新教材適用2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第5章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用5.3.2函數(shù)的極值與最大小值第1課時(shí)函數(shù)的極值素養(yǎng)作業(yè)新人教A版選擇性必修第二冊(cè)

第五章5.35.3.2第1課時(shí)A組·基礎(chǔ)自測(cè)一、選擇題1．下列關(guān)于函數(shù)的極值的說(shuō)法正確的是(D)A．導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)肯定是函數(shù)的極值點(diǎn)B．函數(shù)的微小值肯定小于它的極大值C．函數(shù)在定義域內(nèi)必有一個(gè)極大值和一個(gè)微小值D．若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)[解析]由函數(shù)極值的有關(guān)概念知A、B、C說(shuō)法都不正確，故選D.2．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)ax3＋ax2＋x＋3有極值的充要條件是(D)A．a(chǎn)>1或a≤0 B．a(chǎn)>1C．0<a<1 D．a(chǎn)>1或a<0[解析]f(x)有極值的充要條件是f′(x)＝ax2＋2ax＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即4a2－4a>0，解得a<0或a>1.故選D.3．已知函數(shù)y＝f(x)，x∈R有唯一的極值，且x＝1是f(x)的微小值點(diǎn)，則(C)A．當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f′(x)≥0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)≤0B．當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f′(x)≥0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)≥0C．當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f′(x)≤0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)≥0D．當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f′(x)≤0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)≤0[解析]由微小值點(diǎn)的定義，知微小值點(diǎn)左右兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)是左負(fù)右正，又函數(shù)f(x)，x∈R有唯一的極值，故當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f′(x)≤0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)≥0.4．已知函數(shù)f(x)＝x(x－c)2，在x＝2處取得極大值，則實(shí)數(shù)c的值是(D)A.eq\f(2,3) B．2C．2或6 D．6[解析]函數(shù)f(x)＝x(x－c)2的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)(3x－c),由f(x)在x＝2處有極大值，即有f′(2)＝0，即(c－2)(c－6)＝0，解得c＝2或6,若c＝2時(shí)，f′(x)＝0，可得x＝2或eq\f(2,3)，由f(x)在x＝2處導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，取得微小值，若c＝6，f′(x)＝0，可得x＝6或2，由f(x)在x＝2處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，取得極大值.綜上可得c＝6.5．函數(shù)y＝x3－2ax＋a在(0,1)內(nèi)有微小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(D)A．(0,3) B．(－∞，3)C．(0，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))[解析]y′＝3x2－2a，因?yàn)楹瘮?shù)在(0,1)內(nèi)有微小值，所以y′＝3x2－2a＝0在(0,1)內(nèi)必有實(shí)數(shù)解，記f(x)＝3x2－2a，如圖所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝－2a<0，,f1＝3－2a>0，))解得0<a<eq\f(3,2)，故選D.二、填空題6．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2＋cx＋d有極值，則c的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))).[解析]∵f′(x)＝x2－x＋c且f(x)有極值，∴f′(x)＝0有不等的實(shí)數(shù)根，即Δ＝1－4c>0，解得c<eq\f(1,4).7．若x＝1是函數(shù)f(x)＝x3＋eq\f(a,x)的一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a＝_3__.[解析]∵函數(shù)f(x)＝x3＋eq\f(a,x)，∴f′(x)＝3x2－eq\f(a,x2)，∵x＝1是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，∴f′(1)＝0，即3－a＝0，∴a＝3.閱歷證a＝3符合題意．故答案為3.8．若函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋a,x＋1)在x＝1處取得極值，則a＝_3__.[解析]f′(x)＝eq\f(2xx＋1－x2＋a,x＋12)＝eq\f(x2＋2x－a,x＋12)，由題意得f′(1)＝eq\f(3－a,4)＝0，解得a＝3.經(jīng)檢驗(yàn)，a＝3符合題意．三、解答題9．設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3＋3x2＋ax＋b，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝－12x＋1.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的極值．[解析](1)∵f(x)＝2x3＋3x2＋ax＋b，∴f′(x)＝6x2＋6x＋a，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝－12x＋1，所以f(0)＝b＝1，f′(0)＝a＝－12，∴f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1.(2)由(1)得f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，令f′(x)＝0，x＝－2或x＝1，f′(x)＞0，x＜－2或x＞1，f′(x)＜0，－2＜x＜1，∴f(x)遞增區(qū)間是(－∞，－2)，(1，＋∞)，遞減區(qū)間是(－2,1)，∴f(x)的極大值為f(－2)＝21，微小值為f(1)＝－6.10．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x2＋3x＋1)ex.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)f(x)的極值．[解析](1)∵f′(x)＝(2x＋3)ex＋(x2＋3x＋1)ex＝(x2＋5x＋4)ex＝(x＋1)(x＋4)ex，∴當(dāng)x∈(－∞，－4)∪(－1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(－4，－1)時(shí)，f′(x)<0，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－4)和(－1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－4，－1)．(2)由(1)可知f(x)在x＝－4處取得極大值，在x＝－1處取得微小值，∴f(x)的極大值為f(－4)＝5e－4＝eq\f(5,e4)，微小值為f(－1)＝－e－1＝－eq\f(1,e).B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．若函數(shù)y＝ex＋mx有極值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(B)A．m>0 B．m<0C．m>1 D．m<1[解析]y′＝ex＋m，則ex＋m＝0必有根，∴m＝－ex<0.2．(多選題)(2024·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷)若函數(shù)f(x)＝alnx＋eq\f(b,x)＋eq\f(c,x2)(a≠0)既有極大值也有微小值，則(BCD)A．bc>0 B．a(chǎn)b>0C．b2＋8ac>0 D．a(chǎn)c<0[解析]函數(shù)f(x)＝alnx＋eq\f(b,x)＋eq\f(c,x2)的定義域?yàn)?0，＋∞)，求導(dǎo)得f′(x)＝eq\f(a,x)－eq\f(b,x2)－eq\f(2c,x3)＝eq\f(ax2－bx－2c,x3)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)既有極大值也有微小值，則函數(shù)f′(x)在(0，＋∞)上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而a≠0，因此方程ax2－bx－2c＝0有兩個(gè)不等的正根x1，x2，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2＋8ac>0，,x1＋x2＝\f(b,a)>0，,x1x2＝－\f(2c,a)>0.))即有b2＋8ac>0，ab>0，ac<0，明顯a2bc<0，即bc<0，A錯(cuò)誤，B、C、D正確，故選BCD.3．(多選題)對(duì)于函數(shù)f(x)＝x3－3x2，給出下列結(jié)論中正確的是(CD)A．f(x)是增函數(shù)，無(wú)極值B．f(x)是減函數(shù)，無(wú)極值C．f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)，(2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)D．f(0)＝0是極大值，f(2)＝－4是微小值[解析]f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝3x2－6x>0，得x>2或x<0；令f′(x)＝3x2－6x<0，得0<x<2.∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)，(2，＋∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減，當(dāng)x＝0和x＝2時(shí)，函數(shù)f(x)分別取得極大值0和微小值－4.故選CD.二、填空題4．已知f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(a,2)x2＋2x＋1，x1，x2是f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且0<x1<1<x2<3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(11,3))).[解析]f′(x)＝x2－ax＋2，∴x1，x2是f′(x)＝0的兩個(gè)根，由0<x1<1<x2<3，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′0＝2>0，,f′1＝1－a＋2<0，,f′3＝9－3a＋2>0.))解得3<a<eq\f(11,3).5．已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).[解析]由題知，x>0，f′(x)＝lnx＋1－2ax，由于函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則f′(x)＝0有兩個(gè)不等的正根，即函數(shù)y＝lnx＋1與y＝2ax的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(x>0)，則a>0；設(shè)函數(shù)y＝lnx＋1上任一點(diǎn)(x0,1＋lnx0)處的切線為l，則kl＝y(tǒng)′＝eq\f(1,x0)，當(dāng)l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，eq\f(1,x0)＝eq\f(1＋lnx0,x0)?x0＝1，令2a＝1?a＝eq\f(1,2)，∴0<a<eq\f(1,2).三、解答題6．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(alnx－bex,x)(a，b∈R且a≠0，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．若曲線f(x)在點(diǎn)(e，f(e))處的切線斜率為0，且f(x)有微小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解析]f(x)＝eq\f(alnx－bex,x)，(x＞0)，∴f′(x)＝eq\f(a1－lnx－bexx－1,x2)，由f′(e)＝0，則b＝0，則f′(x)＝eq\f(a1－lnx,x2)，當(dāng)a＞0時(shí)，f′(x)在(0，e)內(nèi)大于0，在(e，＋∞)內(nèi)小于0，∴f(x)在(0，e)內(nèi)為增函數(shù)，在(e，＋∞)為減函數(shù)，∴f(x)有極大值無(wú)微小值；當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)在(0，e)為減函數(shù)，在(e，＋∞)為增函數(shù)，∴f(x)有微小值無(wú)極大值；∴實(shí)數(shù)a的取值范圍(－∞，0)．C組·探究創(chuàng)新如圖，可導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線方程為y＝g(x)，設(shè)h(x)＝g(x)－f(x)，h′(x)為h(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(B)A．h′(x0)＝0，x0是h(x)的極大值點(diǎn)B．h′(x0)＝0，x0是h(x