數(shù)列的概念（導(dǎo)學(xué)案）高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性）

4.1.1數(shù)列的概念導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解數(shù)列的有關(guān)概念與數(shù)列的表示方法.2.掌握數(shù)列的分類，了解數(shù)列的單調(diào)性.3.理解數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任一項.4.能根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：數(shù)列的有關(guān)概念與數(shù)列的表示方法、數(shù)列的通項公式.難點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特征，用數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系求通項公式課前預(yù)習(xí)自主梳理知識點(diǎn)一數(shù)列及其有關(guān)概念1．一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．?dāng)?shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項，常用符號a1表示，第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項，用a2表示……，第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項，用an表示．其中第1項也叫做首項．2.數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡記為{an}．思考數(shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是同一個數(shù)列嗎？答案不是．順序不一樣．知識點(diǎn)二數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義按項的個數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列知識點(diǎn)三函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n，對應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項an，記為an＝f(n)．知識點(diǎn)四數(shù)列的單調(diào)性遞增數(shù)列從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列常數(shù)列各項都相等的數(shù)列知識點(diǎn)五通項公式1．如果數(shù)列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式．2．通項公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，以前我們學(xué)過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù)．思考既然數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，那么表示數(shù)列除了用通項公式外，還可以用哪些方法？答案還可以用列表法、圖象法．自主檢測1.判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．1,1,1,1是一個數(shù)列．()數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}．()如果一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，那么它一定是遞減數(shù)列．()an與{an}表達(dá)不同的含義．()數(shù)列中的項互換次序后還是原來的數(shù)列．()所有的數(shù)列可分為遞增數(shù)列和遞減數(shù)列兩類．(){an}與an的意義一樣，都表示數(shù)列．()【答案】（1）√（2）×（3）×（4）√（5）×（6）×（7）×2.設(shè)數(shù)列滿足，則（

）A．0 B．4 C．5 D．8【答案】B【分析】由遞推關(guān)系式直接求即可.【詳解】由題意得：.故選：B.3.在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用數(shù)列的遞推公式逐項計算可得的值.【詳解】由已知可得，，.故選：C.4.數(shù)列的項數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)列所給的項，歸納項與項數(shù)的規(guī)律即可得解.【詳解】；；……，.故共有項，故選：B.5.已知數(shù)列、、、、，那么在此數(shù)列中的項數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解方程，可得出結(jié)論.【詳解】由可得，因此，在此數(shù)列中的項數(shù)是.故選：C.新課導(dǎo)學(xué)學(xué)習(xí)探究環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題 (一)章引言的教學(xué)引導(dǎo)語：這一階段我們將學(xué)習(xí)一個新的內(nèi)容——數(shù)列，請大家跟隨老師的問題來了解數(shù)列的內(nèi)容與學(xué)習(xí)方法.在生活中，常有按順序記錄數(shù)據(jù)來研究事物變化規(guī)律的事例.例如，一棵樹在某一時刻的高度為2m,如果在每年的同一時刻都記錄下這棵樹的高度，并按時間的先后順序排列起來，就得到一列數(shù).通過對記錄下來的這列數(shù)的分析，可以研究樹的生長規(guī)律.將某個學(xué)生某一學(xué)科的歷次考試成績按考試時間順序逐個記錄，據(jù)此可研究該學(xué)生這科成績的變化情況.問題1：你能舉出幾個類似的用按順序排成一列的數(shù)來研究變化規(guī)律的事例嗎？【師生活動】學(xué)生舉例，教師通過學(xué)生的答案，判斷他們對數(shù)列的已有認(rèn)知情況.【設(shè)計意圖】通過事例讓學(xué)生感知，將數(shù)據(jù)按確定順序排成一列進(jìn)行研究有其實際的意義和價值.問題2：對數(shù)列的研究，既有實際需求，也有數(shù)學(xué)本身的需求.章頭圖沙灘上的圖形，顯示了古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派用小石子擺出的三角形數(shù)、正方形數(shù)和五邊形數(shù).你能分別將表示三角形數(shù)、正方形數(shù)和五邊形數(shù)的點(diǎn)數(shù)按順序排成一列寫下來嗎？你能用一個式子表示這些數(shù)嗎？【師生活動】讓學(xué)生在寫的過程中體會，數(shù)列學(xué)習(xí)的一個重要內(nèi)容是求數(shù)列的通項，而歸納的方法是常用的方法.教師可以結(jié)合學(xué)生的回答提醒學(xué)生，數(shù)列的通項公式及歸納的方法是這一章的重要內(nèi)容和思想方法.【設(shè)計意圖】使學(xué)生感知數(shù)列有實際和數(shù)學(xué)自身兩方面的需求，同時引出本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容與方法.問題3：上述樹的高度、小石子的個數(shù)問題是否能用函數(shù)關(guān)系來刻畫？為什么？【師生活動】學(xué)生可能從表格表達(dá)的是函數(shù)的角度來解釋，如能從對應(yīng)關(guān)系上解釋更好，但這里主要是讓學(xué)生體會數(shù)列是特殊的函數(shù).教師可進(jìn)一步對章頭語作如下介紹：通過上述問題我們可以知道，研究數(shù)列有著實際的需求，數(shù)列與函數(shù)有著一定的聯(lián)系.在函數(shù)學(xué)習(xí)中我們先學(xué)習(xí)函數(shù)的概念和性質(zhì)，然后研究一些基本初等函數(shù).與函數(shù)類似，在數(shù)列的學(xué)習(xí)中，我們將學(xué)習(xí)數(shù)列的概念及表示法，研究通項公式(類似函數(shù)的解析式)，并研究兩類典型的數(shù)列模型——等差數(shù)列和等比數(shù)列.通過對這兩類數(shù)列的研究，我們將學(xué)習(xí)數(shù)列的研究方法，還將把其他數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列，并利用這兩類數(shù)列的性質(zhì)解決問題.當(dāng)然數(shù)列也有別于函數(shù)，有其特殊的研究內(nèi)容，如相鄰兩項之間的關(guān)系、求和問題等，這些也是數(shù)列重要的研究內(nèi)容.在數(shù)列的學(xué)習(xí)過程中，我們常用歸納的方法得出一些結(jié)論，但并沒有給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，因此在本章最后，我們將介紹一種證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的方法——“數(shù)學(xué)歸納法”.【設(shè)計意圖】讓學(xué)生從具體問題中感知數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系.通過教師的介紹，讓學(xué)生對本章將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容及處理問題的方法有大致的了解，發(fā)揮章引言的“先行組織者”的作用.對數(shù)列的研究源于現(xiàn)實生產(chǎn)、生活的需要．例如，一棵樹在某一時刻的高度是2m，如果在每年的同一時刻都記錄下這棵樹的高度，并按先后順序排列起來，就得到一列數(shù)．人們常用這樣的一列數(shù)有序地表達(dá)一類事物，或者記錄一個過程．像這樣按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列．如果用正整數(shù)表示事物發(fā)展過程的先后順序，并且把這樣的正整數(shù)看作自變量的取值，把事物的對應(yīng)數(shù)值看作相應(yīng)的函數(shù)值，那么數(shù)列就是定義在正整數(shù)集（或正整數(shù)集的有限子集）上的一類離散函數(shù)．?dāng)?shù)列無論在理論研究還是在實際應(yīng)用中都非常重要．引導(dǎo)語：從前面的介紹中，我們對數(shù)列已經(jīng)有了一個大致的了解，那么究竟什么是數(shù)列呢?我們將通過例子來歸納數(shù)列的共性，研究該怎樣定義、表示數(shù)列.環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念先看教科書上的兩個例子：在現(xiàn)實生活和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常需要根據(jù)問題的意義，通過對一些數(shù)據(jù)按特定順序排列的方法來刻畫研究對象．例如：1．王芳從1歲到17歲，每年生日那天測量身高．將這些身高數(shù)據(jù)（單位：cm）依次排成一列數(shù)：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168．①記王芳第歲時的身高為，那么，，，．我們發(fā)現(xiàn)，中的反映了身高按歲數(shù)從1到17的順序排列時的確定位置，即是排在第1位的數(shù)，是排在第2位的數(shù)……是排在第17位的數(shù)，它們之間不能交換位置．所以，①是具有確定順序的一列數(shù)．2．在兩河流域發(fā)掘的一塊泥版（編號K90，約產(chǎn)生于公元前7世紀(jì)）上，有一列依次表示一個月中從第1天到第15天每天月亮可見部分的數(shù)①：①把滿月分成240份，則從初一到十五每天月亮的可見部分可用一個代表份數(shù)的數(shù)來表示．5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240．②問題4：根據(jù)上述兩個例子回答下列問題：（1）例（1）中的第3,8個數(shù)的實際意義是什么？（2）例（2）中哪一天的月亮可見部分?jǐn)?shù)為128?（3）按順序排列實際上確定了怎樣的一種關(guān)系？【師生活動】學(xué)生回答，例（1）中第3,8個數(shù)表示王芳在3歲和8歲生日那天的身高分別為96cm和128cm，例（2）中的“128”對應(yīng)的是第8天月亮的可見部分?jǐn)?shù).教師歸納：這些數(shù)是有確定的順序的，每個位置上的數(shù)都有其特定的意義.【設(shè)計意圖】通過對“章引言”的學(xué)習(xí)，及對上述所給問題的作答，使學(xué)生認(rèn)識所給實例的共性.問題5：我們能否引入一個符號，表示上述問題中的數(shù)？記第天月亮可見部分的數(shù)為，那么，，…，．這里，中的反映了月亮可見部分的數(shù)按日期從1到15的順序排列時的確定位置，即是排在第1位的數(shù)，是排在第2位的數(shù)……是排在第位的數(shù)，它們之間不能交換位置．所以，②也是具有確定順序的一列數(shù)．【師生活動】在學(xué)生作答的基礎(chǔ)上,教師歸納:既然這兩列數(shù)中的每一個數(shù)的值是由排列順序中的序號所確定的,我們可以引人一個與序號相關(guān)的符號來表示數(shù)列中的數(shù).例如,對于例(1),我們可以記王芳第歲生日那天的身高為,這樣.追問1:的值分別是多少?【師生活動】學(xué)生回答:.追問2:怎樣用符號來表示例（2）中這列數(shù)中的每一個數(shù)?【師生活動】學(xué)生回答，設(shè)第天月亮可見部分的數(shù)為,則追問3:按這樣的表述,的實際意義是什么?【師生活動】學(xué)生回答,教師總結(jié):因為,而滿月時為240,所以表示第5天月亮的可見部分是滿月時的.【設(shè)計意圖】通過用數(shù)學(xué)符號表示實例中的數(shù),使學(xué)生認(rèn)識到實例中的數(shù)都是具有確定順序的一列數(shù).問題6:我們再來看下面一個例子:3．的次冪按1次冪、2次冪、3次冪、4次冪……依次排成一列數(shù)：③思考你能仿照上面的敘述，說明③也是具有確定順序的一列數(shù)嗎？【師生活動】學(xué)生回答:的第次冪為,那么.這里,中的反映了的次冪按指數(shù)從小到大的順序排列時的確定位置,即是排在第1位的數(shù),是排在第2位的數(shù),是排在第3位的數(shù)..它們之間不能交換位置.所以,(*)是具有確定順序的一列數(shù)列.學(xué)生通過仿照前面用數(shù)學(xué)符號表示數(shù)列并進(jìn)行分析的過程,進(jìn)一步認(rèn)識數(shù)列是具有確定順序的一列數(shù).問題7:上面三個例子的共同特征是什么?【師生活動】學(xué)生交流并回答.教師在前面活動的基礎(chǔ)上給出數(shù)列的概念:環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列(sequenceofnumber)，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．?dāng)?shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項，常用符號表示，第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項，用表示……第個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第項，用表示．其中第1項也叫做首項．①是按年齡從小到大的順序排列的，②是按每月的日期從小到大的順序排列的，③是按冪指數(shù)從小到大的順序排列的，它們都是從第1項開始的．項數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列，項數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列．?dāng)?shù)列的一般形式是，，…，，…，簡記為．【設(shè)計意圖】讓學(xué)生在具體的例證基礎(chǔ)上進(jìn)行抽象概括,體會數(shù)列的概念及一般形式的合理性.問題8:若將上面的次冪所得的數(shù)列記作,則的值各為多少?【師生活動】學(xué)生回答:.【設(shè)計意圖】數(shù)列概念的簡單運(yùn)用.由于數(shù)列中的每一項與它的序號有下面的對應(yīng)關(guān)系：所以數(shù)列是從正整數(shù)集(或它的有限子集)到實數(shù)集的函數(shù)，其自變量是序號，對應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第項，記為．也就是說，當(dāng)自變量從1開始，按照從小到大的順序依次取值時，對應(yīng)的一列函數(shù)值，，…，，…，就是數(shù)列．另一方面，對于函數(shù)，如果有意義，那么，，…，，…，構(gòu)成了一個數(shù)列．以前我們學(xué)過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù)．環(huán)節(jié)四辨析理解，深化概念問題9:我們已經(jīng)歸納出了數(shù)列的概念,從給出的具體例子中你能發(fā)現(xiàn)數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系嗎?你能從函數(shù)的角度解釋一下這三個數(shù)列的特點(diǎn)嗎?例如,它們是不是函數(shù)?如果是,那么它們的對應(yīng)關(guān)系、定義域分別是什么?與其他函數(shù)一樣，數(shù)列也可以用表格和圖象來表示．例如，數(shù)列①可以表示為表．表n1234567891011121314151617758796103110116120128138145153158160162163165168它的圖象如圖所示．【師生活動】學(xué)生作答,教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識作為函數(shù)的數(shù)列定義域的特點(diǎn).【設(shè)計意圖】通過上述三個數(shù)列,使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識數(shù)列是一種特殊的函數(shù),并給出定義域.問題10:一般地,數(shù)列能否看作是一個函數(shù)?如果能,數(shù)列的定義域又有怎樣的特點(diǎn)?從表和圖中，你能發(fā)現(xiàn)數(shù)列①中的項隨序號的變化呈現(xiàn)出的特點(diǎn)嗎？問題11:分別寫出一個遞減的無窮數(shù)列和一個遞增的有窮數(shù)列的通項公式.【師生活動】學(xué)生回答,教師評價.【設(shè)計意圖】幫助學(xué)生認(rèn)識到可以從函數(shù)的角度來研究數(shù)列.與函數(shù)類似，我們可以定義數(shù)列的單調(diào)性．從第２項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列叫做遞增數(shù)列；從第２項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列叫做遞減數(shù)列．特別地，各項都相等的數(shù)列叫做常數(shù)列．如果數(shù)列的第項與它的序號之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式．例如，數(shù)列③的通項公式為．顯然，通項公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，根據(jù)通項公式可以寫出數(shù)列的各項．【師生活動】在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上,教師引導(dǎo)學(xué)生對照教科書中的表述,理解數(shù)列是特殊的函數(shù).同時,教師還需指出:(1)數(shù)列作為特殊的函數(shù)也可以有表格（如教科書中的表）、圖象（如教科書中的圖4.11)和解析式這三種表示形式,表格法、圖象法可以根據(jù)數(shù)列的前若干項得到,因此需要側(cè)重研究解析式法一用來表示數(shù)列各項的公式.結(jié)合教科書中數(shù)列的通項公式的定義,使學(xué)生明確并不是所有的數(shù)列都有通項公式.（2）與函數(shù)類似,我們可以定義遞增數(shù)列、遞減數(shù)列與常數(shù)列.教學(xué)時先讓學(xué)生閱讀單調(diào)數(shù)列的定義,并回答如何由教科書中的表和圖4.11,確定數(shù)列的單調(diào)性.再讓學(xué)生計算由的次冪按升冪順序排列所成數(shù)列的前10項,并畫出其圖象(圖1),觀察各項的變化趨勢.(參考答案:該數(shù)列既不是遞增數(shù)列也不是遞減數(shù)列,當(dāng)項數(shù)無限增大時,數(shù)列的項會無限趨近于0.)（3）函數(shù)在數(shù)列研究中有著重要的作用.【設(shè)計意圖】讓學(xué)生理解,數(shù)列是一種特殊的函數(shù),數(shù)列也和函數(shù)一樣,有3種表示方法,數(shù)列也有單調(diào)性的概念.環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例1根據(jù)下列數(shù)列的通項公式，寫出數(shù)列的前5項，并畫出它們的圖象．（1）；（2）．解：（1）當(dāng)通項公式中的時，數(shù)列的前5項依次為圖象如圖4.12(1)所示．（2）當(dāng)通項公式中的時，數(shù)列的前項依次為．圖象如圖4.12(2)所示．【師生活動】學(xué)生計算、畫圖.教師利用電子表格計算、畫圖（圖2、圖3),結(jié)合表格、圖象,請學(xué)生回答這兩個數(shù)列是否是遞增數(shù)列.【設(shè)計意圖】本例是對通項公式的直接運(yùn)用,并要求學(xué)生描點(diǎn)作圖,使學(xué)生從通項公式、表格和圖象三個角度認(rèn)識數(shù)列.例2根據(jù)下列數(shù)列的前4項，寫出數(shù)列的一個通項公式：（1）；（2）．解：（1）這個數(shù)列的前4項的絕對值都是序號的倒數(shù)，并且奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負(fù)，所以它的一個通項公式為①①或常常用來表示正負(fù)相間的變化規(guī)律．（2）這個數(shù)列前4項的奇數(shù)項是2，偶數(shù)項是0，所以它的一個通項公式為．【師生活動】學(xué)生回答,教師進(jìn)行引導(dǎo):解答第(1)題時,可以先思考第(1)題與下列兩個數(shù)列(1),(2)的關(guān)系;對于第(2)題,可以考慮在的每一項上加1,也可以對例1(2)中數(shù)列的每一項取絕對值后乘以2.教師同時強(qiáng)調(diào),通過數(shù)列的前幾項歸納得到的數(shù)列的通項公式,可能是不唯一的.練習(xí):教科書第5頁練習(xí)第4題.【設(shè)計意圖】讓學(xué)生體會從數(shù)列的具體項歸納通項公式的基本方法,認(rèn)識到得到的通項公式不是唯一的.環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升問題12:回顧章引言,概述本章的主要內(nèi)容.【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生再次閱讀章引言,共同畫一個思維導(dǎo)圖,其中包括本章的主要內(nèi)容和主要的思想方法.問題13:回顧數(shù)列的概念及其表示方法的學(xué)習(xí)過程,說說其中運(yùn)用了怎樣的思想方法.【師生活動】學(xué)生交流后回答,教師總結(jié):(1)通過具體的例子,歸納、概