專題20圓(原卷版+解析)

專題20圓該部分內(nèi)容在全國各地的中考均屬于必考知識，其中主要包括：圓的有關(guān)概念、圓的對稱性、圓周角及圓心角、直線與圓的位置關(guān)系、扇形弧長及面積、圓錐側(cè)面積的計算等內(nèi)容，每年涉及到圓的知識考查分值約有15分，比重還是比較大的，多以中等難度的選擇、填空題以及中等較偏難的綜合性解答題考查為主，對于大多數(shù)考生來說屬于不易拿分的試題，一輪復(fù)習(xí)的時候務(wù)必掌握好相關(guān)基礎(chǔ)知識，力爭把非難題的分值拿下來，平時多加練習(xí)，萬變不離其宗，回歸知識本身，合理運用知識解答?？枷蛞唬簣A的概念與性質(zhì)1．與圓有關(guān)的概念和性質(zhì)圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形．弦與直徑：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，過圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內(nèi)最長的弦．?。簣A上任意兩點間的部分叫做弧，小于半圓的弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)?。畧A心角：頂點在圓心的角叫做圓心角．圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓還有一個交點的角叫做圓周角．弦心距：圓心到弦的距離．2．圓的對稱性圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸；圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形；圓具有旋轉(zhuǎn)不變性．3．圓的確定：不在同一直線上的三個點確定一個圓（圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。?．垂直于弦的直徑垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。普摚浩椒窒?不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?．圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量也相等．6．圓周角圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論1：在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等．推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑．1．下列說法中正確的說法有（

）個①到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形是圓；②長度相等的兩條弧是等??；③相等的圓心角所對的弧相等；④平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧；⑤圓周角的度數(shù)等于圓心角的一半；⑥直徑所對的圓周角是直角．A．1 B．2 C．3 D．42．如圖，AB，CD是的弦，延長AB，CD相交于點P．已知，，則的度數(shù)是（

）A．30° B．25° C．20° D．10°3．如圖，已知是的一條弦，，點M在上，且，若，則⊙O的半徑為（

）A．4 B．5 C．6 D．4．如圖，是的直徑，弦垂直平分，則的度數(shù)為____________．5．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠AOB＝96°，∠CAB＝60°，點D是的中點．求∠ABD的度數(shù)．6．如圖，在中，，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．7．如圖，的直徑與弦的延長線交于點E，若，，則等于（

）A． B． C． D．8．《九章算術(shù)》標志中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系，第九卷《勾股》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言可表述為：“如圖，是的直徑，弦于點，寸，寸，求直徑的長，”請你解答這個問題．9．如圖，為半圓O的直徑，點C、D在半圓上，沿、折疊半圓，若點A、B的對應(yīng)點落在同一點E處，則的度數(shù)為___________．考向二：直線與圓的位置關(guān)系1．點和圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：點P在圓外d＞r；點P在圓上d＝r；點P在圓內(nèi)d＜r．2.圓的確定：①過一點的圓有無數(shù)個；②過兩點的圓有無數(shù)個；③經(jīng)過在同一直線上的三點不能作圓；④不在同一直線上的三點確定一個圓。3．直線和圓的位置關(guān)系位置關(guān)系相離相切相交圖形公共點個數(shù)0個1個2個數(shù)量關(guān)系d>rd=rd<r（1）切線的判定切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．(會過圓上一點畫圓的切線)（2）切線的性質(zhì)：切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于過切點的半徑．（3）切線長和切線長定理切線長：經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長．切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．4．三角形的外接圓相關(guān)概念經(jīng)過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形．外心是三角形三條垂直平分線的交點，它到三角形的三個頂點的距離相等．5．三角形的內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點，它到三角形的三條邊的距離相等．1．如果的半徑為，點到圓心的距離為，則點和的位置關(guān)系是（

）A．點在內(nèi) B．點在上 C．點在外 D．不能確定2．如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BDC＝130°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．130° B．120° C．110° D．100°3．如圖，已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，則∠OCD的度數(shù)為_____°．4．如圖，與的的三邊分別相切于點D、E、F，若，則的半徑為（）A．5 B．4 C．3 D．25．如圖，點D為上一點，為的直徑，延長到點A，連接，，并過點B作，交于點F，交的延長線于點C，已知恰好為的平分線．(1)求證：為的切線；(2)若，，求線段的長．6．如圖，為的直徑，點C為上的一點，過點C作的切線，交直徑的延長線于點D；若，則的度數(shù)是（）A．23° B．44° C．46° D．57°7．已知圓內(nèi)接正六邊形的半徑為則該內(nèi)接正六邊形的邊心距為（

）A． B． C． D．8．已知⊙O的半徑為5，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝5，則∠ACB的度數(shù)為_____．9．如圖，PA、PB是⊙O的切線，若∠APO＝25°，則∠BPA＝_____．10．如圖，是的直徑，是的切線，切點為B，連接PO，過點C作交于點A，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，的半徑為3，求的長．考向三：與圓有關(guān)的計算1.正多邊形的有關(guān)概念：(1)正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.

(2)正多邊形的中心——正多邊形的外接圓的圓心.

(3)正多邊形的半徑——正多邊形的外接圓的半徑.

(4)正多邊形的邊心距——正多邊形中心到正多邊形各邊的距離.（正多邊形內(nèi)切圓的半徑）

(5)正多邊形的中心角——正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角.

2.正多邊形與圓的關(guān)系：

(1)將一個圓n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形.

(2)這個圓是這個正多邊形的外接圓.

（3）把圓分成n(n≥3)等分，經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形.這個圓叫做正n邊形的內(nèi)切圓.（4）任何正n邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓.

3.正多邊形性質(zhì)：

(1)任何正多邊形都有一個外接圓.

(2)正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心．當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時，它又是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似.它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．（4）任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓.

（5）正n邊形的有n個相等的外角，而正n邊形的外角和為360度，所以正n邊形每個外角的度數(shù)是；所以正n邊形的中心角等于它的外角.

（6）邊數(shù)相同的正多邊形相似.周長的比等于它們邊長（或半徑、邊心距）的比.面積比等于它們邊長（或半徑、邊心距）平方的比.4．弧長和扇形面積的計算：扇形的弧長l=；扇形的面積S==．5．圓錐與側(cè)面展開圖（1）圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長．（2）若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr，6．圓錐的側(cè)面積為S圓錐側(cè)=．圓錐的表面積：S圓錐表=S圓錐側(cè)+S圓錐底=πrl+πr2=πr·（l+r）．在求不規(guī)則圖形的面積時，注意利用割補法與等積變化方法歸為規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的公式求解．1．如圖，點，，是上的點，，，則的長是（

）A． B． C． D．2．如圖，在的方格中（共有16個小方格），每個小方格都是邊長為1的正方形，，，分別是小正方形的頂點，則扇形的面積等于（

）A． B． C． D．3．若圓錐的側(cè)面積為，底面半徑為5，則該圓錐的母線長是______．4．如圖，圓錐側(cè)面展開得到扇形，此扇形半徑，圓心角，求此圓錐高的長度.5．一個扇形的弧長是，半徑是4，則該扇形的圓心角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．6．在半徑為3的圓中，圓心角所對的弧長是______．7．如圖，將弧長為，圓心角為120°的扇形紙片圍成圓錐形紙帽，使扇形的兩條半徑與重合（接縫粘連部分忽略不計），求圓錐的底面圓半徑及圓錐的側(cè)面積．1．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）平面內(nèi)，⊙O的半徑為1，點P到O的距離為2，過點P可作⊙O的切線條數(shù)為（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條2．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）往直徑為的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，則水的最大深度為（

）A． B． C． D．3．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，是⊙的直徑，點C為圓上一點，的平分線交于點D，，則⊙的直徑為（

）A． B． C．1 D．24．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）扇形的半徑為2，圓心角為90°，則該扇形的面積（結(jié)果保留）為____________．5．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，從一塊半徑為的圓形鐵皮上剪出一個圓周角為120°的扇形，如果將剪下來的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的底面圓的半徑為_________．6．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，等腰直角三角形中，．分別以點B、點C為圓心，線段長的一半為半徑作圓弧，交、、于點D、E、F，則圖中陰影部分的面積為____．7．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，．(1)試判斷的形狀，并給出證明；(2)若，，求的長度．8．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，點E、F分別在線段、上，且．（1）求證：；（2）求證：以為直徑的圓與相切；（3）若，求的面積．9．(2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的弦，D，C為的三等分點，．（1）求證：；（2）若，，求的長．10．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在四邊形中，，，是的直徑，平分．（1）求證：直線與相切；（2）如圖2，記（1）中的切點為，為優(yōu)弧上一點，，.求的值．11．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，，是的外接圓，過點作交于點，連接交于點，延長至點，使，連接.（1）求證：；（2）求證：是的切線；（3）如圖2，若點是的內(nèi)心，，求的長.12．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，為等邊的外接圓，半徑為2，點在劣弧上運動（不與點重合），連接，，．（1）求證：是的平分線；（2）四邊形的面積是線段的長的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式；如果不是，請說明理由；（3）若點分別在線段，上運動（不含端點），經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點運動到每一個確定的位置，的周長有最小值，隨著點的運動，的值會發(fā)生變化，求所有值中的最大值．1．已知的半徑為5，直線與有2個公共點，則點到直線的距離可能是（

）A．3 B．5 C．7 D．92．如圖，，是的兩條半徑，點在上，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．3．如圖，正五邊形內(nèi)接于，點在弧上．若，則的大小為（

）A．38° B．42° C．48° D．58°4．將一個底面直徑為6cm，母線長為10cm的圓錐沿一條母線剪開，所得的側(cè)面展開圖的面積為_____cm2．5．如圖，P是矩形對角線上的一個動點，以點P為圓心，長為半徑作．若且，當(dāng)與矩形的邊相切時，的長為______．6．如圖，扇形紙片的半徑為2，沿折疊扇形紙片，點O恰好落在上的點C處，圖中陰影部分的面積為______．7．如圖，在中，，為上的一點，以為直徑的半圓與交于點，且切于點．(1)求證：；(2)若，，求的長．8．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于E，連接AC，OC，BC．（1）求證：∠1=∠2；（2）若，求⊙O的半徑的長．9．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，為的直徑，點B是弧的中點，在線段的延長線上取一點E，使.(1)求證：為的切線；(2)若，，求線段的長．10．如圖，圓O為的外接圓，延長線與交于點D，，點F在上，平分．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連結(jié)，求證：；(3)如圖3，連結(jié)并延長分別交，于G，H兩點，若，，求．專題20圓該部分內(nèi)容在全國各地的中考均屬于必考知識，其中主要包括：圓的有關(guān)概念、圓的對稱性、圓周角及圓心角、直線與圓的位置關(guān)系、扇形弧長及面積、圓錐側(cè)面積的計算等內(nèi)容，每年涉及到圓的知識考查分值約有15分，比重還是比較大的，多以中等難度的選擇、填空題以及中等較偏難的綜合性解答題考查為主，對于大多數(shù)考生來說屬于不易拿分的試題，一輪復(fù)習(xí)的時候務(wù)必掌握好相關(guān)基礎(chǔ)知識，力爭把非難題的分值拿下來，平時多加練習(xí)，萬變不離其宗，回歸知識本身，合理運用知識解答?？枷蛞唬簣A的概念與性質(zhì)1．與圓有關(guān)的概念和性質(zhì)圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形．弦與直徑：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，過圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內(nèi)最長的弦．?。簣A上任意兩點間的部分叫做弧，小于半圓的弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)?。畧A心角：頂點在圓心的角叫做圓心角．圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓還有一個交點的角叫做圓周角．弦心距：圓心到弦的距離．2．圓的對稱性圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸；圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形；圓具有旋轉(zhuǎn)不變性．3．圓的確定：不在同一直線上的三個點確定一個圓（圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。?．垂直于弦的直徑垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。普摚浩椒窒?不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?．圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量也相等．6．圓周角圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論1：在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等．推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑．1．下列說法中正確的說法有（

）個①到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形是圓；②長度相等的兩條弧是等??；③相等的圓心角所對的弧相等；④平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的?。虎輬A周角的度數(shù)等于圓心角的一半；⑥直徑所對的圓周角是直角．A．1 B．2 C．3 D．4答案:B分析：根據(jù)圓相關(guān)定義，垂徑定理，圓周角定理，逐項分析判斷即可求解．【詳解】①到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形是圓，故①正確；②同圓或等圓中，長度相等的兩條弧是等弧，故②錯誤，③同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等，故③錯誤；④平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，故④錯誤；⑤同圓或等圓中，同弧所對的圓周角的度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半，故⑤錯誤；⑥直徑所對的圓周角是直角，正確，符合題意．故正確的是①⑥，故選：B．【點睛】本題考查了圓相關(guān)定義，垂徑定理，圓周角定理，掌握圓的相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．2．如圖，AB，CD是的弦，延長AB，CD相交于點P．已知，，則的度數(shù)是（

）A．30° B．25° C．20° D．10°答案:C分析：如圖，連接OB，OD，AC，先求解，再求解，從而可得，再利用周角的含義可得，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接OB，OD，AC，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴．∴的度數(shù)20°．故選：C．【點睛】本題考查的是圓心角與弧的度數(shù)的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握“圓心角與弧的度數(shù)的關(guān)系”是解本題的關(guān)鍵．3．如圖，已知是的一條弦，，點M在上，且，若，則⊙O的半徑為（

）A．4 B．5 C．6 D．答案:B分析：過點于點，連接，利用垂徑定理可得，在中，，再在中，，問題得解．【詳解】過點于點，連接，∵，，∴，則，在中，，在中，，則：，∴，故選：B．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理是解決問題的關(guān)鍵．4．如圖，是的直徑，弦垂直平分，則的度數(shù)為____________．答案:分析：連接OC，由弦CD垂直平分OB，E為OB的中點，可得出OE為OC的一半，利用直角三角形中一直角邊等于斜邊的一半得到這條直角邊所對的角為，得到，進而得出結(jié)論．【詳解】連接OC，∵弦CD垂直平分OB，∴，又，在中，，∴，∵圓心角與圓周角都對，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了垂徑定理，含直角三角形的性質(zhì)，以及圓周角定理，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．5．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠AOB＝96°，∠CAB＝60°，點D是的中點．求∠ABD的度數(shù)．答案:∠ABD=102°．分析：根據(jù)∠CAB＝60°，可得，再由點D是的中點可得，由圓周角定理可知∠CBD＝30°，由此即可求出∠ABD的度數(shù)．【詳解】解：∠AOB＝96°，∴∠ACB＝48°，∵∠CAB＝60°，∴∠ABC＝180°-∠ACB-∠CAB=72°，，又∵點D是的中點，∴，∴∠CBD＝30°，∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝102°．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，找準同弧所對圓周角和圓心角是解題關(guān)鍵．6．如圖，在中，，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．答案:D分析：利用平行線的性質(zhì)可得，再利用圓周角定理可以得到．【詳解】解：∵，，∴，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查圓周角定理、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理．7．如圖，的直徑與弦的延長線交于點E，若，，則等于（

）A． B． C． D．答案:B分析：連接，易得，利用三角形外角的性質(zhì)得到，，進行求解即可．【詳解】解：連接，則：，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；故選B．【點睛】本題考查圓的認識，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．熟練掌握圓內(nèi)半徑均相等，得到等腰三角形，是解題的關(guān)鍵．8．《九章算術(shù)》標志中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系，第九卷《勾股》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言可表述為：“如圖，是的直徑，弦于點，寸，寸，求直徑的長，”請你解答這個問題．答案:直徑的長為寸分析：連接，設(shè)的半徑為r，利用垂徑定理得到寸，再利用勾股定理求解即可．【詳解】接：連接，設(shè)的半徑為r，∵是的直徑，，∴，，在中，根據(jù)勾股定理得，∴，解得，∴，即直徑的長為寸．【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解答的關(guān)鍵．9．如圖，為半圓O的直徑，點C、D在半圓上，沿、折疊半圓，若點A、B的對應(yīng)點落在同一點E處，則的度數(shù)為___________．答案:##度分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，再根據(jù)平角的定義得到，再根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求出，，再根據(jù)進行求解即可．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知，∵，∴，∵，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，等邊對等角，折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等等，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．考向二：直線與圓的位置關(guān)系1．點和圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：點P在圓外d＞r；點P在圓上d＝r；點P在圓內(nèi)d＜r．2.圓的確定：①過一點的圓有無數(shù)個；②過兩點的圓有無數(shù)個；③經(jīng)過在同一直線上的三點不能作圓；④不在同一直線上的三點確定一個圓。3．直線和圓的位置關(guān)系位置關(guān)系相離相切相交圖形公共點個數(shù)0個1個2個數(shù)量關(guān)系d>rd=rd<r（1）切線的判定切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．(會過圓上一點畫圓的切線)（2）切線的性質(zhì)：切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于過切點的半徑．（3）切線長和切線長定理切線長：經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長．切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．4．三角形的外接圓相關(guān)概念經(jīng)過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形．外心是三角形三條垂直平分線的交點，它到三角形的三個頂點的距離相等．5．三角形的內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點，它到三角形的三條邊的距離相等．1．如果的半徑為，點到圓心的距離為，則點和的位置關(guān)系是（

）A．點在內(nèi) B．點在上 C．點在外 D．不能確定答案:A分析：已知圓的半徑為，點到圓心的距離是，①當(dāng)時，點在內(nèi)，②當(dāng)時，點在上，③當(dāng)時，點在外，根據(jù)以上內(nèi)容判斷即可．【詳解】解：∵的半徑為，點到圓心的距離為，∴點在內(nèi)．故選：A．【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，掌握點與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BDC＝130°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．130° B．120° C．110° D．100°答案:D分析：根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出，再根據(jù)圓周角定理即可求出的度數(shù)．【詳解】∵四邊形內(nèi)接于，∴，而，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．3．如圖，已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，則∠OCD的度數(shù)為_____°．答案:54分析：根據(jù)正五邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵多邊形ABCDE是正五邊形，∴∠COD==72°，∵OC=OD，∴∠OCD=×（180°-72°）=54°，故答案為：54．【點睛】本題主要考查了正多邊形與圓，多邊形內(nèi)角與外角的知識點，解答本題的關(guān)鍵是求出正五邊形中心角的度數(shù)．4．如圖，與的的三邊分別相切于點D、E、F，若，則的半徑為（）A．5 B．4 C．3 D．2答案:D分析：連接，首先根據(jù)切線長定理得到，，然后證明出四邊形是正方形，然后設(shè)，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】如圖，連接，∵與相切，∴，，，，，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴矩形是正方形，∴，設(shè)，中，，，，由勾股定理得，，∴，∴（舍去），∴，故選：D．【點睛】此題考查了三角形的內(nèi)切圓，切線長定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．5．如圖，點D為上一點，為的直徑，延長到點A，連接，，并過點B作，交于點F，交的延長線于點C，已知恰好為的平分線．(1)求證：為的切線；(2)若，，求線段的長．答案:(1)證明見解析(2)分析：（1）根據(jù)角平分線定義及等邊對等角易證，從而證得，再由，利用平行線的性質(zhì)及切線定義即可得出結(jié)論；（2）連接，根據(jù)三角函數(shù)，可得，，再根據(jù)平行線的判定可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角函數(shù)，即可得到．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，平分，，，，，，，，，，又是的半徑，為的切線．（2）如圖2，連接，，，，，設(shè)，則，是的切線，，，，解得，，，為直徑，，，，，即，．【點睛】本題考查切線的性質(zhì)與判定、銳角三角函數(shù)，平行線的判定和性質(zhì)、角平分線的定義和等腰三角形的性質(zhì)，熟練運用平行線的性質(zhì)和判定證明是的切線是解題的關(guān)鍵．6．如圖，為的直徑，點C為上的一點，過點C作的切線，交直徑的延長線于點D；若，則的度數(shù)是（）A．23° B．44° C．46° D．57°答案:B分析：連接，由切線的性質(zhì)可得由圓周角定理可求得的度數(shù)，再由直角三角形兩銳角互余即可求得答案．【詳解】解：連接，如圖，為的切線，，，，．故選：B．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理等，正確添加輔助線，熟練運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．7．已知圓內(nèi)接正六邊形的半徑為則該內(nèi)接正六邊形的邊心距為（

）A． B． C． D．答案:C分析：構(gòu)建直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系即可求出．【詳解】解：連接OA，作OM⊥AB于M，得到∠AOM=30°，AB=2，則AM=，因而OM=OA?cos30°=3，∴正六邊形的邊心距是3．故選：C．【點睛】此題主要考查了正多邊形和圓、解直角三角形，正確掌握正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．已知⊙O的半徑為5，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝5，則∠ACB的度數(shù)為_____．答案:45°或135°．分析：當(dāng)點C在優(yōu)弧AB時，如圖，由⊙O的半徑為5，得到BC＝10，∠BAC＝90°，當(dāng)點C在劣弧AB時，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)點C在優(yōu)弧AB時，如圖，∵⊙O的半徑為5，∴BC＝10，∠BAC＝90°，∵AB＝5，∴AC＝＝5，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠C＝45°，當(dāng)點C在劣弧AB時，∠C′＝180°﹣45°＝135°，綜上所述，∠ACB的度數(shù)為45°或135°，故答案為45°或135°．【點睛】本題考查三角形的外接圓與外心，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．9．如圖，PA、PB是⊙O的切線，若∠APO＝25°，則∠BPA＝_____．答案:50°分析：根據(jù)切線長定理得到∠BPO＝∠APO，結(jié)合圖形計算，得到答案．【詳解】解：∵PA、PB是⊙O的切線，∴∠BPO＝∠APO＝25°，∴∠BPA＝50°，故答案為：50°．【點睛】本題考查了切線長定理，熟知切線長定理的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，是的直徑，是的切線，切點為B，連接PO，過點C作交于點A，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，的半徑為3，求的長．答案:(1)見解析(2)AC的長為分析：（1）連接，證明，可得，由是的切線，可得，進而可證結(jié)論成立；（2）連接交于點D，可證垂直平分，設(shè)，利用勾股定理求出x的值，由圓周角定理可知，再利用勾股定理可求出的長．【詳解】（1）連接．∵，∴．∵，∴，∴，∵，∴，∴．∵是的切線，∴，∴，∴是的切線；（2）連接交于點D．∵的半徑為3，∴．∵，∴，∵，∴垂直平分，∵，∴設(shè)，∵，∴，解得，∴，∵，∴，∴，∴．∵是的直徑，∴，∴．【點睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，以及銳角三角函數(shù)的知識，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．考向三：與圓有關(guān)的計算1.正多邊形的有關(guān)概念：(1)正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.

(2)正多邊形的中心——正多邊形的外接圓的圓心.

(3)正多邊形的半徑——正多邊形的外接圓的半徑.

(4)正多邊形的邊心距——正多邊形中心到正多邊形各邊的距離.（正多邊形內(nèi)切圓的半徑）

(5)正多邊形的中心角——正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角.

2.正多邊形與圓的關(guān)系：

(1)將一個圓n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形.

(2)這個圓是這個正多邊形的外接圓.

（3）把圓分成n(n≥3)等分，經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形.這個圓叫做正n邊形的內(nèi)切圓.（4）任何正n邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓.

3.正多邊形性質(zhì)：

(1)任何正多邊形都有一個外接圓.

(2)正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心．當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時，它又是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似.它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．（4）任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓.

（5）正n邊形的有n個相等的外角，而正n邊形的外角和為360度，所以正n邊形每個外角的度數(shù)是；所以正n邊形的中心角等于它的外角.

（6）邊數(shù)相同的正多邊形相似.周長的比等于它們邊長（或半徑、邊心距）的比.面積比等于它們邊長（或半徑、邊心距）平方的比.4．弧長和扇形面積的計算：扇形的弧長l=；扇形的面積S==．5．圓錐與側(cè)面展開圖（1）圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長．（2）若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr，6．圓錐的側(cè)面積為S圓錐側(cè)=．圓錐的表面積：S圓錐表=S圓錐側(cè)+S圓錐底=πrl+πr2=πr·（l+r）．在求不規(guī)則圖形的面積時，注意利用割補法與等積變化方法歸為規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的公式求解．1．如圖，點，，是上的點，，，則的長是（

）A． B． C． D．答案:A分析：根據(jù)同弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系，得出，代入弧長計算公式即可．【詳解】∵所對的圓周角，所對的圓心角為，∴，∴的長是，故選：A【點睛】本題考查同弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系及弧長的計算公式，解題的關(guān)鍵是求出．2．如圖，在的方格中（共有16個小方格），每個小方格都是邊長為1的正方形，，，分別是小正方形的頂點，則扇形的面積等于（

）A． B． C． D．答案:A分析：根據(jù)題意求出扇形的半徑為，，再根據(jù)扇形的面積公式即可求解．【詳解】解：由題意得扇形的半徑為，，∴扇形的面積為．故選：A【點睛】本題為格點問題，考查了勾股定理，扇形面積公式等知識，熟知勾股定理和扇形面積公式是解題關(guān)鍵．3．若圓錐的側(cè)面積為，底面半徑為5，則該圓錐的母線長是______．答案:5分析：根據(jù)圓錐的側(cè)面積，列出方程求解即可．【詳解】解：∵圓錐的側(cè)面積為，底面半徑為5，∴．解得：，故答案為：5．【點睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積，解題關(guān)鍵是熟記圓錐的側(cè)面積公式，列出方程進行求解．4．如圖，圓錐側(cè)面展開得到扇形，此扇形半徑，圓心角，求此圓錐高的長度.答案:分析：設(shè)圓錐底面圓的半徑為，根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖的扇形的弧長=底面圓的周長求出底面圓的半徑，再根據(jù)勾股定理即可求出結(jié)果.【詳解】解：設(shè)圓錐底面圓的半徑為，∵，∴的長，∴，即：，在中，，根據(jù)勾股定理得，.【點睛】本題考查了圓錐的相關(guān)知識，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖的弧長與其底面圓的半徑的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.5．一個扇形的弧長是，半徑是4，則該扇形的圓心角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．答案:B分析：利用弧長公式求解即可．【詳解】解：設(shè)圓心角為，根據(jù)題意得：，解得：，∴該扇形的圓心角的度數(shù)是，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了弧長公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形的弧長公式．6．在半徑為3的圓中，圓心角所對的弧長是______．答案:分析：根據(jù)弧長公式計算即可．【詳解】弧長故答案為：．【點睛】本題考查的是弧長計算，掌握弧長公式：是解題的關(guān)鍵．7．如圖，將弧長為，圓心角為120°的扇形紙片圍成圓錐形紙帽，使扇形的兩條半徑與重合（接縫粘連部分忽略不計），求圓錐的底面圓半徑及圓錐的側(cè)面積．答案:圓錐的底面圓半徑為3；圓錐的側(cè)面積為．分析：直接利用圓的周長公式即可求出圓的半徑長，根據(jù)扇形的面積公式即可求出圓錐的側(cè)面展開圖的面積；【詳解】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，則，解得，設(shè)扇形的半徑為，則，解得，∴圓錐的側(cè)面積．【點睛】本題考查了圓錐的展開圖問題，正確以及圓的周長公式以及扇形面積公式是解題的關(guān)鍵；1．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）平面內(nèi)，⊙O的半徑為1，點P到O的距離為2，過點P可作⊙O的切線條數(shù)為（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條答案:C分析：首先判斷點與圓的關(guān)系，然后再分析P可作⊙O的切線條數(shù)即可解答.【詳解】解：因為點P到O的距離為2，大于半徑1，所以點P在圓外，所以，過點P可作⊙O的切線有2條；故選C.【點睛】本題考查了點與圓的關(guān)系、切線的定義，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.2．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）往直徑為的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，則水的最大深度為（

）A． B． C． D．答案:C分析：過點O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，根據(jù)垂徑定理即可求得AD的長，又由⊙O的直徑為，求得OA的長，然后根據(jù)勾股定理，即可求得OD的長，進而求得油的最大深度的長．【詳解】解：過點O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，由垂徑定理得：，∵⊙O的直徑為，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴油的最大深度為，故選：．【點睛】本題主要考查了垂徑定理的知識．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意輔助線的作法，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決．3．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，是⊙的直徑，點C為圓上一點，的平分線交于點D，，則⊙的直徑為（

）A． B． C．1 D．2答案:B分析：過D作DE⊥AB垂足為E，先利用圓周角的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得到DE=DC=1，再說明Rt△DEB≌Rt△DCB得到BE=BC，然后再利用勾股定理求得AE，設(shè)BE=BC=x，AB=AE+BE=x+，最后根據(jù)勾股定理列式求出x，進而求得AB．【詳解】解：如圖：過D作DE⊥AB，垂足為E∵AB是直徑∴∠ACB=90°∵∠ABC的角平分線BD∴DE=DC=1在Rt△DEB和Rt△DCB中DE=DC、BD=BD∴Rt△DEB≌Rt△DCB（HL）∴BE=BC在Rt△ADE中，AD=AC-DC=3-1=2AE=設(shè)BE=BC=x，AB=AE+BE=x+在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2則（x+）2=32+x2，解得x=∴AB=+=2故填：2．【點睛】本題主要考查了圓周角定理、角平分線的性質(zhì)以及勾股定理等知識點，靈活應(yīng)用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．4．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）扇形的半徑為2，圓心角為90°，則該扇形的面積（結(jié)果保留）為____________．答案:分析：根據(jù)扇形面積公式可直接進行求解．【詳解】解：由題意得：該扇形的面積為；故答案為．【點睛】本題主要考查扇形面積公式，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．5．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，從一塊半徑為的圓形鐵皮上剪出一個圓周角為120°的扇形，如果將剪下來的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的底面圓的半徑為_________．答案:分析：連接OA，OB，證明△AOB是等邊三角形，繼而求得AB的長，然后利用弧長公式可以計算出的長度，再根據(jù)扇形圍成圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長即可作答．【詳解】連接OA，OB，則∠BAO=∠BAC==60°，又∵OA=OB，∴△AOB是等邊三角形，∴AB=OA=1，∵∠BAC=120°，∴的長為：，設(shè)圓錐底面圓的半徑為r故答案為．【點睛】本題主要考查了弧長公式以及扇形弧長與底面圓周長相等的知識點，借助等量關(guān)系即可算出底面圓的半徑．6．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，等腰直角三角形中，．分別以點B、點C為圓心，線段長的一半為半徑作圓弧，交、、于點D、E、F，則圖中陰影部分的面積為____．答案:分析：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求出AC的長，根據(jù)S陰影=S△ABC-2S扇形CEF即可得答案．【詳解】∵等腰直角三角形中，，∴AC=AB=，∠B=∠C=45°，∴S陰影=S△ABC-2S扇形CEF==，故答案為：【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)及扇形面積，熟練掌握面積公式是解題關(guān)鍵．7．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，．(1)試判斷的形狀，并給出證明；(2)若，，求的長度．答案:(1)△ABC是等腰直角三角形；證明見解析；(2)；分析：（1）根據(jù)圓周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根據(jù)等弧對等角可得∠ACB=∠CAB，即可證明；（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；【詳解】（1）證明：∵AC是圓的直徑，則∠ABC=∠ADC=90°，∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，∴∠ACB=∠CAB，∴△ABC是等腰直角三角形；（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AB=，∴AC=，Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，則CD=，∴CD=．【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識；掌握等弧對等角是解題關(guān)鍵．8．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，點E、F分別在線段、上，且．（1）求證：；（2）求證：以為直徑的圓與相切；（3）若，求的面積．答案:（1）見解析；（2）見解析；（3）分析：(1)設(shè)，進而求得，再由即可求得；(2)取中點O，過點O作，由梯形中位線定理得到，利用得到，進而，由此即可證明；(3)過點D，點A分別向作垂線交于點M，N，得到，分別求出，再代入求解即可．【詳解】解：(1)∵，設(shè)，∴，∵CD∥AB，∴，又∵，∴，∴，∴．(2)如圖，取中點O，過點O作，∵CD∥AB，∠ABC=90°，∴，又∵，∴OM∥AB，∴M為中點，∴，∵，又∵，∴，又∵，∴，∴以為直徑的圓與相切．(3)∵∠DFE=120°，CD∥EF∥AB，∴，又∵∴為等邊三角形，，∵CD∥EF，∴，由(2)得：，∴，∴，∵，在中，三邊之比為，∴，在中，三邊之比為，∴，如圖，過點D，點A分別向作垂線交于點M，N，∵，∴四邊形為矩形，∴，同理，四邊形BENA為矩形，∴，．【點睛】本題考查了等腰三角形等腰對等角、梯形中位線定理、割補法求四邊形的面積、圓的切線的證明方法等，熟練掌握各圖形的基本性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．9．(2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的弦，D，C為的三等分點，．（1）求證：；（2）若，，求的長．答案:（1）見解析；（2）分析：（1）根據(jù)題意，連接，通過證明，再由可證四邊形為平行四邊形，進而即可得到；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及D，C為的三等分點可證，得到，進而求得即可得到的長．【詳解】（1）如圖連接，∵A、D、C、B四點共圓∴又∴∵D，C為的三等分點∴∴∴∴，又∴四邊形為平行四邊形∴即原題中；（2）∵四邊形為平行四邊形，∴∵D，C為的三等分點，∴，∴，，∵∴∴∴，即∴∴．【點睛】本題主要考查了圓中綜合知識、平行四邊形的性質(zhì)及判定及三角形相似的判定及性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)幾何綜合運用知識是解決本題的關(guān)鍵．10．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在四邊形中，，，是的直徑，平分．（1）求證：直線與相切；（2）如圖2，記（1）中的切點為，為優(yōu)弧上一點，，.求的值．答案:（1）證明見解析；（2）．分析：（1）如圖（見解析），先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；（2）如圖（見解析），先根據(jù)圓周角定理可得，，再根據(jù)圓的切線的判定、切線長定理可得，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，設(shè)，從而可得，又根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，最后根據(jù)正切三角函數(shù)的定義即可得．【詳解】（1）如圖，過點作于點∵，∴，即又∵平分，∴即OE是的半徑∴直線與相切；（2）如圖，連接，延長交延長線于點由圓周角定理得：，是的直徑，，AD、BC都是的切線由切線長定理得：∵∴在和中，∴∴設(shè)，則在和中，，即解得在中，則．【點睛】本題考查了圓的切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、切線長定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、正切三角函數(shù)等知識點，較難的是題（2），通過作輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．11．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，，是的外接圓，過點作交于點，連接交于點，延長至點，使，連接.（1）求證：；（2）求證：是的切線；（3）如圖2，若點是的內(nèi)心，，求的長.答案:（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）BG=5.分析：(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)圓周角定理以及可得，即可得ED=EC；(2)連接，可得，繼而根據(jù)以及三角形外角的性質(zhì)可以推導(dǎo)得出，可得，從而可得，問題得證；(3)證明，可得，從而求得，連接，結(jié)合三角形內(nèi)心可推導(dǎo)得出，繼而根據(jù)等腰三角形的判定可得.【詳解】(1)∵，∴，又∵，，∴，∴；(2)連接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴為的切線；(3)∵，，∴，∴，∴，∵，∴，連接，∴，，∵點為內(nèi)心，∴，又∵，∴，∴，∴.【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)心等知識，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.12．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，為等邊的外接圓，半徑為2，點在劣弧上運動（不與點重合），連接，，．（1）求證：是的平分線；（2）四邊形的面積是線段的長的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式；如果不是，請說明理由；（3）若點分別在線段，上運動（不含端點），經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點運動到每一個確定的位置，的周長有最小值，隨著點的運動，的值會發(fā)生變化，求所有值中的最大值．答案:(1)詳見解析；(2)是，；(3)分析：(1)根據(jù)等弧對等角的性質(zhì)證明即可；(2)延長DA到E,讓AE=DB,證明△EAC≌△DBC,即可表示出S的面積；(3)作點D關(guān)于直線BC、AC的對稱點D1、D2，當(dāng)D1、M、N、D共線時△DMN取最小值，可得t=D1D2，有對稱性推出在等腰△D1CD2中,t=，D與O、C共線時t取最大值即可算出．【詳解】(1)∵△ABC為等邊三角形,BC=AC，∴,都為圓，∴∠AOC=∠BOC=120°，∴∠ADC=∠BDC=60°，∴DC是∠ADB的角平分線．(2)是．如圖，延長DA至點E，使得AE=DB．連接EC，則∠EAC=180°－∠DAC＝∠DBC．∵AE＝DB，∠EAC＝∠DBC,AC＝BC，∴△EAC≌△DBC(SAS)，∴∠E=∠CDB=∠ADC=60°，故△EDC是等邊三角形，∵DC=x，∴根據(jù)等邊三角形的特殊性可知DC邊上的高為∴．(3)依次作點D關(guān)于直線BC、AC的對稱點D1、D2,根據(jù)對稱性C△DMN=DM+MN+ND=D1M+MN+ND2．∴D1、M、N、D共線時△DMN取最小值t,此時t=D1D2,由對稱有D1C=DC=D2C=x，∠D1CB=∠DCB，∠D2CA=∠DCA,∴∠D1CD2=∠D1CB+∠BCA+∠D2CA=∠DCB+60°+∠DCA=120°．∴∠CD1D2=∠CD2D1=60°，在等腰△D1CD2中,作CH⊥D1D2，則在Rt△D1CH中，根據(jù)30°特殊直角三角形的比例可得D1H=，同理D2H=∴t=D1D2=．∴x取最大值時,t取最大值．即D與O、C共線時t取最大值,x=4．所有t值中的最大值為．【點睛】本題考查圓與正多邊形的綜合以及動點問題，關(guān)鍵在于結(jié)合題意作出合理的輔助線轉(zhuǎn)移已知量．1．已知的半徑為5，直線與有2個公共點，則點到直線的距離可能是（

）A．3 B．5 C．7 D．9答案:A分析：根據(jù)題意得點到直線的距離小于圓的半徑，即可解答．【詳解】∵的半徑為5，直線與有2個公共點，∴點到直線的距離．故選：A．【點睛】本題考查了點、直線、圓的位置關(guān)系．熟練掌握直線與圓相交時，圓心到直線的距離小于半徑，是解題的關(guān)鍵．2．如圖，，是的兩條半徑，點在上，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．答案:B分析：根據(jù)圓周角定理求解即可．【詳解】解：∵，，∴，故選：B．【點睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握一條弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．3．如圖，正五邊形內(nèi)接于，點在弧上．若，則的大小為（

）A．38° B．42° C．48° D．58°答案:C分析：連接，，，根據(jù)五邊形是正五邊形，可求出的度數(shù)，由，可得的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理進一步求解即可．【詳解】如圖，連接，，，∵五邊形是正五邊形，∴，∵，∴，∴，∵正五邊形內(nèi)接于，∴，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了圓周角定理、正多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌