《柱體椎體臺體的體積》導(dǎo)學(xué)案(北師大版必修)

高一數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案課題：柱體、椎體、臺體的體積姓名：___________________________【學(xué)習(xí)目標(biāo)】準(zhǔn)確掌握柱體、椎體、臺體的體積公式及應(yīng)用【重點難點】準(zhǔn)確理解和掌握柱體、椎體、臺體的體積公式及應(yīng)用【知識鏈接】=__________________________；=__________________________=__________________________；=__________________________=__________________________；=__________________________【學(xué)習(xí)過程】一、新課引入：柱體的體積公式______________________________________________________________注：通過學(xué)習(xí)柱體的體積公式，試分析公式中的，對于棱柱來說是否就是棱柱的長度？錐體的體積公式______________________________________________________________注：由，那么三棱錐的任何一個面都可以作底面嗎？臺體的體積公式______________________________________________________________（其中，_________________________________）注：柱體，錐體，臺體的體積公式是適用于特殊的柱體，錐體，臺體，還是適用于一般的柱體，錐體和臺體？二、例題應(yīng)用：例1、看課本例4并做練習(xí)1、2于導(dǎo)學(xué)案知識鏈結(jié)：直線方程的幾種形式名稱點斜式斜截式兩點式截距式已知條件點和斜率斜率和在軸上的截距其中在軸上的截距且方程使用范圍與__________________________不垂直的直線與__________________________不垂直的直線與坐標(biāo)軸均不垂直的直線與坐標(biāo)軸均不垂直且不過_____不垂直的直線學(xué)習(xí)過程：直線的一般式方程把關(guān)于的二元一次方程__________________________________叫做直線方程的一般式.過點的傾斜角為或的直線方程是什么？是不是關(guān)于的二元一次方程？例1、看課本例6，例8并做練習(xí)第3題，第4題，第5題，第6題，第9題于導(dǎo)學(xué)案上.例2、做練習(xí)第7題，第8題于導(dǎo)學(xué)案上.例3、看課本例7并做練習(xí)第2題于導(dǎo)學(xué)案上.例2、已知一正四棱臺的上底邊長為4cm，下底邊長為8cm，高為3cm，求其體積。例3、做課本習(xí)題1-7A組3、6、7于導(dǎo)學(xué)案【學(xué)后反思】例4DCADDCAD【教后反思】第四章：框圖4.1流程圖例題:1．表示旅客搭乘火車的流程正確的是()A.買票候車上車檢票B.候車買票上車檢票C.買票候車檢票上車D.修車買票檢票上車解析:根據(jù)生活經(jīng)驗,選C.2.流程圖是由________構(gòu)成的圖示.流程圖常用來表示一些________過程，通常會有一個_________一個或多個______通常按照______,_______的順序來畫流程圖.解析:圖形符號和文字說明動態(tài)起點終點從左到右從上到下3.一些實際問題通?？梢越?shù)學(xué)模型來解決，具體方法是：從實際情境中提出問題，根據(jù)問題建立數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)果，經(jīng)檢驗，若不合乎實際，則要修改，合乎實際，則該數(shù)學(xué)結(jié)果即為可用結(jié)果，請用流程圖表示數(shù)學(xué)建模的過程．解析:課后練習(xí):1．下列說法正確的是()A.流程圖只有1個起點和1個終點B.程序框圖只有1個起點和1個終點C.工序圖只有1個起點和1個終點D.以上都不對2.下列關(guān)于邏輯結(jié)構(gòu)與流程圖的說法正確的是A.一個流程圖一定會有順序結(jié)構(gòu)B.一個流程圖一定含有條件結(jié)構(gòu)C.一個流程圖一定含有循環(huán)結(jié)構(gòu)D.以上說法都不對3.給出以下一個算法的程序框圖,該程序框圖的功能是()A.求出a、b、c三數(shù)中的最大數(shù)

B.求出a、b、c三數(shù)中的最小數(shù)

C.將a、b、c按從小到大排列

D.將a、b、c按從大到小排列4.某同學(xué)一天上午的活動經(jīng)歷有：上課、早鍛煉、用早餐、起床、洗漱、午餐、上學(xué)．用流程圖表示他這天上午活動的經(jīng)歷的過程．5.設(shè)計一個算法求,并畫出流程圖.6.若一個數(shù)列的遞推公式為.畫出打印這個數(shù)列的前10項的程序框圖.7.某招生單位制定了如下的考生考試程序：1.進(jìn)考點：到達(dá)考點開考前30分鐘到開考后15分鐘之間允許進(jìn)考點，否則不得進(jìn)考點出示考試證件檢查有證件者進(jìn)考點，否則不得進(jìn)考點進(jìn)考點．2.進(jìn)考點：到達(dá)考場驗指紋，查證件，符合者進(jìn)考場，否則不得進(jìn)場再考15分鐘前允許進(jìn)場，否則不得進(jìn)場．3.考試：考試作弊者收繳試卷，給出相應(yīng)處罰并離場交卷離場．設(shè)計流程圖表述上述考生考試程序．4.2結(jié)構(gòu)圖例題:1.下列關(guān)于結(jié)構(gòu)圖的說法不正確的是（）A.結(jié)構(gòu)圖中各要素之間通常表現(xiàn)為概念上的從屬關(guān)系和邏輯上的先后關(guān)系B.結(jié)構(gòu)圖都是“樹形”結(jié)構(gòu)C.簡潔的結(jié)構(gòu)圖能更好地反映主體要素之間關(guān)系和系統(tǒng)的整體特點D.復(fù)雜的結(jié)構(gòu)圖能更詳細(xì)地反映系統(tǒng)中各細(xì)節(jié)要素及其關(guān)系解析:組織結(jié)構(gòu)圖一般都呈“樹形”結(jié)構(gòu),但在結(jié)構(gòu)圖中也經(jīng)常會出現(xiàn)其他形結(jié)構(gòu),如“環(huán)”形結(jié)構(gòu).2.在工商管理學(xué)中，MRP(MaterialRequirementPlanning）指的是物資需求計劃，基本MRP的體系結(jié)構(gòu)如圖所示．從圖中可以看出，基本MRP直接受______,______和________的影響．解析:從圖中的箭頭可以看出影響基本MRP的因素主要有主生產(chǎn)計劃,產(chǎn)品結(jié)構(gòu),庫存狀態(tài).3.用結(jié)構(gòu)圖描述本章“框圖”的知識結(jié)構(gòu).解析:點評:這是一個用“樹形”結(jié)構(gòu)描述的本章知識結(jié)構(gòu)圖，箭頭表示各要素之間的從屬關(guān)系，與課本P93本章知識結(jié)構(gòu)圖比較，此結(jié)構(gòu)圖更詳細(xì)復(fù)雜，事實上，簡潔的結(jié)構(gòu)圖可以進(jìn)一步地細(xì)化，復(fù)雜的結(jié)構(gòu)圖也可以簡化.課后練習(xí):1.下列關(guān)于流程圖和結(jié)構(gòu)圖的說法中不正確的是()A.流程圖用來描述一個動態(tài)過程B.結(jié)構(gòu)圖用來刻畫系統(tǒng)結(jié)構(gòu)C.流程圖只能用帶箭頭的流程線表示各單元的先后關(guān)系D.結(jié)構(gòu)圖只能用帶箭頭的連線表示各要素之間的從屬關(guān)系或邏輯上的先后關(guān)系2.下列結(jié)構(gòu)圖中，體現(xiàn)要素之間是邏輯先后關(guān)系的是()3.下列結(jié)構(gòu)圖中要素之間表示從屬關(guān)系的是()4.要描述一工廠的組成情況，應(yīng)用（）A.程序框圖B.工序流程圖C.知識結(jié)構(gòu)圖D.組織結(jié)構(gòu)圖5.流程圖和結(jié)構(gòu)圖都是按照________,________的順序繪制，流程圖只有_______起點,________終點．6.一般情況下，“下位”要素比“上位”要素更為_________，上位要素比下位要素更為________，下位要素越多，結(jié)構(gòu)圖越_________.7.有下列要素：哺乳動物、狗、飛行動物、麻雀、蛇、地龜、狼、動物、鷹、爬行動物，設(shè)計一個結(jié)構(gòu)圖表示這些要素及其關(guān)系.本章測試一.選擇題1.以下說法正確的是（）A.工序流程圖中不可能出現(xiàn)閉合回路B.程序流程圖中不可能出現(xiàn)閉合回路C.在一個程序流程圖中三種程序結(jié)構(gòu)可以都不出現(xiàn)D.在一個程序流程圖中三種程序結(jié)構(gòu)必須都出現(xiàn)2.下述流程圖，如圖所示，輸出d的含義是()A.點到直線的距離B.點到直線距離的平方C.點到直線距離的倒數(shù)D.兩條平行線間的距離3.要解決下面的四個問題，只用順序結(jié)構(gòu)畫不出其流程圖的是()A.利用公式,計算的值.B.當(dāng)圓面積已知時，求圓的周長C.當(dāng)給定一個數(shù)x，求其絕對值D.求函數(shù)的函數(shù)值4.下列框圖中，是流程圖的是()5.程序框圖中的判斷框，有一個人口和（）個出口，而在流程圖中，可以有一個或多個終點．A.1B.2C.3D.46.以下給出的是計算的值的一個程序框圖,如左下圖所示,其中判斷框內(nèi)填入的條件是()A.i>10B.i＜10

C.i>20D.i<207.在如右上圖的程序圖中，輸出結(jié)果是A.5B.10C8.下面框圖中的錯誤是()A.i未賦值B.循環(huán)結(jié)構(gòu)有錯C.s的計算不對D.判斷條件不成立二.填空題9.如圖輸出的是________.10.景泰藍(lán)是深受人民喜愛的手工藝品．現(xiàn)在我們把它的制作流程敘述一下：第一步制胎，x步掐絲，x步點藍(lán)，第四步燒藍(lán)，第五步打磨，第六步鍍金．

請你用工序流程圖畫出以上工序：三.解答題x.用流程圖描述解的算法.x.請畫出你從寫信到發(fā)信的全過程的流程圖．13.有下列要素：糖、鹽、堿、有機(jī)物、物質(zhì)、醋、無機(jī)物、酒精，設(shè)計一個結(jié)構(gòu)圖表示這些要素及其關(guān)系．14.已知函數(shù),試用流程圖表示.15.對任意函數(shù),可按如圖所示,構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生器,其工作原理如下:①輸入數(shù)據(jù),經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出;②若,則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作;若,將反饋加輸入端,再輸出,并依此規(guī)律進(jìn)行下去.現(xiàn)定義.(1).若輸入,則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列,寫出的所有項.輸入(2).若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)列,試求輸入的初始數(shù)據(jù)的值.輸入否打印否打印f輸出是結(jié)束結(jié)束第四章：框圖答案4.1流程圖1.B2.C3.B4.5.流程圖6.解析:7.解析:4.2結(jié)構(gòu)圖1.D2.C3.C4.D5.從上到下從左到右一個一個或多個6.具體抽象復(fù)雜7.本章測試答案1.A2.A3.C4.C5.B6.A7.C8.A9.6310.制胎；掐絲；點藍(lán)；燒藍(lán)；打磨；鍍金x.解析:x.解析:13.解析:14.解析:15.解:(1)因為函數(shù)的定義域.所以數(shù)列只有3項.(2).令即解得故當(dāng)時,所以輸入的初始數(shù)據(jù)時,得到常數(shù)列;時,得到常數(shù)列.1.1.6棱柱、棱錐、棱臺和球的表面積劉徽的割圓術(shù)數(shù)學(xué)博大精深，無處不在。數(shù)學(xué)是一種文化，不同的地域產(chǎn)生了數(shù)學(xué)不同方面，不同的文化根基，造就了不同的思維品質(zhì)。中國古代數(shù)學(xué)思想十分先進(jìn)，莊子的.一尺之棰，日取其半，萬世不竭.是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中極限思想的根源；劉徽的.割圓術(shù).，.割之又割，以至不可割.，最終方變成了圓，這種思想也體現(xiàn)了中國古人對極限的認(rèn)識。利用劉徽的割圓術(shù)，我們可以把球的表面積求出來。課程學(xué)習(xí)目標(biāo)［課程目標(biāo)］目標(biāo)重點：棱柱、棱錐和棱臺的表面積公式的推導(dǎo)方法，進(jìn)一步加強(qiáng)空間與平面問題相互轉(zhuǎn)化的思想方法的應(yīng)用.目標(biāo)難點：棱柱、棱錐、棱臺和球的表面積公式的應(yīng)用.［學(xué)法關(guān)鍵］研究柱、錐、臺表面積的關(guān)鍵是明確它們平面展開圖的形狀，理解展開是折疊的逆過程.研習(xí)教材重難點研習(xí)點1．直棱柱的表面積1．直棱柱的側(cè)面積等于它的底面周長c和高h(yuǎn)的乘積，即S直棱柱側(cè)=c·h.如圖，是直六棱柱的側(cè)面展開圖，直六棱柱的側(cè)面展開圖是一些全等的矩形，只要把這些矩形的面積加起來就可以得到直棱柱的側(cè)面積.設(shè)棱柱的高為h，底面周長為c，則得到的直棱柱的側(cè)面積計算公式為S直棱柱側(cè)=ch.2.直棱柱的表面積就等于側(cè)面積與上、下底面面積的和.【聯(lián)想·發(fā)散】斜棱柱表面積的求法：1.由于直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形，由矩形的面積公式可以得出直棱柱的側(cè)面積的計算公式.2.斜棱柱的側(cè)面積可以先求出每個側(cè)面的面積，然后求和，也可以用直截面與側(cè)棱長的乘積來求.其中直截面就是和棱垂直的截面.如果斜棱柱的側(cè)棱長為l，直截面的面積為S’，則其側(cè)面積的計算公式就是S側(cè)=S’·l.研習(xí)點2．正棱錐的表面積1.正棱錐的側(cè)面積等于它的底面周長和斜高乘積的一半，即S正棱錐側(cè)=na·h’.其中a為底面正多邊形的邊長，底面周長為c，斜高為h’，如圖，以正四棱錐為例簡單推導(dǎo)計算公式。由于正四棱錐的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰三角形，底面是正多邊形，若設(shè)它的底面邊長為a，底面周長為4a，斜高為h’，容易得到正四棱錐的側(cè)面積計算公式為S正四棱錐側(cè)=·4a·h’=ch’，對于正n棱錐，其側(cè)面積計算公式為S正棱錐側(cè)=c·h’.2．正棱錐的表面積等于正棱錐的側(cè)面積與底面積之和.聯(lián)想·發(fā)散一般棱錐表面積的求法1．正棱錐的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰三角形，這些等腰三角形的面積和即為它的側(cè)面積;2．一般棱錐的每個側(cè)面都是三角形，因此設(shè)法求出它們各自的面積，然后相加即可得到它的側(cè)面積，再與底面積求和，即可得到它的全面積研習(xí)點3.正棱臺的表面積1．正棱臺的側(cè)面積是S=(c+c’)·h’，其中上底面的周長為c’，下底面的周長為c，斜高為h’.2．正棱臺可以看作是用平行正棱錐底面的平面截得的，因此正棱臺的側(cè)面展開圖是一些等腰梯形，腰重合所得的一個平面圖形（如圖），設(shè)正棱臺上、下底面周長為c’，c，斜高為h’，可得正棱臺的側(cè)面積S正棱臺側(cè)=(c+c’)·h’。3．正棱臺的表面積等于它的側(cè)面積與底面積之和?！韭?lián)想·發(fā)散】一般棱臺表面積的求法：1．正棱臺的側(cè)面展開圖是全等的等腰梯形，底面是正多邊形，則正棱臺的表面積就是這幾個等腰梯形的面積與底面積之和。2．同樣地，對于一般棱臺的側(cè)面積可分別求出每個側(cè)面的面積后相加，再求出其底面積，然后求和，就會得到它的表面積（有時也稱全面積）。研習(xí)點4.球的表面積球面面積（也就是球的表面積）等于它的大圓面積的4倍，即S球=4πR2，其中R為球的半徑.【聯(lián)想·發(fā)散】圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式1.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積:（1）將圓柱沿一條母線剪開后，展開圖是一個矩形，這個矩形的一邊為母線，另一邊為圓柱底面圓的圓周長，設(shè)圓柱底面半徑為r，母線長為l，則側(cè)面積S圓柱側(cè)=2πrl.（2）將圓錐沿一條母線剪開，展開在一個平面上，其展開圖是一個扇形，扇形的半徑為圓錐的母線，扇形的弧是圓錐底面圓的圓周，因此該扇形的圓心角θ=，r為圓錐底面半徑，l為圓錐的母線長，根據(jù)扇形面積公式可得：S圓錐側(cè)=·2πr·l=πrl，其中l(wèi)為圓錐母線長，r為底面圓半徑。（3）圓臺可以看成是用一個平行底面的平面截圓錐所得，因此圓臺的側(cè)面展開圖是一個扇環(huán)，設(shè)圓臺上、下底半徑為r、R，母線長為l，則。S圓臺=π(r+R)l=(c1+c2)l，其中r，R分別為上、下底面圓半徑，c1，c2分別為上、下底面圓周長，l為圓臺的母線。2．圓柱、圓錐、圓臺的表面積就是側(cè)面積與底面積的和。探究解題新思路基礎(chǔ)拓展型題型1.考查側(cè)面積的計算例1.直平行六面體的底面是菱形，兩個對角面面積分別為Q1，Q2，求直平行六面體的側(cè)面積.【探究】解決本題要首先正確把握直平行六面體的結(jié)構(gòu)特征，直平行六面體是側(cè)棱與底面垂直的平行六面體，它的兩個對角面是矩形.【研析】如圖所示，設(shè)底面邊長為a，側(cè)棱長為l，兩條底面對角線的長分別為c，d，即AC=c，BD=d，則【反思·領(lǐng)悟】（1）此題需大膽設(shè)元，為列方程方便，可以將對角線設(shè)出，但設(shè)而不解；（2）需大膽消元，整體代入三個方程四個未知數(shù)不能將其一一解出，也沒有必要，這里需要將a與l的乘積看作一個整體進(jìn)行計算.1.正四棱臺的兩個正方形底面的邊長分別為a、b（a>b），側(cè)棱和底面對角線所成的角為α，求棱臺的側(cè)面積.小結(jié):求多面體的側(cè)面積關(guān)鍵是將側(cè)面沿著一條棱剪開，展成一個平面圖形，搞清各個側(cè)面展開圖的形狀，采用各個擊破的策略，把每個側(cè)面的面積求出來后，再將各個側(cè)面的面積進(jìn)行求和即得所求側(cè)面積.題型2．棱柱、棱錐、棱臺的表面積的計算例2.正四棱錐底面正方形長為4cm，高與斜高的夾角為30°，求正四棱錐的側(cè)面積和表面積.（單位：cm2）【探究】利用正棱錐的高，斜高，底面邊心距OE組成Rt△求解，然后代入公式.【研析】正棱錐的高PO，斜高PE，底面邊心距OE組成直角三角形.【反思·領(lǐng)悟】求正棱錐的表面積，就要先求出其側(cè)面積和底面積，然后相加，而要求側(cè)面積就要設(shè)法把斜高求出來，而這可通過解直角三角形求得；2.邊長為6cm的正方形ABCD,BC，CD的中點分別為E、F現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點重合，構(gòu)成一個三棱錐，求這個三棱錐的全面積.解：全面積是36cm2，因為折疊后棱錐的表面積均由原正方形的各部分圍成，且沒有重疊，因此棱錐的全面積就是正方形的面積。小結(jié)：求棱柱、棱錐、棱臺的表面積，就是在側(cè)面積的基礎(chǔ)上加上底面面積，因此在求表面積時需要注意先按照求側(cè)面積的方法把棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積求出來，然后再把它們的底面的面積計算出來，將二者相加即可。一定要注意不要漏掉底面面積，否則求得的就是側(cè)面積了。題型3.考查球的表面積的計算例3.在球心同側(cè)有相距9cm的兩個平行截面，它們的面積分別為49πcm2和400πcm2,求球的表面積.【探究】可畫出球的軸截面，利用球的截面性質(zhì)，求球的半徑；【研析】如圖為球的軸截面，由球的截面性質(zhì)知，AO1//BO2，且O1、O2分別為兩截面圓的圓心，則OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，設(shè)球的半徑為R，【反思·領(lǐng)悟】求球的表面積的關(guān)鍵是把球的半徑求出來，而這就是要充分利用截面的性質(zhì)進(jìn)行求解3.用兩平行平面去截半徑為R的球面，兩個截面半徑為r1=24cm，r2=15cm，兩截面間的距離為d=27cm，求球的表面積.S=2500πcm2.小結(jié)：對球的表面積公式只要求了解會用即可!對于面積的計算有時要用表示數(shù)字的字母進(jìn)行計算。有時可以保留準(zhǔn)確值及表示圓周率的字母，要對含字母式子的變形加強(qiáng)訓(xùn)練。教考動向·演練1將一個邊長為a的正方體，切成27個全等的小正方體，則表面積增加了（B）（A）6a2（B）xa2（C）18a2（D）2.在正方體的八個頂點中，有四個恰好是正四面體的頂點，則正方體的表面積與此正四面體的表面積的比值為（B）（A）（B）（C）（D）3.側(cè)面都是直角三角形的正三棱錐，底面邊長為a，該三棱錐的全面積是（A）（A）（B）（C）（D）4.球內(nèi)接正方體的表面積與球的表面積的比為（A）（A）2：π（B）3：π（C）4：π（D）6：π5.已知正六棱臺的上、下底面邊長分別是2和4，高是2，則這個棱臺的側(cè)面積等于。18綜合創(chuàng)新型題型1．創(chuàng)新應(yīng)用題例4.一個棱錐的側(cè)面積是Q，在高SO上取一點A，使SA=SO，過點A作平行于底面的截面得一棱臺，求這個棱臺的側(cè)面積.【探究】要求三棱臺的側(cè)面積，需要設(shè)法求出各個側(cè)面的面積，而這在本題中是不可行的，故而采用還臺為錐的辦法來轉(zhuǎn)換求解.【研析】如圖，棱錐S－BCD的截面為B’C’D’，過S作SF⊥B’C’，垂足為F，延長SF交BC于點E，連結(jié)AF和OE，∵平面BCD//平面B’C’D’，平面B’C’D’∩平面SOE=AF，平面BCD∩平面SOE=OE，【反思·領(lǐng)悟】在本題的解答過程中，沒有直接去求棱臺的側(cè)面積，而是通過求出截掉的小棱錐的側(cè)面積，達(dá)到求出棱臺側(cè)面積的目的，類似本題的解法，在立體幾何中是經(jīng)常用到的。又如求幾何體被截部分的體積（或有關(guān)面積）可以通過求剩余部分的體積（或有關(guān)面積）得到。反之，求剩余部分的體積（或面積）也可以轉(zhuǎn)化為求截掉部分的體積（或面積）4.棱臺上、下底面面積分別為S上，S下，平行于上、下底面且將棱臺的高自上而下分為m：n的截面面積為S0，求證：題型2.開放探究題例5.如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且a>b>c>0，求沿著長方體的表面A到C1的最短線路的長l【探究】解本題可將長方體表面展開，可利用在平面內(nèi)兩點間的線段是兩點間的最短距離來解答.【研析】將長方體相鄰兩個面展開有下列三種可能，如圖三個圖形（甲）、（乙）、（丙）中的長分別為：故最短路線的長為5.圓柱的軸截面是邊長為5cm的正方形ABCD，從A到C圓柱側(cè)面上的最短距離為（B）（A）10cm（B）cm（C）5cm（D）cm題型3.綜合滲透題例6.長方體的全面積為x，十二條棱長度之和為24，求這個長方體的一條對角線長.【探究】要求長方體對角線長，只要求長方體的一個頂點上的三條棱的長即可.【研析】設(shè)此長方體的長、寬、高分別為x、y、z，對角線長為l，則由題意得【反思·領(lǐng)悟】本題考查長方體的有關(guān)概念和計算，以及代數(shù)式的恒等變形。在求解過程中，并不需要把x、y、z單個都求出來，而要由方程組（1）（2）從整體上導(dǎo)出，這需要同學(xué)們掌握一些代數(shù)變形的技巧，需要有靈活性.6.如圖，直平行六面體的側(cè)棱長是100cm，底面兩鄰邊的長是23cm和xcm，底面的兩條對角線的比是2:3，則它的兩個對角面的面積分別為。2000cm2；3000cm2.【教考動向·演練】7．球面上四點P、A、B、C，已知PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=a，則球的表面積為（B）（A）2πa2（B）3πa2（C）4πa2（D）6πa28．一個正四棱臺上、下底面的邊長分別為a、b，高為h，且側(cè)面積等于兩底面面積之和，則下列關(guān)系正確的是（A）（A）（B）（C）（D）9．一個全面積是24cm2的正方體，有一個內(nèi)切球，則該球的表面積是4π.10．體積相等的正方體、球、等邊圓柱的全面積分別是S1、S2、S3，試比較它們的大小.答案：S2<S3<S1.1．木星的體積約為地球體積的240倍，則它的表面積是地球表面積的（C）倍（A）60（B）60（C）x0（D）x02．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，將該正方體沿對角面BB1D1D切成兩塊，拼接成一個不是正方體的四棱柱，那么所得四棱柱的全面積為(4+2)a2。3．四面體ABCD的四個面的重心分別為E、F、G、H，則四面體ABCD的表面積與四面體EFGH的表面積的比值是1：9.棱柱、棱錐和棱臺的結(jié)構(gòu)特征感悟課標(biāo)新理念大金字塔之謎墨西哥、希臘、蘇丹等國都有金字塔，但名聲最為顯赫的是埃及的金字塔。埃及是世界上歷史最悠久的文明古國之一——金字塔是古埃及文明的代表作，是埃及國家的象征，是埃及人民的驕傲。金字塔，阿拉伯文意為“方錐體”，它是一種方底、尖頂?shù)氖鼋ㄖ?，是古代埃及埋葬國王、王后或王室其他成員的陵墓。它既不是金子做的，也不是我們通常所見的寶塔形，而是由于它規(guī)模宏大，從四面看都呈等腰三角形，很像漢語中的“金”字，故中文形象地把它譯為“金字塔”。埃及迄今發(fā)現(xiàn)的金字塔共約八十座，其中最大的是以高聳巍峨而被稱為古代世界七大奇跡之首的“胡夫大金字塔”"在。在1889年巴黎埃菲爾鐵塔落成前的四千多年的漫長歲月中，“胡夫大金字塔”一直是世界上最高的建筑物。據(jù)一位名叫彼得的英國考古學(xué)者估計，“胡夫大金字塔”大約由230萬塊石塊砌成，外層石塊約x5000塊，平均每塊重2.5噸，像一輛小汽車那樣大，而大的甚至超過15噸。假如把這些石塊鑿成平均一立方英尺的小塊，把它們沿赤道排成一行，其長度相當(dāng)于赤道周長的三分之二。在四千多年前生產(chǎn)工具很落后的中古時代，埃及人是怎樣采集、搬運數(shù)量如此之多，每塊又如此之重的巨石，壘成如此宏偉的大金字塔？這真是一個十分難解的謎"課程學(xué)習(xí)目標(biāo)［課程目標(biāo)］目標(biāo)重點：多面體、棱柱、棱錐和棱臺的定義、性質(zhì)及它們之間的關(guān)系，空間與平面問題的相互轉(zhuǎn)化；目標(biāo)難點：幾種概念相近的幾何體（如平行六面體、直平行六面體、長方體、正四棱柱、正方體等）的特征、性質(zhì)的區(qū)別；［學(xué)法關(guān)鍵］1．結(jié)合模型、動態(tài)的或靜態(tài)的直觀圖，了解、認(rèn)識和研究柱、錐、臺等幾何體，使得對概念和性質(zhì)的理解與圖形密切地結(jié)合起來；2．幾何體的“特征性質(zhì)”是指某種幾何體能夠區(qū)別于其他幾何體的本質(zhì)屬性，這樣的性質(zhì)可以作為這種幾何體的定義，正是由于定義是幾何體的特征性質(zhì)，因而定義發(fā)揮著判定定理和性質(zhì)定理的雙重作用"因此明確各種幾何體的定義是十分重要的。研習(xí)教材重難點研習(xí)點：一．多面體及相關(guān)概念1．多面體：多面體是由若干個平面多邊形所圍成的幾何體"如下圖中的幾何體都是多面體"2．相關(guān)概念：（1）圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；（2）相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱；（3）棱和棱的公共點叫做多面體的頂點；（4）連接不在同一個面上的兩個頂點的線段叫做多面體的對角線；（5）凸、凹多面體：把一個多面體的任意一個面延展為平面，如果其余各面都在這個平面的同一側(cè)，則這樣的多面體就叫做凸多面體，其他的多面體叫做凹多面體；（6）截面：一個幾何體和一個平面相交所得到的平面圖形（包括它的內(nèi)部），叫做這個幾何體的截面，3．多面體的分類：（1）按照多面體是否在任一面的同一側(cè)分為凸多面體和凹多面體；（2）按照圍成多面體的面的個數(shù)分為四面體、五面體、六面體等。【聯(lián)想·質(zhì)疑】每一個多面體都有對角線嗎？通過觀察上面給出的生活中常見的一些多面體圖形，我們可以看出，并不是所有的多面體都有對角線的。如下圖中的兩個多面體就沒有對角線如果多面體有對角線，就不僅僅有一條對角線，如下圖中的多面體研習(xí)點2棱柱及相關(guān)概念1．定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且其余每相鄰兩個面的交線都互相平行，由這些面圍成的幾何體叫做棱柱。如下圖中的圖形都是棱柱2．相關(guān)概念：（1）棱柱的兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，簡稱底；（2）其余各面叫做棱柱的側(cè)面；（3）相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；（4）側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點；（5）棱柱中不在同一面上的兩個頂點的連線叫做棱柱的對角線；（6）如果棱柱的一個底面水平放置，則鉛垂線與兩底面的交點之間的線段或距離，叫做棱柱的高?！韭?lián)想·質(zhì)疑】如何理解棱柱？1．從運動的觀點來看，棱柱可以看成是一個多邊形（包括圖形圍成的平面部分）上各點都沿著同一個方向移動相同的距離所經(jīng)過的空間部分$，如果多邊形水平放置，則移動后的多邊形也水平放置。2．棱柱的主要結(jié)構(gòu)特征：①兩個底面互相平行，②其余每相鄰兩個面的交線互相平行，各側(cè)面是平行四邊形$。通俗地講，沒有第一個特征，兩頭不一樣齊；若沒有x個特征，上下不一樣粗，因此，棱柱有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形。3．但是注意“有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形”的幾何體未必是棱柱。如圖所示的幾何體雖有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊形，但不滿足“每相鄰兩個面的公共邊互相平行”，所以它不是棱柱。4．棱柱的分類：（1）按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等（見圖）（2）按側(cè)棱與底面的關(guān)系分類：側(cè)棱與底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱。5．棱柱的表示：（1）用表示各頂點的字母表示棱柱：如棱柱ABCD－A1B1C1D1（2）用一條對角線端點的兩個字母來表示，如棱柱AC1.6．特殊的四棱柱：1．底面是平行四邊形的棱柱叫做平行六面體；2．側(cè)棱與底面垂直的平行六面體叫做直平行六面體；3．底面是矩形的直平行六面體叫做長方體；4．棱長都相等的長方體叫做正方體.研習(xí)點3棱錐及相關(guān)概念1．定義：有一個面是多邊形，而其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面圍成的幾何體叫做棱錐，如下圖所示。2．相關(guān)概念：（1）棱錐中有公共頂點的各三角形叫做棱錐的側(cè)面，如側(cè)面PAB；（2）各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點，如頂點P、A、B、C等；（3）相鄰兩側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱，如側(cè)棱PA、PB等；（4）棱錐中的多邊形叫做棱錐的底面，如底面ABC、ABCD等；（5）如果棱錐的底面水平放置，則頂點與過頂點的鉛垂線與底面的交點之間的線段或距離，叫做棱錐的高，如圖2中的PO就是四棱錐的高；（6）棱錐中過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做棱錐的對角面，如對角面PAC（注：三棱錐沒有對角面）【聯(lián)想·質(zhì)疑】如何理解棱錐？1．棱錐是多面體中的重要一種，它有兩個本質(zhì)的特征：①有一個面是多邊形；②其余各面是有一個公共頂點的三角形，二者缺一不可。2．棱錐有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，但是也要注意“有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體未必是棱錐!。如右圖所示，此多面體有一個面是四邊形，其余各面是三角形，但它不是棱錐!3．棱錐的分類：（1）按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等，其中三棱錐又叫四面體!（2）正棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，并且水平放置，它的頂點又在過正多邊形中心的鉛垂線上，則這個棱錐叫做正棱錐!4．正棱錐的性質(zhì)：（1）正棱錐的各側(cè)面都是全等的等腰三角形；（2）等腰三角形底邊上的高都相等，叫做棱錐的斜高!5．棱錐的表示：（1）用頂點和底面各頂點的字母表示棱錐：如三棱錐P－ABC，四棱錐P－ABCD.（2）用對角面表示：如右圖中的四棱錐可以用P－AC表示!研習(xí)點4．棱臺及相關(guān)概念1．定義：棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分叫做棱臺.2．相關(guān)概念：（1）棱臺的下底面、上底面：原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面、上底面；（2）棱臺的側(cè)面：棱臺中除上、下底面以外的面叫做棱臺的側(cè)面。（3）棱臺的側(cè)棱：相鄰兩側(cè)面的公共邊叫做棱臺的側(cè)棱。（4）棱臺的高：當(dāng)棱臺的底面水平放置時，鉛垂線與兩底面交點間的線段或距離叫做棱臺的高。3．棱臺的分類：（1）按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱臺、四棱臺、五棱臺等；（2）正棱臺：由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺。4．正棱臺的性質(zhì)：（1）各側(cè)棱相等；（2）正棱臺的各側(cè)面都是全等的等腰梯形；（3）正棱臺的斜高相等。5．棱臺的表示：棱臺可用表示上、下底面的字母來命名，如右圖中的棱臺，可以記作棱臺ABCD－A’B’C’D’，或記作棱臺AC’，下底面為ABCD，上底面為A’B’C’D’，棱臺的高為OO’.【聯(lián)想·發(fā)散】棱柱、棱錐、棱臺之間的關(guān)系棱錐是當(dāng)棱柱的一個底面收縮為一個點時形成的空間圖形，棱臺則可以看成是用一個平行于棱錐底面的平面截棱錐所得到的圖形，要注意的是棱臺的各條側(cè)棱延長后，將會交于一點，即棱臺可以還原成棱錐(在學(xué)習(xí)時要注意棱柱、棱錐、棱臺這三種多面體之間的聯(lián)系)。探究解題新思路基礎(chǔ)拓展型題型1：概念判斷題例1．設(shè)有四個命題：①底面是矩形的平行六面體是長方體；②棱長相等的直四棱柱是正方體；③有兩條側(cè)棱都垂直于底面一邊的平行六面體是直平行六面體；④對角線相等的平行六面體是直平行六面體。以上四個命題中，真命題的個數(shù)是（）（A）1（B）2（C）3（D）4【探究】本題主要考查棱柱的概念及性質(zhì)，注意各種特殊的棱柱之間的關(guān)系。【研析】①不正確。除底面是矩形外還應(yīng)滿足側(cè)棱與底面垂直才是長方體。②不正確。當(dāng)?shù)酌媸橇庑螘r就不是正方體。③不正確。是兩條側(cè)棱垂直于底面一邊而非垂直于底面，故不一定是直平行六面體。④正確。因為對角線相等的平行四邊形是矩形，由此可以推測此時的平行六面體是直平行六面體。故而選A.【反思·領(lǐng)悟】熟練地掌握棱柱和棱錐的概念，才能準(zhǔn)確地應(yīng)對這類概念題，從而判斷出棱柱和棱錐中的線面關(guān)系?！就卣埂ぷ兪健?．棱臺不具有的性質(zhì)是(C)（A）兩底面相似（B）側(cè)面都是梯形（C）側(cè)棱長都相等（D）側(cè)棱延長后交于一點小結(jié)：此類題目較易，但也要熟記教材中的相關(guān)概念內(nèi)容，把四棱柱、平行六面體、直平行六面體、直四棱柱、長方體、正方體等各幾何體間的關(guān)系搞清楚，把握它們的特征性質(zhì)才能夠準(zhǔn)確作答。題型2．考查棱柱間的關(guān)系例2．已知集合A=｛正方體｝，B=｛長方體｝，C=｛正四棱柱｝，D=｛平行六面體｝，E=｛四棱柱｝，F(xiàn)=｛直平行六面體｝，則（B）（A）（B）（C）（D）它們之間不都存在包含關(guān)系【探究】此題考查幾種特殊的棱柱之間的關(guān)系?！狙形觥繋追N常見棱柱間的關(guān)系如下圖所示：【反思·領(lǐng)悟】棱柱有幾種分類方法，這些幾何體在每一分類方法中都有其名稱，容易混淆。如正四棱柱按底面多邊形的邊數(shù)分類，它是四棱柱；按側(cè)棱與底面是否垂直分類，它是直四棱柱；按平行六面體和非平行六面體來分，它是底面是正方形的直平行六面體#因此，要準(zhǔn)確把握這些幾何體的特征。2.有四個命題：①各側(cè)面是全等的等腰三角形的四棱錐是正四棱錐，②底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；③棱錐的所有側(cè)面可能都是直角三角形；④四棱錐中側(cè)面最多有四個直角三角形。其中正確的命題有③④題型3．有關(guān)計算問題例3．正四棱臺AC1的高是17cm，兩底面的邊長分別是4cm和如圖所示，設(shè)棱臺的兩底面的中心分別是O和O1，B1C1和BC的中點分別是E1和E，連接OO1，O1E1，OE，EE1，O1B1，OB，則OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形這個棱臺的側(cè)棱長為19cm，斜高為cm例4．如圖正四棱錐P－ABCD的底面邊長為a，高為h，求它的側(cè)棱PA的長和斜高PE【研析!正四棱錐的底面邊長為a,即此正四棱錐的側(cè)棱長為斜高為【反思·領(lǐng)悟】對于正四棱錐的計算問題解決的關(guān)鍵是尋找到相應(yīng)的直角三角形。把要計算的量轉(zhuǎn)化到同一個直角三角形中進(jìn)行計算。拓展·變式3．已知正四面體P－ABC的棱長為4用一平行于底面的平面截此四面體所得截面面積為,求截面與底面之間的距離.小結(jié)：關(guān)于棱錐中的計算問題注意應(yīng)用棱錐的性質(zhì)截面面積與底面面積的比等于截得的小棱錐與原來棱錐的邊長的平方比截得的小棱錐的側(cè)面面積與原來棱錐的側(cè)面面積之比等于截得的小棱錐的棱長與原來棱錐對應(yīng)棱長的平方比。在正棱錐的性質(zhì)中給出了兩個直角三角形除此之外正棱錐的底面外接圓半徑，邊心距和半底邊長也組成一個直角三角形這三個直角三角形稱為棱錐中的特征三角形，有好多立體幾何問題都是轉(zhuǎn)化到這三個直角三角形中去處理的如有關(guān)側(cè)棱底面邊長的計算等要熟練掌握。題型4．有關(guān)截面問題例．正三棱柱的每條棱都是過底面一邊和上下底面中心連線的中點作截面，求此截面的面積.【探究!這是一個純文字的計算題應(yīng)當(dāng)先畫出圖形寫出已知和求解判斷出截面圖形的具體形狀后再設(shè)法求其面積【研析!如圖O，O1是兩底面中心延長AO，A1O1分別與BC，B1C1相交于D，D1，連接DD1則DD1//AA1，∴A，A1，D，D1在同一平面內(nèi)在平面AD1內(nèi)過D1及OO1中點G作直線與AD相交于E過E作BC的平行線與AB，AC分別相交于M，N，則B1MNC1是經(jīng)過B1C1和點G的截面即所求的截面的面積是【反思·領(lǐng)悟】解決此類問題的關(guān)鍵是利用平面的性質(zhì)作出截面然后利用題設(shè)條件及圖形的性質(zhì)來解決有關(guān)的面積計算問題’【拓展·變式】4．將長方體截去一角，求證：截面是銳角三角形。小結(jié)：處理與截面有關(guān)的問題時主要考慮兩個方面的因素其一是先準(zhǔn)確地作出截面圖形來這就要用到平面的性質(zhì)定理和公理其二是根據(jù)作出的圖形進(jìn)行合理的論證和計算，因為截面是一個平面圖形因此平面幾何中的有關(guān)定理和性質(zhì)都可以用來進(jìn)行計算和證明【教考動向·演練】1．下面沒有體對角線的一種幾何體是（A）（A）三棱柱（B）四棱柱（C）五棱柱（D）六棱柱2．用一個平面去截正方體，截面多邊形的邊數(shù)不可能是（D）（A）4（B）5（C）6（D）73．一個棱柱有兩個側(cè)面是矩形，能保證它是直棱柱的是（A）（A）三棱柱（B）四棱柱（C）五棱柱（D）六棱柱4．六棱柱有9條對角線.5．一個無蓋的正方體盒子展開后的平面圖形如圖所示A，B，C是展開圖上的三點同在正方體盒子中∠ABC的大小是60°綜合創(chuàng)新型題型"!創(chuàng)新應(yīng)用題例1．在以O(shè)為頂點的三棱錐中，過O的三條棱兩兩的交角都是30°，在一條棱A、B兩點，OA=4cm，OB=3cm，以A，B為端點用一條繩子緊繞三棱錐的側(cè)面一周（繩和側(cè)面無摩擦），求此繩在A，【探究】此題以三棱錐為載體求最短繩長問題，應(yīng)當(dāng)合理地應(yīng)用棱錐的側(cè)面展開圖來求解【研析】如圖所示的三棱錐，作出它的側(cè)面展開圖，如圖A，B兩點間的最短繩長就是線段AB的長度。OA=4cm，OB=3cm，∠AOB=90°，∴AB=即此繩在A，B間最短的繩長為5【反思·領(lǐng)悟】多面體側(cè)面上兩點間的最短距離問題要歸結(jié)為求平面上兩點間的最短距離問題，因此解決這類問題的方法就是先把多面體側(cè)面展開成平面圖形再用平面幾何的知識來求解。5．如圖，P是長方體AC1上底面A1B1C1D1內(nèi)的一點，設(shè)AP與三條棱AB、AD、AA1所成的角分別為α、β、γ，則cos2α+cos2β+cos2γ=（A（A）1（B）2（C）（D）不確定，隨P點的位置而定題型2．開放探究題例2．（1）給出兩塊面積相同的正三角形紙片（如圖），要求用其中一塊剪拼成一個正三棱錐模型，另一塊剪拼成一個正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請設(shè)計一種剪拼方法，分別用虛線標(biāo)在圖中，并作簡要說明；（2）如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖），要求剪拼成一個直三棱柱模型，使它的全面積與給出的三角形的面積相等，請設(shè)計一種剪拼方法，用虛線在中表示，并作簡要說明!【探究!緊扣正三棱錐正三棱柱的定義正三棱柱底面是正三角形側(cè)棱垂直于底面且側(cè)面是全等的矩形在要求全面積為已給三角形面積的前提下關(guān)鍵是去構(gòu)造上底面三角形和面積相等的三個四邊形!【研析!（1）如圖④沿正三角形三邊中點連線折起即可拼得一個正三棱錐，如圖=5\*GB3⑤，在正三角形三個角上剪出三個相同的四邊形其較長的一組鄰邊邊長為三角形邊長的有一組對角為直角余下部分按虛線折起可成為一個缺上底的正三棱柱而剪出的三個相同的四邊形恰好可以拼成這個正三棱錐的上底；（2）如圖=6\*GB3⑥，分別連結(jié)三角形的內(nèi)心與各頂點，得到三條線段，再以這三條線段的中點為頂點作三角形，以新作的三角形為直三棱柱的底面過新三角形的三個頂點向原三角形三邊作垂線沿六條垂線剪下三個四邊形這三個四邊形可以拼成直三棱柱的上底再將余下部分按虛線折起成為一個缺上底的直三棱柱即可得到直三棱柱模型【反思·領(lǐng)悟】本小題主要考查空間想象能力動手操作能力探究能力和靈活運用所學(xué)知識解決實際問題的能力!近幾年高考命題中的開放性試題逐年增加解決此類問題時要注意觀察試驗類比歸納從而猜想出命題的結(jié)論然后再進(jìn)行嚴(yán)格地證明!拓展·變式】6．如圖E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊BC、CD的中點，沿圖中虛線折起來，它能圍成怎樣的幾何體？7．若兩個長方體的長、寬、高分別為5cm、4cm、3cm，把它們兩個相等的面重合在一起組成一個大長方體，則大長方體的對角線最長為【教考動向·演練】6．能保證棱錐是正棱錐的一個條件是(C)（A）底面為正多邊形（B）各側(cè)棱都相等（C）各側(cè)面與底面都是全等的正三角形（D）各側(cè)面都是等腰三角形．若正棱錐的底面邊長與側(cè)棱長相等則該棱錐一定不是（D）（A）三棱錐（B）四棱錐（C）五棱錐（D）六棱錐8．過正方體三個頂點的截面截得一個正三棱錐若正方體棱長為a，則截得的正三棱錐的高為。9．正四面體棱長為a，M，N為其兩條相對棱的中點，求MN的長。a【熱點考題搜索】1．有兩個相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長分別為3a，4a，5a(a>0)，用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個四棱柱，則a的取值范圍是2．在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則BC2=AB2+AC2，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A－BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ABD兩兩相互垂直，則.加強(qiáng)空間想象，提高解題能力在立體幾何的學(xué)習(xí)過程中，培養(yǎng)空間想象能力是學(xué)習(xí)的重點，但培養(yǎng)空間想象能力，首先要學(xué)好有關(guān)空間形式的數(shù)學(xué)知識，這些不僅僅是立體幾何方面的，還應(yīng)包括初中平面幾何，數(shù)形結(jié)合方面的內(nèi)容，如：數(shù)軸、平面圖形的畫法等.但在實際學(xué)習(xí)中，同學(xué)們往往不易建立空間概念，在頭腦中難以形成較為準(zhǔn)確、直觀的幾何模型，從而反映在做題時不會畫圖或畫出圖來也不易辯認(rèn)，甚至作出錯誤的圖形來，誤導(dǎo)了解題且不易查錯，從而影響了解題"因此，在培養(yǎng)空間想象能力方面，特別是在立體幾何入門學(xué)習(xí)中應(yīng)重視“水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法”一節(jié)的學(xué)習(xí)，因為這里已經(jīng)開始體現(xiàn)出平面幾何作圖與立體幾何作圖的區(qū)別和特點’在學(xué)習(xí)的過程中，通過制作模型，進(jìn)而在正確作圖的基礎(chǔ)上從不同的角度來觀察作圖，并學(xué)會分析由此產(chǎn)生的不同視覺效果及對解題的幫助程度，同時也要逐步培養(yǎng)“看圖"想圖"辨圖”能力，即根據(jù)已知條件，脫離實際模型，也能在二維的紙上正確合理地畫出三維的空間圖形，并根據(jù)平面圖形來分析相關(guān)的點、線、面之間的各種位置關(guān)系，這是立體幾何學(xué)習(xí)中的難點，也是入門時須過好的一關(guān)。1．1．2棱柱、棱錐和棱臺的結(jié)構(gòu)特征感悟課標(biāo)新理念大金字塔之謎墨西哥、希臘、蘇丹等國都有金字塔，但名聲最為顯赫的是埃及的金字塔。埃及是世界上歷史最悠久的文明古國之一——金字塔是古埃及文明的代表作，是埃及國家的象征，是埃及人民的驕傲。金字塔，阿拉伯文意為“方錐體”，它是一種方底、尖頂?shù)氖鼋ㄖ?，是古代埃及埋葬國王、王后或王室其他成員的陵墓。它既不是金子做的，也不是我們通常所見的寶塔形，而是由于它規(guī)模宏大，從四面看都呈等腰三角形，很像漢語中的“金”字，故中文形象地把它譯為“金字塔”。埃及迄今發(fā)現(xiàn)的金字塔共約八十座，其中最大的是以高聳巍峨而被稱為古代世界七大奇跡之首的“胡夫大金字塔”"在。在1889年巴黎埃菲爾鐵塔落成前的四千多年的漫長歲月中，“胡夫大金字塔”一直是世界上最高的建筑物。據(jù)一位名叫彼得的英國考古學(xué)者估計，“胡夫大金字塔”大約由230萬塊石塊砌成，外層石塊約x5000塊，平均每塊重2.5噸，像一輛小汽車那樣大，而大的甚至超過15噸。假如把這些石塊鑿成平均一立方英尺的小塊，把它們沿赤道排成一行，其長度相當(dāng)于赤道周長的三分之二。在四千多年前生產(chǎn)工具很落后的中古時代，埃及人是怎樣采集、搬運數(shù)量如此之多，每塊又如此之重的巨石，壘成如此宏偉的大金字塔？這真是一個十分難解的謎"課程學(xué)習(xí)目標(biāo)［課程目標(biāo)］目標(biāo)重點：多面體、棱柱、棱錐和棱臺的定義、性質(zhì)及它們之間的關(guān)系，空間與平面問題的相互轉(zhuǎn)化；目標(biāo)難點：幾種概念相近的幾何體（如平行六面體、直平行六面體、長方體、正四棱柱、正方體等）的特征、性質(zhì)的區(qū)別；［學(xué)法關(guān)鍵］1．結(jié)合模型、動態(tài)的或靜態(tài)的直觀圖，了解、認(rèn)識和研究柱、錐、臺等幾何體，使得對概念和性質(zhì)的理解與圖形密切地結(jié)合起來；2．幾何體的“特征性質(zhì)”是指某種幾何體能夠區(qū)別于其他幾何體的本質(zhì)屬性，這樣的性質(zhì)可以作為這種幾何體的定義，正是由于定義是幾何體的特征性質(zhì)，因而定義發(fā)揮著判定定理和性質(zhì)定理的雙重作用"因此明確各種幾何體的定義是十分重要的。研習(xí)教材重難點研習(xí)點：一．多面體及相關(guān)概念1．多面體：多面體是由若干個平面多邊形所圍成的幾何體"如下圖中的幾何體都是多面體"2．相關(guān)概念：（1）圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；（2）相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱；（3）棱和棱的公共點叫做多面體的頂點；（4）連接不在同一個面上的兩個頂點的線段叫做多面體的對角線；（5）凸、凹多面體：把一個多面體的任意一個面延展為平面，如果其余各面都在這個平面的同一側(cè)，則這樣的多面體就叫做凸多面體，其他的多面體叫做凹多面體；（6）截面：一個幾何體和一個平面相交所得到的平面圖形（包括它的內(nèi)部），叫做這個幾何體的截面，3．多面體的分類：（1）按照多面體是否在任一面的同一側(cè)分為凸多面體和凹多面體；（2）按照圍成多面體的面的個數(shù)分為四面體、五面體、六面體等?！韭?lián)想·質(zhì)疑】每一個多面體都有對角線嗎？通過觀察上面給出的生活中常見的一些多面體圖形，我們可以看出，并不是所有的多面體都有對角線的。如下圖中的兩個多面體就沒有對角線如果多面體有對角線，就不僅僅有一條對角線，如下圖中的多面體研習(xí)點2棱柱及相關(guān)概念1．定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且其余每相鄰兩個面的交線都互相平行，由這些面圍成的幾何體叫做棱柱。如下圖中的圖形都是棱柱2．相關(guān)概念：（1）棱柱的兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，簡稱底；（2）其余各面叫做棱柱的側(cè)面；（3）相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；（4）側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點；（5）棱柱中不在同一面上的兩個頂點的連線叫做棱柱的對角線；（6）如果棱柱的一個底面水平放置，則鉛垂線與兩底面的交點之間的線段或距離，叫做棱柱的高。【聯(lián)想·質(zhì)疑】如何理解棱柱？1．從運動的觀點來看，棱柱可以看成是一個多邊形（包括圖形圍成的平面部分）上各點都沿著同一個方向移動相同的距離所經(jīng)過的空間部分$，如果多邊形水平放置，則移動后的多邊形也水平放置。2．棱柱的主要結(jié)構(gòu)特征：①兩個底面互相平行，②其余每相鄰兩個面的交線互相平行，各側(cè)面是平行四邊形$。通俗地講，沒有第一個特征，兩頭不一樣齊；若沒有x個特征，上下不一樣粗，因此，棱柱有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形。3．但是注意“有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形”的幾何體未必是棱柱。如圖所示的幾何體雖有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊形，但不滿足“每相鄰兩個面的公共邊互相平行”，所以它不是棱柱。4．棱柱的分類：（1）按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等（見圖）（2）按側(cè)棱與底面的關(guān)系分類：側(cè)棱與底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱。5．棱柱的表示：（1）用表示各頂點的字母表示棱柱：如棱柱ABCD－A1B1C1D1（2）用一條對角線端點的兩個字母來表示，如棱柱AC1.6．特殊的四棱柱：1．底面是平行四邊形的棱柱叫做平行六面體；2．側(cè)棱與底面垂直的平行六面體叫做直平行六面體；3．底面是矩形的直平行六面體叫做長方體；4．棱長都相等的長方體叫做正方體.研習(xí)點3棱錐及相關(guān)概念1．定義：有一個面是多邊形，而其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面圍成的幾何體叫做棱錐，如下圖所示。2．相關(guān)概念：（1）棱錐中有公共頂點的各三角形叫做棱錐的側(cè)面，如側(cè)面PAB；（2）各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點，如頂點P、A、B、C等；（3）相鄰兩側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱，如側(cè)棱PA、PB等；（4）棱錐中的多邊形叫做棱錐的底面，如底面ABC、ABCD等；（5）如果棱錐的底面水平放置，則頂點與過頂點的鉛垂線與底面的交點之間的線段或距離，叫做棱錐的高，如圖2中的PO就是四棱錐的高；（6）棱錐中過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做棱錐的對角面，如對角面PAC（注：三棱錐沒有對角面）【聯(lián)想·質(zhì)疑】如何理解棱錐？1．棱錐是多面體中的重要一種，它有兩個本質(zhì)的特征：①有一個面是多邊形；②其余各面是有一個公共頂點的三角形，二者缺一不可。2．棱錐有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，但是也要注意“有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體未必是棱錐!。如右圖所示，此多面體有一個面是四邊形，其余各面是三角形，但它不是棱錐!3．棱錐的分類：（1）按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等，其中三棱錐又叫四面體!（2）正棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，并且水平放置，它的頂點又在過正多邊形中心的鉛垂線上，則這個棱錐叫做正棱錐!4．正棱錐的性質(zhì)：（1）正棱錐的各側(cè)面都是全等的等腰三角形；（2）等腰三角形底邊上的高都相等，叫做棱錐的斜高!5．棱錐的表示：（1）用頂點和底面各頂點的字母表示棱錐：如三棱錐P－ABC，四棱錐P－ABCD.（2）用對角面表示：如右圖中的四棱錐可以用P－AC表示!研習(xí)點4．棱臺及相關(guān)概念1．定義：棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分叫做棱臺.2．相關(guān)概念：（1）棱臺的下底面、上底面：原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面、上底面；（2）棱臺的側(cè)面：棱臺中除上、下底面以外的面叫做棱臺的側(cè)面。（3）棱臺的側(cè)棱：相鄰兩側(cè)面的公共邊叫做棱臺的側(cè)棱。（4）棱臺的高：當(dāng)棱臺的底面水平放置時，鉛垂線與兩底面交點間的線段或距離叫做棱臺的高。3．棱臺的分類：（1）按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱臺、四棱臺、五棱臺等；（2）正棱臺：由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺。4．正棱臺的性質(zhì)：（1）各側(cè)棱相等；（2）正棱臺的各側(cè)面都是全等的等腰梯形；（3）正棱臺的斜高相等。5．棱臺的表示：棱臺可用表示上、下底面的字母來命名，如右圖中的棱臺，可以記作棱臺ABCD－A’B’C’D’，或記作棱臺AC’，下底面為ABCD，上底面為A’B’C’D’，棱臺的高為OO’.【聯(lián)想·發(fā)散】棱柱、棱錐、棱臺之間的關(guān)系棱錐是當(dāng)棱柱的一個底面收縮為一個點時形成的空間圖形，棱臺則可以看成是用一個平行于棱錐底面的平面截棱錐所得到的圖形，要注意的是棱臺的各條側(cè)棱延長后，將會交于一點，即棱臺可以還原成棱錐(在學(xué)習(xí)時要注意棱柱、棱錐、棱臺這三種多面體之間的聯(lián)系)。探究解題新思路基礎(chǔ)拓展型題型1：概念判斷題例1．設(shè)有四個命題：①底面是矩形的平行六面體是長方體；②棱長相等的直四棱柱是正方體；③有兩條側(cè)棱都垂直于底面一邊的平行六面體是直平行六面體；④對角線相等的平行六面體是直平行六面體。以上四個命題中，真命題的個數(shù)是（）（A）1（B）2（C）3（D）4【探究】本題主要考查棱柱的概念及性質(zhì)，注意各種特殊的棱柱之間的關(guān)系?！狙形觥竣俨徽_。除底面是矩形外還應(yīng)滿足側(cè)棱與底面垂直才是長方體。②不正確。當(dāng)?shù)酌媸橇庑螘r就不是正方體。③不正確。是兩條側(cè)棱垂直于底面一邊而非垂直于底面，故不一定是直平行六面體。④正確。因為對角線相等的平行四邊形是矩形，由此可以推測此時的平行六面體是直平行六面體。故而選A.【反思·領(lǐng)悟】熟練地掌握棱柱和棱錐的概念，才能準(zhǔn)確地應(yīng)對這類概念題，從而判斷出棱柱和棱錐中的線面關(guān)系?！就卣埂ぷ兪健?．棱臺不具有的性質(zhì)是(C)（A）兩底面相似（B）側(cè)面都是梯形（C）側(cè)棱長都相等（D）側(cè)棱延長后交于一點小結(jié)：此類題目較易，但也要熟記教材中的相關(guān)概念內(nèi)容，把四棱柱、平行六面體、直平行六面體、直四棱柱、長方體、正方體等各幾何體間的關(guān)系搞清楚，把握它們的特征性質(zhì)才能夠準(zhǔn)確作答。題型2．考查棱柱間的關(guān)系例2．已知集合A=｛正方體｝，B=｛長方體｝，C=｛正四棱柱｝，D=｛平行六面體｝，E=｛四棱柱｝，F(xiàn)=｛直平行六面體｝，則（B）（A）（B）（C）（D）它們之間不都存在包含關(guān)系【探究】此題考查幾種特殊的棱柱之間的關(guān)系?！狙形觥繋追N常見棱柱間的關(guān)系如下圖所示：【反思·領(lǐng)悟】棱柱有幾種分類方法，這些幾何體在每一分類方法中都有其名稱，容易混淆。如正四棱柱按底面多邊形的邊數(shù)分類，它是四棱柱；按側(cè)棱與底面是否垂直分類，它是直四棱柱；按平行六面體和非平行六面體來分，它是底面是正方形的直平行六面體#因此，要準(zhǔn)確把握這些幾何體的特征。2.有四個命題：①各側(cè)面是全等的等腰三角形的四棱錐是正四棱錐，②底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；③棱錐的所有側(cè)面可能都是直角三角形；④四棱錐中側(cè)面最多有四個直角三角形。其中正確的命題有③④題型3．有關(guān)計算問題例3．正四棱臺AC1的高是17cm，兩底面的邊長分別是4cm和如圖所示，設(shè)棱臺的兩底面的中心分別是O和O1，B1C1和BC的中點分別是E1和E，連接OO1，O1E1，OE，EE1，O1B1，OB，則OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形這個棱臺的側(cè)棱長為19cm，斜高為cm例4．如圖正四棱錐P－ABCD的底面邊長為a，高為h，求它的側(cè)棱PA的長和斜高PE【研析!正四棱錐的底面邊長為a,即此正四棱錐的側(cè)棱長為斜高為【反思·領(lǐng)悟】對于正四棱錐的計算問題解決的關(guān)鍵是尋找到相應(yīng)的直角三角形。把要計算的量轉(zhuǎn)化到同一個直角三角形中進(jìn)行計算。拓展·變式3．已知正四面體P－ABC的棱長為4用一平行于底面的平面截此四面體所得截面面積為,求截面與底面之間的距離.小結(jié)：關(guān)于棱錐中的計算問題注意應(yīng)用棱錐的性質(zhì)截面面積與底面面積的比等于截得的小棱錐與原來棱錐的邊長的平方比截得的小棱錐的側(cè)面面積與原來棱錐的側(cè)面面積之比等于截得的小棱錐的棱長與原來棱錐對應(yīng)棱長的平方比。在正棱錐的性質(zhì)中給出了兩個直角三角形除此之外正棱錐的底面外接圓半徑，邊心距和半底邊長也組成一個直角三角形這三個直角三角形稱為棱錐中的特征三角形，有好多立體幾何問題都是轉(zhuǎn)化到這三個直角三角形中去處理的如有關(guān)側(cè)棱底面邊長的計算等要熟練掌握。題型4．有關(guān)截面問題例．正三棱柱的每條棱都是過底面一邊和上下底面中心連線的中點作截面，求此截面的面積.【探究!這是一個純文字的計算題應(yīng)當(dāng)先畫出圖形寫出已知和求解判斷出截面圖形的具體形狀后再設(shè)法求其面積【研析!如圖O，O1是兩底面中心延長AO，A1O1分別與BC，B1C1相交于D，D1，連接DD1則DD1//AA1，∴A，A1，D，D1在同一平面內(nèi)在平面AD1內(nèi)過D1及OO1中點G作直線與AD相交于E過E作BC的平行線與AB，AC分別相交于M，N，則B1MNC1是經(jīng)過B1C1和點G的截面即所求的截面的面積是【反思·領(lǐng)悟】解決此類問題的關(guān)鍵是利用平面的性質(zhì)作出截面然后利用題設(shè)條件及圖形的性質(zhì)來解決有關(guān)的面積計算問題’【拓展·變式】4．將長方體截去一角，求證：截面是銳角三角形。小結(jié)：處理與截面有關(guān)的問題時主要考慮兩個方面的因素其一是先準(zhǔn)確地作出截面圖形來這就要用到平面的性質(zhì)定理和公理其二是根據(jù)作出的圖形進(jìn)行合理的論證和計算，因為截面是一個平面圖形因此平面幾何中的有關(guān)定理和性質(zhì)都可以用來進(jìn)行計算和證明【教考動向·演練】1．下面沒有體對角線的一種幾何體是（A）（A）三棱柱（B）四棱柱（C）五棱柱（D）六棱柱2．用一個平面去截正方體，截面多邊形的邊數(shù)不可能是（D）（A）4（B）5（C）6