新教材2021-2022學(xué)年人教A版必修第二冊 數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念 教案

第七章復(fù)數(shù)

7.1.1數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念

教學(xué)設(shè)計

一、教學(xué)目標(biāo)

1.在問題情境中了解實數(shù)系的擴充過程，體會實際要求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾在數(shù)系擴充中的作

用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，達到數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)學(xué)業(yè)質(zhì)量水

平一的層次.

2.理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件，達到邏輯推理和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)學(xué)業(yè)質(zhì)

量水平一的層次.

3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，掌握實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)之間的關(guān)系，達到數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)學(xué)業(yè)

質(zhì)量水平一的層次

二、教學(xué)重難點

1.教學(xué)重點

復(fù)數(shù)的概念理解.

2.教學(xué)難點

復(fù)數(shù)相等的理解和虛數(shù)、純虛數(shù)的判斷.

三、教學(xué)過程

（-）新課導(dǎo)入

在初中的時候，我們學(xué)習(xí)了實系數(shù)一元二次方程?2+fex+c=0,當(dāng)△=從-4衣20時方程

的求解已經(jīng)很熟練了，但是當(dāng)△=加-4改＜0,當(dāng)時得到的結(jié)論是無實數(shù)解.那同學(xué)們想一

下，我們能否像引進無理數(shù)進而把有理數(shù)擴充到實數(shù)集那樣，通過引進新的數(shù)而是實數(shù)集得

到擴充，從而使方程變得可解呢？

（二）探索新知

探究一：數(shù)系的擴充

從方程的角度看，負實數(shù)能不能開平方，就是方程*2+a=0（。＞0）有沒有解，進而可以

歸結(jié)為方程f+1=0有沒有解.

（因為在實數(shù)范圍內(nèi)，只有“20時，&才有意義；當(dāng)時，G是沒有意義的.）

老師提問想一想，引導(dǎo)學(xué)生說出相對規(guī)范的描述，最后在給予補充

探究：我們知道，方程/+1=0在實數(shù)集中無解.聯(lián)系從自然數(shù)集到實數(shù)集的擴充過程,

你能給出一種方法，適當(dāng)擴充實數(shù)集，使這個方程有解嗎？

答案：回顧已有的數(shù)集擴充過程，可以看到，每一次擴充都與實際需求密切相關(guān).依照

這種思想，為了解決Y+1=0這樣的方程在實數(shù)系中無解的問題，我們設(shè)想引入一個新數(shù)i,

使得x=i是方程/+1=0的解,即使得i2=T.

老師讓學(xué)生思考數(shù)系擴充的一般原則，并總結(jié)歸納

【數(shù)系擴充時，一般要遵循以下原則：①增添新元素，新舊元素在一起構(gòu)成新數(shù)集；②

在新數(shù)集里，定義一些基本關(guān)系和運算，使原有的一些主要性質(zhì)（如運算定律）依然適用；

③舊元素作為新數(shù)集里的元素，原有的運算關(guān)系保持不變；④新的數(shù)集能夠解決舊的數(shù)集不

能解決的問題】

老師提出問題，讓學(xué)生思考、把新引入的數(shù)i添加到實數(shù)集中，我們希望數(shù)i和實數(shù)之

間仍然能像實數(shù)那樣進行加法和乘法運算，并希望加法和乘法都滿足交換律、結(jié)合律，以及

乘法對加法滿足分配律.那么，實數(shù)系經(jīng)過擴充后，得到的新數(shù)系由哪些數(shù)組成呢？

依照以上設(shè)想，把實數(shù)6與i相乘，結(jié)果記作齒；把實數(shù)。與歷相加，結(jié)果記作

a+Oi（a,8eR）的形式，從而這些數(shù)都在擴充后的新數(shù)集中.

探窕二：復(fù)數(shù)的概念

1.相關(guān)概念：形如a+bi（a,6eR）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成

的集合C={a+bi\a,beR）叫做復(fù)數(shù)集.這樣，方程V+1=0在復(fù)數(shù)集C中就有解x=i了.（還

有另一個解》=-i）

復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即2=。+為（a,AeR）.以后不作特殊說明時，復(fù)數(shù)z=a+齒都

有a,人eR,其中的“與6分別叫做復(fù)數(shù)z的實部與虛部.

在復(fù)數(shù)集C={a+訓(xùn)R}中任取兩個數(shù)a+例,c+H（a,仇eR）,我們規(guī)定：a+bi與

c+M相等當(dāng)且僅當(dāng)。=。且6=小

2.由實數(shù)的分類啟發(fā)學(xué)生對復(fù)數(shù)嘗試分類,教師總結(jié)補充.討論復(fù)數(shù)的構(gòu)成，明確兩要素:

實部，虛部.

復(fù)數(shù)的分類：

復(fù)數(shù)a+齒（a/eR）可以如下分類：

'實數(shù)3=0)

［.虛詼數(shù)物仍小叫小非［純純虛虛數(shù)數(shù)伍…=0)

注意分清復(fù)數(shù)分類中的界限：設(shè)2=〃+加(a,AeR)

(1)zeRob=0；

(2)z是虛數(shù)=6x0；

(3)z=0oa=0且b=0.

教師提問：實部、虛部一定為實數(shù)嗎？什么時候兩復(fù)數(shù)相等？學(xué)生思考后回答，教師補

充.

【復(fù)數(shù)的實部與虛部都是實數(shù)；兩個復(fù)數(shù)相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們實部和虛部分別相等.】

由于實數(shù)可以表示在數(shù)軸上，所以兩實數(shù)可以比較大小.教師提問：兩復(fù)數(shù)間能比較大

小嗎？為什么？學(xué)生小組討論后，舉手發(fā)言，教師提煉總結(jié).

【不能比較大小，如i和0.

若i>0,則i“>0?i,

即一1>0,不成立.

若i<0,則i?i>0?i,

即-l>0,不成立.】

思考：復(fù)數(shù)集C與實數(shù)集R之間有什么關(guān)系？

顯然，實數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集，即R*C.

例1當(dāng)實數(shù)機取什么值時，復(fù)數(shù)z=m+l+(w-l)i是下列數(shù)？

(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù).

在審?fù)觐}后教師提問：復(fù)數(shù)分類的依據(jù)是什么？學(xué)生討論回答，獨立完成例1.

教師拓展：。是復(fù)數(shù)，因為0是實數(shù)，所以0也是復(fù)數(shù).將0寫成為(a,beR)的形

式為0+0i,即其實部和虛部都是0.

分析：因為加eR,所以+都是實數(shù).由復(fù)數(shù)z=a+bi(a/eR)是實數(shù)、虛數(shù)

和純虛數(shù)的條件可以確定m的取值.

解：(1)當(dāng)加一1=0,即加=1時，復(fù)數(shù)z是實數(shù).

(2)當(dāng)初一1工0,即機wl時，復(fù)數(shù)z是虛數(shù).

(3)當(dāng)加+1=0,且機—1H0,即機=一1時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù).

（三）課堂練習(xí)

1.說出下列復(fù)數(shù)的實部和虛部：—2+—i,-\/2+i,-—V3i,i,0.

32

解：—2+Gi,i,0的實部分別為—2,^^,丁生,0,0,0；

322

虛部分別為Ll,o,-G,l,o.

3

類題通法：對于復(fù)數(shù)z=a+/?i,以后不作特殊說明都有a/eR,其中的。與匕分別叫做復(fù)

數(shù)z的實部與虛部.

2.指出下列各數(shù)中，明E些是實數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù).為什么？

2+77,0.618,-i,0,i,5i+8,3-9夜i,i（l-G）,后-夜i.

7

解：實數(shù)有2+近,0.618,0；虛數(shù)有2i,i,5i+8,3-9揚,i（l-石），血-";

7

純虛數(shù)有4甲（1-石）

7

類題通法：復(fù)數(shù)a+bi,當(dāng)且僅當(dāng)》=0時，是實數(shù)；當(dāng)6工0時，叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且bHO

時，叫做純虛數(shù).

3.求滿足下列條件的實數(shù)的值：

(1)(x+y)4-(y-l)i=(2x+3y)+(2y+l)i；

(2)(x+y-3)+(x-2)i=0.

解：⑴由[x+y=『+3y,解得[x=4

[y-l=2y+][y=-2.

/八上+y—3=0,._,fx=2.

(2)由4-八解z得rl4

[x-2=0[y=1

類題通法：a+AiR）與c+&