湖北省黃岡市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page17湖北省黃岡市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題4個(gè)選項(xiàng)中，選出正確的一項(xiàng)）1.圓的圓心和半徑分別為（）A.，2 B.，4 C.，2 D.，4【答案】C【解析】分析】將圓的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，干脆推斷即可.【詳解】由題可知：圓即所以該圓的圓心為，半徑為故選：C2.若直線：與：相互垂直，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由兩直線垂直干脆列方程求解即可【詳解】解：因?yàn)橹本€：與：相互垂直，所以，得，解得，故選：C3.如圖，在平行六面體中，點(diǎn)在面對(duì)角線上,滿意,點(diǎn)為面對(duì)角線的中點(diǎn),若,,,則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)空間向量的線性運(yùn)算,再結(jié)合空間向量基本定理求解.【詳解】點(diǎn)在面對(duì)角線上,滿意,.點(diǎn)為面對(duì)角線的中點(diǎn),.,,,,.故選:A.4.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，的橢圓方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，找出，留意焦點(diǎn)所在的軸.【詳解】由題得橢圓焦點(diǎn)在軸上，且，所以，由焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故選：B5.若，則函數(shù)有零點(diǎn)的概率為A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：明顯總的方法中數(shù)為：種當(dāng)時(shí)：無論取中何值，原函數(shù)必有零點(diǎn)，所以有種取法；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，若有零點(diǎn)須使：即即，所以取值組成的數(shù)對(duì)分別為：共種，綜上符合條件的概率為：，所以答案為：A.解法二：（解除法）總的方法種數(shù)為種，其中原函數(shù)若無零點(diǎn)須有且即，所以此時(shí)取值組成的數(shù)對(duì)分別為：共種，所以所求有零點(diǎn)的概率為：，答案為A.考點(diǎn)：1.分狀況探討思想；2.二次函數(shù)的零點(diǎn).6.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，則=A6 B.5 C.4 D.3【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理推論得出a，b，c關(guān)系，在結(jié)合正弦定理邊角互換列出方程，解出結(jié)果.詳解】詳解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推論可得，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應(yīng)用．7.若過橢圓內(nèi)一點(diǎn)的弦被該點(diǎn)平分，則該弦所在的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)出端點(diǎn)，代入橢圓，兩式作差，變形，即可得到直線的斜率，再由點(diǎn)斜式寫出直線即可．【詳解】設(shè)弦兩端點(diǎn)為，則①-②得即直線為化簡(jiǎn)得故選C【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)橢圓中弦的中點(diǎn)求弦所在的直線，解決本類題的思路是點(diǎn)差法：設(shè)點(diǎn)-作差-變形，依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出所在直線的的斜率，即可寫出直線，屬于基礎(chǔ)題．8.曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題首先可繪出曲線的圖像，然后結(jié)合題意和圖像得出滿意條件的直線的位置，最終求出過點(diǎn)時(shí)的值以及與圓相切時(shí)的值，即可得出結(jié)果.【詳解】曲線即圓的一半，如圖：因?yàn)榍€與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，所以滿意條件的直線即處于圖中兩條直線之間，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，解得；當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心，半徑為，結(jié)合圖像易知，直線斜率存在，此時(shí)圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)，能否繪出曲線圖像以及依據(jù)題意找出滿意條件的直線范圍是解決本題的關(guān)鍵，考查依據(jù)直線與圓相切求參數(shù)，考查點(diǎn)到直線距離公式，考查計(jì)算實(shí)力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.有一道數(shù)學(xué)難題，學(xué)生甲解出的概率為，學(xué)生乙解出的概率為，學(xué)生丙解出的概率為.若甲，乙，丙三人獨(dú)立去解答此題，則（）A.恰有一人解出的概率為B.沒有人能解出的概率為C.至多一人解出的概率為D.至少兩個(gè)人解出的概率為【答案】AC【解析】【分析】利用獨(dú)立事務(wù)的乘法公式、互斥事務(wù)的加法公式，求各選項(xiàng)對(duì)應(yīng)事務(wù)的概率即可.【詳解】A：恰有一人解出的概率為，正確；B：沒有人能解出的概率為，錯(cuò)誤；C：由A、B知：至多一人解出的概率為，正確；D：至少兩個(gè)人解出的概率為，錯(cuò)誤；故選：AC10.下面敘述錯(cuò)誤的是（）A.經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為B若方程表示圓，則C.直線和直線間的距離為D.若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則長(zhǎng)軸長(zhǎng)為【答案】AC【解析】【分析】A.由傾斜角為推斷；B.依據(jù)方程表示圓，由求解；C.將直線可化為再利用兩直線間的距離公式求解；D.依據(jù)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由求解.【詳解】A.因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)傾斜角為時(shí)，則直線方程為，故錯(cuò)誤；B.若方程表示圓，則，解得，故正確C.直線可化為和直線，則兩直線間的距離為，故錯(cuò)誤；D.因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得，所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故正確.故選：AC11.給出下列命題，其中正確的是（）A.若是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底B.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)是C.若空間四個(gè)點(diǎn)P，A，B，C滿意，則A，B，C三點(diǎn)共線D.平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為.若，則【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)三個(gè)向量是否共面推斷A，由點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱推斷B，由向量的運(yùn)算確定三點(diǎn)共線可推斷C，依據(jù)向量共線求參數(shù)可推斷D?！驹斀狻繉?duì)于A,不共面，則不共面，所以也是空間的一個(gè)基底，故正確；對(duì)于B,點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)是，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，由可得，即,所以A，B，C三點(diǎn)共線，故正確；對(duì)于D，由平面平行可得，所以，解得，故正確.故選：ACD12.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，點(diǎn)E為PA的中點(diǎn)，，，，則（）A.B.異面直線BE與CD所成角的余弦值為C.點(diǎn)B到平面PCD的距離為D.BC與平面PCD所成的角為【答案】BCD【解析】【分析】以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后逐項(xiàng)求解推斷.【詳解】以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．所以，，，，則．，則異面直線BE與CD所成角的余弦值為．設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為，則即解得令，則，，所以平面PCD的一個(gè)法向量為．則，所以點(diǎn)B到平面PCD的距離為，又，所以BC與平面PCD所成的角為．故選：BCD三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.已知平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，若，則__________.【答案】1【解析】【分析】由可得，再由即可求出.【詳解】，，，.故答案為：1.14.橢圓的焦距為2，則__________．【答案】3或5【解析】【分析】本題首先可依據(jù)焦距為得出，然后將橢圓分為焦點(diǎn)在軸上以及焦點(diǎn)在軸上兩種狀況，分別進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果．【詳解】解：因?yàn)闄E圓的焦距為，所以，若焦點(diǎn)在軸上，則有，解得；若焦點(diǎn)在軸上，則有，解得；綜上所述，或．故答案為：3或5．15.求過點(diǎn)，并且在兩軸上的截距相等的直線方程_____.【答案】或【解析】【分析】分直線經(jīng)過原點(diǎn)和不經(jīng)過原點(diǎn)兩種狀況探討求解.【詳解】當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，化為.當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的截距式為，把點(diǎn)代入可得：，∴.∴直線的方程為：.故答案為：或16.甲乙兩人進(jìn)行乒乓球競(jìng)賽，約定先連勝兩局者贏得競(jìng)賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局競(jìng)賽相互獨(dú)立，則恰好進(jìn)行了4局競(jìng)賽結(jié)束且甲贏得競(jìng)賽的概率為______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意可得恰好進(jìn)行了4局競(jìng)賽結(jié)束且甲贏得競(jìng)賽的狀況為：甲第一局贏，其次局輸，第三局和第四局贏，由此可求出概率.【詳解】依據(jù)題意可得恰好進(jìn)行了4局競(jìng)賽結(jié)束且甲贏得競(jìng)賽的狀況為：甲第一局贏，其次局輸，第三局和第四局贏，則恰好進(jìn)行了4局競(jìng)賽結(jié)束且甲贏得競(jìng)賽的概率為.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分，其中17題滿分10分，其余各題滿分12分）17.如圖，在三棱柱中，平面，，，，分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求異面直線與所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)，，，將和表示成，然后計(jì)算得，進(jìn)而即得；（2）用表示，然后利用向量夾角公式即得.【小問1詳解】設(shè)，，，依據(jù)題意得，且∴，.∴，∴，即；【小問2詳解】∵，∴，，∵，∴.∴異面直線與所成角的余弦值為．18.已知①，②，③在這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解決該問題．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為，且滿意（1）求角A的大??；（2）已知_______，_______，若存在，求的面積；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）答案不唯一，詳細(xì)見解析．【解析】【分析】（1）由正弦定理對(duì)已知的式子變形化簡(jiǎn)可得，再利用余弦定理可求出角A的大??；（2）若選擇條件①和②，由正弦定理可求出，從而可求出的面積；若選擇條件①和③，由余弦定理可求出，從而可求出的面積；若選擇條件②和③，由正弦定理結(jié)合已知條件可得，從而可這樣的三角形不存在【詳解】解：（1），由正弦定理可得：，即，，，．（2）方案一：選擇條件①和②，由正弦定理，可得，可得的面積．方案二：選擇條件①和③，由余弦定理，可得，可得，可得，的面積．方案三：選擇條件②和③，這樣的三角形不存在，理由如下：在三角形中，由（1），則由正弦定理，由③可得，而，則，所以這樣的三角形不存在．19.已知圓經(jīng)過點(diǎn)．（1）求圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求的最大值與最小值．【答案】（1）（2）最大值為64，最小值為4【解析】【分析】（1）設(shè)圓的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，列出方程，即可求解.（2）將轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，求得的值，結(jié)合圓的性質(zhì)，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，圓經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)圓的方程為，可得，解得，所以圓C的方程為，即，【小問2詳解】解：由圓，可得圓心，半徑為又由的表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，因?yàn)?，依?jù)圓性質(zhì)，可得，所以的最大值為，最小值為.20.如圖，在四棱錐中，，底面為菱形，邊長(zhǎng)為2，，，且，異面直線與所成的角為.（1）求證：平面；（2）若是線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離.（3）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）依據(jù)線面垂直的判定定理，干脆證明，即可證明結(jié)論成立；（2）以為原點(diǎn)，，，的方向分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，依據(jù)題中條件，求出，，再由，即可求出結(jié)果；（3）依據(jù)向量的方法先分別求出平面的法向量，依據(jù)向量夾角公式，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）∵四邊形是菱形，∴，∵，，∴平面，∵平面，∴，∵，為中點(diǎn)，∴，又，∴平面，∵平面.（2）以為原點(diǎn)，，，的方向分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∵，∴為異面直線與所成角，∴，在菱形中，，∵，∴，，設(shè)，則，，在中，由余弦定理得：，∴，解得，∴，，，，，∴，，∴，，∴點(diǎn)到直線的距離為.（3）由（2）得，，設(shè)平面的法向量，則，取，則，，∴，設(shè)是平面的法向量，因?yàn)?，，由，令，則，，得，設(shè)二面角的平面角為，∴，∴二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查證明線面垂直，考查求點(diǎn)到直線的距離，考查求二面角的余弦值，依據(jù)向量的方法求解即可，屬于?？碱}型.21.已知橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)為．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可知，，結(jié)合，即可求得橢圓E的方程；（2）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程．由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，即可求得k的值．【小問1詳解】由離心率，則，又上頂點(diǎn)，知，又，可知，，∴橢圓E的方程為；【小問2詳解】設(shè)直線l：，設(shè)，，則，整理得：，，即，∴，，∴，即，解得：或（舍去）∴22.隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”證件之一，若某人報(bào)名參與了駕駛證考試，要順當(dāng)?shù)啬玫今{駛證，須要通過四個(gè)科目的考試，其中科目二為場(chǎng)地考試．在每一次報(bào)名中，每個(gè)學(xué)員有5次參與科目二考試的機(jī)會(huì)（這5次考試機(jī)會(huì)中任何一次通過考試，就算順當(dāng)通過，即進(jìn)入下一科目考試，若5次都沒有通過，則須要重新報(bào)名），其中前2次參與科目二考試免費(fèi)，若前2次都沒有通過，則以后每次參與科目二考試都須要交200元的補(bǔ)考費(fèi)，某駕校通過幾年的資料統(tǒng)計(jì)，得到如下結(jié)論：男性學(xué)員參與科目二考試，每次通過的概率均為，女性學(xué)員參與科目二考試，每次通過的概率均為，現(xiàn)有這個(gè)駕校的一對(duì)夫妻學(xué)員同時(shí)報(bào)名參與駕駛證科目二考試，若這對(duì)夫妻每人每次是否通過科目二考試相互獨(dú)立，他們參與科目二考試的原則為：通過科目二考試或者用完全部機(jī)會(huì)為止．（1）求這對(duì)夫妻在本次報(bào)名參與科目二考試通過且都不須要交補(bǔ)考費(fèi)的概率；（2）求這對(duì)夫妻在本次報(bào)名參與科目二考試通過且產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為200元的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分別表示丈夫和妻子第i次通過考試的事務(wù)，再將夫妻二人都不須要交補(bǔ)考費(fèi)的事務(wù)用表示，然后利用互斥事務(wù)和相互獨(dú)立事務(wù)的概率公式計(jì)算作答.（2）將夫妻二人共交200元