放縮不等式總結(jié)

放縮不等式總結(jié)第1篇放縮不等式總結(jié)第1篇指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)都是超越函數(shù)，為了便于研究，我們希望用代數(shù)函數(shù)（特別是有理函數(shù)，特別特別是多項(xiàng)式函數(shù)）來近似表達(dá)．前述“一、切線放縮”就是用一次函數(shù)（ax＋b型）進(jìn)行放縮，近似表達(dá)．

以指數(shù)函數(shù)為例，在x=0點(diǎn)附近用g(x)=x＋1來近似表達(dá)（逼近）f(x)=e^{x}．顯然，在x=0處，g(x)及其一階導(dǎo)數(shù)的值，分別等于被近似表達(dá)的函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)的相應(yīng)值．

很自然地想到，由于用多項(xiàng)式來表示的函數(shù)，只需要對自變量進(jìn)行有限次加減乘運(yùn)算，便能求出它的函數(shù)值，因此，我們考慮用多項(xiàng)式函數(shù)來近似表達(dá)指對函數(shù)．比一次函數(shù)稍復(fù)雜一點(diǎn)，當(dāng)然是二次多項(xiàng)式（二次函數(shù)）．

由于二次函數(shù)y=ax^{2}＋bx＋c有三個參數(shù)，我們不僅僅可以要求二次函數(shù)在x_{0}點(diǎn)的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值分別與被近似函數(shù)的對應(yīng)值相等，還可以再加上一個條件：在x_{0}點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)對應(yīng)相等，也就是瞬時變化率的瞬時變化率對應(yīng)相等．這樣，這個近似表達(dá)的函數(shù)，就比一次函數(shù)更接近（逼近）被近似函數(shù)．

于是，我們可以通過三個條件，列出方程組，解出這三個系數(shù)，這就是用“待定系數(shù)法”確定指定類型的放縮函數(shù)．

說明：在高中數(shù)學(xué)教材中，不提二階導(dǎo)概念，但在實(shí)際解題中，經(jīng)常用到二階導(dǎo)．如果用到二階導(dǎo)，處理辦法（寫法）是將一階導(dǎo)函數(shù)另外設(shè)為一個新函數(shù)，然后求這個數(shù)的導(dǎo)數(shù)．以下為節(jié)省篇幅，直接寫成二階導(dǎo)．

1．在x=0點(diǎn)附近用g(x)=ax^{2}＋bx＋c逼近f(x)=e^{x}：

注意，在x=0的兩側(cè)，被近似函數(shù)f(x)=e^{x}與放縮函數(shù)g(x)=1+x+\frac{1}{2}x^{2}的大小關(guān)系是交替的．換句話說，放縮不等式在x=0的兩側(cè)的不等號是相反的．這與本文前面幾個放縮不等式不同．

說明：事實(shí)上，這里可以通過F(x)在x=0處的三階導(dǎo)大于零，得到切點(diǎn)(0,F(0))同時是一個由凸轉(zhuǎn)凹的拐點(diǎn)，從而快速判斷上述不等式在x=0兩側(cè)的不等號方向．下文類同（可以發(fā)現(xiàn)，后文的不等式都是在切點(diǎn)兩側(cè)不等號相反）．本知識點(diǎn)（拐點(diǎn)及其判定）超出高考要求，有興趣的同學(xué)可以拓展研究一下．

2．在x=1點(diǎn)附近用g(x)=ax^{2}＋bx＋c逼近f(x)=lnx：

說明：實(shí)際上，上述二次函數(shù)逼近，就是二階泰勒公式．這里就不做展開了．

下面我們來確認(rèn)，二次函數(shù)放縮是否比之前的切線放縮更加逼近被近似函數(shù)？

以e^{x}在x=0的右側(cè)為例，由e^{x}≥1+x+\frac{1}{2}x^{2}≥1+x，顯然二次函數(shù)放縮更加逼近被近似函數(shù)．

本文最后列出完整的“不等式鏈”，讀者可以體會放縮誤差的大?。?/p>

放縮不等式總結(jié)第2篇一、一元一次不等式的解法：

一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法類似，其步驟為：

1、去分母；

2、去括號；

3、移項(xiàng)；

4、合并同類項(xiàng)；

5、系數(shù)化為1

二、不等式的基本性質(zhì)：

1、不等式的兩邊都加上（或減去）同一個整式，不等號的方向不變；

2、不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；

3、不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。

三、不等式的解：

能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

四、不等式的解集：

一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。

五、解不等式的依據(jù)不等式的基本性質(zhì)：

性質(zhì)1：不等式兩邊加上（或減去）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變，

性質(zhì)2：不等式兩邊乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，

性質(zhì)3：不等式兩邊乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變，

常見考法

（1）考查一元一次不等式的解法；

（2）考查不等式的性質(zhì)。

誤區(qū)提醒

忽略不等號變向問題。

初中數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識點(diǎn)歸納

有理數(shù)乘法的運(yùn)算律

1、乘法的交換律：ab=ba；

2、乘法的結(jié)合律：（ab）c=a（bc）；

3、乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac

單項(xiàng)式

只含有數(shù)字與字母的積的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。

注意：單項(xiàng)式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的。

多項(xiàng)式

1、幾個單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。其中每個單項(xiàng)式叫做這個多項(xiàng)式的項(xiàng)。多項(xiàng)式中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個多項(xiàng)式的次數(shù)。

2、同類項(xiàng)所有字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。幾個常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)。

提高數(shù)學(xué)思維的方法

轉(zhuǎn)化思維

轉(zhuǎn)化思維，既是一種方法，也是一種思維。轉(zhuǎn)化思維，是指在解決問題的過程中遇到障礙時，通過改變問題的.方向，從不同的角度，把問題由一種形式轉(zhuǎn)換成另一種形式，尋求最佳方法，使問題變得更簡單、清晰。

創(chuàng)新思維

創(chuàng)新思維是指以新穎獨(dú)創(chuàng)的方法解決問題的思維過程，通過這種思維能突破常規(guī)思維的界限，以超常規(guī)甚至反常規(guī)的方法、視角去思考問題，得出與眾不同的解

要培養(yǎng)質(zhì)疑的習(xí)慣

在家庭教育中，家長要經(jīng)常引導(dǎo)孩子主動提問，學(xué)會質(zhì)疑、反省，并逐步養(yǎng)成習(xí)慣。

在孩子放學(xué)回家后，讓孩子回顧當(dāng)天所學(xué)的知識：老師如何講解的，同學(xué)是如何回答的？當(dāng)孩子回答出來之后，接著追問：“為什么？”“你是怎樣想的？”啟發(fā)孩子講出思維的過程并盡量讓他自己作出評價。

有時，可以故意制造一些錯誤讓孩子去發(fā)現(xiàn)、評價、思考。通過這樣的訓(xùn)練，孩子會在思維上逐步形成獨(dú)立見解，養(yǎng)成一種質(zhì)疑的習(xí)慣。

放縮不等式總結(jié)第3篇一、目標(biāo)與要求

1.感受生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式和一元一次不等式的意義，通過解決簡單的實(shí)際問題，使學(xué)生自發(fā)地尋找不等式的解，會把不等式的解集正確地表示到數(shù)軸上;

2.經(jīng)歷由具體實(shí)例建立不等模型的過程，經(jīng)歷探究不等式解與解集的不同意義的過程，滲透數(shù)形結(jié)合思想;

3.通過對不等式、不等式解與解集的探究，引導(dǎo)學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上積極參與對數(shù)學(xué)問題的討論，培養(yǎng)他們的合作交流意識;讓學(xué)生充分體會到生活中處處有數(shù)學(xué)，并能將它們應(yīng)用到生活的各個領(lǐng)域。

二、知識框架

三、重點(diǎn)

理解并掌握不等式的性質(zhì);

正確運(yùn)用不等式的性質(zhì);

建立方程解決實(shí)際問題，會解_ax+b=cx+d_類型的一元一次方程;

尋找實(shí)際問題中的不等關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型;

一元一次不等式組的解集和解法。

四、難點(diǎn)

一元一次不等式組解集的理解;

弄清列不等式解決實(shí)際問題的思想方法，用去括號法解一元一次不等式;

正確理解不等式、不等式解與解集的意義，把不等式的解集正確地表示到數(shù)軸上。

五、知識點(diǎn)、概念總結(jié)

1.不等式：用符號_<_，_>_，_≤_，_≥_表示大小關(guān)系的式子叫做不等式。

2.不等式分類：不等式分為嚴(yán)格不等式與非嚴(yán)格不等式。

一般地，用純粹的大于號、小于號_>_，_<_連接的不等式稱為嚴(yán)格不等式，用不小于號(大于或等于號)、不大于號(小于或等于號)_≥_，_≤_連接的不等式稱為非嚴(yán)格不等式，或稱廣義不等式。

3.不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

4.不等式的解集：一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。

5.不等式解集的表示方法：

(1)用不等式表示：一般的，一個含未知數(shù)的不等式有無數(shù)個解，其解集是一個范圍，這個范圍可用最簡單的'不等式表達(dá)出來，例如：x-1≤2的解集是x≤3

(2)用數(shù)軸表示：不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來，形象地說明不等式有無限多個解，用數(shù)軸表示不等式的解集要注意兩點(diǎn)：一是定邊界線;二是定方向。

6.解不等式可遵循的一些同解原理

(1)不等式F(x)<G(x)與不等式G(x)>F(x)同解。

(2)如果不等式F(x)<G(x)的定義域被解析式H(x)的定義域所包含，那么不等式F(x)<G(x)與不等式H(x)+F(x)

(3)如果不等式F(x)<G(x)的定義域被解析式H(x)的定義域所包含，并且H(x)>0，那么不等式F(x)<G(x)與不等式H(x)F(x)0，那么不等式F(x)<G(x)與不等式H(x)F(x)>H(x)G(x)同解。

7.不等式的性質(zhì)：

(1)如果x>y，那么yy;(對稱性)

(2)如果x>y，y>z;那么x>z;(傳遞性)

(3)如果x>y，而z為任意實(shí)數(shù)或整式，那么x+z>y+z;(加法則)

(4)如果x>y，z>0，那么xz>yz;如果x>y，z<0，那么xz

(5)如果x>y，z>0，那么x÷z>y÷z;如果x>y，z<0，那么x÷z

(6)如果x>y，m>n，那么x+m>y+n(充分不必要條件)

(7)如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn

(8)如果x>y>0，那么x的n次冪>y的n次冪(n為正數(shù))

8.一元一次不等式：不等式的左、右兩邊都是整式，只有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，像這樣的不等式，叫做一元一次不等式。

9.解一元一次不等式的一般順序：

(1)去分母(運(yùn)用不等式性質(zhì)2、3)

(2)去括號

(3)移項(xiàng)(運(yùn)用不等式性質(zhì)1)

(4)合并同類項(xiàng)

(5)將未知數(shù)的系數(shù)化為1(運(yùn)用不等式性質(zhì)2、3)

(6)有些時候需要在數(shù)軸上表示不等式的解集

10.一元一次不等式與一次函數(shù)的綜合運(yùn)用：

一般先求出函數(shù)表達(dá)式，再化簡不等式求解。

11.一元一次不等式組：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成

了一個一元一次不等式組。

12.解一元一次不等式組的步驟：

(1)求出每個不等式的解集;

(2)求出每個不等式的解集的公共部分;(一般利用數(shù)軸)

(3)用代數(shù)符號語言來表示公共部分。(也可以說成是下結(jié)論)

放縮不等式總結(jié)第4篇不等式與不等式組

1.定義：

用符號〉，=，〈號連接的式子叫不等式。

2.性質(zhì)：

①不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號方向不變。

②不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數(shù)，不等號方向不變。

③不等式的兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號方向相反。

3.分類：

①一元一次不等式：左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫一元一次不等式。

②一元一次不等式組：

a.關(guān)于同一個未知數(shù)的'幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。

b.一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集。

4.考點(diǎn)：

①解一元一次不等式(組)

②根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列不等式(組)并解決簡單實(shí)際問題

③用數(shù)軸表示一元一次不等式(組)的解集

放縮不等式總結(jié)第5篇在放縮不等式e^{x}≥x＋1中，將x代換成－x，得到：e^{-x}\geq-x+1，即\frac{1}{e^{x}}\geq1-x，即e^{x}\leq\frac{1}{1-x}（當(dāng)x<1時）．

在放縮不等式lnx≤x－1中，將x代換成\frac{1}{x}，得到：ln\frac{1}{x}\leq\frac{1}{x}-1，即-lnx\leq\frac{1}{x}-1，即lnx\geq1-\frac{1}{x}．

兩組函數(shù)圖象如下：

上述，代換的思想，在后續(xù)還會不斷用到．

放縮不等式總結(jié)第6篇由于指數(shù)函數(shù)y=e^{x}與對數(shù)函數(shù)y=lnx互為反函數(shù)，若當(dāng)x≥0時，e^{x}≥f(x)，且f(x)是單值的，則當(dāng)x≥1時，lnx≤f^{-1}(x)，反之亦然．也有的時候，不等號在x=0的兩側(cè)（對于lnx來說是x=1的兩側(cè)）是一致的，即若?x∈R，e^{x}≥f(x)，且f(x)是單值的，則當(dāng)x>0時，lnx≤f^{-1}(x)，反之亦然．我們可以通過研究指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之一，從而獲得“對稱”的另一個結(jié)論．

事實(shí)上，前述“一、切線放縮”中，由e^{x}≥x＋1，且y=x＋1是單值的，兩邊同時取反函數(shù)，可