江蘇省常州市金壇區(qū)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page15江蘇省常州市金壇區(qū)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題留意事項(xiàng)：1.本試題由選擇題?填空題和解答題三部分組成，滿分150分，考試時間為120分鐘.2.答題前，請務(wù)必將自己的校名?班級?姓名?學(xué)號填寫在答題紙上規(guī)定的地方.3.全部試題的答案均書寫在答題紙指定的答題位烈無效.一?單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每題5分共40分，每題四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的）1.設(shè)全集.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用補(bǔ)集和交集的定義可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得，因此，.故選：D.2.若命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得出，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)槊}“，”為假命題，則，解得.故選：B.3.若、都是正實(shí)數(shù)，則“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用特別值法、基本不等式結(jié)合充分條件、必要條件的定義推斷可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?、都是正?shí)數(shù)，若，取，，則，即“”“”；若，由基本不等式可得，即“”“”.因此，“”是“”必要不充分條件.故選：B.4.若，則的值為（）A. B. C.1 D.7【答案】C【解析】【分析】利用根式的性質(zhì)可求的值.【詳解】,故選：C.5.若函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合圖象可知，分段函數(shù)為減函數(shù)，則兩段函數(shù)都遞減，且第一段的右端點(diǎn)不在其次段左端點(diǎn)的下方，然后可得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是上的減函數(shù)，所以2-m<02-m+2m-7≤-1，解得.故選：A6.若，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將已知等式條件兩邊平方可得，再將目標(biāo)式平方結(jié)合指數(shù)冪的性質(zhì)即可求值.【詳解】由題設(shè)，，即，又，且，所以.故選：A.7.已知集合，若則實(shí)數(shù)的取值集合為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】由知，然后對探討可得.【詳解】當(dāng)時，集合B為空集，明顯滿意題意，故解除A、B；當(dāng)時，集合，集合，則有，或，即或.故選：C8.若“，”為真命題，“，”為假命題，則集合可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式可得出的范圍，由已知可得，取交集可得的取值集合，分析可知為的取值集合的子集，即可得解.【詳解】由可得，因?yàn)?，則，解得或，若“，”為假命題，則，因?yàn)榛騲>1∩x由題意可知，.故選：D.二?多項(xiàng)選擇題（本題共4小恩，每題5分共20分，每題四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是正確的，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）9.已知集合，則下列說法中正確的是（）A.但B.若，其中，則C.若，其中，則D.若，其中，則【答案】BC【解析】【分析】A選項(xiàng)，求出，，故；BC選項(xiàng)，通過計(jì)算可以得到，；D選項(xiàng)，時，不符合要求，D錯誤.【詳解】，故，，所以，A錯誤；，其中，，故，B正確；，其中，，故，C正確；因?yàn)?，若，此時無意義，故，D錯誤.故選：BC10.設(shè)計(jì)如圖所示的四個電路圖，：“開關(guān)閉合”，：“燈泡亮”，則是的充要條件的電路圖是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用充分條件，必要條件和充要條件的定義推斷.【詳解】由題知，A中電路圖，開關(guān)閉合，燈泡亮，而燈泡亮，開關(guān)不肯定閉合，故A中是的充分而不必要條件；B中電路圖，開關(guān)閉合，燈泡亮，且燈泡亮，則開關(guān)閉合，故B中是的充要條件；C中電路圖，開關(guān)閉合，燈泡不肯定亮，燈泡亮，則開關(guān)肯定閉合，故C中是的必要而不充分條件；D中電路圖，開關(guān)閉合，則燈泡亮，燈泡亮，則開關(guān)閉合，故D中是的充要條件．故選：BD.11.在下列命題中不正確的是（）A.當(dāng)時，則B.當(dāng)時，則C.當(dāng)時，函數(shù)的最小值是3D.若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式或反例逐項(xiàng)推斷后可得正確的選項(xiàng).【詳解】對于A，由基本不等式有，但，故等號不行取，故，故A正確.對于B，取，則，此時不成立，故B不正確.對于C，，因?yàn)?，故，故等號不行取，故的最小值不?，故C錯誤.對于D，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故D正確.故選：BC.12.已知函數(shù)（其中）.則以下命題正確的是（）A.若函數(shù)的值域?yàn)?，則B.若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則C.若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點(diǎn)，則的取值范圍是D.若關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值為3【答案】ABD【解析】【分析】化簡函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)椋傻?，解得，所以A正確；若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，可得，所以，所以B正確；由函數(shù)，可得函數(shù)在單調(diào)遞增，要使得函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點(diǎn)，則滿意，可得，即實(shí)數(shù)取值范圍是，所以C不正確；由不等式恒成立，即不等式恒成立，因?yàn)?，所以的最大值為，所以，所以的最小值?，所以D正確.故選：ABD.三?填空題（本大題共4小題，每小還5分，共20分）13.若，則稱的數(shù)量級為，已知宇宙中某星球的質(zhì)量為，且滿意，則的數(shù)量級為__________.【答案】【解析】【分析】利用對數(shù)式與指數(shù)式的互化可得出，即可得出的數(shù)量級.【詳解】因?yàn)?，，，故的?shù)量級為.故答案為：.14.若，且，則的值為__________.【答案】2【解析】【分析】依據(jù)等量關(guān)系得到，進(jìn)而利用對數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.詳解】由題意得：，即，即，，則故答案為：215.若實(shí)數(shù)滿意，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由已知條件，應(yīng)用基本不等式可得，即可求目標(biāo)式的范圍，留意等號成立條件.【詳解】由題設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，可得.故答案為：16.已知不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的值為_______，函數(shù)的全部零點(diǎn)之和等于__________.【答案】①.；②..【解析】【分析】依據(jù)一元二次不等式的解集及根與系數(shù)關(guān)系求參數(shù)a、b，再由根系關(guān)系求全部零點(diǎn)之和.【詳解】由題設(shè)，易知：是的兩個根，則，所以，對于，其全部零點(diǎn)之和為.故答案為：，.四?解答題：（本大題共6小題，共70分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.求下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則，精確運(yùn)算，即可求解；（2）依據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，精確運(yùn)算，即可求解.【小問1詳解】解：依據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則，可得.【小問2詳解】解：依據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算公式，可得.18.已知，且M=xm-2<x<m+2，，且或.（1）若，，求實(shí)數(shù)的值；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）依據(jù)集合的運(yùn)算可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的值；（2）由題意可知，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：因?yàn)镸=xm-2<x<m+2，或，且，，所以，，解得.【小問2詳解】解：因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，則，則或，解得或.19.求解下列問題：（1）若，且，求的最小值；（2）若，且，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用1的代換結(jié)合基本不等式可求最小值.（2）因?yàn)?，故可利用基本不等式求目?biāo)代數(shù)式的最小值.小問1詳解】因?yàn)?，且，所以，則.當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，也即時，上式取等號，故當(dāng)時.【小問2詳解】因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時，又，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，上式取等號，故當(dāng)時，，20.已知函數(shù).（1）若函數(shù)為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)在區(qū)間上不具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由偶函數(shù)性質(zhì)可得都有成立，即可得的值；（2）（3）依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合給定區(qū)間的單調(diào)性求參數(shù)范圍即可.【小問1詳解】因?yàn)槎x在上的函數(shù)為偶函數(shù)所以對，都有成立，即對，都有成立，整理可得：都有成立，則，即所求實(shí)數(shù)的值為，【小問2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的對稱軸為，①當(dāng)時，即時，此時，二次函數(shù)在上遞減②當(dāng)時，即時，此時，二次函數(shù)在上遞增，由①②知：要使函數(shù)在上具有單調(diào)性，則的取值范圍為.【小問3詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上不具有單調(diào)性，則必有，解得,所以要使函數(shù)在上不具有單調(diào)性，則的取值范圍為.21.某自來水水源地污染超標(biāo)，當(dāng)?shù)刈詠硭緦λ|(zhì)檢測后，確定在水中投放一種藥劑來凈化水質(zhì).已知每投放質(zhì)量為的藥劑后，經(jīng)過天該藥劑在水中釋放的濃度（毫克/升）滿意：，其中，當(dāng)藥劑在水中的?度不低于5（毫克/升）時稱為有效凈化：當(dāng)藥劑在水中的濃度不低于5（毫克/升）且不高于10（毫克/升）時稱為最佳凈化.（1）假如投放的藥劑的質(zhì)量為，試問自來水達(dá)到有效凈化總共可以持續(xù)多少天？（2）假如投放的藥劑的質(zhì)量為，為了使在前9天（從投放約劑時算起到第9天結(jié)束）之內(nèi)的自來水達(dá)到最佳凈化標(biāo)準(zhǔn)，試確定應(yīng)當(dāng)投放的藥劑質(zhì)量的取值范圍.【答案】（1）21天（2）【解析】【分析】小問1：當(dāng)時，求出的表達(dá)式，自來水達(dá)到有效凈化只需，探討求解不等式即可；小問2：分析函數(shù)的單調(diào)性從而求得函數(shù)值域，依據(jù)最佳凈化標(biāo)準(zhǔn)的要求，列不等式求解即可．【小問1詳解】當(dāng)時，，①當(dāng)時，恒成立，即當(dāng)時，自來水達(dá)到有效凈化的標(biāo)準(zhǔn)；②當(dāng)時，由，解得即當(dāng)時，自來水達(dá)到有放凈化的標(biāo)準(zhǔn).由①②可知當(dāng)時，自來水均能達(dá)到有效?化的標(biāo)準(zhǔn)也即自來水達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)21天，【小問2詳解】因?yàn)閺耐斗潘廄R第1天算起到第9天結(jié)束，所以③當(dāng)時，，設(shè)，則，即則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，故，即，④當(dāng)時，，設(shè)則，即則函數(shù)在區(qū)間上為淢函數(shù)，故，即；由③④得又因?yàn)閺耐斗潘巹┑?天算起到第9天結(jié)束，期間自來水要達(dá)到最佳浄化標(biāo)準(zhǔn)，所以必有.解得即應(yīng)當(dāng)投放的藥劑質(zhì)量的取值范圍為22.已知函數(shù)定義域?yàn)?，且函?shù)同時滿意下列個條件：①對隨意的實(shí)數(shù)，恒成立；②當(dāng)時，；③.（1）求及的值；（2）求證：函數(shù)既是上的奇函數(shù)，同時又是上的增函數(shù)；（3）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）在等式中，令可求得的值，令，結(jié)合可求得的值；（2）在等式中令可證得函數(shù)為奇函數(shù)，然后任取、，并且，依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可證得函數(shù)為上的增函數(shù)；（3）利用（2）中的結(jié)論將所求不等式變形為，可得出關(guān)于的不等式，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【