專題07旋轉(zhuǎn)模型(原卷版+解析)

專題07旋轉(zhuǎn)模型基本模型：例題精講例1．（三角形旋轉(zhuǎn)）如圖，在直角中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，連接，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到，連接交于點(diǎn)M．（1）如圖1，若，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，若，點(diǎn)N為上一點(diǎn)，，求證：；（3）如圖3，若，點(diǎn)D為直線上一動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)M，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的度數(shù)．例2．（四邊形旋轉(zhuǎn)）（1）如圖1，在四邊形中，，，點(diǎn)E、F分別在邊上，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．小明探究的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使，連接AG，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論是______．（2）如圖2，在四邊形中，，，點(diǎn)E、F分別在邊上，且，探究上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由．（3）如圖3，在四邊形中，，，若點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線上，仍然滿足，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系為______．【變式訓(xùn)練1】如圖，將兩塊含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如圖①擺放，連結(jié)AC，BD．（1）如圖①，猜想線段AC與BD存在怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)寫出結(jié)論并證明；（2）將圖①中的△COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖②），連結(jié)AC，BD，其他條件不變，線段AC與BD還存在（1）中的關(guān)系嗎？請(qǐng)寫出結(jié)論并說(shuō)明理由．（3）將圖①中的△COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖③），連結(jié)AC，BD，其他條件不變，線段AC與BD存在怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論．【變式訓(xùn)練2】【問(wèn)題背景】（1）如圖1，是正三角形外一點(diǎn)，，則？小明為了證明這個(gè)結(jié)論，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)請(qǐng)幫助小明完成他的作圖；【遷移應(yīng)用】（2）如圖2，在等腰中，，點(diǎn)在外部，使得，若，求；【拓展創(chuàng)新】（3）如圖3，在四邊形中，點(diǎn)在四邊形內(nèi)部．且，直接寫出的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練3】在中，在直線上，且．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求證：．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上且點(diǎn)在線段上時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練4】（1）操作發(fā)現(xiàn)：將等腰與等腰按如圖1方式疊放，其中，點(diǎn)，分別在，邊上，為的中點(diǎn)，連結(jié)，．小明發(fā)現(xiàn)，你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）思考探究：小明想：若將圖1中的等腰繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，上述結(jié)論會(huì)如何呢？為此進(jìn)行以下探究：探究一：將圖1中的等腰繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2），其他條件不變，發(fā)現(xiàn)結(jié)論依然成立．請(qǐng)你給出證明．探究二：將圖1中的等腰繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖3），其他條件不變，則結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

課后訓(xùn)練1．在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是直線BC上的一點(diǎn)（不與B，C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE，設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)，則α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)，則α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．2．如圖1，△ABC中，AB＝AC，過(guò)B點(diǎn)作射線BE，過(guò)C點(diǎn)作射線CF，使∠ABE＝∠ACF，且射線BE，CF交于點(diǎn)D，過(guò)A點(diǎn)作AM⊥BD于M．（1）探究∠BDC和∠CAB的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；（2）求證：BM＝DM+DC；（3）如圖2，將射線BE，CF分別繞點(diǎn)B和點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖位置，若∠ABE＝∠ACF仍然成立，射線BE交射線CF的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，過(guò)A點(diǎn)作AM⊥BD于M．請(qǐng)問(wèn)（2）中的結(jié)論是否還成立？如果成立，請(qǐng)證明．如果不成立，線段BM，DM，DC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．3．已知：△ABC和△ADE是兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，連接EC，取EC的中點(diǎn)M，連接BM和DM．（1）如圖1，如果點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，那么BM、DM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是；（2）將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由．4．如圖，在中，，點(diǎn)D在內(nèi)，，，點(diǎn)E在外，．(1)的度數(shù)為_______________；(2)小華說(shuō)是等腰三角形，小明說(shuō)是等邊三角形，___________的說(shuō)法更準(zhǔn)確，并說(shuō)明理由；(3)連接，若，求的長(zhǎng)．5．在內(nèi)有一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作，，垂足分別為，．且，點(diǎn)，分別在邊和上．（1）如圖1，若，請(qǐng)說(shuō)明；（2）如圖2，若，，猜想，，具有的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的結(jié)論成立的理由．6．如圖，中，于點(diǎn)，，點(diǎn)在上，，連接．（1）求證：；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，求的度數(shù)；（3）過(guò)點(diǎn)作，，連接交于點(diǎn)，若，，直接寫出的面積．7．如圖，△EBF為等腰直角三角形，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，四邊形ABCD是正方形．⑴求證：△ABE≌△CBF；⑵CF與AE有什么特殊的位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．8．已知：△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．連接AD，BC，點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，連接OH．（1）如圖1所示，求證：且

（2）將△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖2、圖3所示位置時(shí)，線段OH與AD又有怎樣的關(guān)系，并選擇一個(gè)圖形證明你的結(jié)論專題07旋轉(zhuǎn)模型基本模型：例題精講例1．（三角形旋轉(zhuǎn)）如圖，在直角中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，連接，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到，連接交于點(diǎn)M．（1）如圖1，若，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，若，點(diǎn)N為上一點(diǎn)，，求證：；（3）如圖3，若，點(diǎn)D為直線上一動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)M，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的度數(shù)．答案:（1）；（2）見解析；（3）或或【詳解】解：（1）∵，，∴BC=2AB=4，，∵∴，∴BD=AB=1，∴=BC-BD=4-1=3；（2）證明：如圖2，在BD上截取DF=EN，∵把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到，∴AD=AE，，，∵，∴，∴，∴AN=AF，，∵，，∴，∵，，∴，∵AN=AF，∴，∴，即F是BC的中點(diǎn)，∴AF=FC=DF+CD=EN+CD，∵AN=AF，∴；（3）解：由題意可得AD=AE，，∴，分三種情況：①AM=MD時(shí)，∵AM=MD，∴，∴，∵，∴；②AM=AD時(shí)，∵AM=AD，∴，∵，∴；③AD=MD時(shí)，∵AD=MD，∴，∴，∴，∵，∴．∴當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的度數(shù)為或或．例2．（四邊形旋轉(zhuǎn)）（1）如圖1，在四邊形中，，，點(diǎn)E、F分別在邊上，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．小明探究的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使，連接AG，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論是______．（2）如圖2，在四邊形中，，，點(diǎn)E、F分別在邊上，且，探究上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由．（3）如圖3，在四邊形中，，，若點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線上，仍然滿足，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系為______．答案:（1）；（2）仍成立，理由見解析；（3）．【詳解】解：（1）．理由：如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連接，證明和即可得出結(jié)論．在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴．故答案為：；（2）仍成立，理由：如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連接，∵，，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴（3）．證明：如圖3，在DC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使得，連接AG，∵，，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴．故答案為：．【變式訓(xùn)練1】如圖，將兩塊含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如圖①擺放，連結(jié)AC，BD．（1）如圖①，猜想線段AC與BD存在怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)寫出結(jié)論并證明；（2）將圖①中的△COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖②），連結(jié)AC，BD，其他條件不變，線段AC與BD還存在（1）中的關(guān)系嗎？請(qǐng)寫出結(jié)論并說(shuō)明理由．（3）將圖①中的△COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖③），連結(jié)AC，BD，其他條件不變，線段AC與BD存在怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論．答案:（1）AC=BD，AC⊥BD，證明見解析；（2）存在，AC=BD，AC⊥BD，證明見解析；（3）AC=BD，AC⊥BD【詳解】（1）AC=BD，AC⊥BD，證明：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E．∵△COD和△AOB均為等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠COA=∠BOD=90o，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，

∴∠OAC=∠OBD，∵∠ADE=∠BDO，∴∠AED=∠BOD=90o，∴AC⊥BD；（2）存在，證明：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)F，交AO于點(diǎn)G．∵△COD和△AOB均為等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90o，∵∠AOC=∠DOC－∠DOA，∠BOD=∠BOA－∠DOA，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∵∠AGF=∠BGO，∴∠AFG=∠BOG=90o，∴AC⊥BD；（3）AC=BD，AC⊥BD．證明：BD交AC于點(diǎn)H，AO于M，∵△COD和△AOB均為等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90o，∵∠AOC=∠DOC+∠DOA，∠BOD=∠BOA+∠DOA，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∵∠AMH=∠BMO，∴∠AHM=∠BOH=90o，∴AC⊥BD．

．【變式訓(xùn)練2】【問(wèn)題背景】（1）如圖1，是正三角形外一點(diǎn)，，則？小明為了證明這個(gè)結(jié)論，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)請(qǐng)幫助小明完成他的作圖；【遷移應(yīng)用】（2）如圖2，在等腰中，，點(diǎn)在外部，使得，若，求；【拓展創(chuàng)新】（3）如圖3，在四邊形中，點(diǎn)在四邊形內(nèi)部．且，直接寫出的長(zhǎng)．答案:（1）見解析；（2）3；（3）5【詳解】（1）如圖，作，連結(jié)，則即為所求作的圖形：（2）作線段垂直于交延長(zhǎng)線于點(diǎn)連接為等腰直角三角形，在與中：（3）5．證明如下：如圖，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則，，，，即為直角三角形，其中，，由勾股定理得，又旋轉(zhuǎn)角為，即，則，即，在與中，【變式訓(xùn)練3】在中，在直線上，且．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求證：．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上且點(diǎn)在線段上時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．答案:（1）證明見解析；（2）成立，證明見解析．【詳解】如圖1，，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，則，，連接，=45°，，為直角三角形，，又，，在和中，，，，即；如圖2，，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，為直角三角形，，又，，在和中，，，．【變式訓(xùn)練4】（1）操作發(fā)現(xiàn)：將等腰與等腰按如圖1方式疊放，其中，點(diǎn)，分別在，邊上，為的中點(diǎn)，連結(jié)，．小明發(fā)現(xiàn)，你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）思考探究：小明想：若將圖1中的等腰繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，上述結(jié)論會(huì)如何呢？為此進(jìn)行以下探究：探究一：將圖1中的等腰繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2），其他條件不變，發(fā)現(xiàn)結(jié)論依然成立．請(qǐng)你給出證明．探究二：將圖1中的等腰繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖3），其他條件不變，則結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案:（1）正確，理由見解析；（2）證明見解析；（3）成立，理由見解析【詳解】解：（1）如圖一，連接DM并延長(zhǎng)，作BN⊥AB，與DM的延長(zhǎng)線交于N，連接CN，∵∠EDA=∠ABN=90°，∴DE∥BN，∴∠DEM=∠MBN，∵在△EMD和△BMN中，，∴△EMD≌△BMN（ASA），∴BN=DE=DA，MN=MD，在△CAD和△CNB中，，∴△CAD≌△CNB，∴CD=CN，∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底邊的中線，∴CM⊥DN，∴△DCM是等腰直角三角形，∴DM=CM；（2）探究一，理由：如圖二，連接DM并延長(zhǎng)DM交BC于N，∵∠EDA=∠ACB=90°，∴DE∥BC，∴∠DEM=∠MBC，∵在△EMD和△BMN中，，∴△EMD≌△BMN（ASA），∴BN=DE=DA，MN=MD∵AC=BC，∴CD=CN，∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底邊的中線，∴CM⊥DM，∠DCM=∠DCN=45°=∠BCM，∴△CMD為等腰直角三角形．∴DM=CM；探究二，理由：如圖三，連接DM，過(guò)點(diǎn)B作BN∥DE交DM的延長(zhǎng)線于N，連接CN，∴∠E=∠MBN=45°．∵點(diǎn)M是BE的中點(diǎn)，∴EM=BM．∵在△EMD和△BMN中，∴△EMD≌△BMN（ASA），∴BN=DE=DA，MN=MD，∵∠DAE=∠BAC=∠ABC=45°，∴∠DAC=∠NBC=90°∵在△DCA和△NCB中，∴△DCA≌△NCB（SAS），∴∠DCA=∠NCB，DC=CN，∴∠DCN=∠ACB=90°，∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底邊的中線，∴CM⊥DM，∠DCM=∠DCN=45°=∠CDM，∴△CMD為等腰直角三角形．∴DM=CM課后訓(xùn)練1．在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是直線BC上的一點(diǎn)（不與B，C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE，設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)，則α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)，則α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．答案:（1）α＋β=180°，理由見解析；（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)或點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，α＋β=180°；當(dāng)點(diǎn)D在CB延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，α=β，理由見解析．【詳解】解：（1）α＋β=180°，理由如下∵∠DAE=∠BAC∴∠DAE－∠DAC=∠BAC－∠DAC∴∠EAC=∠DAB在△DAB和△EAC中∴△DAB≌△EAC∴∠B=∠ACE∵∠BAC＋∠B＋∠ACB=180°∴α＋∠ACE＋∠ACB=180°∴α＋∠BCE=180°∴α＋β=180°（2）①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)時(shí)，由（1）知α＋β=180°；②當(dāng)點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，如下圖所示∵∠DAE=∠BAC∴∠DAE＋∠DAC=∠BAC＋∠DAC∴∠EAC=∠DAB在△DAB和△EAC中∴△DAB≌△EAC∴∠B=∠ACE∵∠BAC＋∠B＋∠ACB=180°∴α＋∠ACE＋∠ACB=180°∴α＋∠BCE=180°∴α＋β=180°③當(dāng)點(diǎn)D在CB延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，如下圖所示，連接BE∵∠DAE=∠BAC∴∠DAE－∠BAE=∠BAC－∠BAE∴∠DAB=∠EAC在△DAB和△EAC中∴△DAB≌△EAC∴∠ABD=∠ACE∵∠ABD=∠BAC＋∠BCA，∠ACE=∠BCA＋∠BCE∴∠BAC＋∠BCA=∠BCA＋∠BCE∴∠BAC=∠BCE∴α=β．綜上：當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)或點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，α＋β=180°；當(dāng)點(diǎn)D在CB延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，α=β．2．如圖1，△ABC中，AB＝AC，過(guò)B點(diǎn)作射線BE，過(guò)C點(diǎn)作射線CF，使∠ABE＝∠ACF，且射線BE，CF交于點(diǎn)D，過(guò)A點(diǎn)作AM⊥BD于M．（1）探究∠BDC和∠CAB的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；（2）求證：BM＝DM+DC；（3）如圖2，將射線BE，CF分別繞點(diǎn)B和點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖位置，若∠ABE＝∠ACF仍然成立，射線BE交射線CF的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，過(guò)A點(diǎn)作AM⊥BD于M．請(qǐng)問(wèn)（2）中的結(jié)論是否還成立？如果成立，請(qǐng)證明．如果不成立，線段BM，DM，DC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．答案:（1）∠BDC＝∠CAB，見解析；（2）見解析；（3）不成立，BM＝DM﹣DC，見解析【詳解】（1）解：∠BDC＝∠CAB；理由如下：∵，，∠ABE＝∠ACF，∴＝＝∴；（2）證明：作AN⊥CF于N，連接AD，如圖1所示：∵AM⊥BD，∴，在△AMB和△ANC中，，∴△AMB≌△ANC，∴BM＝CN＝DC+DN，AM＝AN，在Rt△AMD和Rt△AND中，，∴Rt△AMD≌Rt△AND，∴DM＝DN，∴BM＝DM+DC；（3）不成立，BM＝DM﹣DC；理由如下：作AN⊥CF于N，連接AD，如圖2所示：∵AM⊥BD，∴，在△AMB和△ANC中，，∴△AMB≌△ANC，∴，AM＝AN，在Rt△AMD與Rt△AND中，，∴Rt△AMD≌Rt△AND，∴DM＝DN，∴．3．已知：△ABC和△ADE是兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，連接EC，取EC的中點(diǎn)M，連接BM和DM．（1）如圖1，如果點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，那么BM、DM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是；（2）將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由．答案:1），；（2）成立，理由見解析【詳解】（1）如圖1；∵M(jìn)是EC的中點(diǎn)，∴BM=EC，DM=EC，（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），∴DM=BM．∵M(jìn)是EC的中點(diǎn)，∴MC=EC，∴BM=MC=DM，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠BME=∠1+∠2，∠EMD=∠3+∠4，∴∠BMD=2（∠1+∠3），∵△ABC等腰直角三角形，∴∠BCA=45°，∴∠BMD=90°，∴BM=DM且BM⊥DM；故答案為BM=DM且BM⊥DM．（2）成立．方法1如下圖所示，分別取AC，AE的中點(diǎn)H，F(xiàn)，連接HM，F(xiàn)M．則，．∵點(diǎn)M為CE的中點(diǎn)，∴，，，．∴，，．∵，，∴．∴．∴，．．∴BM、DM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是：，．方法2

倍長(zhǎng)中線法

理由如下：延長(zhǎng)DM至點(diǎn)F，使MF=MD，連接CF、BF、BD．在△EMD和△CMF中，∵∴△EMD≌△CMF（SAS），∴ED=CF，∠DEM=∠1．∵AB=BC，AD=DE，且∠ADE=∠ABC=90°，∴∠2=∠3=45°，∠4=∠5=45°．∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1，∠7=180°-∠6-∠9，∴∠8=360°-45°-（180°-∠6-∠9）-（∠3+∠9），=360°-45°-180°+∠6+∠9-45°-∠9=90°+∠6．∴∠8=∠BAD．在△ABD和△CBF中，∵，∴△ABD≌△CBF（SAS），∴BD=BF，∠ABD=∠CBF．∴∠DBF=∠ABC=90°．∵M(jìn)F=MD，∴BM=DM且BM⊥DM．4．如圖，在中，，點(diǎn)D在內(nèi)，，，點(diǎn)E在外，．(1)的度數(shù)為_______________；(2)小華說(shuō)是等腰三角形，小明說(shuō)是等邊三角形，___________的說(shuō)法更準(zhǔn)確，并說(shuō)明理由；(3)連接，若，求的長(zhǎng)．答案:(1)(2)小明，理由見解析(3)5【詳解】（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60°，∴△DBC是等邊三角形，∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°．在△ADB和△ADC中，

，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠ADB=∠ADC

，∴∠ADB=(360°﹣60°)=150°．（2）解：小明的說(shuō)法更準(zhǔn)確，理由如下：∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠EBC，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC（ASA），∴AB=BE．∵∠ABE=60°，∴△ABE是等邊三角形．（3）解：連接DE，如圖所示，∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，∴∠DCE=90°，∵∠EDB=90°，∠BDC=60°，∴∠EDC=30°，∴．∵△ABD≌△EBC，∴．5．在內(nèi)有一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作，，垂足分別為，．且，點(diǎn)，分別在邊和上．（1）如圖1，若，請(qǐng)說(shuō)明；（2）如圖2，若，，猜想，，具有的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的結(jié)論成立的理由．答案:（1）見解析；（2），見解析【詳解】解：（1），，，在和中，．；（2），理由：過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，在和中，，，，．，，．，．在和中，，．，．6．如圖，中，于點(diǎn)，，點(diǎn)在上，，連接．（1）求證：；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，求的度數(shù)；（3）過(guò)點(diǎn)作，，連接交于點(diǎn)，若，，直接寫出的面積．答案:（1）見解析；（2）∠CFD=135°；（3）△NBC的面積為21．【詳解】證明（1）在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE=CA；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AC于G，DH⊥BF于H，∵△BDE≌△CDA，∴∠DBE=∠DCA，S△BDE=S△ADC，∵∠DBE+∠A=∠ACD+∠A=90°，∴∠AFB=∠CFB=90°，∵S△BDE=S△ADC，∴，∴DH=DG，又∵DG⊥AC，DH⊥BF，∴∠DFG=∠DFH=45°，∴∠CFD=135°；（3）如圖3，在CD上截取DE=AD=5，連接BE，延長(zhǎng)BE交AC于F，由（1）、（2）可得BE=AC，BF⊥AC，BD=CD=12，∵CM⊥CA，∴BF∥CM，∴∠M=∠FBN，∵CM=CA，∴CM=BE，在△BEN和△MCN中，，∴△BEN≌△MCN（AAS），∴EN=CN，∵EC=CD-DE=12-5=7，∴，∴△NBC的面積，故△NBC的面積為21．7．如圖，△EBF為等腰直角三角形，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，四邊形ABCD是正方形．⑴求證：△ABE≌△CBF；⑵CF與AE有什么特殊的位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．答案:（1）見解析；（2）CF⊥AE，理由見解