專題03分式和分式方程十種題型歸類(原卷版+解析)

專題3分式和分式方程十種題型歸類目錄一、熱點題型歸納【題型一】分式有意義的條件【題型二】分式值為0【題型三】分式的值與基本性質(zhì)【題型四】分式的約分與通分【題型五】分式的混合運算【題型六】分式的化簡求值【題型七】解分式方程【題型八】分式方程的含參問題【題型九】分式方程的增根問題【題型十】分式方程的實際應(yīng)用二、最新模考題組練【題型一】分式有意義的條件【典例分析】1．若分式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x≠﹣5 B．x≠0 C．x≠5 D．x＞﹣52.若代數(shù)式+在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是．【提分秘籍】設(shè)A、B表示兩個整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義.【變式演練】1.同時使分式有意義，又使分式無意義的x的取值范圍是（）2.若對于任何實數(shù)x，分式總有意義，則c的值應(yīng)滿足（）A．c＞4 B．c＜4 C．c＝4 D．c≥43.若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞﹣1 B．x≥﹣1且x≠0 C．x＞﹣1且x≠0 D．x≠04.式子有意義，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥﹣1 B．a(chǎn)≠2 C．a(chǎn)≥﹣1且a≠2 D．a(chǎn)＞2【題型二】分式值為0【典例分析】1.若分式的值為0，則x的值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．±12.若分式的值為零，則x的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．2【提分秘籍】分式有無意義的條件：在分式中，

①當(dāng)B≠0時，分式有意義；當(dāng)分式有意義時，B≠0．

②當(dāng)B=0時，分式無意義；當(dāng)分式無意義時，B=0．

③當(dāng)B≠0且A=0時，分式的值為零．無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)．【變式演練】1.已知若分式的值為0，則x的值為．2.已知分式的值為0，那么x的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．1或﹣23.函數(shù)y＝中自變量x的取值范圍是；若分式的值為0，則x＝．【題型三】分式的值與基本性質(zhì)【典例分析】1.若x，y（x，y均為正）的值均擴大為原來的3倍，則下列分式的值保持不變的是（）A． B． C． D．2.已知非零實數(shù)x，y滿足y＝，則的值等于．【提分秘籍】1.直接代入法：將對應(yīng)數(shù)值相應(yīng)擴大n倍的題，分子分母各字母直接擴大n倍，對比原看擴大了多少倍，即為所求。2.整體代入法：將等于特殊值的整式或分式當(dāng)成一個整體，并將原式化成含一個或多個該整體的整式，代入特殊值求解即可?！咀兪窖菥殹?.如果，則＝（）A． B．1 C． D．22.若分式（a，b＞0）中的a、b的值同時擴大到原來的10倍，則分式的值（）A．是原來的20倍 B．是原來的10倍 C．是原來的 D．不變3.若+＝2，則分式的值為．4.已知＝，則分式的值為．【題型四】分式的約分與通分【典例分析】1.計算的結(jié)果為（）A．1 B． C． D．02.下列三個分式、、的最簡公分母是（）A．4（m﹣n）x B．2（m﹣n）x2 C． D．4（m﹣n）x2【提分秘籍】一般方法：①如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里．②如果各分母都是多項式，就可以將各個分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字母（或含字母的整式）為底數(shù)的冪的因式都要取最高次冪．約分和通分都一樣，分母能先因式分解的，需要先進行因式分解?！咀兪窖菥殹?.下列分式中，最簡分式是（）A．B．C． D．2.化簡：＝．3.（呼和浩特）分式與的最簡公分母是，方程﹣＝1的解是．【題型五】分式的混合運算【典例分析】1.試卷上一個正確的式子（+）÷★＝被小穎同學(xué)不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代數(shù)式為（）A． B． C． D．2.化簡：?+＝．【提分秘籍】分式的化簡，先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號先算括號里面的，一般需要先進行因式分解，再合并，最后能約分的要約到最簡分式為止?！咀兪窖菥殹?.計算：?﹣．2.計算：÷﹣．3.計算：（1+）÷．4.以下是某同學(xué)化簡分式（﹣）÷的部分運算過程：解：原式＝[﹣]×①＝[﹣]×②＝×③…解：上面的運算過程中第步出現(xiàn)了錯誤；（2）請你寫出完整的解答過程．【題型六】分式的化簡求值【典例分析】1.先化簡，再求值：（﹣x﹣1）÷，其中x＝3．2.先化簡，再求值：（1+）÷，從﹣3，﹣1，2中選擇合適的a的值代入求值．【提分秘籍】先進行因式分解，再根據(jù)混合運算法則進行運算化簡，最后根據(jù)題意，（選擇使分母不為0的數(shù)）代入數(shù)值求原式的值即可?！咀兪窖菥殹?.先化簡，再求值：÷+，其中x＝（）﹣2．2.先化簡，再求值：÷﹣，其中x＝sin45°．3.先化簡，再求值：，其中．4.先化簡，再求值：÷（+），其中a＝+1，b＝﹣1．【題型七】解分式方程【典例分析】1.小明解分式方程＝﹣1的過程如下．解：去分母，得3＝2x﹣（3x+3）．①去括號，得3＝2x﹣3x+3．②移項、合并同類項，得﹣x＝6．③化系數(shù)為1，得x＝﹣6．④以上步驟中，開始出錯的一步是（）A．① B．② C．③ D．④2.解分式方程：＝．【提分秘籍】解分式方程的關(guān)鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．注意：因為解分式方程可能出現(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗根．驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解．【變式演練】1.定義a?b＝2a+，則方程3?x＝4?2的解為（）A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝2.解方程：＝+1．3.解方程x2﹣2x+＝8．【題型八】分式方程的含參問題【典例分析】1.若關(guān)于x的分式方程：2﹣＝的解為正數(shù)，則k的取值范圍為（）A．k＜2 B．k＜2且k≠0 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠02.已知關(guān)于x的分式方程﹣＝1的解是正數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m＞4 B．m＜4 C．m＞4且m≠5 D．m＜4且m≠1【提分秘籍】根據(jù)題意，列出方程或不等式，解出不等式（方程）后，看是否滿足令分母不為0，再根據(jù)題意寫出或選擇答案?！咀兪窖菥殹?.若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為x≤﹣2，且關(guān)于y的分式方程＝﹣2的解是負整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（）A．﹣26 B．﹣24 C．﹣15 D．﹣132.關(guān)于x的分式方程+＝1的解為正數(shù)，且關(guān)于y的不等式組的解集為y≥5，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（）A．13 B．15 C．18 D．20【題型九】分式方程的增根問題【典例分析】1.分式方程有增根，則m的值是（）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6【提分秘籍】增根就是令分母為0的未知數(shù)的值，當(dāng)含有參數(shù)時，要注意兩層：①令原式中所有的分母為0的x的值；②令解出來x的值中分母為0；一定要考慮充分，避免錯誤。【變式演練】1.若關(guān)于x的方程＝3無解，則m的值為（）A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或32.若關(guān)于x的方程＝無解，則m的值為（）A．0 B．4或6 C．6 D．0或4【題型十】分式方程的實際應(yīng)用【典例分析】1.某校購進一批籃球和排球，籃球的單價比排球的單價多30元．已知330元購進的籃球數(shù)量和240元購進的排球數(shù)量相等．（1）籃球和排球的單價各是多少元？（2）現(xiàn)要購買籃球和排球共20個，總費用不超過1800元．籃球最多購買多少個？2.在某市組織的農(nóng)機推廣活動中，甲、乙兩人分別操控A、B兩種型號的收割機參加水稻收割比賽．已知乙每小時收割的畝數(shù)比甲少40%，兩人各收割6畝水稻，乙則比甲多用0.4小時完成任務(wù)；甲、乙在收割過程中對應(yīng)收稻谷有一定的遺落或破損，損失率分別為3%，2%．（1）甲、乙兩人操控A、B型號收割機每小時各能收割多少畝水稻？（2）某水稻種植大戶有與比賽中規(guī)格相同的100畝待收水稻，邀請甲、乙兩人操控原收割機一同前去完成收割任務(wù)，要求平均損失率不超過2.4%，則最多安排甲收割多少小時？【提分秘籍】列分式方程解應(yīng)用題的基本步驟：

(1)審——仔細審題，找出等量關(guān)系；

(2)設(shè)——合理設(shè)未知數(shù)；

(3)列——根據(jù)等量關(guān)系列出方程；

(4)解——解出方程；

(5)驗——檢驗增根；

(6)答——答題．分式方程中常見的數(shù)量關(guān)系：速度差=V甲-V乙=甲路程甲時間-時間差=T甲-T乙=甲路程甲速度-數(shù)量差=甲數(shù)量-乙數(shù)量=甲總價甲單價-單價差=甲單價-乙單價=甲總價甲單價-總工程量（1）=甲工效×甲時間+乙工效×乙時間【變式演練】1.為了讓學(xué)生崇尚勞動，尊重勞動，在勞動中提升綜合素質(zhì)，某校定期開展勞動實踐活動．甲、乙兩班在一次體驗挖土豆的活動中，甲班挖1500千克土豆與乙班挖1200千克土豆所用的時間相同．已知甲班平均每小時比乙班多挖100千克土豆，問乙班平均每小時挖多少千克土豆？2.為了加強學(xué)生的體育鍛煉，某班計劃購買部分繩子和實心球．已知每條繩子的價格比每個實心球的價格少23元，且84元購買繩子的數(shù)量與360元購買實心球的數(shù)量相同．（1）繩子和實心球的單價各是多少元？（2）如果本次購買的總費用為510元，且購買繩子的數(shù)量是實心球數(shù)量的3倍，那么購買繩子和實心球的數(shù)量各是多少？3.為了解決雨季時城市內(nèi)澇的難題，我市決定對部分老街道的地下管網(wǎng)進行改造．在改造一段長3600米的街道地下管網(wǎng)時，每天的施工效率比原計劃提高了20%，按這樣的進度可以比原計劃提前10天完成任務(wù)．（1）求實際施工時，每天改造管網(wǎng)的長度；（2）施工進行20天后，為了減少對交通的影響，施工單位決定再次加快施工進度，以確保總工期不超過40天，那么以后每天改造管網(wǎng)至少還要增加多少米？4.某快遞公司為了加強疫情防控需求，提高工作效率，計劃購買A、B兩種型號的機器人來搬運貨物，已知每臺A型機器人比每臺B型機器人每天少搬運10噸，且A型機器人每天搬運540噸貨物與B型機器人每天搬運600噸貨物所需臺數(shù)相同．（1）求每臺A型機器人和每臺B型機器人每天分別搬運貨物多少噸？（2）每臺A型機器人售價1.2萬元，每臺B型機器人售價2萬元，該公司計劃采購A、B兩種型號的機器人共30臺，必須滿足每天搬運的貨物不低于2830噸，購買金額不超過48萬元．請根據(jù)以上要求，完成如下問題：①設(shè)購買A型機器人m臺，購買總金額為w萬元，請寫出w與m的函數(shù)關(guān)系式；②請你求出最節(jié)省的采購方案，購買總金額最低是多少萬元？

一．選擇題（共10小題）1．（2023?余姚市校級模擬）若代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是（）A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x＞1 D．x＞﹣12．（2023?濟陽區(qū)一模）化簡：÷＝（）A．1 B．x C． D．3．（2023?長安區(qū)模擬）如圖，若a＝2b，則表示的值的點落在（）A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段4．（2023?南崗區(qū)校級一模）分式方程的解為（）A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x＝15 D．x＝﹣155．（2023?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級一模）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)6÷a2＝a3 B．a(chǎn)2÷a×＝a2 C．（﹣3a3）3＝﹣9a9 D．2a2?（﹣2ab2）2＝8a4b46．（2023?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）若分式的值為整數(shù)，則正整數(shù)x的個數(shù)為（）A．4 B．6 C．7 D．87．（2023?耿馬縣一模）某班為籌備迎新晚會，班長用420元到甲商店購買A材料，學(xué)習(xí)委員用300元到乙商店購買B材料，兩人買回的A、B兩種材料的數(shù)量一樣多．已知A材料的單價比B材料貴2元，求B材料的單價是多少元？若設(shè)B材料的單價為x元，則可列方程為（）A．＝ B．＝ C．＝ D．8．（2023?廣西模擬）對于實數(shù)a、b，定義一種新運算“?”為：a?b＝，這里等式右邊是實數(shù)運算．例如：1?3＝．則方程x?（﹣2）＝﹣1的解是（）A．x＝7 B．x＝6 C．x＝5 D．x＝49．（2023?雙橋區(qū)模擬）若的運算結(jié)果為整式，則“〇”中的式子可能為（）A．a(chǎn)﹣b B．a(chǎn)+b C．a(chǎn)b D．a(chǎn)2﹣b210．（2023?江油市模擬）已知方程，且關(guān)于x的不等式a＜x≤b只有2個整數(shù)解，那么b的取值范圍是（）A．1＜b≤2 B．2＜b≤3 C．1≤b＜2 D．2≤b＜3二．填空題（共6小題）11．（2023?鹿城區(qū)校級一模）計算：＝．12．（2023?東勝區(qū)模擬）計算：＝．13．（2023?鐵東區(qū)一模）甲、乙兩人都要走路3km，甲的速度是乙的速度的1.2倍，甲比乙少用6min，設(shè)乙的速度是xkm/h，則可列方程為．14．（2023?九龍坡區(qū)模擬）若關(guān)于x的一元一次不等式組無解，且關(guān)于y的分式方程+＝﹣1的解為正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是．15．（2023?富?？h模擬）若關(guān)于x的分式方程無解，則m＝．16．（2023?東港區(qū)校級一模）觀察下列各式：a1＝1，，，…，它們按一定規(guī)律排列，第n個數(shù)記為an，且滿足則，則a2023＝．三．解答題（共5小題）17．（2023?焦作一模）（1）計算：（﹣）0﹣+3﹣1；（2）化簡：÷（1﹣）．18．（2023?姑蘇區(qū)校級模擬）先化簡再求值：，其中a＝﹣3．19．（2023?阿城區(qū)一模）先化簡，再求代數(shù)式（1﹣）÷+的值，其中x＝tan60°+1．20．（2023?九龍坡區(qū)校級模擬）在全民健身運動中，騎自行車越來越受到市民青睞，從A地到B地有一條自行車騎行車道．小明從A地出發(fā)騎行去B地，小軍從B地出發(fā)騎行去A地．（1）小明和小軍相約在上午8時同時從各自出發(fā)地出發(fā)，勻速前行，到上午10時，他們還相距30km，到中午12時，兩人又相距30km．求A、B兩地間的自行車道的距離．（2）因騎自行車的市民越來越多，政府決定重新改建一條自行車道，改建的自行車道比A、B兩地的距離多30km，某工程隊由于采用了更加先進的修路技術(shù)和修路機器，每天可以比原計劃的改建里程多20%，結(jié)果完成此項修路工程比原計劃少用了5天．若每天付給工程隊的施工費用為4萬元，則完成工程后，一共付給工程隊的費用是多少？21．（2023?溫江區(qū)校級模擬）為切實推進廣大青少年學(xué)生走向操場、走進大自然、走到陽光下，積極參加體育鍛煉，陽光體育長跑是如今學(xué)校以及當(dāng)代年輕人選擇最多的運動，學(xué)生堅持長跑，不僅能夠幫助身體健康，還能夠收獲身心的愉悅．周末，小明和小齊相約一起去天府綠道跑步，若兩人同時從A地出發(fā)，勻速跑向距離12000m處的B地，小明的跑步速度是小齊跑步速度的1.2倍，那么小明比小齊早5分鐘到達B地．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）小明每分鐘跑多少米？（2）若從A地到達B地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進到C地（整個過程不休息）．據(jù)了解，從他跑步開始，前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從A地到C地鍛煉共用多少分鐘．專題3分式和分式方程十種題型歸類目錄一、熱點題型歸納【題型一】分式有意義的條件【題型二】分式值為0【題型三】分式的值與基本性質(zhì)【題型四】分式的約分與通分【題型五】分式的混合運算【題型六】分式的化簡求值【題型七】解分式方程【題型八】分式方程的含參問題【題型九】分式方程的增根問題【題型十】分式方程的實際應(yīng)用二、最新?？碱}組練【題型一】分式有意義的條件【典例分析】1．若分式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x≠﹣5 B．x≠0 C．x≠5 D．x＞﹣5分析：根據(jù)分式成立的條件列不等式求解．【解答】解：根據(jù)分式成立的條件，可得：x+5≠0，∴x≠﹣5，故選：A．【點評】本題考查分式有意義的條件，理解分式成立的條件是分母不能為零是解題關(guān)鍵．2.若代數(shù)式+在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是．分析：根據(jù)二次根式有意義的條件，分式有意義的條件是分母不等于零，列不等式組，解出即可．【解答】解：根據(jù)題意，得，解得x≥﹣1且x≠0，故答案為：x≥﹣1且x≠0．【點評】本題主要考查了二次根式有意義的條件、分式有意義的條件，掌握這兩個知識點的應(yīng)用，列出不等式組是解題關(guān)鍵．【提分秘籍】設(shè)A、B表示兩個整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義.【變式演練】1.同時使分式有意義，又使分式無意義的x的取值范圍是（）A．x≠﹣4，且x≠﹣2 B．x＝﹣4，或x＝2 C．x＝﹣4 D．x＝2分析：讓第一個分式的分母不為0，第二個分式的分母為0即可．【解答】解：由題意得：x2+6x+8≠0，且（x+1）2﹣9＝0，（x+2）（x+4）≠0，x+1＝3或﹣3，x≠﹣2且x≠﹣4，x＝2或x＝﹣4，∴x＝2，故選D．【點評】分式有意義，分式的分母都應(yīng)不為0；分式無意義，分母為0．2.若對于任何實數(shù)x，分式總有意義，則c的值應(yīng)滿足（）A．c＞4 B．c＜4 C．c＝4 D．c≥4分析：分式總有意義，那么分母恒不為0，觀察可得應(yīng)把分母整理為含有一個完全平方式子的形式，進而分析即可．【解答】解：x2+4x+c＝x2+4x+4+（c﹣4）＝（x+2）2+（c﹣4），當(dāng)c＞4時，分母恒為正值，原分式總有意義，符合題意；當(dāng)c＜4，分母有可能為0，此時原分式無意義，不符合題意；當(dāng)c＝4時，分母為非負數(shù)，有可能為0，此時原分式無意義，不符合題，由上可知c＞4，故選：A．【點評】分式總有意義，那么分母恒不為0，本題注意運用分類討論的思想．3.若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞﹣1 B．x≥﹣1且x≠0 C．x＞﹣1且x≠0 D．x≠0分析：利用分式分母不為0和二次根式、零指數(shù)冪有意義的條件確定關(guān)于x的不等式，從而確定答案．【解答】解：根據(jù)題意得：x+1＞0且x≠0，解得：x＞﹣1且x≠0，故選：C．【點評】此題考查的是分式分母不為0和二次根式、零指數(shù)冪有意義的條件，掌握分式和二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．4.式子有意義，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥﹣1 B．a(chǎn)≠2 C．a(chǎn)≥﹣1且a≠2 D．a(chǎn)＞2分析：直接利用二次根式的定義結(jié)合分式有意義的條件分析得出答案．【解答】解：式子有意義，則a+1≥0，且a﹣2≠0，解得：a≥﹣1且a≠2．故選：C．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握定義是解題關(guān)鍵．【題型二】分式值為0【典例分析】1.若分式的值為0，則x的值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．±1分析：直接利用分式的值為零則分子為零，分母不等于零，進而得出答案．【解答】解：∵分式的值為0，∴x2﹣1＝0，x﹣1≠0，解得：x＝﹣1．故選：A．【點評】此題主要考查了分式的值為零，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．2.若分式的值為零，則x的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．2分析：直接利用分式的值為零，則分子為零，分母不為零，進而得出答案．【解答】解：∵分式的值為零，∴|x|﹣1＝0，x+1≠0，解得：x＝1．故選：A．【點評】此題主要考查了分式的值為零，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．【提分秘籍】分式有無意義的條件：在分式中，

①當(dāng)B≠0時，分式有意義；當(dāng)分式有意義時，B≠0．

②當(dāng)B=0時，分式無意義；當(dāng)分式無意義時，B=0．

③當(dāng)B≠0且A=0時，分式的值為零．無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)．【變式演練】1.已知若分式的值為0，則x的值為．分析：首先根據(jù)分式值為零的條件，可得；然后根據(jù)因式分解法解一元二次方程的步驟，求出x的值為多少即可．【解答】解：∵分式的值為0，∴解得x＝3，即x的值為3．故答案為：3．【點評】（1）此題主要考查了分式值為零的條件，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不為零”這個條件不能少．（2）此題還考查了因式分解法解一元二次方程問題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．2.已知分式的值為0，那么x的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．1或﹣2分析：直接利用分式的值為零，則分子為零，且分母不為零，進而得出答案．【解答】解：∵分式的值為0，∴（x﹣1）（x+2）＝0且x2﹣1≠0，解得：x＝﹣2．故選：B．【點評】此題主要考查了分式的值為零的條件，正確把握分母不為零是解題關(guān)鍵．3.函數(shù)y＝中自變量x的取值范圍是；若分式的值為0，則x＝．分析：根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式計算即可得解；根據(jù)分式的值為0，分子等于0，分母不等于0列式計算即可得解．【解答】解：根據(jù)題意得，x﹣3≥0，解得x≥3；2x﹣3＝0且x+1≠0，解得x＝且x≠﹣1，所以，x＝．故答案為：x≥3；．【點評】本題主要考查了二次根式有意義的條件，分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個條件缺一不可．【題型三】分式的值與基本性質(zhì)【典例分析】1.若x，y（x，y均為正）的值均擴大為原來的3倍，則下列分式的值保持不變的是（）A． B． C． D．分析：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，x，y的值均擴大為原來的3倍，求出每個式子的結(jié)果，看結(jié)果等于原式的即是答案．【解答】解：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，可知若x，y的值均擴大為原來的3倍，A、，錯誤；B、，錯誤；C、，錯誤；D、，正確；故選：D．【點評】本題考查的是分式的基本性質(zhì)，即分子分母同乘以一個不為0的數(shù)，分式的值不變．此題比較簡單，但計算時一定要細心．2.已知非零實數(shù)x，y滿足y＝，則的值等于．分析：由y＝得：x﹣y＝xy，整體代入到代數(shù)式中求值即可．【解答】解：由y＝得：xy+y＝x，∴x﹣y＝xy，∴原式＝＝＝4．故答案為：4．【點評】本題考查了求分式的值，對條件進行化簡，得到x﹣y＝xy，把x﹣y看作整體，代入到代數(shù)式求值是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】1.直接代入法：將對應(yīng)數(shù)值相應(yīng)擴大n倍的題，分子分母各字母直接擴大n倍，對比原看擴大了多少倍，即為所求。2.整體代入法：將等于特殊值的整式或分式當(dāng)成一個整體，并將原式化成含一個或多個該整體的整式，代入特殊值求解即可。【變式演練】1.如果，則＝（）A． B．1 C． D．2分析：已知，就可以變形為a＝2b，把它代入所要求的式子就可以求出式子的值．【解答】解：∵，∴a＝2b，∴＝．故選：C．【點評】把已知中的，變形成a＝2b，是解決本題的關(guān)鍵．2.若分式（a，b＞0）中的a、b的值同時擴大到原來的10倍，則分式的值（）A．是原來的20倍 B．是原來的10倍 C．是原來的 D．不變分析：依題意分別用10a和10b去代換原分式中的a和b，利用分式的基本性質(zhì)化簡即可．【解答】解：分別用10a和10b去代換原分式中的a和b，得＝＝，可見新分式與原分式相等．故選：D．【點評】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是抓住分子、分母變化的倍數(shù)，解此類題首先把字母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，最終得出結(jié)論．3.若+＝2，則分式的值為．分析：由+＝2，可得m+n＝2mn；化簡＝，即可求解；’【解答】解：+＝2，可得m+n＝2mn，＝＝＝﹣4；故答案為﹣4；【點評】本題考查分式的值；能夠通過已知條件得到m+n＝2mn，整體代入的思想是解題的關(guān)鍵；4.已知＝，則分式的值為．分析：由已知＝，可得x＝y(tǒng)，把x＝y(tǒng)代入即可化簡求值．【解答】解：由已知＝，得x＝y(tǒng)把x＝y(tǒng)代入得：＝﹣．故答案為﹣．【點評】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，求出x、y之間的關(guān)系很重要．【題型四】分式的約分與通分【典例分析】1.計算的結(jié)果為（）A．1 B． C． D．0分析：分子利用平方差公式進行因式分解，然后通過約分進行化簡．【解答】解：＝＝＝1．故選：A．【點評】本題考查了約分．約分時，分子與分母都必須是乘積式，如果是多項式的，必須先分解因式．2.下列三個分式、、的最簡公分母是（）A．4（m﹣n）x B．2（m﹣n）x2 C． D．4（m﹣n）x2分析：確定最簡公分母的方法是：（1）取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；（2）凡單獨出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡公分母的一個因式；（3）同底數(shù)冪取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡公分母．【解答】解：分式、、的分母分別是2x2、4（m﹣n）、x，故最簡公分母是4（m﹣n）x2．故選：D．【點評】本題考查了最簡公分母的定義及求法．通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．【提分秘籍】一般方法：①如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里．②如果各分母都是多項式，就可以將各個分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字母（或含字母的整式）為底數(shù)的冪的因式都要取最高次冪．約分和通分都一樣，分母能先因式分解的，需要先進行因式分解?！咀兪窖菥殹?.下列分式中，最簡分式是（）A． B． C． D．分析：利用最簡分式的定義判斷即可．【解答】解：A、原式為最簡分式，符合題意；B、原式＝＝，不合題意；C、原式＝＝，不合題意；D、原式＝＝，不合題意，故選：A．【點評】此題考查了最簡分式，最簡分式為分式的分子分母沒有公因式，即不能約分的分式．2.化簡：＝．分析：直接將分母分解因式，進而化簡得出答案．【解答】解：＝＝．故答案為：．【點評】此題主要考查了約分，正確分解因式是解題關(guān)鍵．3.分式與的最簡公分母是，方程﹣＝1的解是．分析：根據(jù)最簡公分母的定義得出結(jié)果，再解分式方程，檢驗，得解．【解答】解：∵x2﹣2x＝x（x﹣2），∴分式與的最簡公分母是x（x﹣2），方程，去分母得：2x2﹣8＝x（x﹣2），去括號得：2x2﹣8＝x2﹣2x，移項合并得：x2+2x﹣8＝0，變形得：（x﹣2）（x+4）＝0，解得：x＝2或﹣4，∵當(dāng)x＝2時，x（x﹣2）＝0，當(dāng)x＝﹣4時，x（x﹣2）≠0，∴x＝2是增根，∴方程的解為：x＝﹣4．故答案為：x（x﹣2），x＝﹣4．【點評】本題考查了最簡公分母和解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的解法．【題型五】分式的混合運算【典例分析】1.試卷上一個正確的式子（+）÷★＝被小穎同學(xué)不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代數(shù)式為（）A． B． C． D．分析：根據(jù)已知分式得出被墨汁遮住部分的代數(shù)式是（+）÷，再根據(jù)分式的運算法則進行計算即可；【解答】解：（+）÷★＝，∴被墨汁遮住部分的代數(shù)式是（+）÷＝?＝?＝；故選：A．【點評】本題考查了分式的化簡，能正確根據(jù)分式的運算法則進行化簡是解此題的關(guān)鍵，注意運算順序．2.化簡：?+＝．分析：先將原分式的分子、分母分解因式，然后約分，再計算加法即可．【解答】解：?+＝+＝+＝，故答案為：．【點評】本題考查分式的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確因式分解的方法和分式加法的運算法則．【提分秘籍】分式的化簡，先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號先算括號里面的，一般需要先進行因式分解，再合并，最后能約分的要約到最簡分式為止?！咀兪窖菥殹?.計算：?﹣．分析：分式的混合運算，要注意運算順序，式與數(shù)有相同的混合運算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．【解答】解：原式＝?﹣＝﹣＝1．【點評】本題考查了分式的混合運算，準(zhǔn)確熟練地進行計算和計算順序是解題的關(guān)鍵．2.計算：÷﹣．分析：先算除法，后算減法，即可解答．【解答】解：÷﹣＝?﹣＝﹣＝．【點評】本題考查了分式的混合運算，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵．3.計算：（1+）÷．分析：根據(jù)分式的加減運算以及乘除運算法則即可求出答案．【解答】解：原式＝＝＝．【點評】本題考查分式的混合運算，熟練掌握分式的加減運算以及乘除運算法則是解題的關(guān)鍵．4.以下是某同學(xué)化簡分式（﹣）÷的部分運算過程：解：原式＝[﹣]×①＝[﹣]×②＝×③…解：（1）上面的運算過程中第步出現(xiàn)了錯誤；（2）請你寫出完整的解答過程．分析：根據(jù)分式的運算法則：先乘方，再加減，最后乘除，有括號先算括號里面的計算即可．【解答】解：（1）第③步出現(xiàn)錯誤，原因是分子相減時未變號，故答案為：③；（2）原式＝[﹣]×，＝[﹣]×，＝×，＝×，＝．故答案為：．【點評】本題主要考查了分式的混合運算，熟練掌握分式的運算法則是解決本題的關(guān)鍵．【題型六】分式的化簡求值【典例分析】1.先化簡，再求值：（﹣x﹣1）÷，其中x＝3．分析：先通分算括號內(nèi)的，把除化為乘，化簡后將x＝3代入計算即可．【解答】解：原式＝?＝﹣?＝﹣，當(dāng)x＝3時，原式＝﹣＝﹣5．【點評】本題考查分式化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的性質(zhì)，將所求式子化簡．2.先化簡，再求值：（1+）÷，從﹣3，﹣1，2中選擇合適的a的值代入求值．分析：根據(jù)分式的加減運算以及乘除運算法則進行化簡，然后將a的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝÷＝?＝，由分式有意義的條件可知：a不能取﹣1，﹣3，故a＝2，原式＝＝．【點評】本題考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的加減運算以及乘除運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．【提分秘籍】先進行因式分解，再根據(jù)混合運算法則進行運算化簡，最后根據(jù)題意，（選擇使分母不為0的數(shù)）代入數(shù)值求原式的值即可?！咀兪窖菥殹?.先化簡，再求值：÷+，其中x＝（）﹣2．分析：把除化為乘，再算同分母的分式相加，化簡后求出x的值，代入即可．【解答】解：原式＝?+＝+＝＝＝x，∵x＝（）﹣2＝4，∴原式＝4．【點評】本題考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的基本性質(zhì)，把所求式子化簡．2.先化簡，再求值：÷﹣，其中x＝sin45°．分析：先化簡，再把x的值化簡代入求解．【解答】解：原式＝﹣＝﹣＝，當(dāng)x＝sin45°＝時，原式＝．【點評】本題考查了分式的化簡求值，熟記特殊角的三角函數(shù)值也是解題的關(guān)鍵．3.先化簡，再求值：，其中．分析：先對分式進行化簡，然后再代入求解即可．【解答】解：原式＝＝＝＝，當(dāng)時，原式＝．【點評】本題主要考查分式的化簡求值及二次根式的運算，熟練掌握分式的化簡求值及二次根式的運算是解題的關(guān)鍵．4.先化簡，再求值：÷（+），其中a＝+1，b＝﹣1．分析：先算括號里，再算括號外，然后把a，b的值代入化簡后的式子進行計算即可解答．【解答】解：÷（+）＝÷＝?＝ab，當(dāng)a＝+1，b＝﹣1時，原式＝（+1）（﹣1）＝5﹣1＝4．【點評】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵．【題型七】解分式方程【典例分析】1.小明解分式方程＝﹣1的過程如下．解：去分母，得3＝2x﹣（3x+3）．①去括號，得3＝2x﹣3x+3．②移項、合并同類項，得﹣x＝6．③化系數(shù)為1，得x＝﹣6．④以上步驟中，開始出錯的一步是（）A．① B．② C．③ D．④分析：按照解分式方程的一般步驟進行檢查，即可得出答案．【解答】解：去分母得：3＝2x﹣（3x+3）①，去括號得：3＝2x﹣3x﹣3②，∴開始出錯的一步是②，故選：B．【點評】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的一般步驟是解決問題的關(guān)鍵．2.解分式方程：＝．分析：把分式方程化為整式方程，解整式方程即可．【解答】解：左右兩邊同時乘以（x+3）x得x+3＝4x，3＝3x，x＝1．檢驗：當(dāng)x＝1時，分母x（x+3）≠0，∴x＝1是原分式方程的解．【點評】考查解分式方程，關(guān)鍵是去分母把分式方程變整式方程．【提分秘籍】解分式方程的關(guān)鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．注意：因為解分式方程可能出現(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗根．驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解．【變式演練】1.定義a?b＝2a+，則方程3?x＝4?2的解為（）A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝分析：利用題中的新定義化簡已知等式，求出解即可得到x的值．【解答】解：根據(jù)題中的新定義得：3?x＝2×3+，4?2＝2×4+，∵3?x＝4?2，∴2×3+＝2×4+，解得：x＝，經(jīng)檢驗，x＝是分式方程的根．故選：B．【點評】本題考查了解分式方程，弄清題中的新定義是解題的關(guān)鍵．2.解方程：＝+1．分析：去分母，把分式方程化為整式方程，解得整數(shù)方程并檢驗即可．【解答】解：兩邊同時乘以x（x﹣3）得：（x﹣3）（x+3）＝6x+x（x﹣3），∴3x＝﹣9，解得x＝﹣3，把x＝﹣3代入最簡公分母得：x（x﹣3）＝﹣3×（﹣3﹣3）＝18≠0，∴x＝﹣3是原方程的解，∴原方程的解是x＝﹣3．【點評】本題考查解分式方程，解題的關(guān)鍵是能把分式方程化為整式方程，并要檢驗．3.解方程x2﹣2x+＝8．【解答】解：設(shè)y＝x2﹣2x，則原方程可化為y+＝8，方程的兩邊都乘以y，約去分母，并整理，得y2﹣8y+7＝0．解這個方程，得y1＝1，y2＝7．當(dāng)y＝1時，由x2﹣2x＝1，得x＝1±；當(dāng)y＝7時，由x2﹣2x＝7，得x＝1±2．經(jīng)檢驗，x＝1±和x＝1±2都是原方程的根．所以原方程的解為x1＝1+，x2＝1﹣，x3＝1+2，x4＝1﹣2．【點評】用換元法解分式方程，解題的關(guān)鍵是要有整體思想，掌握換元的方法，注意結(jié)果需檢驗．【題型八】分式方程的含參問題【典例分析】1.若關(guān)于x的分式方程：2﹣＝的解為正數(shù)，則k的取值范圍為（）A．k＜2 B．k＜2且k≠0 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0分析：先解分式方程可得x＝2﹣k，再由題意可得2﹣k＞0且2﹣k≠2，從而求出k的取值范圍．【解答】解：2﹣＝，2（x﹣2）﹣（1﹣2k）＝﹣1，2x﹣4﹣1+2k＝﹣1，2x＝4﹣2k，x＝2﹣k，∵方程的解為正數(shù)，∴2﹣k＞0，∴k＜2，∵x≠2，∴2﹣k≠2，∴k≠0，∴k＜2且k≠0，故選：B．【點評】本題考查分式方程的解，熟練掌握分式方程得到解法，注意對方程增根的討論是解題的關(guān)鍵．2.已知關(guān)于x的分式方程﹣＝1的解是正數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m＞4 B．m＜4 C．m＞4且m≠5 D．m＜4且m≠1分析：先利用m表示出x的值，再由x為正數(shù)求出m的取值范圍即可．【解答】解：方程兩邊同時乘以x﹣1得，2x﹣m+3＝x﹣1，解得x＝m﹣4．∵x為正數(shù)，∴m﹣4＞0，解得m＞4，∵x≠1，∴m﹣4≠1，即m≠5，∴m的取值范圍是m＞4且m≠5．故選：C．【點評】本題考查了分式方程的解，掌握求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】根據(jù)題意，列出方程或不等式，解出不等式（方程）后，看是否滿足令分母不為0，再根據(jù)題意寫出或選擇答案?！咀兪窖菥殹?.若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為x≤﹣2，且關(guān)于y的分式方程＝﹣2的解是負整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（）A．﹣26 B．﹣24 C．﹣15 D．﹣13分析：解不等式組得出，結(jié)合題意得出a＞﹣11，解分式方程得出y＝，結(jié)合題意得出a＝﹣8或﹣5，進而得出所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，即可得出答案．【解答】解：解不等式組得：，∵不等式組的解集為x≤﹣2，∴＞﹣2，∴a＞﹣11，解分式方程＝﹣2得：y＝，∵y是負整數(shù)且y≠﹣1，∴是負整數(shù)且≠﹣1，∴a＝﹣8或﹣5，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，故選：D．【點評】本題考查了分式方程的解，解一元一次不等式組，正確求解分式方程和一元一次不等式組是解決問題的關(guān)鍵．2.關(guān)于x的分式方程+＝1的解為正數(shù)，且關(guān)于y的不等式組的解集為y≥5，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（）A．13 B．15 C．18 D．20分析：解分式方程得得出x＝a﹣2，結(jié)合題意及分式方程的意義求出a＞2且a≠5，解不等式組得出，結(jié)合題意得出a＜7，進而得出2＜a＜7且a≠5，繼而得出所有滿足條件的整數(shù)a的值之和，即可得出答案．【解答】解：解分式方程得：x＝a﹣2，∵x＞0且x≠3，∴a﹣2＞0且a﹣2≠3，∴a＞2且a≠5，解不等式組得：，∵不等式組的解集為y≥5，∴＜5，∴a＜7，∴2＜a＜7且a≠5，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為3+4+6＝13，故選：A．【點評】本題考查了分式方程的解，解一元一次不等式組，解一元一次不等式，一元一次不等式的整數(shù)解，正確求解分式方程，一元一次不等式組，一元一次不等式是解決問題的關(guān)鍵．【題型九】分式方程的增根問題【典例分析】1.分式方程有增根，則m的值是（）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6分析：根據(jù)題意可得x＝2，然后把x的值代入整式方程中進行計算即可解答．【解答】解：，+1＝﹣，6+2（x﹣2）＝﹣m，解得：x＝﹣，∵分式方程有增根，∴x＝2，把x＝2代入x＝﹣中，2＝﹣，解得：m＝﹣6，故選：D．【點評】本題考查了分式方程的增根，根據(jù)題意求出x的值后代入整式方程中進行計算是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】增根就是令分母為0的未知數(shù)的值，當(dāng)含有參數(shù)時，要注意兩層：①令原式中所有的分母為0的x的值；②令解出來x的值中分母為0；一定要考慮充分，避免錯誤?！咀兪窖菥殹?.若關(guān)于x的方程＝3無解，則m的值為（）A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3分析：先去分母，再根據(jù)條件求m．【解答】解：兩邊同乘以（x﹣1）得：mx﹣1＝3x﹣3，∴（m﹣3）x＝﹣2．當(dāng)m﹣3＝0時，即m＝3時，原方程無解，符合題意．當(dāng)m﹣3≠0時，x＝，∵方程無解，∴x﹣1＝0，∴x＝1，∴m﹣3＝﹣2，∴m＝1，綜上：當(dāng)m＝1或3時，原方程無解．故選：B．【點評】本題考查分式方程的解，理解分式方程無解的含義是求解本題的關(guān)鍵．2.若關(guān)于x的方程＝無解，則m的值為（）A．0 B．4或6 C．6 D．0或4分析：解分式方程可得（4﹣m）x＝﹣2，根據(jù)題意可知，4﹣m＝0或2x+1＝0或x＝0，求出m的值即可．【解答】解：＝，2（2x+1）＝mx，4x+2＝mx，（4﹣m）x＝﹣2，∵方程無解，∴4﹣m＝0或2x+1＝0或x＝0，即4﹣m＝0或x＝﹣＝﹣，∴m＝4或m＝0，故選：D．【點評】本題考查分式方程的解法，熟練掌握分式方程的解法，分式方程無解的條件是解題的關(guān)鍵．【題型十】分式方程的實際應(yīng)用【典例分析】1.某校購進一批籃球和排球，籃球的單價比排球的單價多30元．已知330元購進的籃球數(shù)量和240元購進的排球數(shù)量相等．（1）籃球和排球的單價各是多少元？（2）現(xiàn)要購買籃球和排球共20個，總費用不超過1800元．籃球最多購買多少個？分析：（1）設(shè)排球的單價為x元，則籃球的單價為（x+30）元，由題意：330元購進的籃球數(shù)量和240元購進的排球數(shù)量相等．列出分式方程，解方程即可；（2）設(shè)購買排球y個，則購買籃球（20﹣y）個，由題意：購買籃球和排球的總費用不超過1800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）設(shè)排球的單價為x元，則籃球的單價為（x+30）元，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝80，經(jīng)檢驗，x＝80是原分式方程的解，且符合題意，∴x+30＝110．∴籃球的單價為110元，排球的單價為80元．（2）設(shè)購買籃球y個，則購買排球（20﹣y）個，依題意得：110y+80（20﹣y）≤1800，解得y≤6，即y的最大值為6，∴最多購買6個籃球．【點評】此題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次不等式．2.在某市組織的農(nóng)機推廣活動中，甲、乙兩人分別操控A、B兩種型號的收割機參加水稻收割比賽．已知乙每小時收割的畝數(shù)比甲少40%，兩人各收割6畝水稻，乙則比甲多用0.4小時完成任務(wù)；甲、乙在收割過程中對應(yīng)收稻谷有一定的遺落或破損，損失率分別為3%，2%．（1）甲、乙兩人操控A、B型號收割機每小時各能收割多少畝水稻？（2）某水稻種植大戶有與比賽中規(guī)格相同的100畝待收水稻，邀請甲、乙兩人操控原收割機一同前去完成收割任務(wù)，要求平均損失率不超過2.4%，則最多安排甲收割多少小時？分析：（1）設(shè)甲操控A型號收割機每小時收割x畝水稻，則乙操控B型號收割機每小時收割（1﹣40%）x畝水稻，利用工作時間＝工作總量÷工作效率，結(jié)合乙比甲多用0.4小時完成任務(wù)，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可求出甲操控A型號收割機每小時收割水稻的畝數(shù)，再將其代入（1﹣40）x中即可求出乙操控B型號收割機每小時收割水稻的畝數(shù)；（2）設(shè)安排甲收割y小時，則安排乙收割小時，根據(jù)要求平均損失率不超過2.4%，即可得出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)甲操控A型號收割機每小時收割x畝水稻，則乙操控B型號收割機每小時收割（1﹣40%）x畝水稻，依題意得：﹣＝0.4，解得：x＝10，經(jīng)檢驗，x＝10是原方程的解，且符合題意，∴（1﹣40%）x＝（1﹣40%）×10＝6．答：甲操控A型號收割機每小時收割10畝水稻，乙操控B型號收割機每小時收割6畝水稻．（2）設(shè)安排甲收割y小時，則安排乙收割小時，依題意得：3%×10y+2%×6×≤2.4%×100，解得：y≤4．答：最多安排甲收割4小時．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．【提分秘籍】列分式方程解應(yīng)用題的基本步驟：

(1)審——仔細審題，找出等量關(guān)系；

(2)設(shè)——合理設(shè)未知數(shù)；

(3)列——根據(jù)等量關(guān)系列出方程；

(4)解——解出方程；

(5)驗——檢驗增根；

(6)答——答題．分式方程中常見的數(shù)量關(guān)系：速度差=V甲-V乙=甲路程甲時間-時間差=T甲-T乙=甲路程甲速度-數(shù)量差=甲數(shù)量-乙數(shù)量=甲總價甲單價-單價差=甲單價-乙單價=甲總價甲單價-總工程量（1）=甲工效×甲時間+乙工效×乙時間【變式演練】1.為了讓學(xué)生崇尚勞動，尊重勞動，在勞動中提升綜合素質(zhì)，某校定期開展勞動實踐活動．甲、乙兩班在一次體驗挖土豆的活動中，甲班挖1500千克土豆與乙班挖1200千克土豆所用的時間相同．已知甲班平均每小時比乙班多挖100千克土豆，問乙班平均每小時挖多少千克土豆？分析：設(shè)乙班平均每小時挖x千克土豆，根據(jù)“甲班挖1500千克土豆與乙班挖1200千克土豆所用的時間相同”列分式方程，求解即可．【解答】解：設(shè)乙班平均每小時挖x千克土豆，根據(jù)題意，得，解得x＝400，經(jīng)檢驗，x＝400是原方程的根，且符合題意；答：乙班平均每小時挖400千克土豆．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2.為了加強學(xué)生的體育鍛煉，某班計劃購買部分繩子和實心球．已知每條繩子的價格比每個實心球的價格少23元，且84元購買繩子的數(shù)量與360元購買實心球的數(shù)量相同．（1）繩子和實心球的單價各是多少元？（2）如果本次購買的總費用為510元，且購買繩子的數(shù)量是實心球數(shù)量的3倍，那么購買繩子和實心球的數(shù)量各是多少？分析：（1）設(shè)繩子的單價為x元，則實心球的單價為（x+23）元，根據(jù)數(shù)量＝總價÷單價且84元購買繩子的數(shù)量與360元購買實心球的數(shù)量相同，列出分式方程并解答即可；（2）設(shè)購買實心球的數(shù)量為m個，則購買繩子的數(shù)量為3m條，根據(jù)費用等于單價×數(shù)量列出方程解答即可．【解答】解：（1）設(shè)繩子的單價為x元，則實心球的單價為（x+23）元，根據(jù)題意，得，解得x＝7，經(jīng)檢驗可知x＝7是所列分式方程的解，且滿足實際意義，∴x+23＝30，答：繩子的單價為7元，實心球的單價為30元．（2）設(shè)購買實心球的數(shù)量為m個，則購買繩子的數(shù)量為3m條，根據(jù)題意，得7×3m+30m＝510，解得m＝10，∴3m＝30，答：購買繩子的數(shù)量為30條，購買實心球的數(shù)量為10個．【點評】本題考查了分式方程和一元一次方程．，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程和一元一次方程．3.為了解決雨季時城市內(nèi)澇的難題，我市決定對部分老街道的地下管網(wǎng)進行改造．在改造一段長3600米的街道地下管網(wǎng)時，每天的施工效率比原計劃提高了20%，按這樣的進度可以比原計劃提前10天完成任務(wù)．（1）求實際施工時，每天改造管網(wǎng)的長度；（2）施工進行20天后，為了減少對交通的影響，施工單位決定再次加快施工進度，以確保總工期不超過40天，那么以后每天改造管網(wǎng)至少還要增加多少米？分析：（1）設(shè)原計劃每天改造管網(wǎng)x米，則實際施工時每天改造管網(wǎng)（1+20%）x米，根據(jù)比原計劃提前10天完成任務(wù)建立方程求出其解就可以了；（2）設(shè)以后每天改造管網(wǎng)還要增加m米，根據(jù)總工期不超過40天建立不等式求出其解即可．【解答】解：（1）設(shè)原計劃每天改造管網(wǎng)x米，則實際施工時每天改造管網(wǎng)（1+20%）x米，由題意得：﹣＝10，解得：x＝60，經(jīng)檢驗，x＝60是原方程的解，且符合題意．此時，60×（1+20%）＝72（米）．答：實際施工時，每天改造管網(wǎng)的長度是72米；（2）設(shè)以后每天改造管網(wǎng)還要增加m米，由題意得：（40﹣20）（72+m）≥3600﹣72×20，解得：m≥36．答：以后每天改造管網(wǎng)至少還要增加36米．【點評】本題考查了列分式方程解實際問題的運用，列一元一次不等式解實際問題的運用，在解答時找到相等關(guān)系和不相等關(guān)系建立方程和不等式是關(guān)鍵．4.某快遞公司為了加強疫情防控需求，提高工作效率，計劃購買A、B兩種型號的機器人來搬運貨物，已知每臺A型機器人比每臺B型機器人每天少搬運10噸，且A型機器人每天搬運540噸貨物與B型機器人每天搬運600噸貨物所需臺數(shù)相同．（1）求每臺A型機器人和每臺B型機器人每天分別搬運貨物多少噸？（2）每臺A型機器人售價1.2萬元，每臺B型機器人售價2萬元，該公司計劃采購A、B兩種型號的機器人共30臺，必須滿足每天搬運的貨物不低于2830噸，購買金額不超過48萬元．請根據(jù)以上要求，完成如下問題：①設(shè)購買A型機器人m臺，購買總金額為w萬元，請寫出w與m的函數(shù)關(guān)系式；②請你求出最節(jié)省的采購方案，購買總金額最低是多少萬元？分析：（1）設(shè)每臺A型機器人每天搬運貨物x噸，則每臺B型機器人每天搬運貨物（x+10）噸，根據(jù)題意列出分式方程，解方程檢驗后即可得出答案；（2）①根據(jù)題意列出一次函數(shù)解析式即可；②先根據(jù)題意列出一元一次不等式組，解不等式組求出m的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出答案．【解答】解：（1）設(shè)每臺A型機器人每天搬運貨物x噸，則每臺B型機器人每天搬運貨物（x+10）噸，由題意得：，解得：x＝90，當(dāng)x＝90時，x（x+10）≠0，∴x＝90是分式方程的根，∴x+10＝90+10＝100（噸），答：每臺A型機器人每天搬運貨物90噸，則每臺B型機器人每天搬運貨物100噸；（2）①由題意得：w＝1.2m+2（30﹣m）＝﹣0.8m+60；②由題意得：，解得：15≤m≤17，∵﹣0.8＜0，∴w隨m的增大而減小，∴當(dāng)m＝17時，w最小，此時w＝﹣0.8×17+60＝46.4，∴購買A型機器人17臺，B型機器人13臺時，購買總金額最低是46.4萬元．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)題意找出題目中的相等關(guān)系，不等關(guān)系列出分式方程，一元一次不等式組及列出一次函數(shù)關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵．一．選擇題（共10小題）1．（2023?余姚市校級模擬）若代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是（）A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x＞1 D．x＞﹣1分析：根據(jù)分式有意義的條件得出x+1≠0，再求出答案即可．【解答】解：要使代數(shù)式有意義，必須x+1≠0，解得：x≠﹣1，故選：B．【點評】本題考查了分式有意義的條件，能熟記代數(shù)式中B≠0是解此題的關(guān)鍵．2．（2023?濟陽區(qū)一模）化簡：÷＝（）A．1 B．x C． D．分析：先根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，再根據(jù)分式的乘法法則進行計算即可．【解答】解：÷＝?＝，故選：D．【點評】本題考查了分式的乘除法法則，能正確根據(jù)分式的乘法和除法法則進行計算是解此題的關(guān)鍵．3．（2023?長安區(qū)模擬）如圖，若a＝2b，則表示的值的點落在（）A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段分析：根據(jù)分式的乘除運算法則即可求出答案．【解答】解：原式＝＝，當(dāng)a＝2b時，原式＝＝，故選：C．【點評】本題考查分式的值，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的乘除運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．4．（2023?南崗區(qū)校級一模）分式方程的解為（）A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x＝15 D．x＝﹣15分析：先去分母，化為一元一次方程，根據(jù)解一元一次方程的步驟求解，最后檢驗．【解答】解：去分母，得2x＝3（x﹣5），解得x＝15，經(jīng)檢驗，x＝15是原方程的根，故選：C．【點評】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．5．（2023?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級一模）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)6÷a2＝a3 B．a(chǎn)2÷a×＝a2 C．（﹣3a3）3＝﹣9a9 D．2a2?（﹣2ab2）2＝8a4b4分析：由同底數(shù)冪的除法法則、積的乘方和冪的乘方法則、單項式乘除法法則分別判斷即可．【解答】解：A、a6÷a2＝a4≠a3，故該選項不符合題意；B、，故該選項不符合題意；C、（﹣3a3）3＝﹣27a9≠﹣9a9，故該選項不符合題意；D、2a2?（﹣2ab2）2＝2a2?4a2b4＝8a4b4，故該選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查整了式的運算，掌握整式運算的相關(guān)法則是關(guān)鍵．6．（2023?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）若分式的值為整數(shù)，則正整數(shù)x的個數(shù)為（）A．4 B．6 C．7 D．8分析：先化簡，再根據(jù)分式的值為整數(shù)，可得x﹣3＝±1或±2或±3或±6，且x+2≠0，即可確定正整數(shù)x的值．【解答】解：＝＝，∵分式的值為整數(shù)，∴x﹣3＝±1或±2或±3或±6，且x+2≠0，∴正整數(shù)x＝4或2或5或1或6或9，共6個，故選：B．【點評】本題考查了分式的值，先把原分式化簡是解題的關(guān)鍵．7．（2023?耿馬縣一模）某班為籌備迎新晚會，班長用420元到甲商店購買A材料，學(xué)習(xí)委員用300元到乙商店購買B材料，兩人買回的A、B兩種材料的數(shù)量一樣多．已知A材料的單價比B材料貴2元，求B材料的單價是多少元？若設(shè)B材料的單價為x元，則可列方程為（）A．＝ B．＝ C．＝ D．分析：若設(shè)B材料的單價為x元，則A材料的單價為（x+2）元，根據(jù)“用420元到甲商店購買A材料，學(xué)習(xí)委員用300元到乙商店購買B材料，兩人買回的A、B兩種材料的數(shù)量一樣多”列出方程，此題得解．【解答】解：若設(shè)B材料的單價為x元，則A材料的單價為（x+2）元，由題意可得，＝，故選：A．【點評】本題考查由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程．8．（2023?廣西模擬）對于實數(shù)a、b，定義一種新運算“?”為：a?b＝，這里等式右邊是實數(shù)運算．例如：1?3＝．則方程x?（﹣2）＝﹣1的解是（）A．x＝7 B．x＝6 C．x＝5 D．x＝4分析：根據(jù)新定義運算列出分式方程，計算即可求出解．【解答】解：已知等式整理得：＝﹣1，去分母得：1＝2﹣x+4，解得：x＝5，經(jīng)檢驗x＝5是分式方程的解．故選：C．【點評】此題考查了解分式方程，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．9．（2023?雙橋區(qū)模擬）若的運算結(jié)果為整式，則“〇”中的式子可能為（）A．a(chǎn)﹣b B．a(chǎn)+b C．a(chǎn)b D．a(chǎn)2﹣b2分析：先代入，再根據(jù)分式的運算法則進行計算，最后根據(jù)求出的結(jié)果得出選項即可．【解答】解：A．（﹣）÷＝?＝﹣，是分式，不是整式，故本選項不符合題意；B．（﹣）÷＝?＝，是分式，不是整式，故本選項不符合題意；C．（﹣）÷＝?＝，是整式，故本選項符合題意；D．（﹣）÷＝?＝﹣，是分式，不是整式，故本選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了分式的混合運算和整式，能正確根據(jù)分式的運算法則進行計算是解此題的關(guān)鍵．10．（2023?江油市模擬）已知方程，且關(guān)于x的不等式a＜x≤b只有2個整數(shù)解，那么b的取值范圍是（）A．1＜b≤2 B．2＜b≤3 C．1≤b＜2 D．2≤b＜3分析：分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到a的值，代入不等式組確定出b的范圍即可．【解答】解：分式方程去分母得：3﹣a﹣a2+4a＝﹣1，即a2﹣3a﹣4＝0，分解因式得：（a﹣4）（a+1）＝0，解得：a＝﹣1或a＝4，經(jīng)檢驗a＝4是增根，分式方程的解為a＝﹣1，當(dāng)a＝﹣1時，由a＜x≤b只有2個整數(shù)解，得到1≤b＜2．故選：C．【點評】此題考查了解分式方程，以及一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題）11．（2023?鹿城區(qū)校級一模）計算：＝．分析：首先通分，然后根據(jù)同分母分式加減法法則計算即可．【解答】解：＝﹣＝＝．故答案為：．【點評】此題主要考查了分式加減法的運算方法，要熟練掌握同分母、異分母分式加減法法則．12．（2023?東勝區(qū)模擬）計算：＝．分析：先利用異分母分式加減法法則計算括號里，再算括號外，即可解答．【解答】解：＝÷＝?＝，故答案為：．【點評】本題考查了分式的混合運算，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵．13．（2023?鐵東區(qū)一模）甲、乙兩人都要走路3km，甲的速度是乙的速度的1.2倍，甲比乙少用6min，設(shè)乙的速度是xkm/h，則可列方程為．分析：設(shè)乙的速度是xkm/h，根據(jù)甲、乙二人都要走3km的路，甲的速度是乙的速度的1.2倍列出方程求解即可．【解答】解：設(shè)乙的速度是xkm/h，則甲的速度是1.2xkm/h根據(jù)題意得＝+6．故答案得＝+6．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．行程問題常用的等量關(guān)系為：速度＝路程÷時間乙的速度是xkm/h14．（2023?九龍坡區(qū)模擬）若關(guān)于x的一元一次不等式組無解，且關(guān)于y的分式方程+＝﹣1的解為正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是．分析：先解一元一次不等式組，確定a的取值范圍．再解分式方程，根據(jù)分式方程的解的定義，進一步確定a的取值，從而解決此題．【解答】解：解，得x．解，得x≤﹣1．∵關(guān)于x的一元一次不等式組無解，∴﹣1＜．∴a＞﹣2．+＝﹣1，去分母，得7﹣ay＝1﹣y．移項，得（1﹣a）y＝﹣6．y的系數(shù)化為1，得y＝．∵關(guān)于y的分式方程+＝﹣1的解為正整數(shù)，∴a﹣1＝1或2或3或6．∴a＝2或3或4或7．當(dāng)a＝7，此時y＝＝1是增根，故舍去．綜上：a＝2或3或4．∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是2+3+4＝9．故答案為：9．【點評】本題主要考查解一元一次不等式組、分式方程的解，熟練掌握一元一次不等式組的解法、分式方程的解的定義是解決本題的關(guān)鍵．15．（2023?富裕縣模擬）若關(guān)于x的分式方程無解，則m＝