寧夏回族自治區(qū)銀川市2025屆高考數(shù)學三模理試題含解析

Page24寧夏回族自治區(qū)銀川市2024屆高考數(shù)學三模（理）試題一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下面五個式子中：①；②；③{a}{a，b}；④；⑤a{b，c，a}；正確的有（）A.②④⑤ B.②③④⑤ C.②④ D.①⑤【答案】A【解析】【分析】依據(jù)元素與集合，集合與集合之間的關系逐個分析即可得出答案.【詳解】中，是集合{a}中的一個元素，，所以錯誤；空集是任一集合的子集，所以正確；是的子集，所以錯誤；任何集合是其本身的子集，所以正確；a是的元素，所以正確.故選：A.2.在下列命題中，①若為復數(shù)，則為非負數(shù)；②互為共軛的兩個復數(shù)的差為純虛數(shù)；③若（，），則（是虛數(shù)單位），肯定正確的個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】①舉出反例即可推斷；②結合復數(shù)的減法運算以及復數(shù)的類型即可推斷；③依據(jù)虛數(shù)不能比較大小即可干脆推斷.【詳解】①若,則，故①錯誤；②設，則，所以，若，則差為0，若，則差為純虛數(shù)，故②錯誤；③虛數(shù)不能比較大小，故③錯誤；故選：A.3.已知，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由不等式的性質求解【詳解】，故，，得故選：C4.已知水平放置的平面四邊形，用斜二測畫法得到的直觀圖是邊長為1的正方形，如圖所示，則的周長為（）A.2 B.6 C. D.8【答案】D【解析】【分析】依據(jù)斜二測畫法可換元原圖形，依據(jù)原圖形計算周長即可.【詳解】由直觀圖可得原圖形如圖，依據(jù)斜二測畫法可知，,在中,,又,所以四邊形的周長為,故選：D5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)程序框圖的循環(huán)結構，依次計算，即得解.【詳解】初始值：滿意：滿意：滿意：……滿意：輸出：故選：D【點睛】本題考查了程序框圖的循環(huán)結構，考查了學生邏輯推理，數(shù)學運算的實力，屬于基礎題.6.已知函數(shù)，則圖象為下圖的函數(shù)可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)圖象得到函數(shù)為奇函數(shù)，依據(jù)選項中的函數(shù)奇偶性，可得解除A、B；求得函數(shù)的導數(shù)，結合函數(shù)的單調性，可解除C項，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，依據(jù)函數(shù)圖象可得函數(shù)圖象關于原點對稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，對于A中，函數(shù)不是奇函數(shù)，所以A不符合題意；對于B中，函數(shù)不是奇函數(shù)，所以B不符合題意；對于C中，函數(shù)此時函數(shù)為奇函數(shù)，又由，當時，，此時函數(shù)區(qū)間單調遞增，而圖象中先增后減，所以C不符合題意.故選：D.7.將6名學生分成2個小組，參與數(shù)學建模競賽活動，每個小組由3名學生組成，則學生甲?乙在同一組的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由于6名學生平均分2組的全部分法有，而甲?乙在同一組的分法有，然后利用古典概型的概率公式求解即可【詳解】解：由題意得6名學生平均分2組的全部分法有，而甲?乙在同一組的分法有，所以所求概率為，故選：C.8.四葉回旋鏢可看作是由四個相同的直角梯形圍成的圖形，如圖所示，，，，M為線段HG上一動點，則的最大值為（）A.8 B.16 C. D.32【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐標系，標出四個點的坐標，寫出向量的坐標，利用坐標表示，結合變量的范圍，即得解【詳解】如圖所示以為坐標原點建立平面直角坐標系，由題意，其中因此：因此當時，的最大值為16.故選：B【點睛】本題考查了坐標法求解向量的數(shù)量積，考查了學生數(shù)形結合，轉化劃歸，數(shù)學運算實力，屬于中檔題9.從裝有若干個大小相同的紅球、白球和黃球的袋中隨機摸出1個球，摸到紅球、白球和黃球的概率分別為，，，從袋中隨機摸出一個球，登記顏色后放回，連續(xù)摸3次，則登記的顏色中有紅有白但沒有黃的概率為A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】解：滿意題意時，取到2紅1白或者2白1紅，據(jù)此可得，登記的顏色中有紅有白但沒有黃的概率為：.本題選擇C選項.10.已知過拋物線焦點的直線與交于，兩點，交圓于，兩點，其中，位于第一象限，則的值不行能為（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】本題考查了拋物線的性質及基本不等式的應用，屬于中檔題．

設PQ的方程為可得，可得，利用基本不等式求得最小值，從而作出判定．【詳解】易得拋物線的焦點,設，，PQ的方程為，

．

，，則．

，

則．

故選：D．【點睛】PQ的方程為的形式，包括了斜率不存在的狀況，可以避開分類探討.11.已知實數(shù)滿意，，則的最小值為（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】【分析】理解原代數(shù)式的含義，轉化為函數(shù)形式，再分析其幾何意義，構造函數(shù)即可求解.【詳解】，令，則，其幾何意義為點A與點之間距離的平方，設，則點A和B分別在和的圖像上，如下圖，明顯和互為反函數(shù)，其圖像關于y=x對稱，則A與B的最短距離必定在直線y=x的垂線上，點A與點B關于y=x對稱，不妨設，則，，設，，當，，在x=1處取得最小值，即，∴當取最小值時，即是取得最小值，的最小值為；故選：D.12.2024年7月24日，中共中心辦公廳、國務院辦公廳印發(fā)《關于進一步減輕義務教化階段學生作業(yè)負擔和校外培訓負擔的看法》，這個政策就是我們所說的“雙減”政策，“雙減”政策極大緩解了教化的“內卷”現(xiàn)象，而“內卷”作為高強度的競爭使人精疲力竭．數(shù)學中的螺旋線可以形象的展示“內卷”這個詞，螺旋線這個名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個固定點起先向外逐圈旋繞而形成的曲線，如圖（1）所示．如圖（2）所示陰影部分也是一個漂亮的螺旋線型的圖案，它的畫法是這樣的：正方形的邊長為4，取正方形各邊的四等分點，，，，作第2個正方形，然后再取正方形各邊的四等分點，，，，作第3個正方形，依此方法一干脆著下去，就可以得到陰影部分的圖案．設正方形邊長為，后續(xù)各正方形邊長依次為，，…，，…；如圖（2）陰影部分，設直角三角形面積為，后續(xù)各直角三角形面積依次為，，…，，…．下列說法錯誤的是（）A.從正方形起先，連續(xù)3個正方形的面積之和為B.C.使得不等式成立的的最大值為4D.數(shù)列的前項和【答案】C【解析】【分析】找到規(guī)律，得到，推導出等比數(shù)列，求出通項公式，推斷B選項，進而得到從正方形ABCD起先，連續(xù)3個正方形的面積之和，推斷A選項，得到的通項公式，解不等式，推斷C選項，利用等比數(shù)列前n項和公式進行推斷D選項.【詳解】由題可得，，，……，，則，所以數(shù)列是以4為首項，為公比的等比數(shù)列，則，明顯B正確；由題意可得：，即，，……，，于是，為等比數(shù)列，對A：連續(xù)三個正方形面積之和，A正確；對C：令，則，而，C錯誤；對D：，D正確．故選：C二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.設數(shù)列的前項和為，，則_____.【答案】【解析】【分析】利用求得.【詳解】當時，，當時，，所以，也符合上式，所以.故答案為：14.過橢圓（）的左焦點作x軸的垂線交橢圓于P，為右焦點，若,則橢圓的離心率為________【答案】【解析】【詳解】分析：把代入橢圓方程得P點坐標，進而依據(jù)推斷出，整理得出，進而求得橢圓的離心率e的大小.詳解：由題意知點P的坐標為或，因為，所以，即，所以，所以或（舍去），故答案是.點睛：該題考查的是有關橢圓的離心率的問題，在解題的過程中，須要應用點在橢圓上的條件為點的坐標滿意橢圓的方程，代入求得P點的坐標，依據(jù)角的大小，得到邊之間的關系，從而建立關于a,c的等量關系式，從而將其轉化為關于e的方程，求解即可留意其取值范圍，做相應的取舍.15.如圖，在長方體中，，，為線段的中點，是棱上的動點，若點為線段上的動點，則的最小值為__．【答案】2【解析】【分析】連接，得出點、、在平面中，問題轉化為在平面內直線上取一點，求點到定點的距離與到定直線的距離的和的最小值問題，建立平面直角坐標系，求出點關于直線的對稱點的坐標，則答案可求．【詳解】連接，則，點、、在平面中，且，，，如圖1所示；在△中，以為軸，為軸，建立平面直角坐標系，如圖2所示，則，，；設點關于直線的對稱點為，的方程為，①，直線的方程為，②由①②組成方程組，解得，，直線與的交點，．對稱點，．則的最小值為2．故答案為：2．16.銳角中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，有，且，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】先利用三角函數(shù)恒等變形求出，利用正弦定理表示出，用三角函數(shù)求出的取值范圍.【詳解】因為，所以.因為,所以，所以.所以.因為為銳角三角形，所以，所以,所以.所以，即.因為為銳角三角形，所以，解得：由正弦定理得：，.所以.因為，所以，所以.因為，所以，所以，所以.即在中，由兩邊之和大于第三邊，所以.綜上所述：.故答案為：【點睛】解三角形的最值問題包括兩類：（1）利用正弦定理轉化為三角函數(shù)求最值；（2）利用余弦定理轉化為基本不等式求最值．三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：（共60分）17.在創(chuàng)建“全國文明城市”過程中，某市“創(chuàng)城辦”為了調查市民對創(chuàng)城工作的了解狀況，進行了一次創(chuàng)城學問問卷調查（一位市民只能參與一次）通過隨機抽樣，得到參與問卷調查的人的得分統(tǒng)計結果如表所示：組別頻數(shù)（1）由頻數(shù)分布表可以大致認為，此次問卷調查的得分，近似為這人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點值作代表）.①求的值；②利用該正態(tài)分布，求或；（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參與問卷調查的市民制定如下嘉獎方案：①得分不低于的可以獲贈次隨機話費，得分低于的可以獲贈次隨機話費；②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：贈送話費的金額（單位：元）概率現(xiàn)有市民甲參與此次問卷調查，記（單位：元）為該市民參與問卷調查獲贈的話費，求的分布列與數(shù)學期望.參考數(shù)據(jù)與公式：若，則，，.【答案】（1）①；②；（2）分布列答案見解析，數(shù)學期望為.【解析】【分析】（1）①將每組左端點值乘以對應的頻率，相加即可得出的值；②計算得出，，利用原則可求得或的值；（2）分析可知隨機變量的可能取值有、、、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，進一步可求得的值.【詳解】（1）①；②，所以，，，所以，或；（2），由題意可知隨機變量的可能取值有、、、、，，，，，，.18.在四邊形中，，.（1）若，求四邊形的面積；（2）記和的面積分別為和，求的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【解析】【分析】（1）連接，利用余弦定理求得，利用余弦定理求得，進而求得，然后利用三角形的面積公式求得和的面積，相加即可得出四邊形的面積；（2）設，可得出，，利用余弦定理求出，進而可得而出關于的表達式，再將轉化為的三角函數(shù)，利用二次函數(shù)的基本性質可得出的最大值.【詳解】（1）連接，由余弦定理得，，在中，，，由余弦定理得，，可得，，故四邊形面積為；（2）設，在中，有，由余弦定理得，中，有，，故有，即當時，有最大值.【點睛】本題考查三角形中的幾何計算，考查四邊形面積及其最值的計算，解答的關鍵就是將面積表示為某角為自變量三角函數(shù)，考查計算實力，屬于中等題.19.如圖，在四棱錐中，平面，，，，．（1）求證：平面平面；（2）長為何值時，直線與平面所成角最大？并求此時該角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2），直線與平面所成角最大，此時該角的正弦值為.【解析】【分析】（1）依據(jù)已知條件，得到，再利用正切函數(shù)的性質，求得，得到，進而可證得平面平面；（2）建立空間坐標系，得到，，，進而得到平面的一個法向量為，進而可利用向量的公式求解【詳解】（1）∵平面平面，∴，又，∴，∴，即（為與交點）．又，∴平面，又因平面，所以，平面平面（2）如圖，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間坐標系，如圖，設，則，則，，，設平面法向量為，則，即，取，得平面的一個法向量為，所以，因為，當且僅當時等號成立，所以，記直線與平面所成角為，則，故，即時，直線與平面所成角最大，此時該角的正弦值為．【點睛】關鍵點睛：解題關鍵在于利用定義和正切函數(shù)的性質，得到平面，進而證明平面平面；以及建立空間直角坐標系，求出法向量，進行求解直線與平面所成角的最大值，難度屬于中檔題20.已知函數(shù)，其中（1）若有兩個極值點，記為①求的取值范圍；②求證：；（2）求證：對隨意恒有【答案】（1）①；②證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）①由題得有兩個變號零點，設求出函數(shù)的單調性即得解；②利用極值點偏移的方法證明；（2）證明，再利用裂項相消求和即得證.【小問1詳解】解：（1）由題得有兩個變號零點，所以有兩個變號零點，設當時，函數(shù)單調遞增，當時，函數(shù)單調遞減，當時，，當時，，，所以.(2)設，所以，所以在單調遞增，又，所以又，所以所以因為，所以.【小問2詳解】證明：由（1）知，所以所以對隨意恒有，所以所以.21.如圖，已知和拋物線是圓上一點，M是拋物線上一點，F(xiàn)是拋物線的焦點．（1）當直線與圓相切，且時，求的值；（2）過P作拋物線的兩條切線分別為切點，求證：存在兩個，使得面積等于．【答案】（1）或；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）焦點F坐標為，設，利用圓的切線長公式、拋物線的定義建立方程求解即得；（2）設，設直線、斜率,由與拋物線相切求得，，知是方程的兩根，得到，求得切點坐標，，得到直線方程并化簡整理為，利用已知面積得到，與聯(lián)立得，然后利用零點存在定理判定解的個數(shù)即可.【詳解】（1）焦點F坐標為，設，則，由拋物線定義，M到焦點距離等于到拋物線準線的距離，所以，由，得，所以或，所以或，此時與準線垂直，所以或；（2）設，則，設直線方程為，代入，得，整理得①，同理，直線方程為，有②，由①②知，是方程的兩根，所以，由切線意義知，在中，，則所以，同理直線方程為即即到直線的距離所以，與聯(lián)立得所以或，設，明顯，又在上遞增，所以在上有唯一零點所以存在兩個，使得面積等于.【點睛】本題考查直線與圓，直線與拋物線的位置關系，面積問題，零點個數(shù)問題，難度較大，其中利用圓的切線長和拋物線的定