安徽省淮南市鳳臺(tái)縣2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

安徽省淮南市鳳臺(tái)縣2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）1．（4分）若二次根式有意義，則x的值不可以是（）A．3 B．2 C．1 D．02．（4分）下列各式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．3．（4分）下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52 C．3，4，5 D．4．（4分）12位參加歌唱比賽的同學(xué)的成績(jī)各不相同，按成績(jī)?nèi)∏?名進(jìn)入決賽，如果小粉知道了自己的成績(jī)后，要判斷能否進(jìn)入決賽，小粉需要知道這12位同學(xué)的成績(jī)的（）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差5．（4分）已知函數(shù)y＝（1﹣3m）x是正比例函數(shù)，且y隨x的增大而增大，那么m的取值范圍是（）A．m＞ B．m＜ C．m＞1 D．m＜16．（4分）某市射擊隊(duì)進(jìn)行隊(duì)內(nèi)測(cè)試，甲、乙、丙、丁四人進(jìn)行十輪射擊后，每個(gè)人的十次成績(jī)的平均分和方差如下表所示：班級(jí)甲乙丙丁平均分9.99.89.99.0方差4.25.25.24.2則哪位隊(duì)員的成績(jī)更好（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．（4分）直線y＝kx﹣3（k≠0）經(jīng)過(guò)一，三，四，象限，則直線y＝2x+k的圖象大致是（）A． B． C． D．8．（4分）如圖，是一張平行四邊形紙片ABCD，要求利用所學(xué)知識(shí)作出一個(gè)菱形，甲、乙兩位同學(xué)的作法分別如下：對(duì)于甲、乙兩人的作法，可判斷（）甲：連接AC，作AC的中垂線交AD、BC于E、F，則四邊形AFCE是菱形．乙：分別作∠A與∠B的平分線AE、BF，分別交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，則四邊形ABEF是菱形．A．甲正確，乙錯(cuò)誤 B．甲錯(cuò)誤，乙正確 C．甲、乙均正確 D．甲、乙均錯(cuò)誤9．（4分）如圖，△ABC的周長(zhǎng)為20，點(diǎn)D，E在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為N，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為M，若BC＝8，則MN的長(zhǎng)度為（）A． B．2 C． D．310．（4分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，BE與CF相交于點(diǎn)P，設(shè)AB＝a．得到以下結(jié)論：①BE⊥CF；②AP＝a；③．則上述結(jié)論正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11．（5分）寫出一個(gè)最簡(jiǎn)二次根式，使它與可以進(jìn)行合并，這個(gè)二次根式可以是．（寫一個(gè)即可）12．（5分）在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，∠AOB＝120°，AD＝6，則BD的長(zhǎng)為．13．（5分）如圖是2002年北京第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，它由4個(gè)全等的直角三角形拼合而成，若圖中大、小正方形的面積分別為13和1，則直角三角形的較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為．14．（5分）已知一次函數(shù)y＝kx+3﹣2k．（1）無(wú)論k如何變化，該函數(shù)圖象始終過(guò)定點(diǎn)；（2）當(dāng)k變化時(shí)，原點(diǎn)到一次函數(shù)y＝kx+3﹣2k的圖象的最大距離為．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15．（8分）計(jì)算：．16．（8分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，點(diǎn)D，E分別是線段AC，BC的中點(diǎn)；（1）請(qǐng)判斷圖中的△ABC是不是直角三角形？并說(shuō)明理由；（2）求線段DE的長(zhǎng)．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17．（8分）如圖，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，6）和點(diǎn)B（﹣3，﹣2）．（1）求直線l的解析式，直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求△AOB的面積．18．（8分）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，連接BE，DF．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）若BE平分∠ABC，AB＝6，求?ABCD的周長(zhǎng)．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19．（10分）育才中學(xué)舉行慶端午知識(shí)競(jìng)賽，甲、乙兩個(gè)班都派出a名學(xué)生參賽，比賽結(jié)束后，發(fā)現(xiàn)學(xué)生成績(jī)分別為70分，80分，90分，100分，根據(jù)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)繪制如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖、表：甲班成績(jī)統(tǒng)計(jì)表分?jǐn)?shù)（分）人數(shù)（人）70280b9021001（1）a＝，b＝；（2）將乙班成績(jī)條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）請(qǐng)你計(jì)算甲班參賽學(xué)生成績(jī)的平均分和方差；（4）小明通過(guò)計(jì)算得到乙班參賽學(xué)生成績(jī)的平均分為82分，方差為96，若學(xué)校要從甲、乙兩班中選出一個(gè)班代表學(xué)校參加全市端午知識(shí)競(jìng)賽，請(qǐng)從平均成績(jī)和穩(wěn)定性的角度分析，哪個(gè)班代表學(xué)校參賽比較合適？為什么？20．（10分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD，過(guò)點(diǎn)C作CE∥BD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若∠DAB＝60°，且AB＝12，求OE的長(zhǎng)．六、（本題滿分12分）21．（12分）“書香潤(rùn)澤心靈，閱讀豐富人生”，伴著百花飄香，楊柳依依的美好春光，某中學(xué)迎來(lái)了校園讀書節(jié)活動(dòng)．該中學(xué)計(jì)劃為在本次校園讀書節(jié)活動(dòng)中獲獎(jiǎng)的同學(xué)購(gòu)買甲、乙兩種獎(jiǎng)品，其中甲種獎(jiǎng)品的單價(jià)為每件20元、乙種獎(jiǎng)品的單價(jià)為每件10元，共購(gòu)買50件．設(shè)甲種獎(jiǎng)品購(gòu)買x件，購(gòu)買兩種獎(jiǎng)品的總費(fèi)用為y元．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）若乙種獎(jiǎng)品數(shù)量不大于甲種獎(jiǎng)品數(shù)量的3倍，請(qǐng)你設(shè)計(jì)費(fèi)用最少時(shí)的購(gòu)買方案，并求出最少費(fèi)用．七、（本題滿分12分）22．（12分）如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線AE交BC于點(diǎn)E，EF⊥AD于點(diǎn)F，DG⊥AE于點(diǎn)G，DG與EF交于點(diǎn)O．（1）求證：四邊形ABEF是正方形．（2）若AD＝AE，AB＝2，（?。┣驛G的長(zhǎng)；（ⅱ）求OF的長(zhǎng)．八、（本題滿分14分）23．（14分）如圖1，在矩形OACB中，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸上，點(diǎn)C在第一象限，OA＝8，OB＝6．（1）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)：；（2）如圖2，點(diǎn)G在BC邊上，連接AG，將△ACG沿AG折疊，點(diǎn)C恰好與線段AB上的點(diǎn)C′重合，求線段CG的長(zhǎng)度；（3）如圖3，P是直線y＝2x﹣6上一點(diǎn)且在BC下方，PD⊥PB交線段AC于點(diǎn)D．若P在第一象限，且PB＝PD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）1．（4分）若二次根式有意義，則x的值不可以是（）A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：要使二次根式有意義，必須2﹣x≥0，解得：x≤2，∵3＞2，2＝2，1＜2，0＜2，∴只有選項(xiàng)A符合題意，選項(xiàng)B、選項(xiàng)C、選項(xiàng)D都不符合題意，故選：A．2．（4分）下列各式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、＝，被開方數(shù)含分母，不是最簡(jiǎn)二次根式；B、＝＝3，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式；C、是最簡(jiǎn)二次根式；D、＝＝，被開方數(shù)含分母，不是最簡(jiǎn)二次根式；故選：C．3．（4分）下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52 C．3，4，5 D．【解答】解：A、0.32+0.42＝0.52，能構(gòu)成直角三角形，但不是整數(shù)，不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；B、（32）2+（42）2≠（52）2，不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C、32+42＝52，是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；D、（）2+（）2≠（）2，不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．4．（4分）12位參加歌唱比賽的同學(xué)的成績(jī)各不相同，按成績(jī)?nèi)∏?名進(jìn)入決賽，如果小粉知道了自己的成績(jī)后，要判斷能否進(jìn)入決賽，小粉需要知道這12位同學(xué)的成績(jī)的（）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差【解答】解：由于總共有12個(gè)人，且他們的分?jǐn)?shù)互不相同，要判斷是否進(jìn)入前6名，只要把自己的成績(jī)與中位數(shù)進(jìn)行大小比較．故應(yīng)知道中位數(shù)的多少．故選：B．5．（4分）已知函數(shù)y＝（1﹣3m）x是正比例函數(shù)，且y隨x的增大而增大，那么m的取值范圍是（）A．m＞ B．m＜ C．m＞1 D．m＜1【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝（1﹣3m）x中，y隨x的增大而增大，∴1﹣3m＞0，解得m＜．故選：B．6．（4分）某市射擊隊(duì)進(jìn)行隊(duì)內(nèi)測(cè)試，甲、乙、丙、丁四人進(jìn)行十輪射擊后，每個(gè)人的十次成績(jī)的平均分和方差如下表所示：班級(jí)甲乙丙丁平均分9.99.89.99.0方差4.25.25.24.2則哪位隊(duì)員的成績(jī)更好（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【解答】解：從平均數(shù)看，成績(jī)最好的是甲、丙隊(duì)員，從方差看，甲、丁方差小，發(fā)揮最穩(wěn)定，所以成績(jī)好且發(fā)揮穩(wěn)定的隊(duì)員是甲．故選：A．7．（4分）直線y＝kx﹣3（k≠0）經(jīng)過(guò)一，三，四，象限，則直線y＝2x+k的圖象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：∵直線y＝kx﹣3經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，∴k＞0∴直線y＝2x+k經(jīng)過(guò)第一、二、三象限．故選：C．8．（4分）如圖，是一張平行四邊形紙片ABCD，要求利用所學(xué)知識(shí)作出一個(gè)菱形，甲、乙兩位同學(xué)的作法分別如下：對(duì)于甲、乙兩人的作法，可判斷（）甲：連接AC，作AC的中垂線交AD、BC于E、F，則四邊形AFCE是菱形．乙：分別作∠A與∠B的平分線AE、BF，分別交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，則四邊形ABEF是菱形．A．甲正確，乙錯(cuò)誤 B．甲錯(cuò)誤，乙正確 C．甲、乙均正確 D．甲、乙均錯(cuò)誤【解答】解：甲的作法如圖所示，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴AE∥CF，∠EAO＝∠FCO又∵EF垂直平分AC，∴AO＝CO，AE＝CE，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，∴四邊形AFCE為平行四邊形，又∵AE＝CE，∴四邊形AFCE為菱形，所以甲的作法正確．乙的作法如圖所示∵AD∥BC，∴∠FAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠FAE＝∠BAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴BA＝BE，同理可得AB＝AF，∴AF＝BE，又∵AF∥BE，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∵AB＝AF，∴四邊形ABEF為菱形．所以乙的作法正確．故選：C．9．（4分）如圖，△ABC的周長(zhǎng)為20，點(diǎn)D，E在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為N，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為M，若BC＝8，則MN的長(zhǎng)度為（）A． B．2 C． D．3【解答】解：在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE（ASA）∴BE＝BA，AN＝NE，同理，CD＝CA，AM＝MD，∴DE＝BE+CD﹣BC＝BA+CA﹣BC＝20﹣8﹣8＝4，∵AN＝NE，AM＝MD，∴MN＝DE＝2，故選：B．10．（4分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，BE與CF相交于點(diǎn)P，設(shè)AB＝a．得到以下結(jié)論：①BE⊥CF；②AP＝a；③．則上述結(jié)論正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【解答】解：在△CDF和△BCE中，，∴△CDF≌△BCE（SAS），∴∠CEB＝∠CFD，∵∠DCF+∠CFD＝90°，∴∠DCF+∠CEB＝90°，∴∠EPC＝90°；∴①正確；如圖延長(zhǎng)CF交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，在△CFD和△MFA中，，∴△CFD≌△MFA（ASA），∴CD＝MA＝AB＝a，∵BP⊥CF，∴AP為Rt△MPB斜邊BM上的中線，是斜邊的一半，即AP＝BM＝×2a＝a，∴②正確；∵CP⊥BE，∴CP×BE＝CE×BC＝，∵BE＝＝＝，∴CP＝＝＝，∴AB＝a＝CP，∴③正確，故選：D．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11．（5分）寫出一個(gè)最簡(jiǎn)二次根式，使它與可以進(jìn)行合并，這個(gè)二次根式可以是（答案不唯一）．（寫一個(gè)即可）【解答】解：，∴與可以進(jìn)行合并的二次根式是（答案不唯一）．故答案為：（答案不唯一）．12．（5分）在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，∠AOB＝120°，AD＝6，則BD的長(zhǎng)為12．【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OC＝OB＝OD，∵∠AOB＝120°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣120°＝60°，∴△AOD是等邊三角形，∴OD＝AD＝6，∴BD＝2OD＝12，故答案為：12．13．（5分）如圖是2002年北京第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，它由4個(gè)全等的直角三角形拼合而成，若圖中大、小正方形的面積分別為13和1，則直角三角形的較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為3．【解答】解：設(shè)圖中直角三角形的邊長(zhǎng)分別為a、b，∵圖中大、小正方形的面積為13和1，則大、小正方形的邊長(zhǎng)為、1，則a、b滿足a﹣b＝1，a2+b2＝，解得a＝3、b＝2，故較長(zhǎng)的直角邊為3，故答案為3．14．（5分）已知一次函數(shù)y＝kx+3﹣2k．（1）無(wú)論k如何變化，該函數(shù)圖象始終過(guò)定點(diǎn)（2，3）；（2）當(dāng)k變化時(shí)，原點(diǎn)到一次函數(shù)y＝kx+3﹣2k的圖象的最大距離為．【解答】解：（1）∵y＝kx+3﹣2k，∴y＝（x﹣2）k+3，令x＝2，則y＝3，∴一次函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)A（2，3）．故答案為：（2，3）；（2）設(shè)原點(diǎn)到圖象的距離為d，顯然d≤OA．∴為最大距離．故答案為：．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15．（8分）計(jì)算：．【解答】解：原式＝＝2﹣2+4＝6﹣2．16．（8分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，點(diǎn)D，E分別是線段AC，BC的中點(diǎn)；（1）請(qǐng)判斷圖中的△ABC是不是直角三角形？并說(shuō)明理由；（2）求線段DE的長(zhǎng)．【解答】解：（1）△ABC是直角三角形．理由如下：由題意理，得AC2＝12+32＝10，BC2＝12+32＝10，AB2＝22+42＝20，∴AC2+BC2＝10+10＝20＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）由（1），得AB2＝20，而AB＞0，∴．∵D，E分別是線段AC，BC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17．（8分）如圖，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，6）和點(diǎn)B（﹣3，﹣2）．（1）求直線l的解析式，直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求△AOB的面積．【解答】解：（1）設(shè)直線解析式為y＝kx+b，把點(diǎn)A（1，6）和點(diǎn)B（﹣3，﹣2）代入，得，，解得：k＝2，b＝4，所以，y＝2x+4，x＝0時(shí)，y＝4，y＝0時(shí)，x＝﹣2，則直線與x軸交點(diǎn)為（﹣2，0），與y軸交點(diǎn)為（0，4），（2）△AOB的面積2×62×2＝8．18．（8分）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，連接BE，DF．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）若BE平分∠ABC，AB＝6，求?ABCD的周長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC．∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，∴AE＝DE＝AD，BF＝BC，∴DE＝BF．又∵DE∥BF，∴四邊形BEDF是平行四邊形；（2）解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，又∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝6，∴AD＝2AE＝12，∴?ABCD的周長(zhǎng)為2×（6+12）＝36．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19．（10分）育才中學(xué)舉行慶端午知識(shí)競(jìng)賽，甲、乙兩個(gè)班都派出a名學(xué)生參賽，比賽結(jié)束后，發(fā)現(xiàn)學(xué)生成績(jī)分別為70分，80分，90分，100分，根據(jù)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)繪制如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖、表：甲班成績(jī)統(tǒng)計(jì)表分?jǐn)?shù)（分）人數(shù)（人）70280b9021001（1）a＝10，b＝5；（2）將乙班成績(jī)條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）請(qǐng)你計(jì)算甲班參賽學(xué)生成績(jī)的平均分和方差；（4）小明通過(guò)計(jì)算得到乙班參賽學(xué)生成績(jī)的平均分為82分，方差為96，若學(xué)校要從甲、乙兩班中選出一個(gè)班代表學(xué)校參加全市端午知識(shí)競(jìng)賽，請(qǐng)從平均成績(jī)和穩(wěn)定性的角度分析，哪個(gè)班代表學(xué)校參賽比較合適？為什么？【解答】解：（1）a＝3÷30%＝10，b＝10﹣2﹣2﹣1＝5；故答案為：10，5；（2）乙班80分的人數(shù)為10﹣3﹣3﹣1＝3（人），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：（3）＝＝82（分），＝×[2×（70﹣82）2+5×（80﹣82）2+2×（90﹣82）2+（100﹣82）2]＝76；（4）∵甲班參賽學(xué)生成績(jī)的平均分為82分，方差為76，乙班參賽學(xué)生成績(jī)的平均分為82分，方差為96，∴選甲班代表學(xué)校參賽，理由：因?yàn)榧住⒁覂砂嗟钠骄鶖?shù)相同，而甲班的方差小，成績(jī)穩(wěn)定，故選擇甲班．20．（10分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD，過(guò)點(diǎn)C作CE∥BD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若∠DAB＝60°，且AB＝12，求OE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠ACD，∵AC平分∠BAD，∴∠CAB＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD．∵AB＝AD，∴AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形．（2）解：由（1）得四邊形ABCD是菱形．∵∠DAB＝60°，AC平分∠BAD，∠AOB＝90°∴∠OAB＝30°，∵AB＝12，∴OB＝6，．∵CE∥BD，CD∥AE，∴四邊形DBEC是平行四邊形，∴CE＝ED＝2OB＝12，∠ACE＝90°，∴．六、（本題滿分12分）21．（12分）“書香潤(rùn)澤心靈，閱讀豐富人生”，伴著百花飄香，楊柳依依的美好春光，某中學(xué)迎來(lái)了校園讀書節(jié)活動(dòng)．該中學(xué)計(jì)劃為在本次校園讀書節(jié)活動(dòng)中獲獎(jiǎng)的同學(xué)購(gòu)買甲、乙兩種獎(jiǎng)品，其中甲種獎(jiǎng)品的單價(jià)為每件20元、乙種獎(jiǎng)品的單價(jià)為每件10元，共購(gòu)買50件．設(shè)甲種獎(jiǎng)品購(gòu)買x件，購(gòu)買兩種獎(jiǎng)品的總費(fèi)用為y元．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）若乙種獎(jiǎng)品數(shù)量不大于甲種獎(jiǎng)品數(shù)量的3倍，請(qǐng)你設(shè)計(jì)費(fèi)用最少時(shí)的購(gòu)買方案，并求出最少費(fèi)用．【解答】解：（1）∵總費(fèi)用＝甲種獎(jiǎng)品的費(fèi)用+乙種獎(jiǎng)品的費(fèi)用，∴y＝20x+10（50﹣x）＝10x+500．（2）由題意，得50﹣x≤3x，解得，由（1），得y＝10x+500，∵k＝10＞0，∴y隨x的增大而增大，∵x為整數(shù)，∴當(dāng)x＝13時(shí)，y最少＝13×10+500＝630，乙：50﹣13＝37（件），答：甲種獎(jiǎng)品購(gòu)買13件，乙種獎(jiǎng)品購(gòu)買37件時(shí)，費(fèi)用最少，最少為630元．七、（本題滿分12分）22．（12分）如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線AE交BC于點(diǎn)E，EF⊥AD于點(diǎn)F，DG⊥AE于點(diǎn)G，DG與EF交于點(diǎn)O．（1）求證：四邊形ABEF是正方形．（2）若AD＝AE，AB＝2，（?。┣驛G的長(zhǎng)；（ⅱ）求OF的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAF＝∠ABE＝90°，∵EF⊥AD，∴∠AFE＝∠BAF＝∠ABE＝90°，∴四邊