湖南省常德市臨澧縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期入學(xué)考試試題含解析

Page18湖南省常德市臨澧縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期入學(xué)考試試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意知，求出雙曲線的漸近線方程得，即可得，利用，即可求出、、的值，從而求出雙曲線的方程.【詳解】由題意知①，雙曲線的漸近線方程得，又因?yàn)橐粭l漸近線方程是，所以②，又因③，由①②③解得：，，所以雙曲線的方程為：，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題.2.已知為拋物線上一點(diǎn)，則到其焦點(diǎn)的距離為A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【詳解】把代入拋物線方程得：2=2p，∴p=1.∴拋物線的焦點(diǎn)為F(0,).∴拋物線的準(zhǔn)線方程為y=?.∴A到準(zhǔn)線的距離為1+=.∴AF=.故選A.3.若平面內(nèi)兩條平行線：與：間的距離為，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由兩直線平行求得，并確定兩直線不重合，然后求出兩平行線的距離即可得．【詳解】∵，∴，解得或，時(shí)，兩直線方程為，即，，符合，當(dāng)時(shí)，兩直線方程，即，，不符合，故選：B.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查兩直線平行，考查平行間距離公式，解題時(shí)一是由平行的條件之一求出參數(shù)值后要檢驗(yàn)兩直線是平行的（不重合），二是求出平行線間的距離，確定滿意題意，否則易出錯(cuò)．4.已知數(shù)列的首項(xiàng)，，則（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由證明是等差數(shù)列，最終由通項(xiàng)公式得出.【詳解】由題意可知，，即∴是以為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列∴，，故選：A5.設(shè)函數(shù)．若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】分析：利用奇函數(shù)偶次項(xiàng)系數(shù)為零求得，進(jìn)而得到的解析式，再對(duì)求導(dǎo)得出切線的斜率，進(jìn)而求得切線方程.詳解：因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，解得，所以，，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，化簡可得，故選D.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)曲線在某個(gè)點(diǎn)處的切線方程的問題，在求解的過程中，首先須要確定函數(shù)解析式，此時(shí)利用到結(jié)論多項(xiàng)式函數(shù)中，奇函數(shù)不存在偶次項(xiàng)，偶函數(shù)不存在奇次項(xiàng)，從而求得相應(yīng)的參數(shù)值，之后利用求導(dǎo)公式求得，借助于導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線方程的點(diǎn)斜式求得結(jié)果.6.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】求導(dǎo)后，令，可求得，再令可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所?故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，考查了求導(dǎo)函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.7.已知數(shù)列、滿意，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列定義求出數(shù)列、的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式，依據(jù)定義推斷其為等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)椋鄶?shù)列是等差數(shù)列，且公差是，是等比數(shù)列，且公比是，又∵，∴，∴，設(shè)，∴，數(shù)列是等比數(shù)列，且公比為，首項(xiàng)為，由等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式得：其前項(xiàng)的和為.故選：C.【點(diǎn)睛】等差、等比數(shù)列的證明常常利用定義法和等比中項(xiàng)法，通項(xiàng)公式法、前項(xiàng)和公式法常常在選擇題、填空題中用來推斷數(shù)列是否為等差、等比數(shù)列．8.已知、分別是雙曲線：(，)的左、右焦點(diǎn)，且，若是該雙曲線右支上一點(diǎn)，且滿意，則面積的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，，，由雙曲線定義得，依據(jù)得，，依據(jù)余弦定理和三角形面積公式得到面積關(guān)于的函數(shù)，依據(jù)二次函數(shù)學(xué)問可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，，由題意得，，由雙曲線定義得，∴,所以，所以，所以，所以，由余弦定理得，，當(dāng)時(shí)，面積的最大值是，故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：依據(jù)余弦定理和三角形面積公式得到面積關(guān)于的函數(shù)是解題關(guān)鍵.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.9.設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)之積為，且滿意、、，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A B.C.是數(shù)列中的最大值 D.【答案】ABD【解析】【分析】分析出，可得出數(shù)列為正項(xiàng)遞減數(shù)列，結(jié)合題意分析出正項(xiàng)數(shù)列前項(xiàng)都大于，而從第項(xiàng)起都小于，進(jìn)而可推斷出各選項(xiàng)的正誤.【詳解】分以下幾種狀況探討：①若，則，，此時(shí)，不合乎題意；②若，對(duì)隨意的，，且有，可得，可得，此時(shí)，與題干不符，不合乎題意；③由上可知，對(duì)隨意的，，且有，可得，此時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則，由可得.對(duì)于A選項(xiàng)，由上可知，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由于數(shù)列為正項(xiàng)遞減數(shù)列，所以，，則，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由上可知，正項(xiàng)數(shù)列前項(xiàng)都大于，而從第項(xiàng)起都小于，所以，是數(shù)列中的最大值，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在等比數(shù)列的公比的取值不確定時(shí)，一般分、、、四種狀況探討，解本題的關(guān)鍵就是結(jié)合已知條件分析出，并結(jié)合等比數(shù)列的單調(diào)性來進(jìn)行推理.10.已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且為等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)的值為（）A.1 B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】由題意可得，圓的圓心為，半徑為1，結(jié)合是等腰直角三角形，可得圓心到直線的距離等于，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，從而可求得的值．【詳解】由題意得，圓的圓心為，半徑為1，由于直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且為等腰直角三角形，可知，，所以，所以圓心到直線的距離等于，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：圓心到直線的距離，解得：，所以實(shí)數(shù)的值為1或.故選：AB．11.已知、是雙曲線(，)的左、右焦點(diǎn)，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，交另一條漸近線于點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】由題意，分、兩種狀況，分別求解，設(shè)，依據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求的b的值，代入離心率公式，即可求得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，設(shè)，如圖所示：雙曲線的漸近線方程為，即在中，，設(shè)，又，所以，又雙曲線中，所以，所以，，，，則，，，代入得，即，解得，則，（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，，設(shè)，如圖所示：則，，在中，，設(shè)，又，所以，又雙曲線中，所以，所以，，，，則，，，則，則，代入得，即，解得，則，故選：AB.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)為：條件，需分、兩種狀況分別求解；解題時(shí)，為簡化計(jì)算，可設(shè)a=1，進(jìn)而可干脆求得b，c的值，便利計(jì)算，提高精確率，屬中檔題.12.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若()等于一個(gè)非零常數(shù)，則稱數(shù)列為“和等比數(shù)列”．下列命題正確的是（）．A.等差數(shù)列可能為“和等比數(shù)列”B.等比數(shù)列可能為“和等比數(shù)列”C.非等差等比數(shù)列不行能為“和等比數(shù)列”D.若正項(xiàng)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且數(shù)列是“和等比數(shù)列”，則【答案】ABD【解析】【分析】由常數(shù)數(shù)列推斷AB，由推斷C，對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)，從而得出，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式得出，結(jié)合題意得出從而推斷D.【詳解】若等差數(shù)列的公差為，則是非零常數(shù)，則此數(shù)列為“和等比數(shù)列”，A對(duì)若等比數(shù)列的公比為，則是非零常數(shù)，則此數(shù)列為“和等比數(shù)列”，B對(duì)若數(shù)列滿意，則是非零常數(shù)，它既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列，但它是“和等比數(shù)列”，C錯(cuò)正項(xiàng)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，∴，則故數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，又?jǐn)?shù)列是“和等比數(shù)列”，則又為非零常數(shù)，則，即，即，D對(duì)故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－16n，則|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a11|＝________.【答案】73【解析】【分析】依據(jù)條件，可得通項(xiàng)公式，結(jié)合題意，代入數(shù)據(jù)，計(jì)算即可得答案.【詳解】∵Sn＝n2－16n，∴當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝－15，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2－16n－[(n－1)2－16(n－1)]＝2n－17，令an≤0，解得n≤8，則|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a11|＝－a1－a2－a3－－a8＋a9＋a10＋a11＝15＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＋1＋3＋5＝73.故答案為：7314.已知、為橢圓：的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且內(nèi)切圓的周長等于，若滿意條件的點(diǎn)恰好有兩個(gè)，則_______【答案】【解析】【分析】依據(jù)內(nèi)切圓的周長求出半徑，依據(jù)三角形的面積列等式可得，依據(jù)滿意條件的點(diǎn)恰好有兩個(gè)，可得，將代入可解得結(jié)果.【詳解】由題意得內(nèi)切圓的半徑，設(shè)，因此的面積為，設(shè)，則，∵滿意條件的點(diǎn)恰好有兩個(gè)，∴為橢圓短軸端點(diǎn)，即，∴，而，∴，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：簡單誤將看成長半軸長導(dǎo)致錯(cuò)誤.15.若直線將圓的周長分為2∶1兩部分，則直線的斜率為________.【答案】0或【解析】【分析】由直線的方程可知直線橫過點(diǎn)，由直線將圓的周長分為2:1的兩部分，則直線與圓相交的弦長對(duì)應(yīng)的圓心角為，可求出圓心到直線的距離，從而求得直線斜率.【詳解】由直線，即，得到直線恒過點(diǎn)，又因?yàn)橹本€將圓的周長分為2:1的兩部分，則直線與圓相交的弦長對(duì)應(yīng)的圓心角為，圓心到直線的距離為，設(shè)直線方程為：，即，由點(diǎn)到直線距離公式有：，則，解得或，故答案為：或.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則的通項(xiàng)公式為_________；若表示不超過的最大整數(shù)，如，，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為_________．【答案】①.②.【解析】【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，由與的關(guān)系即可求得的通項(xiàng)公式，由表示不超過的最大整數(shù)，可知，計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】∵數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，∴，得到，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，、、…、，當(dāng)時(shí)，、、…、，當(dāng)時(shí)，、、…、，當(dāng)時(shí)，，故數(shù)列的前項(xiàng)的和為：．故答案為：，.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知兩圓x2+y2-2x-6y-1=0．x2+y2-10x-12y+m=0．（1）m取何值時(shí)兩圓外切？（2）m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切？（3）當(dāng)m=45時(shí)，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．【答案】（1）（2）（3）直線方程為4x+3y-23=0，弦長為【解析】【詳解】試題分析：（1）先把兩個(gè)圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心和半徑，再依據(jù)兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之和，求得m的值；（2）由兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之差為，求得m的值．（3）當(dāng)m=45時(shí)，把兩個(gè)圓的方程相減，可得公共弦所在的直線方程．求出第一個(gè)圓的圓心（1，3）到公共弦所在的直線的距離d，再利用弦長公式求得弦長試題解析：（1）由已知可得兩個(gè)圓的方程分別為（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=61-m，兩圓的圓心距d==5，兩圓的半徑之和為+，由兩圓的半徑之和為+=5，可得m=．（2）由兩圓的圓心距d=="5"等于兩圓的半徑之差為|-|，即|-|=5，可得-="5"（舍去），或-=-5，解得m=．（3）當(dāng)m=45時(shí)，兩圓的方程分別為（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=16，把兩個(gè)圓的方程相減，可得公共弦所在的直線方程為4x+3y-23=0．第一個(gè)圓的圓心（1，3）到公共弦所在的直線的距離為d==2，可得弦長為考點(diǎn)：1．兩圓相切的位置關(guān)系；2．兩圓相交的公共弦問題18.已知數(shù)列和都是等差數(shù)列，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）利用成等差數(shù)列列方程，解方程求得，由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）結(jié)合放縮法、裂項(xiàng)求和法證得不等式成立.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵，∴，，則，，，又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，∴，化簡得，解得，則；（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，，符合，當(dāng)時(shí)，，，綜上，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】在利用放縮法證明不等式時(shí)，要留意是否須要保留某一項(xiàng)或某些項(xiàng)，如本題中保留.19.已知數(shù)列滿意，，(且)．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】（1）證明見解析；（2），．【解析】【分析】（1）由可證明數(shù)列是等差數(shù)列.

（2）由（1）知，,用累加法可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）知，，即，∴當(dāng)時(shí)，,,,∴利用累加公式可得：，又當(dāng)時(shí)，，滿意上式，∴，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查證明數(shù)列為等差數(shù)列和用累加法求通項(xiàng)公式，解答本題的關(guān)鍵是由條件得出和用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,屬于中檔題.20.已知橢圓C:離心率為，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形周長為.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，線段的垂直平分線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，假如，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，可得出橢圓的方程；（2）分析可知，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，求出線段的垂直平分線的方程，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，分析可得，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得的值.【小問1詳解】由題設(shè)得，解得，，，所以橢圓方程為.【小問2詳解】由，得，由，得.設(shè)、，則，，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，所以直線的方程為.令，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則，因?yàn)?，所以點(diǎn)、點(diǎn)在原點(diǎn)兩側(cè).因?yàn)椋?，所?又因?yàn)?，，所以，解得，所?21.已知數(shù)列滿意，，數(shù)列滿意，．（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿意，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析；()；（2）．【解析】【分析】（1）通過計(jì)算為定值可得答案；（2）先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入，通過裂項(xiàng)相消法可求和．【詳解】（1）∵當(dāng)時(shí)，，又∵，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴，∴()；（2）∵，∴，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴，當(dāng)時(shí)符合，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明數(shù)列是等比數(shù)列常用的方法：一是定義法，證明為常數(shù))；二是等比中項(xiàng)法，證明.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題中的裂項(xiàng)，確定要裂項(xiàng)求和，要更多的關(guān)注分母的改變特點(diǎn)．22.已知點(diǎn)是圓上隨意一點(diǎn)（是圓心），點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．線段的中垂線分別與交于兩點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）直線經(jīng)過，與拋物線交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)．當(dāng)以為直徑的圓經(jīng)過時(shí)，求．【答案】(1)；（2）.【解析】【詳解】試