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文檔簡介
向量的概念與幾何表示練習(xí)
一、選擇題
1.在下列說法中正確的有()
①在物理學(xué)中,作用力與反作用力是一對共線向量
②溫度有零上溫度和零下溫度,因此溫度也是向量
③方向為南偏西60°的向量與北偏東60°的向量是共線向量
④平面上的數(shù)軸都是向量
A.1個B.2個C.3個D.4個
2.下列結(jié)論中正確的為()
A.兩個有共同起點的單位向量,其終點必相同
B.向量存與向量瓦?的長度相等
C.對任意向量正白是一個單位向量
D.零向量沒有方向
3.有關(guān)向量力和向量3,下列四個說法中:
d^\a\=0,則,=0;
a|=|Z?|?則五=b或五=—b;
(3^a//b,則同=|b|;
(4^a=0>則一五=6.
其中的正確有()
A.1B.2C.3D.4
4.下列結(jié)論一定正確的是()
A.a—b=a+(―/?)
B.\a+b\>\a-b\
C.若正//b>則存在實數(shù)A使得另=Aa
D.\a-b\=|a|-\b\
5.設(shè)窗B為非零向量,且滿足|五—B|=|R|+|另I,則五與方的關(guān)系是()
A.既不共線也不垂直B.垂直
C.同向D.反向
6.下列關(guān)于空間向量的命題中,正確命題的個數(shù)是()
①長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量;
②平行且模相等的兩個向量是相等向量;
鰥,不9,則國\b\;
④兩個向量相等,則它們的起點與終點相同.
A.0B.1C.2D.3
7.設(shè)。是等邊三角形/a'的中心,則向量而,0B.玩是()
A.有相同起點的向量B.模相等的向量
C.平行向量D.相等向量
8.下列說法正確的是()
A.若到歷,b//c,則W/蕓
B.在△ABC中,必有荏+近+石?=6
C.若荏++=則4B,C一定為一個三角形的三個頂點
D.若五,3均為非零向量,則||+加|=|丘|+|石|
9.設(shè)之,力為單位向量,且忖一.=1,則3+2b=()
A.V3B.y/7C.3D.7
10.已知向量2=(t,l),1=(2,1),若豆J.E,則|R|的值為()
A.V5B.V2C.立D.坦
22
II.已知向量出與弓的夾角為點且|砧=1,|2a+石|=V7,則|同等于
()
A.V3B.V2C.1D.⑨
2
12.已知線段上4B,C三點滿足瓦=2荏,則這三點在線段上的位置關(guān)系
是()
A?-------1-------1-------11-------1-------1-------1
ABCBABC
C匚
B
二、填空題
13.已知非零向量落b滿足|五|=|b|=|五—b卜則
18+司_
l^i----------------------,
14.已知向量蒼不滿足|不=3,\b\=1,若存在不同的實數(shù);11,%。/?H0),
使得備=a萍+341,且C—①?G—石)=o(i=1,2)?則C-4|的
取值范圍是.
15.已知1=6,另與3的方向相反,旦|加|=3,五=m石,則實數(shù)加=
16.已知兩點4(3,-4)和8(-9,2),在直線四上存在一點尸,使|而|=不荏I,
那么點尸的坐標為.
17.在△4BC中,cosC=BC=1,AC=5,若〃是Z5的中點,則
CD=?
三、解答題
18.某人從/點出發(fā)向東走了5米到達8點,然后改變方向沿東北方向走了
10夜米到達。點,到達。點后又改變方向向西走了10米到達〃點.
(1)作出向量用,BC,CD;(2)求同的模.
19.如圖所示的方格紙是由若干個邊長為1的小正方形拼在一起組成的,方
格紙中有兩個定點4B,點C為小正方形的頂點,且|芯|=再.
(1)畫出所有滿足條件的向量正;
(2)求|前|的最大值與最小值.
20.已知Erd,另#6,當(dāng)|丘+口|(te尉取最小值時,
⑴求t的值;
(2)若蒼、方共線且同向,求證:b1(a+tb).
21.如圖,在三角形46。中,麗=2反,£是/〃的中點,設(shè)血=落前=及
(1)試用2弓表示而
(2)若|弓|=1,|弓|=1,且之與石的夾角為60。,求|布|。
答案和解析:
1.【答案】B
【解答】
解:既有大小,又有方向的量統(tǒng)稱為向量,
結(jié)合向量的定義可知僅有②④錯誤,
結(jié)合向量的概念以及共線向量的定義可知①③正確,
2.【答案】B
【解答】解:4選項,單位向量的方向任意,所以當(dāng)起點相同時,終點在以
起點為圓心的單位圓上,終點不一定相同,故4不正確;
6選項,向量荏與向量瓦5是相反向量,方向相反,長度相等,故6正確;
C選項,當(dāng)時,言無意義,故,不正確;
|?|
〃選項,零向量的方向是任意的,而不是沒有方向,故。不正確.
3.【答案】B
【解答】
解:端他|=0,則1=6,故①正確;
(2^\a|=|h|,則五=石或五=—方是錯誤的,因為向量方向可任意,故②I昔
誤;
(3^a//b,則向量的長度不一定相等,故③錯誤;
竭a=6,則一日=丁故④正確.
故正確的有①④,共2個.
4.【答案】A
【解答】
解:A,由向量的運算法則可知,正確;
B,當(dāng)乙弓反向時,|五+3|4|云—方|,錯誤;
C,當(dāng)五是零向量,另是非零向量時,不存在實數(shù)入使得另=4日,錯誤;
D,當(dāng)乙弓不共線時,\a-b\>|a|-\b\,錯誤.
5.【答案】D
【解答】解:設(shè)落石的起點為。,終點分別為兒B,
則萬-b=BA-
由同一刈=|a|+|b|.
得。,A,6三點共線,且。在46之間.
所以嬴與而反向.
6.【答案】B
【解答】
解:根據(jù)向量的定義,知長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量,①正
確;
平行且模相等的兩個向量可能是相等向量,也可能是相反向量,②不正確;
當(dāng)乞=—b時,也有|N|=|b|,③不正確;
只要模相等、方向相同,兩個向量就是相等向量,與向量的起點與終點無關(guān),
@)不正確.
綜上可知只有①正確,
7.【答案】B
【解答】
解:因為。是等邊三角形的中心,
所以。是等邊三角形/a'外接圓的圓心,
所以|而|=\OB\=\OC\=R(R為△ABC外接圓的半徑),
所以向量而,礪,方是模相等的向量,
8.【答案】B
【解答】
解:對于人當(dāng)a、b、c均為非零向量,若,〃■b//c,則日〃乙故力錯
誤;
對于8,△ABC中,AB+~BC+CA=AC+CA=0,故8正確;
對于C,當(dāng)AB+8C+C71=0時,兒B,C不一定是一個三角形的三個頂點,
如力、B、。三點共線時,故。錯誤;
對于〃若五,石均為非零向量,貝!)|a+b|<|a|+|bI,故
〃錯誤.
9.【答案】B
【解答】
解:方是為單位向量,且|五一月|=1,
可得出2—28不+看=1,可得37=也
\a+2b\=^a2+4a-b+4b2="+2+4=獷
10.【答案】C
【解析】解:向量五=(t,l),b=(2,1)?
若H1石,則為不=0.
即2t+1=0,解得t=-1;
所以五=(一”),
所以|方|=J(-1)2+I2=y-
11.【答案】C
【解答】
解:因為向量不與3的夾角為:,|有1=1,\2a+b\=V7,
所以(21+K)2=7,
即4五之+4五?:+12=7,
所以4+4X1-p|x|+&2=7,即+2|b|-3=0-
解得同=-3(舍去)或悶=1,
12.【答案】A
【解答】
解:由題意可知的和南共線同向,且BC=24B.
13.【答案】V3
【解答】
解:如圖,設(shè)編=五,OS=b,
則反=OA+OB=a+b>~BA=07-06=a-b.
,■1|a|=|K|=\a-b\<
??BA=OA=OB.
??.△tMB為正三角形,設(shè)其邊長為1,
則—==|日+b|=2x苧=國.
...駁=立=b.
|a-Z||1
14.【答案】[2,2企)U[2①,2V3).
【解答】
解:(c-a)-(c-K)=[3一1)方+3高卜[(3;1—1)石+71司
=9犯-1)+32(32-1)+[(A-1)(32-1)+3A2]?3cos0
=(18A2-12A)+(18A2-12A+3)cos0=0,
%H0u>cos。W0.??4>0=cosOW-1,
ii12+12cos02ii3cos0cosO
4-i人———,人人—
1218+18COS031218+18COS06+6COS0
I久一石|2=(乙-.)20+33)2=(%-.)2(18+18COS0)
42cos。
=(q-Q.GC-)(18+18COS0)=(8-4COS0)G[4,8)U(8,12)
zfJ十oCOScz
|同一£Ie[2,2V2)u[2V2,2V3).
故答案為[2,2a)U[2V2,2V3).
15.【答案】-2
【解答】
解:譚=3=2,???|劃=2|旬,
又E與日的方向相反,
:?a=—2b,=-2.
故答案為:-2.
16.【答案】(一1,一2)或(7,-6)
【解答】
設(shè)點0的坐標為Q,y),由題知|萬|=[|荏分情況計算,
①方=^AB,
。-3/+4)=家-12,6),
所以,x—3=-4,y+4=2,解得%=—1,y=-2,此時p(—1,-2).
?珂=號|阿,
(%-3,y+4)=一家-12,6),
所以,x—3=4,y+4=-2,解得%=—1,y=-2,此時p(7,—6).
綜上所述,點0為(—1,—2)或(7,—6)
17.【答案】2V2
【解答】
解:在△ABC中,〃是力6的中點,
所以而=*石5+謂),
故|而產(chǎn)=l(c^+CF)2=i(CA+2CA-CB+CB2)
13
=7x(52+2x5xlx-+l2)
45
=*x32=8,
4
所以CD=2V2.
故答案為2V2.
18.【答案】解:(1)作出向量而,BC,CD,
(2)由題意得,ABCO是直角三角形,
其中NBDC=90。,BC=10魚米,CD=10米,
所以8。=10米.
△48。是直角三角形,其中48。=90。,48=5米,8。=10米,
所以4。=V52+102=5y(米).
所以|而|=5①米.
19.【答案】解:(1)畫出所有的向量正,即福(i=1,2,...,8),如圖所示.如
圖所示.
(2)由(1)所畫的圖知,
當(dāng)點。位于點G或。2時,|比|取得最小值“2+22=V5;
當(dāng)點C位于點C5或。6時,IBC|取得最大值5/42+52=V41.
二|瓦的最大值為"I,最小值為
20.【答案】解:(1)令記=|N+t星,。為胃與石的夾角,則
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