第1章+平面向量及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)清單 高一年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修第二冊(cè)

新教材湘教版2019版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)

第1章知識(shí)點(diǎn)清單

目錄

第1章平面向量及其應(yīng)用

1.1向量

1.2向量的加法

1.3向量的數(shù)乘

1.4向量的分解與坐標(biāo)表示

1.5向量的數(shù)量積

1.6解三角形

1.7平面向量的應(yīng)用舉例

第1章平面向量及其應(yīng)用

1.1向量

一、向量的物理背景

1.位移是物理學(xué)中的基本量之一，也是幾何研究的重要對(duì)象.研究物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，通常

把物體當(dāng)作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，用點(diǎn)來(lái)表示物體的位置.質(zhì)點(diǎn)從位置A運(yùn)動(dòng)到位置B,位置的

改變稱為位移.

2.理解位移，要把握三個(gè)方面：

①位移由方向和大小唯一確定；

②位移只與質(zhì)點(diǎn)的起點(diǎn)、終點(diǎn)位置相關(guān)，而與實(shí)際運(yùn)動(dòng)路線無(wú)關(guān)；

③兩個(gè)位移相等指的是方向相同而且大小相等.

3.物理學(xué)中許多需要考慮大小和方向的量，如速度、加速度、力等.

二、向量的基本要素及幾何表示

1-有向線段

像屬這樣具有方向的線段，稱為有向線段，有向線段跖的長(zhǎng)度記作|屆

有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度,4

2.向量

像位移這樣既有大小又有方向的量，在數(shù)學(xué)中稱為向量.

向量的幾何表示：向量可以用有向線段表示，有向線段的方向和長(zhǎng)度分別代表了向量

的方向和大小.

向量的字母表示向量用粗體字母（E[l刷）或在字母上方標(biāo)箭頭（書寫）來(lái)表示,如向量a,

b,F,a,b,F.

3.向量的模

向量a的大小，也就是向量a的長(zhǎng)度，稱為a的模，記作|a|.

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三、向量的相等

1.相等向量：我們把方向相同、長(zhǎng)度相等的向量稱為相等向量.

2.相反向量：我們把長(zhǎng)度相等、方向相反的向量a,b稱為相反向量，記作b=-a.

如果b=-a,則同樣也有a=-b.

3.零向量：如果向量a的大小|a|二0,就稱a是零向量，記作0.

我們約定，所有的零向量相等，且零向量的方向是任意的.

四、向量相等及其應(yīng)用

1.向量相等具有傳遞性，即a=b,b二c,則a=c.

2.相等向量與向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)無(wú)關(guān)，只看長(zhǎng)度和方向.

3.在幾何圖形中尋找相等向量的方法，先找出與表示已知向量的有向線段平行或在同

一直線上且長(zhǎng)度與已知向量長(zhǎng)度相等的線段，再構(gòu)造同向或反向的向量，注意不要漏

掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.

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1.2向量的加法

一、向量的加法

1.三角形法則

已知兩個(gè)非零向量a,b,在平面上任取一點(diǎn)0,

向量的加法分別作示二

文字語(yǔ)言a,AB=b,

法則

則定義從0到B的向量而為a,b

的和，記作a+b.gpa+b=0A+AB=0B

向量的加法ba+以

圖形表示/?

法貝IJ

aaA

a「a

特殊情形(a與b的方b,b

向相同或相反)a,b，卜,、

1a+hZ”

向量的加法求向量和的運(yùn)算稱為向量的加法.兩個(gè)向量的和仍是一個(gè)向量

向量加法的將兩個(gè)向量表示為首尾相接的有向線段來(lái)求和的作圖法則叫作

三角形法則向量加法的三角形法則

2.平行四邊形法則

條件對(duì)于方向既不相同也不相反的非零向量a,b,可用平行四邊形法則求和

文字從同一點(diǎn)0出發(fā)作有向線段第二a,0B=b,以O(shè)A,OB為鄰邊作平行四邊

語(yǔ)言形OACB,則對(duì)角線瓦就是a與b的和，即沃二a+b

B

圖形ba+b

表示0a/

3,加法運(yùn)算律

(1)加法交換律：a+b=b+a對(duì)任意兩個(gè)向量a,b成立.

⑵加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)對(duì)任意三個(gè)向量a,b,c成立.

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4.零向量的加法性質(zhì)

任意向量與零向量相加后保持不變，等于這個(gè)向量本身，即a+0=0+a=a.

如果兩個(gè)向量之和為。，即a+b=0,貝Ua與b大小相等，方向相反，即b是a的相反

向量，記作b=-a.當(dāng)然a也是b的相反向量，因此a=-b=-(-a).

5.n個(gè)向量相加

如圖所示，在n邊形AA…An中，AtA2+A2A3+--■+An_!An=AtAn,

則A]A?+A2A3HbAn-iAn+AnA]=0."A.

4

\\\4

二、向量的減法”

1.向量減法的定義44

已知兩個(gè)向量a,b,求x滿足a+x=b,這樣的運(yùn)算叫作向量的減法，記為x=b-a,

x稱為b與a之差.

2.向量的減法法則

減去一個(gè)向量a,等于加上它的相反向量-a,即b-a=b+(-a).

A

已知向量a與b,在平面上任取一點(diǎn)。作嬴=a,OB=b,則屈=b-a,

即b-a表示從向量a的終點(diǎn)指向向量b的終點(diǎn)的向量.

b

三、向量的加減法運(yùn)算及其應(yīng)用。/

1.利用已知向量表示其他向量的思路

解決這類問題時(shí)，要根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，正確運(yùn)用向量加、減法法則和相等向量的

定義，同時(shí)注意向量的方向及運(yùn)算式中向量之間的關(guān)系.當(dāng)運(yùn)用三角形法則時(shí)，要注

意兩個(gè)向量首尾順次相接，當(dāng)兩個(gè)向量共起點(diǎn)時(shí)，可以考慮用減法.

任意一個(gè)非零向量一定可以表示為兩個(gè)向量的和(差)，即跖=施+麗，AB=NB-NA

(M,N均是同一平面內(nèi)的任意點(diǎn)).

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四、向量形式的三角不等式

(1)當(dāng)向量a,b方向既不相同也不相反時(shí)，作市=a,AB=b,則a+b二麗，如圖1所

示.根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，有||aHb"<|a+b|<|a|+|b|.

(2)當(dāng)a與b方向相同或a,b中至少有一個(gè)為零向量時(shí),如圖2所示,此時(shí)|a+b|二|a|+|b|.

⑶當(dāng)a與b方向相反或a,b中至少有一^為零向量時(shí)，不妨設(shè)|a|Z|b|,如圖3所示，

此時(shí)|a+b|=||a|-|b||.

故對(duì)于任意向量a,b,總有||a|-|b||w|a+b|w|a|+|b|①.

因?yàn)閨a-b|=|a+(-b)|,所以||a|-|-b||W|a-b|W|a|+|-b|,即||a|-|b||W|a-b|W|a|+|b|②.

將①②兩式結(jié)合,可得||a|-|b||W|a士b|W|a|+|b|,我們稱之為向量形式的三角不等式.

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1.3向量的數(shù)乘

一、向量的實(shí)數(shù)倍

1.向量的數(shù)乘

定義求向量的實(shí)數(shù)倍的運(yùn)算稱為向量的數(shù)乘

長(zhǎng)度|Aa|=|X||a|

當(dāng)人戶0且a聲0時(shí)，入a的方向

方向J當(dāng)入〉0時(shí)，與a同向.

1當(dāng)入<0時(shí)，與a反向

幾何意義把向量a沿著a的方向或a的反方向放大或縮小

特殊情況當(dāng)入=0或a=0時(shí),入a=0a二。或入a二入0二0

2.向量的線性運(yùn)算

我們把向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍

是—t"向量.

二、共線向量

1.共線向量的定義

當(dāng)非零向量a,b方向相同或相反時(shí)，我們既稱a,b共線，也稱a,b平行，并且用

符號(hào)來(lái)表示它們共線（或平行），記作a〃b.

規(guī)定：零向量與所有的向量平行.

2.由向量平行和向量數(shù)乘的定義可以推知：兩個(gè)向量平行=其中一個(gè)向量是另一個(gè)向

量的實(shí)數(shù)倍.

即@〃13=存在實(shí)數(shù)入，使得b二入a或a二入b.

3.兩向量的夾角

如圖所示，設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量，任選一點(diǎn)0,作正=a,0B=b,則射線0A,

OB所夾的最小非負(fù)角乙AOB二。稱為向量a,b的夾角，記作<a,b>,取值范圍規(guī)定

為[0,n],在這個(gè)規(guī)定下，兩個(gè)向量的夾角被唯一確定了，并有<a,b>=<b,a>.

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A

bB

eb

當(dāng)6二0時(shí)，a,b方向相同；當(dāng)。二TT時(shí)，a,b方向相反.這兩種情形下a,b所在直

線重合，即a,b共線.當(dāng)0<e<Ti時(shí)，a,b所在直線相交于點(diǎn)。即a,b不共線,

特別地，當(dāng)時(shí)，a與b垂直，記作a，b.

規(guī)定：零向量與任一向量垂直.

三、共線向量的運(yùn)算

1.單位向量

我們把長(zhǎng)度為1的向量稱為單位向量.它的長(zhǎng)度等于單位長(zhǎng)度.對(duì)于任一非零向量a,

都可得到與它方向相同的唯一單位向量e二^a.

2.共線向量的運(yùn)算

一般地，在一條直線上任取單位向量e,則直線上任何向量a都可寫成a二ae,其中實(shí)

數(shù)a的絕對(duì)值|a|代表向量a的模，a的正負(fù)代表a與e的方向相同或相反.反過來(lái)，

任意給定一個(gè)實(shí)數(shù)a,我們總能作一個(gè)向量a二ae,使它的長(zhǎng)度等于這個(gè)實(shí)數(shù)a的絕對(duì)

值，方向與實(shí)數(shù)a的符號(hào)一致.

四、數(shù)乘運(yùn)算律

1.數(shù)乘運(yùn)算律

一般地，設(shè)a,b是任意向量，x,y是任意實(shí)數(shù)，則如下運(yùn)算律成立：

⑴對(duì)實(shí)數(shù)加法的分配律：(x+y)a=xa+ya.

⑵對(duì)實(shí)數(shù)乘法的結(jié)合律：x(ya)=(xy)a.

⑶對(duì)向量加法的分配律：x(a+b)=xa+xb.

2.幾個(gè)常用結(jié)論

⑴表示線段AB中點(diǎn)P位置的向量而等于表示線段兩個(gè)端點(diǎn)A,B位置的向量市，

麗的平均值((OA+OB)(O為線段AB外一點(diǎn)).

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⑵表示4ABC的重心G的位置的向量前等于表示三角形三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C位置的向

量血，0B,玩的平均值:(OA+OB+OC)(O為△ABC外任一點(diǎn)).

五、向量的線性運(yùn)算

1.向量的線性運(yùn)算是向量的基本運(yùn)算，運(yùn)算的結(jié)果還是向量.向量的線性運(yùn)算可以類

比實(shí)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行.用已知向量表示未知向量時(shí)，通常要結(jié)合圖形的特點(diǎn)，把未知向

量放到三角形或平行四邊形中，適當(dāng)?shù)剡x擇向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算來(lái)求解，有

時(shí)還需借助共線向量來(lái)解決.

六、共線向量的理解及應(yīng)用

1.共線向量定理的理解

⑴由于任一組平行向量都可以平移到同一條直線上，因此，平行向量與共線向量是等

價(jià)的，要注意避免向量平行與平面幾何中的直線平行相混淆.平行直線不包括重合的

情況，而平行向量是可以重合的.

⑵向量的平行不具有傳遞性，若a〃b,b#c,未必有a〃c.因?yàn)榱阆蛄科叫杏谌我?/p>

向量，當(dāng)b=0時(shí)，a,c可以是任意向量，所以a與c不一定平行，但若b片0,則必

有@〃>b〃c=a〃c.因此，解答問題時(shí)要看清題目中是任意向量還是任意非零向量.

⑶共線向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共線向量.

2.共線向量定理的應(yīng)用

⑴判定平面幾何中的共線或平行關(guān)系，可用向量的數(shù)乘運(yùn)算來(lái)描述，即對(duì)于線段AB

與CD,如果存在實(shí)數(shù)入，使得而二而則AB與CD共線或平行.

⑵一般地，要判斷A,B,C三點(diǎn)是否共線，只需看是否存在實(shí)數(shù)入，使得源二笳(或

氏二入跖等).

⑶平面內(nèi)三點(diǎn)A,B,C共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)入，口，使得瓦二入市+口而，其中

入+產(chǎn)1,點(diǎn)O為平面內(nèi)一點(diǎn)

事實(shí)上，若三點(diǎn)A,B,C共線，則一定存在實(shí)數(shù)m使得配二m跖，即&-嬴=m(而-

OA),從而貢=(l-m)嬴+m而，令人=1-m,口=m,則入+口=(l-m)+m=1.

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1.4向量的分解與坐標(biāo)表示

一、平面向量基本定理

1.設(shè)e］，e2是平面上兩個(gè)不共線向量，則

⑴平面上每個(gè)向量v都可以分解為e和e2的實(shí)數(shù)倍之和，即v=xei+ye2,其中x,y是

實(shí)數(shù).

⑵實(shí)數(shù)x,y由v=xe】+ye2唯一決定.也就是：如果v=xei+ye?=x'ei+y0,則x=x',y=y'.

2.我們稱不共線向量e】，e?組成平面上的一組基｛e］，e2｝,分解式v=xa+ye?中的系數(shù)

x,y組成的有序數(shù)組(x,y),稱為v在這組基下的坐標(biāo).

取定了平面上一組基e2｝之后，可以將平面上每個(gè)向量v用它在這組基下的坐標(biāo)來(lái)

表示，記為v=(x,y).

二、平面向量的正交分解與坐標(biāo)表示

1.正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫作把向量正交分解.

2.標(biāo)準(zhǔn)正交基：平面上相互垂直的單位向量組成的基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基，記作｛i,j｝.

顯然i=(i,0),j=(o,1).外

3.平面向量與有序數(shù)對(duì)的對(duì)應(yīng)關(guān)系Vi7T4

a；

(1)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作嬴=a,___L_J______>

0ix'X

則點(diǎn)A的位置由向量a唯一確定.

設(shè)鼐=x1i+y'j,則向量布的坐標(biāo)(x1,y’)就是終點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過來(lái)，終點(diǎn)A的坐標(biāo)

(X1,y’)也就是向量鼐的坐標(biāo).

因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一個(gè)有序數(shù)對(duì)唯一表示.

(2)設(shè)單位向量e和e2的夾角<ei,e2>=90°,非零向量v的模|v|=r,且<e&v>=a,則

v=(rcosa,rsina).

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三、向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1.向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

⑴兩個(gè)向量a=(xi,yi),b=(x2,丫2)的和(或差)的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(或

差)，即a±b=(xi,yi)±(x2,y2)=(xi±x2,yi±y2).

⑵一個(gè)實(shí)數(shù)入與向量a=(x,y)的積的坐標(biāo)等于這個(gè)數(shù)乘以向量相應(yīng)的坐標(biāo)，

即入a二入(x,y)二(入x,入y).

⑶在平面直角坐標(biāo)系中，向量風(fēng)的坐標(biāo)等于終點(diǎn)Q的坐標(biāo)區(qū),丫力減去起點(diǎn)P的坐

標(biāo)(Xi,yi),即PQ=(X2-Xi,y2-yi).

2.向量平行的坐標(biāo)表示

向量屈二%,yi),CD=(X2,丫2)平行(也就是共線)，可以直接用的,也)〃%2,丫2)來(lái)表示

這意味著其中一個(gè)坐標(biāo)是另一個(gè)坐標(biāo)的實(shí)數(shù)倍，因此X"二y的成立.

即(xi,yi)/7%,y2)=Xiy2-yiX2=0.

3.常用結(jié)論

⑴中點(diǎn)向量坐標(biāo)：若A%,yjB(X2,y2),P為AB的中點(diǎn)，則而二色嗎停手，左產(chǎn))

(0為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(2)三角形的重心向量坐標(biāo)：在AABC中,A(X1,y)B(x2,y2),C(x3,y3),若AABC的

重心為G,則第二出嚕丑二(文詈，紅箏區(qū))(0為坐標(biāo)原點(diǎn)).

四、平面向量基本定理的應(yīng)用

1.平面向量基本定理的唯一性及其應(yīng)用

設(shè)a,b是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，Xi,x2,yi,y2ER,若Xia+yib=X2a+y2b,則

，X]=X2，這個(gè)方法應(yīng)用廣泛，常用待定系數(shù)法確定向量.

M=丫2?

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2.用向量求解平面幾何問題的步驟

（1）選取適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)向量作為一組基；

⑵將相關(guān)向量用基表示；

⑶通過向量運(yùn)算得到新的向量關(guān)系式；

⑷將新的向量關(guān)系式“翻譯”成幾何關(guān)系.

五、利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（代數(shù)）解決有關(guān)幾何問題

1.向量的坐標(biāo)運(yùn)算一般是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行的，若已知有向線段兩

端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，然后進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，另外，在解題的過

程中要注意方程思想的運(yùn)用.

2.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要根據(jù)相等向量坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程（組）

進(jìn)行求解.

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1.5向量的數(shù)量積

1.5.1數(shù)量積的定義及計(jì)算

一、平面向量的數(shù)量積

1.設(shè)a,b是任意兩個(gè)向量，＜a,b＞是它們的夾角，則定義a*b二|a||b|cos＜a,b＞為a

與b的數(shù)量積.由平面向量夾角的定義可知，＜a,b＞=a的取值范圍為[0,n].

二、投影向量

1.如圖，作向量加二a,OB=b,兩個(gè)向量的夾角為a,過點(diǎn)B作BB」OA于點(diǎn)瓦

則加二函+瓦氏其中國(guó)與市共線.

我們把而稱為施在方向上的投影向量，投影向量的長(zhǎng)度|函月函|cosa稱為投影長(zhǎng).

|OB|cosa刻畫了投影向量的大小和方向，稱為而在正方向上的投影.

2.數(shù)量積的幾何意義

一般地，a與b的數(shù)量積等于a的長(zhǎng)度間與b在a方向上的投影|b|cosa的乘積，或

b的長(zhǎng)度|b|與a在b方向上的投影|a|cosa的乘積.

由此得到利用數(shù)量積計(jì)算b在a方向上的投影|b|cosa的公式：|b|cosc(二胃.

三、數(shù)量積的性質(zhì)

1.設(shè)a,b是非零向量，它們的夾角是6,e是與b方向相同的單位向量，則

(l)a-e=e-a=|a|cos0.

(2)a_Lb=a,b=0.

(3)當(dāng)a與b同向時(shí),a,b二|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a-b二-|a||b|.

特別地，a?a=|af或間二?a.

(4)|a-b|<|a||b|.

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2.性質(zhì)拓展

(l)(a+b)-(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2；

(2)(a±b)2=|a±b|2=|a|2±2a-b+|b|2=a2±2a-b+b2；

(3)cos0=^-.

|a||b|

四、數(shù)量積的運(yùn)算律

1.設(shè)a,b,c是任意向量，入是任意實(shí)數(shù)，則如下運(yùn)算律成立：

⑴交換律:ab=ba；

(2)與數(shù)乘的結(jié)合律:a,(入b)二人(a,b)；

⑶分配律：a-(b+c)=a-b+a-c.

五、向量數(shù)量積的運(yùn)算

1.求向量的數(shù)量積時(shí)，需明確兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：模和夾角.若相關(guān)向量是兩個(gè)或兩個(gè)以上

向量的線性運(yùn)算，則需先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律進(jìn)行化簡(jiǎn).

2.解決幾何圖形中向量數(shù)量積的運(yùn)算問題，要充分利用圖形特點(diǎn)及其含有的特殊向量,

這里的特殊向量主要指具有特殊夾角或已知模的向量.

六、向量數(shù)量積的應(yīng)用

1.根據(jù)公式cose二技計(jì)算非零向量a,b的夾角.

2.對(duì)于非零向量a,b,alb^>a-b=0,可以用來(lái)解決平面幾何圖形中有關(guān)垂直的問題.

3.a*a=a2二|a「和|a|二VG是求向量的模及用向量求解圖形中線段長(zhǎng)度的依據(jù).

4.對(duì)于平面向量a,b,可以利用公式a*b4[(a+b)2-(a-b)[將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為這

兩個(gè)向量的“和向量”和“差向量”，再進(jìn)行計(jì)算求解.

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1.5.2數(shù)量積的坐標(biāo)表示及其計(jì)算

一、數(shù)量積的坐標(biāo)表示及其計(jì)算

L數(shù)量積的坐標(biāo)表示：若a=(xi,yi),b=(X2,y2),則a,b=的,yi)-(x2,y2)=XiX2+yiy2.

2.向量的長(zhǎng)度的計(jì)算公式

若a二(x,y),則向量a的模(即長(zhǎng)度)的公式為|a|二Va,a二Jx?十/

3.夾角余弦值的計(jì)算公式

已知兩個(gè)非零向量a：%,yi),b=(x2,y2),則兩向量夾角余弦值的公式為

a-b_X]X2+yiy2

cos<a,b>

|a||b|J(x：+y])(x什y1)

4.垂直條件

已知向量a：%,yi),b=(x2,y2),貝Ua，b=a-b=0=XiX2+yiy2=0.

5.共線條件

已知向量a：%,yj,b=(x2,y2),貝Ua〃b=Xiy2-X2yi=0.

二、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

1.進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，然后直

接進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算；二是直接依據(jù)已知條件計(jì)算.

2.對(duì)于以平面圖形為背景的向量數(shù)量積運(yùn)算的題目，只需把握?qǐng)D形的特征，并寫出相

應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解.

3.與向量有關(guān)的最值問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來(lái)解決，特別是二次函數(shù)與三角函

數(shù)，借助向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)求出最值.

三、平面向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用

1.利用向量可以解決與長(zhǎng)度、角度、垂直、平行等有關(guān)的幾何問題，其解題關(guān)鍵在于

把其他語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為向量語(yǔ)言，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)

化為向量問題.

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2.解決投影向量問題的方法

已知非零向量：則在方向上的投影向量為

a%,yi),b=(x2,y2),ab

a-bb（xiX2+yiy2>y2'

-外遇2，丫?尸

|b||b|xx2+y2x升4

1.6解三角形

一、余弦定理

三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方

文字語(yǔ)言

和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍

符號(hào)語(yǔ)言a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC

222222222

Ab+c-aca+c-b巾a+b-c

其他形式cosA二,,cosB二,cosC二,

2bc2ac2ab

二、正弦定理及常見變形

文字語(yǔ)言在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等

符號(hào)語(yǔ)言%:廣2R(R為AABC外接圓的半徑)

a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,

常見sinA二靠sinB*,sincj,

變形a：b：c=sinA：sinB：sinC,

SEA黑Ln『2R（R為AABC外接圓的半徑）

三、三角形解的個(gè)數(shù)的確定

1.在AABC中，已知a,b和A,以點(diǎn)C為圓心，邊長(zhǎng)a為半徑畫弧，則此弧與除去

頂點(diǎn)A的射線AB的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)即為三角形解的個(gè)數(shù).

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圖形關(guān)系式解的情況

/c

ba

ya/(l)a=bsinA

一解

Ali、、一(2)aNb

(1)(2)

A為C

/0,

銳角bsinA<a<b兩解

AB'J—'B?

c

a<bsinA無(wú)解

A~R

c

\a(

a

；ba>b一解

為

AAA4

鈍角

或直

c,c；a：

角一1b/

?/aWb無(wú)解

ABAR

四、三角形的面積公式

△ABC的面積S=-absinC=-bcsinA=-acsinB.

五、解三角形實(shí)際問題的一般步驟

實(shí)同問題分析轉(zhuǎn)化?數(shù)學(xué)問題（畫出圖形）

檢

驗(yàn)

數(shù)學(xué)結(jié)論解三角形問題

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六、利用正、余弦定理解三角形

1.三角形共有六個(gè)元素，當(dāng)已知條件較復(fù)雜時(shí)，需要我們辨別條件，恰當(dāng)?shù)剡x擇定理

來(lái)求解

2.常見情況

⑴當(dāng)已知條件以邊與正弦值之比的關(guān)系出現(xiàn)時(shí)，選擇正弦定理；

⑵當(dāng)已知條件涉及正弦或外接圓半（直）徑時(shí)，選擇擴(kuò)充的正弦定理；

⑶當(dāng)已知條件涉及邊的平方或者兩邊的積時(shí)，選擇余弦定理；

⑷如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的

正弦或邊的一次式，要考慮用正弦定理.

以上特征都不明顯時(shí)，兩個(gè)定理都有可能用到.

七、利用正、余弦定理解決實(shí)際問題

1.用正、余弦定理解決實(shí)際問題的幾點(diǎn)概括

⑴不能到達(dá)的同一水平面上兩點(diǎn)的距離問題；

⑵不能到達(dá)底部的高度問題；

⑶在運(yùn)動(dòng)變化過程中蘊(yùn)含的解三角形的問題.

在解決這些問題時(shí)，要認(rèn)真領(lǐng)悟相關(guān)術(shù)語(yǔ)，根據(jù)問題中的文字語(yǔ)言，自行畫出圖形或

將題中條件與所給圖形中的幾何量相對(duì)應(yīng)，然后利用余弦定理和正弦定理計(jì)算.培養(yǎng)

學(xué)生文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)譯的能力以及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).