十年（2015-2024）高考真題數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（全國(guó)）專(zhuān)題08 數(shù)列小題綜合（教師卷）

專(zhuān)題08數(shù)列小題綜合考點(diǎn)十年考情（2015-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1數(shù)列的增減性（10年3考）2022·全國(guó)乙卷、2022·北京卷2021·全國(guó)甲卷、2020·北京卷1.掌握數(shù)列的有關(guān)概念和表示方法，能利用與的關(guān)系以及遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù),能利用數(shù)列的周期性、單調(diào)性解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題，該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，?？疾槔门c關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)及通項(xiàng)公式構(gòu)造的相關(guān)應(yīng)用，需綜合復(fù)習(xí)2.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題，熟練掌握等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的性質(zhì)，該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給出數(shù)列為等差數(shù)列，或通過(guò)構(gòu)造為等差數(shù)列，求通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，需綜合復(fù)習(xí)3.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題，熟練掌握等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的性質(zhì)，該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給出數(shù)列為等比數(shù)列，或通過(guò)構(gòu)造為等比數(shù)列，求通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和。需綜合復(fù)習(xí)4.熟練掌握裂項(xiàng)相消求和和錯(cuò)位相減求和，該內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，常考查裂項(xiàng)相消求和、錯(cuò)位相減求和、奇偶并項(xiàng)求和，需重點(diǎn)綜合復(fù)習(xí)考點(diǎn)2遞推數(shù)列及數(shù)列的通項(xiàng)公式（10年6考）2023·北京卷、2022·北京卷、2022·浙江卷2021·浙江卷、2020·浙江卷、2020·全國(guó)卷2019·浙江卷、2017·上海卷考點(diǎn)3等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（10年10考）2024·全國(guó)甲卷、2024·全國(guó)甲卷、2024·全國(guó)新Ⅱ卷、2022·全國(guó)乙卷、2023·全國(guó)甲卷、2023·全國(guó)乙卷、2023·全國(guó)新Ⅰ卷、2022·北京卷、2020·浙江卷、2020·山東卷、2020·全國(guó)卷、2019·全國(guó)卷2019·江蘇卷、2019·北京卷、2019·全國(guó)卷、2019·全國(guó)卷、2018·北京卷、2018·全國(guó)卷、2017·全國(guó)卷、2016·浙江卷、2015·重慶卷2015·全國(guó)卷、2015·全國(guó)卷、2016·北京卷、2016·江蘇卷、2015·廣東卷、2015·陜西卷、2015·安徽卷、2015·全國(guó)卷考點(diǎn)4等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（10年10考）2023·全國(guó)甲卷、2023·天津卷、2023·全國(guó)新Ⅱ卷2023·全國(guó)甲卷、2023·全國(guó)乙卷、2022·全國(guó)乙卷、2021·全國(guó)甲卷、2020·全國(guó)卷、2020·全國(guó)卷、2020·全國(guó)卷、2019·全國(guó)卷、2019·全國(guó)卷2017·全國(guó)卷、2017·北京卷、2017·江蘇卷、2016·浙江卷、2016·全國(guó)卷、2015·浙江卷2015·全國(guó)卷、2015·全國(guó)卷、2015·湖南卷2015·廣東卷、2015·安徽卷考點(diǎn)5數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化（10年6考）2023·北京卷、2022·全國(guó)新Ⅱ卷、2021·全國(guó)新Ⅰ卷、2020·浙江卷、2020·全國(guó)卷、2020·全國(guó)卷2018·北京卷、2017·全國(guó)卷考點(diǎn)6數(shù)列求和（10年10考）2021·浙江卷、2021·全國(guó)新Ⅱ卷2020·江蘇卷、2017·全國(guó)卷、2015·江蘇考點(diǎn)01數(shù)列的增減性1．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類(lèi)推，其中．則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，再利用數(shù)列與的關(guān)系判斷中各項(xiàng)的大小，即可求解.【詳解】[方法一]:常規(guī)解法因?yàn)?，所以，，得到，同理，可得，又因?yàn)?，故，；以此?lèi)推，可得，，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，得，故C錯(cuò)誤；，得，故D正確.[方法二]：特值法不妨設(shè)則故D正確.2．（2022·北京·高考真題）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和滿(mǎn)足．給出下列四個(gè)結(jié)論：①的第2項(xiàng)小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項(xiàng)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①③④【分析】推導(dǎo)出，求出、的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；利用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷③.【詳解】由題意可知，，，當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，由可得，兩式作差可得，所以，，則，整理可得，因?yàn)?，解得，①?duì)；假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，即，所以，，可得，解得，不合乎題意，故數(shù)列不是等比數(shù)列，②錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，③對(duì)；假設(shè)對(duì)任意的，，則，所以，，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對(duì).故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題在推斷②④的正誤時(shí)，利用正面推理較為復(fù)雜時(shí)，可采用反證法來(lái)進(jìn)行推導(dǎo).3．（2021·全國(guó)甲卷·高考真題）等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【分析】當(dāng)時(shí)，通過(guò)舉反例說(shuō)明甲不是乙的充分條件；當(dāng)是遞增數(shù)列時(shí)，必有成立即可說(shuō)明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案．【詳解】由題，當(dāng)數(shù)列為時(shí)，滿(mǎn)足，但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會(huì)出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．故選：B．【點(diǎn)睛】在不成立的情況下，我們可以通過(guò)舉反例說(shuō)明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過(guò)程．4．（2020·北京·高考真題）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（

）．A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)【答案】B【分析】首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合數(shù)列中各個(gè)項(xiàng)數(shù)的符號(hào)和大小即可確定數(shù)列中是否存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng).【詳解】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項(xiàng)公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項(xiàng)，由于，故數(shù)列中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：，.故數(shù)列中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列中項(xiàng)的符號(hào)問(wèn)題，分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，屬于中等題.考點(diǎn)02遞推數(shù)列及數(shù)列的通項(xiàng)公式1．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列滿(mǎn)足，則（

）A．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立【答案】B【分析】法1：利用數(shù)列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數(shù)列的性質(zhì)，故可判斷B的正誤.法2：構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求得的正負(fù)情況，再利用數(shù)學(xué)歸納法判斷得各選項(xiàng)所在區(qū)間，從而判斷的單調(diào)性；對(duì)于A(yíng)，構(gòu)造，判斷得，進(jìn)而取推得不恒成立；對(duì)于B，證明所在區(qū)間同時(shí)證得后續(xù)結(jié)論；對(duì)于C，記，取推得不恒成立；對(duì)于D，構(gòu)造，判斷得，進(jìn)而取推得不恒成立.【詳解】法1：因?yàn)?，故，?duì)于A(yíng)，若，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立，由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，，，故，故，故為減數(shù)列，注意故，結(jié)合，所以，故，故，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，故恒成立僅對(duì)部分成立，故A不成立.對(duì)于B，若可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立即由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，，，故，故，故為增數(shù)列，若，則恒成立，故B正確.對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立即由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，故，故為減數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若，若存在常數(shù)，使得恒成立，則恒成立，故，的個(gè)數(shù)有限，矛盾，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，故，故為增數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，這與n的個(gè)數(shù)有限矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：B.法2：因?yàn)?，令，則，令，得或；令，得；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，即，解得或或，注意到，，所以結(jié)合的單調(diào)性可知在和上，在和上，對(duì)于A(yíng)，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，，則，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，綜上：，即，因?yàn)樵谏?，所以，則為遞減數(shù)列，因?yàn)?，令，則，因?yàn)殚_(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，所以在上單調(diào)遞減，故，所以在上單調(diào)遞增，故，故，即，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因?yàn)?，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，則，所以，又當(dāng)時(shí)，，即，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則，所以，綜上：，因?yàn)樵谏希?，所以為遞增數(shù)列，此時(shí)，取，滿(mǎn)足題意，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，則，注意到當(dāng)時(shí)，，，猜想當(dāng)時(shí)，，當(dāng)與時(shí)，與滿(mǎn)足，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以，綜上：，易知，則，故，所以，因?yàn)樵谏希?，則為遞減數(shù)列，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，記，取，其中，則，故，所以，即，所以，故不恒成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，綜上：，因?yàn)樵谏?，所以，所以為遞增數(shù)列，因?yàn)?，令，則，因?yàn)殚_(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，故，即，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因?yàn)?，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)首項(xiàng)給出與通項(xiàng)性質(zhì)相關(guān)的相應(yīng)的命題，再根據(jù)所得命題結(jié)合放縮法得到通項(xiàng)所滿(mǎn)足的不等式關(guān)系，從而可判斷數(shù)列的上界或下界是否成立.2．（2022·北京·高考真題）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和滿(mǎn)足．給出下列四個(gè)結(jié)論：①的第2項(xiàng)小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項(xiàng)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①③④【分析】推導(dǎo)出，求出、的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；利用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷③.【詳解】由題意可知，，，當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，由可得，兩式作差可得，所以，，則，整理可得，因?yàn)?，解得，①?duì)；假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，即，所以，，可得，解得，不合乎題意，故數(shù)列不是等比數(shù)列，②錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，③對(duì)；假設(shè)對(duì)任意的，，則，所以，，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對(duì).故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題在推斷②④的正誤時(shí)，利用正面推理較為復(fù)雜時(shí)，可采用反證法來(lái)進(jìn)行推導(dǎo).3．（2022·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先通過(guò)遞推關(guān)系式確定除去，其他項(xiàng)都在范圍內(nèi)，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出．【詳解】∵，易得，依次類(lèi)推可得由題意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；綜上：．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系進(jìn)行合理變形放縮.4．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿(mǎn)足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進(jìn)而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可得到，從而得解．【詳解】因?yàn)?，所以，．由，即根?jù)累加法可得，，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，由累乘法可得，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由裂項(xiàng)求和法得：所以，即．故選：A．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過(guò)倒數(shù)法先找到的不等關(guān)系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過(guò)局部放縮得到的不等關(guān)系，改變不等式的方向得到，最后由裂項(xiàng)相消法求得．5．（2020·浙江·高考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝，朱世杰等研究過(guò)高階等差數(shù)列的求和問(wèn)題，如數(shù)列就是二階等差數(shù)列，數(shù)列的前3項(xiàng)和是．【答案】【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式可求出數(shù)列的前三項(xiàng)，即可求出．【詳解】因?yàn)?，所以．即．故答案為?【點(diǎn)睛】本題主要考查利用數(shù)列的通項(xiàng)公式寫(xiě)出數(shù)列中的項(xiàng)并求和，屬于容易題．6．（2020·全國(guó)·高考真題）數(shù)列滿(mǎn)足，前16項(xiàng)和為540，則.【答案】【分析】對(duì)為奇偶數(shù)分類(lèi)討論，分別得出奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系，由奇數(shù)項(xiàng)遞推公式將奇數(shù)項(xiàng)用表示，由偶數(shù)項(xiàng)遞推公式得出偶數(shù)項(xiàng)的和，建立方程，求解即可得出結(jié)論.【詳解】，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，以及數(shù)列的并項(xiàng)求和，考查分類(lèi)討論思想和數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.7．（2019·浙江·高考真題）設(shè)，數(shù)列中，，,則A．當(dāng) B．當(dāng)C．當(dāng) D．當(dāng)【答案】A【解析】若數(shù)列為常數(shù)列，，則只需使，選項(xiàng)的結(jié)論就會(huì)不成立.將每個(gè)選項(xiàng)的的取值代入方程，看其是否有小于等于10的解.選項(xiàng)B、C、D均有小于10的解，故選項(xiàng)B、C、D錯(cuò)誤.而選項(xiàng)A對(duì)應(yīng)的方程沒(méi)有解，又根據(jù)不等式性質(zhì)，以及基本不等式，可證得A選項(xiàng)正確.【詳解】若數(shù)列為常數(shù)列，則，由，可設(shè)方程選項(xiàng)A：時(shí)，，，，故此時(shí)不為常數(shù)列，，且，，則，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：時(shí)，，，則該方程的解為，即當(dāng)時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，，則，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：時(shí)，，該方程的解為或，即當(dāng)或時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，或，同樣不滿(mǎn)足，則選項(xiàng)C也錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：時(shí)，，該方程的解為，同理可知，此時(shí)的常數(shù)列也不能使，則選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：A.【點(diǎn)睛】遇到此類(lèi)問(wèn)題，不少考生會(huì)一籌莫展.利用函數(shù)方程思想，通過(guò)研究函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，進(jìn)一步討論的可能取值，利用“排除法”求解.8．（2017·上?！じ呖颊骖}）已知數(shù)列和，其中，，的項(xiàng)是互不相等的正整數(shù)，若對(duì)于任意，的第項(xiàng)等于的第項(xiàng)，則【答案】2【詳解】由，若對(duì)于任意的第項(xiàng)等于的第項(xiàng)，則，則所以，所以.考點(diǎn)03等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和一、單選題1．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，即可計(jì)算出公差，即可得的值.【詳解】由，則，則等差數(shù)列的公差，故.故選：B.2．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成和來(lái)處理，亦可用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行處理，或者特殊值法處理.【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，又.故選：D方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，故.故選：D方法三：特殊值法不妨取等差數(shù)列公差，則，則.故選：D3．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．15【答案】C【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)，再根據(jù)前項(xiàng)和公式即可解出；方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差，再根據(jù)前項(xiàng)和公式的性質(zhì)即可解出．【詳解】方法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，依題意可得，，即,又，解得：，所以．故選：C.方法二：，，所以，，從而，于是，所以．故選：C.4．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫(xiě)出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元素分析、推理作答.【詳解】依題意，等差數(shù)列中，，顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個(gè)不同取值，又，則在中，或，于是有，即有，解得，所以，.故選：B5．（2023·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系推理判斷作答.，【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，即，則，有，兩式相減得：，即，對(duì)也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當(dāng)時(shí)，上兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C6．（2022·北京·高考真題）設(shè)是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過(guò)的最大整數(shù).若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，若，則當(dāng)時(shí)，；若，則，由可得，取，則當(dāng)時(shí)，，所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”；若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，取且，，假設(shè)，令可得，且，當(dāng)時(shí)，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”.所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的充分必要條件.故選：C.7．（2020·浙江·高考真題）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（

）A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，，而，即可表示出題中，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷各等式是否成立．【詳解】對(duì)于A(yíng)，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，，A正確；對(duì)于B，由題意可知，，，∴，，，．∴，．根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，，C正確；對(duì)于D，，，．當(dāng)時(shí)，，∴即；當(dāng)時(shí)，，∴即，所以，D不正確．故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．（2019·全國(guó)·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，則A． B． C． D．【答案】A【分析】等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．本題還可用排除，對(duì)B，，，排除B，對(duì)C，，排除C．對(duì)D，，排除D，故選A．【詳解】由題知，，解得，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計(jì)算等素養(yǎng)．利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)公式即可列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程，解出首項(xiàng)與公差，在適當(dāng)計(jì)算即可做了判斷．9．（2018·全國(guó)·高考真題）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：首先設(shè)出等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的求和公式，得到公差所滿(mǎn)足的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果，之后應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，從而求得正確結(jié)果.詳解：設(shè)該等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中的條件可得，整理解得，所以，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，在解題的過(guò)程中，需要利用題中的條件，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到與的關(guān)系，從而求得結(jié)果.10．（2017·全國(guó)·高考真題）（2017新課標(biāo)全國(guó)I理科）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則的公差為A．1 B．2C．4 D．8【答案】C【詳解】設(shè)公差為，，，聯(lián)立解得，故選C.11．（2016·浙江·高考真題）如圖，點(diǎn)列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且，.（）若

A．是等差數(shù)列B．是等差數(shù)列C．是等差數(shù)列D．是等差數(shù)列【答案】A【詳解】表示點(diǎn)到對(duì)面直線(xiàn)的距離（設(shè)為）乘以長(zhǎng)度的一半，即，由題目中條件可知的長(zhǎng)度為定值，那么我們需要知道的關(guān)系式，由于和兩個(gè)垂足構(gòu)成了直角梯形，那么，其中為兩條線(xiàn)的夾角，即為定值，那么，，作差后：，都為定值，所以為定值．故選A．12．（2015·重慶·高考真題）在等差數(shù)列中，若=4，=2，則=A．-1 B．0 C．1 D．6【答案】B【詳解】在等差數(shù)列中，若，則，解得，故選B.13．（2015·全國(guó)·高考真題）已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，若，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：由得，解得.考點(diǎn)：等差數(shù)列.14．（2015·全國(guó)·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，選A.二、填空題15．（2024·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則.【答案】95【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程組，解出，再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，則.故答案為：.16．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則公差．【答案】2【分析】轉(zhuǎn)化條件為，即可得解.【詳解】由可得，化簡(jiǎn)得，即，解得.故答案為：2.17．（2020·山東·高考真題）將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為．【答案】【分析】首先判斷出數(shù)列與項(xiàng)的特征，從而判斷出兩個(gè)數(shù)列公共項(xiàng)所構(gòu)成新數(shù)列的首項(xiàng)以及公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，所以的前項(xiàng)和為，故答案為：.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列的特征，等差數(shù)列求和公式，屬于簡(jiǎn)單題目.18．（2020·全國(guó)·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則．【答案】【分析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，根據(jù)已知條件，求出公差，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和，即可求得答案.【詳解】是等差數(shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的公差根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：可得即：整理可得：解得：根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式：可得：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的前項(xiàng)和，解題關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19．（2019·江蘇·高考真題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和.若，則的值是.【答案】16.【分析】由題意首先求得首項(xiàng)和公差，然后求解前8項(xiàng)和即可.【詳解】由題意可得：，解得：，則.【點(diǎn)睛】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本計(jì)算問(wèn)題，是高考必考內(nèi)容，解題過(guò)程中要注意應(yīng)用函數(shù)方程思想，靈活應(yīng)用通項(xiàng)公式、求和公式等，構(gòu)建方程（組），如本題，從已知出發(fā)，構(gòu)建的方程組.20．（2019·北京·高考真題）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2=?3，S5=?10，則a5=，Sn的最小值為．【答案】0.-10.【分析】首先確定公差,然后由通項(xiàng)公式可得的值，進(jìn)一步研究數(shù)列中正項(xiàng)?負(fù)項(xiàng)的變化規(guī)律,得到和的最小值.【詳解】等差數(shù)列中,,得,公差,,由等差數(shù)列的性質(zhì)得時(shí),,時(shí),大于0,所以的最小值為或,即為.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式?求和公式?等差數(shù)列的性質(zhì),難度不大,注重重要知識(shí)?基礎(chǔ)知識(shí)?基本運(yùn)算能力的考查.21．（2019·全國(guó)·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則.【答案】100【分析】根據(jù)題意可求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】得【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為等差數(shù)列的求和，為基礎(chǔ)題目，利用基本量思想解題即可，充分記牢等差數(shù)列的求和公式是解題的關(guān)鍵．22．（2019·全國(guó)·高考真題）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，則.【答案】4.【分析】根據(jù)已知求出和的關(guān)系，再結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求得結(jié)果.【詳解】因，所以，即，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、基本量的計(jì)算．滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．使用轉(zhuǎn)化思想得出答案．23．（2018·北京·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，且，，則的通項(xiàng)公式為．【答案】【分析】先根據(jù)條件列關(guān)于公差的方程，求出公差后，代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，【點(diǎn)睛】在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，有兩個(gè)處理思路，一是利用基本量，將多元問(wèn)題簡(jiǎn)化為首項(xiàng)與公差（公比）問(wèn)題，雖有一定量的運(yùn)算，但思路簡(jiǎn)潔，目標(biāo)明確：二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用.24．（2016·北京·高考真題）已知為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，若，，則.【答案】6【詳解】試題分析：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，即，又，所以，所以．故答案為6．【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】在等差數(shù)列五個(gè)基本量，，，，中，已知其中三個(gè)量，可以根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式列出關(guān)于基本量的方程(組)來(lái)求余下的兩個(gè)量，計(jì)算時(shí)須注意整體代換思想及方程思想的應(yīng)用.25．（2016·江蘇·高考真題）已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和.若a1+a22=3，S5=10，則a9的值是.【答案】【詳解】由得，因此考點(diǎn)：等差數(shù)列性質(zhì)26．（2015·廣東·高考真題）在等差數(shù)列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,則a2+a8=.【答案】10【詳解】試題分析：據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，項(xiàng)數(shù)之和相等的兩項(xiàng)之和相等，化簡(jiǎn)已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)后，將a5的值代入即可求出值．解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，則a2+a8=2a5=10．故答案為10．考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)．27．（2015·陜西·高考真題）中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015，則該數(shù)列的首項(xiàng)為．【答案】5.【詳解】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，則，所以，故該數(shù)列的首項(xiàng)為，所以答案應(yīng)填：．【考點(diǎn)定位】等差中項(xiàng)．28．（2015·安徽·高考真題）已知數(shù)列中，，（），則數(shù)列的前9項(xiàng)和等于.【答案】27【詳解】試題分析：，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，所以，故填：27.考點(diǎn)：等差數(shù)列29．（2015·全國(guó)·高考真題）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則．【答案】【詳解】原式為，整理為：，即，即數(shù)列是以-1為首項(xiàng)，-1為公差的等差的數(shù)列，所以，即.【點(diǎn)睛】這類(lèi)型題使用的公式是，一般條件是，若是消，就需當(dāng)時(shí)構(gòu)造，兩式相減，再變形求解；若是消，就需在原式將變形為：，再利用遞推求解通項(xiàng)公式.考點(diǎn)04等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和一、單選題1．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則（

）A． B． C．15 D．40【答案】C【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于的方程,計(jì)算出,即可求出.【詳解】由題知,即,即,即.由題知,所以.所以.故選:C.2．（2023·天津·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．16 B．32 C．54 D．162【答案】C【分析】由題意確定該數(shù)列為等比數(shù)列，即可求得的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，則.故選：C.3．（2023·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．【答案】C【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出公比，再根據(jù)的關(guān)系即可解出；方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解．【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，即為，易知，，即；當(dāng)時(shí)，，與矛盾，舍去．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡(jiǎn)化運(yùn)算．4．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.5．（2021·全國(guó)甲卷·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】根據(jù)題目條件可得，，成等比數(shù)列，從而求出，進(jìn)一步求出答案.【詳解】∵為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，∴，，成等比數(shù)列∴，∴，∴.故選：A.6．（2020·全國(guó)·高考真題）設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（

）A．12 B．24 C．30 D．32【答案】D【分析】根據(jù)已知條件求得的值，再由可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．7．（2020·全國(guó)·高考真題）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（

）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以得到方程組，解方程組求出首項(xiàng)和公比，最后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由可得：，所以，因此.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，考查了等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.8．（2020·全國(guó)·高考真題）數(shù)列中，，對(duì)任意，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】取，可得出數(shù)列是等比數(shù)列，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列求和公式可得出關(guān)于的等式，由可求得的值.【詳解】在等式中，令，可得，，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，，，則，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用等比數(shù)列求和求參數(shù)的值，解答的關(guān)鍵就是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查計(jì)算能力，屬于中等題.9．（2015·浙江·高考真題）已知是公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若成等比數(shù)列，則A． B．C． D．【答案】B【詳解】∵等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，∴，∴，∴，，故選B.考點(diǎn)：1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和；2.等比數(shù)列的概念10．（2015·全國(guó)·高考真題）已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=，選B.二、填空題11．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公比為．【答案】【分析】先分析，再由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式和平方差公式化簡(jiǎn)即可求出公比.【詳解】若，則由得，則，不合題意.所以.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，即，即，即，解?故答案為：12．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對(duì)化簡(jiǎn)得，聯(lián)立求出，最后得.【詳解】設(shè)的公比為，則，顯然，則，即，則，因?yàn)?，則，則，則，則，故答案為：.13．（2019·全國(guó)·高考真題）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若，則S4=．【答案】.【分析】本題根據(jù)已知條件，列出關(guān)于等比數(shù)列公比的方程，應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算得到．題目的難度不大，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查．【詳解】詳解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，即解得，所以．【點(diǎn)睛】準(zhǔn)確計(jì)算，是解答此類(lèi)問(wèn)題的基本要求．本題由于涉及冪的乘方運(yùn)算、繁分式分式計(jì)算，部分考生易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤．一題多解：本題在求得數(shù)列的公比后，可利用已知計(jì)算，避免繁分式計(jì)算．14．（2019·全國(guó)·高考真題）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若，則S5=．【答案】.【分析】本題根據(jù)已知條件，列出關(guān)于等比數(shù)列公比的方程，應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算得到．題目的難度不大，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，所以又，所以所以．【點(diǎn)睛】準(zhǔn)確計(jì)算，是解答此類(lèi)問(wèn)題的基本要求．本題由于涉及冪的乘方運(yùn)算、繁分式分式計(jì)算，部分考生易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤．15．（2017·全國(guó)·高考真題）設(shè)等比數(shù)列滿(mǎn)足a1+a2=–1,a1–a3=–3，則a4=．【答案】-8【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，很明顯，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和題意可得方程組：，由可得：，代入①可得，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得.【名師點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類(lèi)基本問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)該要分類(lèi)討論，有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.16．（2017·北京·高考真題）若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿(mǎn)足，，則.【答案】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件求出、的值，進(jìn)而求出和的值，由此可得出的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比分別為和，則，求得，，那么，故答案為.【考點(diǎn)】等差數(shù)列和等比數(shù)列【點(diǎn)睛】等差、等比數(shù)列各有五個(gè)基本量，兩組基本公式，而這兩組公式可看作多元方程，利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于基本量的方程（組）問(wèn)題，因此可以說(shuō)數(shù)列中的絕大部分運(yùn)算題可看作方程應(yīng)用題，所以用方程思想解決數(shù)列問(wèn)題是一種行之有效的方法.17．（2017·江蘇·高考真題）等比數(shù)列{}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前項(xiàng)為，已知=，=，則=．【答案】32【詳解】由題意可得，所以?xún)墒较喑么氲?，?2．18．（2016·浙江·高考真題）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝，S5＝．【答案】1121【詳解】試題分析：，再由，又，所以【考點(diǎn)】等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列的前項(xiàng)和．【易錯(cuò)點(diǎn)睛】由轉(zhuǎn)化為的過(guò)程中，一定要檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)是否滿(mǎn)足，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.19．（2016·全國(guó)·高考真題）設(shè)等比數(shù)列滿(mǎn)足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為．【答案】【詳解】試題分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，，解得.所以，于是當(dāng)或時(shí)，取得最大值.考點(diǎn)：等比數(shù)列及其應(yīng)用20．（2015·全國(guó)·高考真題）數(shù)列中為的前n項(xiàng)和，若，則.【答案】6【詳解】試題分析：由題意得，因?yàn)?，即，所以?shù)列構(gòu)成首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，則，解得．考點(diǎn)：等比數(shù)列的概念及等比數(shù)列求和．21．（2015·湖南·高考真題）設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且，，成等差數(shù)列，則.【答案】.【詳解】試題分析：∵，，成等差數(shù)列，∴，又∵等比數(shù)列，∴.考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于容易題，在解題過(guò)程中，需要建立關(guān)于等比數(shù)列基本量的方程即可求解，考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想與方程思想.22．（2015·廣東·高考真題）若三個(gè)正數(shù)，，成等比數(shù)列，其中，，則．【答案】【詳解】試題分析：由題意得，三個(gè)正數(shù)，，成等比數(shù)列，所以，解得．考點(diǎn)：等比中項(xiàng)．23．（2015·安徽·高考真題）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，則數(shù)列的前項(xiàng)和等于.【答案】【詳解】由題意，，解得或者，而數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，即，所以，因而數(shù)列的前項(xiàng)和，故答案為.考點(diǎn)：1.等比數(shù)列的性質(zhì)；2.等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式.考點(diǎn)05數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化1．（2023·北京·高考真題）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類(lèi)似于砝碼的、用來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則；數(shù)列所有項(xiàng)的和為．【答案】48384【分析】方法一：根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求解，進(jìn)而可求得結(jié)果；方法二：根據(jù)等比中項(xiàng)求，在結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式運(yùn)算求解.【詳解】方法一：設(shè)前3項(xiàng)的公差為，后7項(xiàng)公比為，則，且，可得，則，即，可得，空1：可得，空2：方法二：空1：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，則，且，所以；又因?yàn)?，則；空2：設(shè)后7項(xiàng)公比為，則，解得，可得，所以.故答案為：48；384.2．（2022·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱(chēng)為步，垂直距離稱(chēng)為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線(xiàn)的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【分析】設(shè)，則可得關(guān)于的方程，求出其解后可得正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D3．（2021·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱(chēng)軸把紙對(duì)折，規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類(lèi)推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對(duì)折次，那么.【答案】5【分析】（1）按對(duì)折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得，再根據(jù)錯(cuò)位相減法得結(jié)果.【詳解】（1）由對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對(duì)著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；故對(duì)折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；（2）由于每次對(duì)著后的圖形的面積都減小為原來(lái)的一半，故各次對(duì)著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)為120,第n次對(duì)折后的圖形面積為，對(duì)于第n此對(duì)折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過(guò)程和結(jié)論，猜想為種（證明從略），故得猜想，設(shè)，則，兩式作差得：，因此，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和；（3）對(duì)于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項(xiàng)相消法求和.4．（2020·浙江·高考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝，朱世杰等研究過(guò)高階等差數(shù)列的求和問(wèn)題，如數(shù)列就是二階等差數(shù)列，數(shù)列的前3項(xiàng)和是．【答案】【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式可求出數(shù)列的前三項(xiàng)，即可求出．【詳解】因?yàn)?，所以．即．故答案為?【點(diǎn)睛】本題主要考查利用數(shù)列的通項(xiàng)公式寫(xiě)出數(shù)列中的項(xiàng)并求和，屬于容易題．5．（2020·全國(guó)·高考真題）0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列滿(mǎn)足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱(chēng)其為0-1周期序列，并稱(chēng)滿(mǎn)足的最小正整數(shù)為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿(mǎn)足的序列是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)新定義，逐一檢驗(yàn)即可【詳解】由知，序列的周期為m，由已知，，對(duì)于選項(xiàng)A，，不滿(mǎn)足；對(duì)于選項(xiàng)B，，不滿(mǎn)足；對(duì)于選項(xiàng)D，，不滿(mǎn)足；故選：C【點(diǎn)晴】本題考查數(shù)列的新定義問(wèn)題，涉及到周期數(shù)列，考查學(xué)生對(duì)新定義的理解能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.6．（2020·全國(guó)·高考真題）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱(chēng)為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊【答案】C【分析】第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，設(shè)為的前