新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8-5-3平面與平面平行同步課件新人教A版必修第二冊

8.5.3平面與平面平行必備知識·自主學(xué)習(xí)1.平面與平面平行的判定定理(1)定理:如果一個平面內(nèi)的_____________與另一個平面平行,那么這兩個平面平行;(2)符號:a?α,b?α,a∩b=P,a∥β,b∥β?α∥β.(3)本質(zhì):線面平行?面面平行;(4)應(yīng)用:判定面面平行.兩條相交直線【思考】如果一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面平行,那么這兩個平面平行嗎?提示:不一定.當(dāng)這兩條直線平行時,這兩個平面有可能相交.2.平面與平面平行的性質(zhì)定理(1)定理:兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么兩條交線平行;(2)符號:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b;(3)本質(zhì):面面平行?線線平行;(4)應(yīng)用:由面面平行推證線線平行、線面平行.【思考】面面平行還有哪些性質(zhì)?提示:(1)如果兩個平面平行,那么其中一個平面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面平行;(2)夾在兩平行平面之間的平行線段相等;(3)兩個平面平行,其中一個平面上任意一點(diǎn)到另一個平面的距離相等.【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面平行,那么這兩個平面平行. (

)(2)如果兩個平面平行,那么其中一個平面內(nèi)的直線與另一個平面內(nèi)的直線平行. (

)(3)已知兩個平面平行,若第三個平面與其中的一個平面平行,則也與另一個平面平行. (

)提示:(1)×.這無數(shù)條直線可能是平行直線.(2)×.也可能是異面直線.(3)√.第三個平面與另一個平面也沒有公共點(diǎn),所以也是平行的.提示:(1)×.這無數(shù)條直線可能是平行直線.(2)×.也可能是異面直線.(3)√.第三個平面與另一個平面也沒有公共點(diǎn),所以也是平行的.2.a是平面α外一條直線,過a作平面β,使α∥β,這樣的β (

)

A.只能作一個 B.至少可以作一個C.不存在 D.至多可以作一個【解析】選D.當(dāng)a∥α?xí)r,過a作平面β,使得β∥α,由平面與平面平行的性質(zhì)得這樣的平面β有且只有1個.當(dāng)a與α相交時,設(shè)a與α的交點(diǎn)為P,根據(jù)題意知,P∈β,P∈α,則α∩β=l且P∈l,這與α∥β矛盾,所以這樣的β不存在.綜上所述,過平面α外一條直線a與α平行的平面至多有1個.3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)已知直線a?α,給出以下三個命題:①若平面α∥平面β,則直線a∥平面β;②若直線a∥平面β,則平面α∥平面β;③若直線a不平行于平面β,則平面α不平行于平面β.其中正確的命題是 (

)A.② B.③ C.①② D.①③【解析】選D.①若平面α∥平面β,則直線a∥平面β:因為直線a?α,平面α∥平面β,則α內(nèi)的每一條直線都平行于平面β,顯然正確.②若直線a∥平面β,則平面α∥平面β:因為當(dāng)平面α與平面β相交時,仍然可以存在直線a?α使直線a∥平面β,故錯誤.③若直線a不平行于平面β,則平面α不平行于平面β:因為平面內(nèi)有一條直線不平行于另一個平面,兩平面就不會平行.顯然正確.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一面面平行的判定(直觀想象、邏輯推理)【題組訓(xùn)練】1.(2020·泰安高一檢測)如圖,在下列四個正方體中,P,R,Q,M,N,G,H為所在棱的中點(diǎn),則在這四個正方體中,陰影平面與P,R,Q三點(diǎn)所在平面平行的是 (

)2.(2020·孝感高一檢測)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,P分別是棱AB,A1B1的中點(diǎn),求證:平面APC1∥平面B1CD.2.(2020·孝感高一檢測)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,P分別是棱AB,A1B1的中點(diǎn),求證:平面APC1∥平面B1CD.【解析】1.選D.由題意可知,經(jīng)過P,Q,R三點(diǎn)的平面如圖:截面為六邊形PQEFRS(E,F,S為所在棱中點(diǎn)),可知N在經(jīng)過P,Q,R三點(diǎn)的平面上,所以B,C錯誤;MC1與QE是相交直線,所以A不正確,故選D.2.連接BC1與B1C相交于點(diǎn)O,連接OD,因為四邊形BCC1B1為平行四邊形,所以O(shè)為B1C的中點(diǎn),又D是AB的中點(diǎn),所以O(shè)D是三角形ABC1的中位線,則OD∥AC1,又因為AC1?平面B1CD,OD?平面B1CD,所以AC1∥平面B1CD;因為P為A1B1的中點(diǎn),點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),所以AD∥B1P且AD=B1P,則四邊形ADB1P為平行四邊形,所以AP∥DB1,又因為AP?平面B1CD,DB1?平面B1CD,所以AP∥平面B1CD.又AC1∥平面B1CD,AC1∩AP=A,且AC1?平面APC1,AP?平面APC1,所以平面APC1∥平面B1CD.【解題策略】平面與平面平行的判定方法(1)定義法:兩個平面沒有公共點(diǎn).(2)判定定理:一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面.(3)利用線線平行:平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行,則α∥β.(4)利用平行平面的傳遞性:若α∥β,β∥γ,則α∥γ.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分別是AD1,BD和B1C的中點(diǎn),求證:平面MNP∥平面CC1D1D.【證明】連接AC,CD1,因為四邊形ABCD是正方形,N是BD的中點(diǎn),所以N是AC的中點(diǎn),又因為M是AD1的中點(diǎn),所以MN∥CD1,因為MN?平面CC1D1D,CD1?平面CC1D1D,所以MN∥平面CC1D1D;連接BC1,C1D,因為四邊形B1BCC1是正方形,P是B1C的中點(diǎn),所以P是BC1的中點(diǎn),又因為N是BD的中點(diǎn),所以PN∥C1D,因為PN?平面CC1D1D,C1D?平面CC1D1D,所以PN∥平面CC1D1D,又MN∥平面CC1D1D,且MN∩PN=N,MN?平面MNP,PN?平面MNP,所以平面MNP∥平面CC1D1D.類型二面面平行的性質(zhì)(邏輯推理)【典例】(2020·無錫高一檢測)如圖,已知在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)D,D1分別為AC,A1C1上的點(diǎn).若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值.【思路導(dǎo)引】將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行,再利用平行線的性質(zhì)求比值.【解析】連接A1B,設(shè)A1B∩AB1=O,連接OD1,如圖,由平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BDC1=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O.知BC1∥D1O,同理AD1∥DC1.所以.又因為=1,所以=1,即=1.【解題策略】1.應(yīng)用平面與平面平行的性質(zhì)定理的步驟2.關(guān)于平行平面分線段類比平面中平行線分線段成比例定理,在空間中,平行平面分線段也是成比例的.【跟蹤訓(xùn)練】

(2020·銀川高一檢測)如圖,已知α∥β,P是平面α,β外的一點(diǎn),直線PB,PD分別與α,β相交于A,B和C,D.(1)求證:AC∥BD.(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的長.【解析】(1)因為α∥β,平面PBD∩α=AC,平面PBD∩β=BD,所以AC∥BD.(2)由(1)可知AC∥BD,所以,即,所以PD=.類型三面面平行的綜合應(yīng)用(邏輯推理)角度1平行條件的探究

【典例】如圖所示,在四棱錐C-ABED中,四邊形ABED是正方形,點(diǎn)G,F分別是線段EC,BD的中點(diǎn).線段AB上是否存在一點(diǎn)H,使得平面GFH∥平面ACD.若存在,請找出點(diǎn)H并證明;若不存在,請說明理由.【思路導(dǎo)引】嘗試特殊點(diǎn)是否滿足,并證明.【解析】線段AB上存在一點(diǎn)H滿足題意,且點(diǎn)H是AB的中點(diǎn).理由如下:連接AE,FH,GH.由四邊形ABED為正方形可知,AE必與BD相交于中點(diǎn)F,因為G為EC的中點(diǎn),所以GF∥AC,因為GF?平面ACD,AC?平面ACD,所以GF∥平面ACD.由點(diǎn)F,H分別為BD,AB的中點(diǎn)可得:FH∥AD,因為FH?平面ACD,AD?平面ACD,所以FH∥平面ACD,且GF∩FH=F,故平面GFH∥平面ACD.角度2平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

【典例】如圖,已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,點(diǎn)M,N,Q分別是PA,BD,PD的中點(diǎn).(1)求證:MN∥平面PCD.(2)求證:平面MNQ∥平面PBC.【思路導(dǎo)引】(1)利用中位線定理證明線線平行,從而證明線面平行;(2)結(jié)合第(1)問的結(jié)論構(gòu)造線面平行證明面面平行.【證明】(1)由題意知,四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形,點(diǎn)M,N,Q分別是PA,BD,PD的中點(diǎn),所以N是AC的中點(diǎn),所以MN∥PC,又因為PC?平面PCD,MN?平面PCD,所以MN∥平面PCD.(2)由(1)知,MN∥PC,因為PC?平面PBC,MN?平面PBC,所以MN∥平面PBC,因為M,Q分別是PA,PD的中點(diǎn),所以MQ∥AD∥BC,又因為BC?平面PBC,MQ?平面PBC,所以MQ∥平面PBC.因為MQ?平面MNQ,MN?平面MNQ,MQ∩MN=M,所以平面MNQ∥平面PBC.【解題策略】1.關(guān)于面面平行條件的探究(1)從線線平行的角度:確定出動點(diǎn)的位置滿足線線平行,從而得到線面平行,進(jìn)而證明面面平行.(2)從面面平行的角度:先確定出滿足條件的、且與已知平面平行的平面,則動點(diǎn)在線上或面內(nèi)任意點(diǎn)均滿足面面平行.2.關(guān)于空間中線、面平行的內(nèi)在聯(lián)系注:判定是按線線→線面→面面方向證明;性質(zhì)是按面面→線面→線線方向證明.【題組訓(xùn)練】1.在正方體AC1中,E,F分別為D1C1,B1C1的中點(diǎn),AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,如圖.

(1)若A1C交平面EFBD于點(diǎn)R,求證:P,Q,R三點(diǎn)共線.(2)線段AC上是否存在點(diǎn)M,使得平面B1D1M∥平面EFBD,若存在,確定M的位置,若不存在,說明理由.【解析】(1)連接A1C,因為在正方體AC1中,E,F分別為D1C1,B1C1的中點(diǎn),AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,A1C交平面EFBD于點(diǎn)R,如圖.

所以P,Q,R是平面BDEF和平面AA1C1C的公共點(diǎn),所以P,Q,R三點(diǎn)共線.(2)取AD中點(diǎn)G,AB中點(diǎn)H,連接GH,交AC于點(diǎn)M,連接D1G,B1H,由題意得,GH∥EF,B1H∥DE,因為GH∩B1H=H,EF∩DE=E,所以平面GHB1D1∥平面BDEF,所以線段AC上存在點(diǎn)M,使得平面B1D1M∥平面EFBD,且M為AP中點(diǎn).2.(2020·杭州高一檢測)已知如圖:E,F,G,H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中點(diǎn).(1)求證:EG∥平面BB1D1D.(2)求證:平面BDF∥平面B1D1H.【證明】(1)正方體ABCD-A1B1C1D1中,取B1D1的中點(diǎn)O,連接GO,OB,由OG,BE都平行且等于B1C1的一半,可得四邊形BEGO為平行四邊形,故OB∥GE,而OB?平面BB1D1D,GE?平面BB1D1D,故EG∥平面BB1D1D.(2)由正方體得BD∥B1D1,由于B1D1?平面B1D1H,而BD?平面B1D1H,所以BD∥平面B1D1H.如圖,連接HB,D1F,易證BH與FD1平行且相等,可得四邊形HBFD1是平行四邊形,故HD1∥BF.因為HD1?平面B1D1H,而BF?平面B1D1H,所以BF∥平面B1D1H.又BD∩BF=B,BD?平面BDF,BF?平面BDF,所以平面BDF∥平面B1D1H.平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化:方法總結(jié)核心知識易錯提醒核心素養(yǎng)1.平面與平面平行的判定2.平面與平面平行的性質(zhì)應(yīng)用性質(zhì)定理時定理中的三個條件缺一不可邏輯推理：在平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化證明過程中，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)線線平行線面平行面面平行性質(zhì)判定定理性質(zhì)定理判定定理性質(zhì)定理平面與平面平行性質(zhì)課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.下列命題中不正確的是 (

)A.平面α∥平面β,一條直線a平行于平面α,則a一定平行于平面βB.平面α∥平面β,則α內(nèi)的任意一條直線都平行于平面βC.一個三角形有兩條邊所在的直線分別平行于一個平面,那么該三角形所在的平面與這個平面平行D.分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線只能是平行直線或異面直線【解析】選A.A中,因為a有可能在β內(nèi),故錯誤;B中,由面面平行可得一個平面內(nèi)的線與另一平面平行,故正確;C中,由面面平行的判定可知C選項正確;D中,由面面平行的性質(zhì)可知D選項正確.2.在正方體EFGH-E1F1G1H1中,下列四對截面彼此平行的一對是 (

)A.平面E1FG1與平面EGH1B.平面FHG1與平面F1H1GC.平面F1H1H與平面FHE1D.平面E1HG1與平面EH1G【解析】選A.如圖,因為EG∥E1G1,EG?平面E1FG1,

E1G1?平面E1FG1,所以EG∥平面E1FG1,又G1F∥H1E,同理可證H1E∥平面E1FG1,又H1E∩EG=E,H1E,EG?平面EGH1,所以平面E1FG1∥平面EGH1.3.如圖是長方體被一平面所截得的幾何體,四邊形EFGH為截面,則四邊形EFGH的形狀為

.

【解析】因為平面ABFE∥平面CDHG,又平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面CDHG=HG,所以EF∥HG.同理EH∥FG.所以四邊形EFGH的形狀是平行四邊形.答案:平行四邊形4.(教材二次開發(fā):習(xí)題改編)如圖,平面α∥β∥γ,直線l,m分別與α,β,γ相交于點(diǎn)A,B,C和點(diǎn)D,E,F.若,DF=20,則EF=

.

【解析】利用平行平面分線段成比例得:,又DF=20,求得EF=15.答案:155.設(shè)α,β,γ為三個不同的平面,m,n是兩條不同的直線,在命題“α∩β=m,n?γ,且

,則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組,使該命題為真命題.

①α∥γ,n?β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m?γ.【解析】由面面平行的性質(zhì)定理可知①可以;對于②,若γ∥β,則γ內(nèi)的任一直線都滿足條件,m與n也可異面;對于③,因為α∩β=m,n?γ,m?γ,所以m∥n或m∩n=P.假設(shè)m∩n=P,則P∈m,P∈n,又α∩β=m,所以P∈β,這與n∥β相矛盾,因此m∩n=P不成立,故m∥n,所以③可以.答案:①或③Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切