn)B1到平面CEF的距離相等三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上．)13．已知向量a＝(1，－2，3)，b＝(λ－1，3－λ，－6)，若a∥b，則實數(shù)λ＝________．14．如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F(xiàn)，G分別是DD1，AB，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1E與GF所成角為________．14題圖15題圖16題圖15．如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面是邊長為1的正方形，若∠A1AB＝∠A1AD＝60°，且A1A＝3，則A1C的長為________．16．如圖，在棱長都為1的平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，AA1兩兩夾角均為eq\f(π,3)，則AC1·eq\o(BD,\s\up6(→))＝________；請選擇該平行六面體的三個頂點(diǎn)，使得經(jīng)過這三個頂點(diǎn)的平面與直線AC1垂直．這三個頂點(diǎn)可以是________．四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．)17．(本小題滿分10分)已知空間三點(diǎn)A(2，0，－2)，B(1，－1，－2)，C(3，0，－4).(1)求向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))夾角θ的余弦值；(2)求向量eq\o(AB,\s\up6(→))在向量eq\o(AC,\s\up6(→))上的投影向量a.18.(本小題滿分12分)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1上的點(diǎn)，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，AA1＝c.(1)試用a，b，c表示向量eq\o(MN,\s\up6(→))；(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的長．19.(本小題滿分12分)如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，BB1的中點(diǎn)．(1)求證：平面A1DC1∥平面EFG；(2)求平面A1DC1與平面EFG間的距離．20．(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PA＝AB＝1.(1)求證：AE⊥平面PCD；(2)求直線PC與平面AEC所成角的正弦值．21．(本小題滿分12分)如圖所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E為AA1上靠近點(diǎn)A1的三等分點(diǎn)．(1)若F為BB1的中點(diǎn)，試在A1B1上找一點(diǎn)P，使PF∥平面CD1E；(2)若四邊形ABCD是正方形，且BB1與平面CD1E所成角的正弦值為eq\f(3,7)，求二面角E-D1C-D的余弦值．22.(本小題滿分12分)如圖，在多面體ABCDEF中，平面ACEF⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝2，AB＝BC＝1.(1)求證：CD⊥AF；(2)若四邊形ACEF為矩形，且∠EDC＝30°，求直線DF與平面DCE所成角的正弦值；(3)若四邊形ACEF為正方形，在線段AF上是否存在點(diǎn)P，使得二面角P-BD-A的余弦值為eq\f(2,3)？若存在，懇求出線段AP的長；若不存在，請說明理由．章末質(zhì)量檢測(一)空間向量與立體幾何1．解析：因為點(diǎn)關(guān)于xOy坐標(biāo)平面的對稱的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)互為相反數(shù)，所以點(diǎn)(1，5，2)關(guān)于xOy坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)為(1，5，－2).答案：C2．解析：依據(jù)a⊥b，可得：a·b＝0，則有：2－k＝0，解得：k＝2.答案：B3．解析：eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－2，0，－2)，cos〈n，eq\o(PA,\s\up6(→))〉＝eq\f(n·\o(PA,\s\up6(→)),|n||\o(PA,\s\up6(→))|)＝eq\f(－6,\r(5)×\r(8))＝－eq\f(3\r(10),10)，所以點(diǎn)P(1，2，3)到平面α的距離為d＝|eq\o(PA,\s\up6(→))||cos〈n，eq\o(PA,\s\up6(→))〉|＝2eq\r(2)×eq\f(3\r(10),10)＝eq\f(6\r(5),5).答案：C4．解析：由題意得：eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，AA1＝CC1，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)AA1＝a＋b＋eq\f(1,2)c.答案：A5．解析：依據(jù)題意得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，1，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，2，1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3，1，1)，A．明顯eq\o(AB,\s\up6(→))≠λeq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))不共線，故錯誤；B．eq\o(AB,\s\up6(→))的單位向量為±eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，即為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)，0))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)，0))，故錯誤；C．cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(－5,\r(5)×\r(11))＝－eq\f(\r(55),11)，故錯誤；D．設(shè)平面ABC的一個法向量是n＝(x，y，z)，因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，1，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，2，1)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))·n＝0,\o(AC,\s\up6(→))·n＝0))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝0,－x＋2y＋z＝0))，所以x∶y∶z＝1∶(－2)∶5，故正確．答案：D6．解析：∵a＝(1，0，1)，b＝(－2，2，1)，c＝(3，4，z)，且a，b，c共面，∴a＝xb＋yc，∴(1，0，1)＝(－2x＋3y，2x＋4y，x＋yz)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋3y＝1,2x＋4y＝0,x＋yz＝1))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2,7),y＝\f(1,7),z＝9)).答案：D7.解析：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則P(0，0，1)，C(eq\r(2)，1，0)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，1，－1)，平面ABCD的一個法向量為n＝(0，0，1)，所以cos〈eq\o(PC,\s\up6(→))，n〉＝eq\f(\o(PC,\s\up6(→))·n,|\o(PC,\s\up6(→))||n|)＝－eq\f(1,2).又因為〈eq\o(PC,\s\up6(→))，n〉∈[0，π]，所以〈eq\o(PC,\s\up6(→))，n〉＝120°，所以斜線PC與平面ABCD的法向量所在的直線所成的角為60°，所以斜線PC與平面ABCD所成的角為30°.答案：A8.解析：如圖，在塹堵ABC-A1B1C1中，由AC＝BC＝1可知，AC⊥BC.以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0，0，0)，B(0，1，0)，B1(0，1，2)，A1(1，0，2)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，B1C＝(0，－1，－2)，PA1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1)).設(shè)平面A1B1C的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝0,－y－2z＝0))，取z＝1，得n＝(－2，－2，1)，設(shè)點(diǎn)P到平面A1B1C的距離為d，則d＝＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×（－2）－\f(1,2)×（－2）＋1×1)),\r(9))＝eq\f(1,3).答案：D9．解析：若為單位向量且與x軸垂直，則需滿意：向量模長為1，且向量必需落在yOz平面內(nèi)，結(jié)合選項推斷知B、C符合題意，A項中a與x軸平行，D項中|d|≠1.答案：BC10．解析：A.當(dāng)〈a，b〉＝π時，a·b<0，但〈a，b〉不是鈍角，故錯誤；B．當(dāng)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0時，eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))肯定共線，故正確；C．當(dāng)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))時，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，線段AB與CD可能平行或重合，故錯誤；D．如圖所示：，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，AA1＝c，滿意a與b，b與c，c與a都是共面對量，但a、b、c不共面，故錯誤．答案：ACD11．解析：因為P(1，1，1)，所以點(diǎn)P關(guān)于yOz平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，1，1)，故A正確；因為A(1，0，1)，B(0，1，0)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，1，－1)，因為平面α的法向量n＝(2，－2，2)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·n＝－1×2＋1×(－2)＋(－1)×2＝－6≠0，所以直線AB與平面α不平行，故B錯誤；因為eq\o(PA,\s\up6(→))＝(0，－1，0)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－1，0，－1)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，因為eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))分別為平面α，β的法向量，所以平面α⊥平面β，故C正確；因為eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0，1，0)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，1，－1)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝1，所以點(diǎn)P到直線AB的距離d＝eq\r(|AP|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),3)，故D正確．答案：ACD12.解析：對選項A，因為E，F(xiàn)分別是A1D1和C1D1的中點(diǎn)，故EF∥A1C1，且EF?平面CEF，A1C1?平面CEF，故A1C1∥平面CEF成立．選項B，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1邊長為2，則B1D＝(－2，－2，－2)，eq\o(FC,\s\up6(→))＝(0，1，－2).故B1D·eq\o(FC,\s\up6(→))＝0－2＋4＝2≠0.故B1D，eq\o(FC,\s\up6(→))不相互垂直．又CF?平面CEF，故B1D⊥平面CEF不成立；對選項C，利用B選項建立的空間直角坐標(biāo)系有eq\o(CE,\s\up6(→))＝(1，－2，2)，eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋DD1－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(2，0，0)＋(0，0，2)－(0，2，0)＝(1，－2，2)，故eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋DD1－eq\o(DC,\s\up6(→))成立；選項D，若點(diǎn)D與點(diǎn)B1到平面CEF的距離相等，則點(diǎn)D與點(diǎn)B1的中點(diǎn)O在平面CEF上，連接AC，AE易得平面CEF即平面CAEF.又點(diǎn)D與點(diǎn)B1中點(diǎn)O在A1ACC1上，故點(diǎn)O不在平面CEF上，故不成立．答案：BD13．解析：因為a∥b，所以eq\f(λ－1,1)＝eq\f(3－λ,－2)＝eq\f(－6,3)，所以λ＝－1.答案：－114.解析：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，A1(1，0，2)，E(0，0，1)，G(0，2，1)，F(xiàn)(1，1，0)，A1E＝(－1，0，－1)，eq\o(GF,\s\up6(→))＝(1，－1，－1)，設(shè)異面直線A1E與GF所成角為θ，cosθ＝|cos〈A1E，eq\o(GF,\s\up6(→))〉|＝＝0，∴異面直線A1E與GF所成角為90°.答案：90°15．解析：因為A1C＝A1A＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝A1A＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，所以A1C2＝A1A2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋2A1A·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2A1A·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))，即A1C2＝9＋1＋1＋2×3×1×cos120°＋2×3×1×cos120°＋2×1×1×cos90°＝5，故A1C＝eq\r(5).答案：eq\r(5)16．解析：(1)令a＝A1A，b＝eq\o(AB,\s\up6(→))，c＝eq\o(AD,\s\up6(→))，則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝eq\f(π,3)，則有eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝c－b，A1C＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋CC1＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋A1A＝b＋c＋a，故A1C·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(c－b)·(c＋b＋a)＝c2＋b·c＋a·c－b·c－b2－a·b＝12＋1×1×eq\f(1,2)＋1×1×eq\f(1,2)－1×1×eq\f(1,2)－12－1×1×eq\f(1,2)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2)－1－eq\f(1,2)＝0.(2)令a＝AA1，b＝eq\o(AB,\s\up6(→))，c＝eq\o(AD,\s\up6(→))，則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝eq\f(π,3)，則有A1D＝eq\o(AD,\s\up6(→))－A1A＝c－aAC1＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋CC1＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋AA1＝b＋c＋a，故AC1·A1D＝(c－a)·(c＋b＋a)＝c2＋b·c＋a·c－a·c－a·＝12＋1×1×eq\f(1,2)＋1×1×eq\f(1,2)－1×1×eq\f(1,2)－1×1×eq\f(1,2)－12＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)－1＝0，故AC1⊥A1D，即AC1⊥又由(1)知AC1⊥BD，A1D∩BD＝D，故直線AC1垂直于平面A1BD，同理可證直線AC1垂直于平面B1D1C.答案：0點(diǎn)A1，B，D或點(diǎn)C，B1，D117．解析：(1)由空間三點(diǎn)A(2，0，－2)，B(1，－1，－2)，C(3，0，－4)，可得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，0，－2)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，則cosθ＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|×|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(－1,\r(2)×\r(5))＝－eq\f(\r(10),10)，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))夾角θ的余弦值為－eq\f(\r(10),10).(2)由eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，0，－2)，可得|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，又由向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))夾角θ的余弦值為－eq\f(\r(10),10)，可得|eq\o(AB,\s\up6(→))|cosθ＝eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(10))))＝－eq\f(1,\r(5))，又由|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，可得向量eq\o(AC,\s\up6(→))的單位向量為e＝eq\f(1,\r(5))(1，0，－2)，故向量eq\o(AB,\s\up6(→))在向量eq\o(AC,\s\up6(→))上的投影向量a＝－eq\f(1,\r(5))×e＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，0\f(2,5))).18．解析：(1)eq\o(MN,\s\up6(→))＝MA1＋A1C1＝eq\f(1,3)BA1＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)AA1＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)AA1＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，AA1＝c，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.(2)∵AB＝AC＝AA1＝1，∴|a|＝|b|＝|c|＝1.∵∠BAC＝90°，∴a·b＝0.∵∠BAA1＝∠CAA1＝60°，∴a·c＝b·c＝eq\f(1,2)，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,9)(a＋b＋c)2＝eq\f(1,9)(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c)＝eq\f(5,9)，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(5),3).19．解析：(1)證明：連接AC，∵E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，∴EF∥AC，∵AA1∥CC1，∴ACC1A1是平行四邊形，∴A1C1∥AC，∴EF∥A1C1，又A1C1?平面A1C1D，EF?平面A1C1D，∴EF∥平面A1C1D，同理，連接AB1，可得EG∥AB1∥DC1，可得EG∥平面A1C1D，∵EF∩EG＝E，EF?平面EFG，EG?平面EFG，∴平面A1C1D∥平面EFG.(2)如圖，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.則A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，∴OA1＝(2，0，2)，OC設(shè)平面A1DC1的法向量為n＝(x，y，z)，則?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋z＝0,y＋z＝0))，取n＝(1，1，－1)，則平面A1DC1與平面EFG間的距離為＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3).20．解析：(1)證明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又AE?平面PAD，∴CD⊥AE，∵PA＝AD＝1，且E為PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD，又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD.(2)由條件PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2))).所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，1，0)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2))).設(shè)平面AEC的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AE,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,\f(1,2)y＋\f(1,2)z＝0，))取n＝(1，－1，1)，設(shè)直線PC與平面AEC所成角為θ，因為eq\o(PC,\s\up6(→))＝(1，1，－1)，eq\o(PC,\s\up6(→))·n＝1－1－1＝－1，|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，|n|＝eq\r(3)，所以sinθ＝|cos〈eq\o(PC,\s\up6(→))，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(PC,\s\up6(→))·n,|\o(PC,\s\up6(→))||n|)))＝eq\f(1,3)，即直線PC與平面AEC所成角的正弦值為eq\f(1,3).21．解析：(1)當(dāng)點(diǎn)P為A1B1的中點(diǎn)時PF∥平面CD1E，證明如下：連接A1B，PF，∵P、F分別為A1B1、B1B的中點(diǎn)，∴PF∥A1B，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1B∥CD1，∴PF∥CD1，∵PF?平面CD1E，CD1?平面CD1E，∴PF∥平面CD1E；(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(DA,\s\up6(→))、eq\o(DC,\s\up6(→))、DD1的方向分別為x、y、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，如圖所示，設(shè)正方形ABCD的邊長為1，AA1＝h，則C(0，1，0)、D1(0，0，h)、Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(2h,3)))，則CD1＝(0，－1，h)、D1E＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，－\f(h,3)))設(shè)m＝(x，y，z)為平面CD1E的法向量，則，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－y＋hz＝0,x－\f(h,3)z＝0))，令z＝1，則x＝eq\f(h,3)，y＝h，即m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,3)，h，1))，∵BB1與平面CD1E所成角的正弦值為eq\f(3,7)，且BB1＝(0，0，∴|cos〈m，BB1〉|＝＝eq\f(h,\r(\f(h2,9)＋h2＋1)·h)＝eq\f(3,7)，解得h＝2，∴m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2，1))，又平面DD1C的一個法向量為n＝(1，0，0)，∴cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m|·|n|)＝eq\f(\f(2,3),\r(\f(4,9)＋4＋1)×1)＝eq\f(2,7)，設(shè)二面角E-D1C-D的平面角為θ，經(jīng)視察θ為銳角，則cosθ＝|co