專題21 同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式-2025年高考數(shù)學一輪復習講義（知識梳理+真題自測+考點突破+分層檢測）（新高考專用）解析版

2/2專題21同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 2【考點突破】 6【考點1】同角三角函數(shù)基本關系式的應用 6【考點2】誘導公式的應用 9【考點3】同角關系式和誘導公式的綜合應用 14【分層檢測】 17【基礎篇】 17【能力篇】 25【培優(yōu)篇】 27考試要求：1.理解同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx.2.能利用單位圓中的對稱性推導出eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式.知識梳理知識梳理1.同角三角函數(shù)的基本關系(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2.三角函數(shù)的誘導公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cosα－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tanαtan__α－tan__α－tan__α口訣奇變偶不變，符號看象限1.同角三角函數(shù)關系式的常用變形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.2.誘導公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.3.在利用同角三角函數(shù)的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號.真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）設甲：，乙：，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件2．（2021·全國·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．3．（2021·全國·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．4．（2021·全國·高考真題）（

）A． B． C． D．二、填空題5．（2023·全國·高考真題）若為偶函數(shù)，則．三、解答題6．（2023·全國·高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點，且，求的面積.參考答案：1．B【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關系得解.【詳解】當時，例如但，即推不出；當時，，即能推出.綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.故選：B2．A【分析】由二倍角公式可得，再結合已知可求得，利用同角三角函數(shù)的基本關系即可求解.【詳解】，，，，解得，，.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題考查三角函數(shù)的化簡問題，解題的關鍵是利用二倍角公式化簡求出.3．C【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關系配方化簡，然后增添分母()，進行齊次化處理，化為正切的表達式，代入即可得到結果．【詳解】將式子進行齊次化處理得：．故選：C．【點睛】易錯點睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負，通過齊次化處理，可以避開了這一討論．4．D【分析】由題意結合誘導公式可得，再由二倍角公式即可得解.【詳解】由題意，.故選：D.5．2【分析】利用偶函數(shù)的性質得到，從而求得，再檢驗即可得解.【詳解】因為為偶函數(shù)，定義域為，所以，即，則，故，此時，所以，又定義域為，故為偶函數(shù)，所以.故答案為：2.6．(1)；(2).【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數(shù)基本關系可得；(2)由題意可得，則，據(jù)此即可求得的面積.【詳解】（1）由余弦定理可得：，則，，.（2）由三角形面積公式可得，則.考點突破考點突破【考點1】同角三角函數(shù)基本關系式的應用一、單選題1．（2024·四川眉山·三模）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2024·河南三門峽·模擬預測）若，則的值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·全國·模擬預測）已知角的終邊過點，則（

）A． B．C． D．4．（2024·全國·模擬預測）美國數(shù)學史家、穆倫堡學院名譽數(shù)學教授威廉?鄧納姆在1994年出版的TheMathematicalUniverse一書中寫道：“相比之下，數(shù)學家達到的終極優(yōu)雅是所謂的‘無言的證明’，在這樣的證明中一個極好的令人信服的圖示就傳達了證明，甚至不需要任何解釋．很難比它更優(yōu)雅了．”如圖所示正是數(shù)學家所達到的“終極優(yōu)雅”，該圖（為矩形）完美地展示并證明了正弦和余弦的二倍角公式，則可推導出的正確選項為（

）A． B． C． D．三、填空題5．（2024·陜西商洛·模擬預測）若，則.6．（2024·廣東廣州·二模）已知復數(shù)的實部為0，則．參考答案：1．A【分析】先根據(jù)平方關系求出，再根據(jù)結合兩角差的正弦公式即可得解.【詳解】因為，所以，有，所以.故選；A.2．A【分析】由倍角公式可得，根據(jù)題意結合齊次式問題分析求解.【詳解】由題意可得：.故選：A.3．BD【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出的三角函數(shù)值，再結合二倍角的余弦公式和兩角和的正切公式逐一計算即可.【詳解】因為角的終邊過點，所以，所以，，，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確．故選：BD．4．ACD【分析】利用圖形結合解直角三角形，二倍角正弦公式和三角形面積公式求解判斷各個選項.【詳解】如圖，對于A，在中，，，又，則，，在中，可求得，所以，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，在中，因為，，則，故C正確；對于D，，，所以，故D正確.故選：ACD.5．【分析】利用平方關系求出，又，利用兩角差的余弦公式求解.【詳解】，則，，因此.故答案為：.6．【分析】利用復數(shù)的實部為0，求出，再利用二倍角公式得出結論．【詳解】復數(shù)的實部為0，．．故答案為：．反思提升：1.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實現(xiàn)角α的弦切互化.(2)形如eq\f(asinx＋bcosx,csinx＋dcosx)，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等類型可進行弦化切.2.注意公式的逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.3.應用公式時注意方程思想的應用：對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.【考點2】誘導公式的應用一、單選題1．（23-24高三上·江蘇南通·期末）已知，則（

）A．3 B． C． D．22．（16-17高三上·廣西梧州·階段練習）若，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高一上·陜西咸陽·期末）下列選項中，與的值相等的是（

）A． B．C． D．4．（2024·海南?？凇ざ＃┮阎瘮?shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則（

）A．B．的圖象關于點中心對稱C．D．在上的值域為三、填空題5．（2024·河北邯鄲·二模）正五角星是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，其與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的五角星中，以為頂點的多邊形為正邊邊形，設，則，．

6．（2024·湖南長沙·一模）已知O為坐標原點，過作x軸的垂線交直線于點B，C滿足，過B作x軸的平行線交E：于點P（P在B的右側），若，則.參考答案：1．A【分析】利用輔助角公式結合同角關系式結合條件可得，然后利用誘導公式求解即可.【詳解】因為，所以，所以，又，所以，所以，所以，故.故選：A2．D【分析】由誘導公式可得，結合誘導公式和二倍角的余弦公式計算即可求解.【詳解】由，得，則.故選：D.3．ABD【分析】求出的值，進而利用二倍角的正弦求值判斷A；利用兩角和的余弦求值判斷B；利用二倍角的余弦求值判斷C；利用二倍角的正切求值判斷D.【詳解】因為，對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，因為，可得，故D正確.故選：ABD.4．AC【分析】A選項，先根據(jù)圖象求出最小正周期，進而得到；B選項，求出，代入求出，得到函數(shù)解析式，計算出，B錯誤；C選項，利用誘導公式得到C正確；D選項，整體法求出函數(shù)的值域.【詳解】A選項，設的最小正周期為，則，故，因為，所以，A正確；B選項，由圖象可知，，，將代入解析式得，故，故，因為，所以，故，，故的圖象不關于點中心對稱，B錯誤；C選項，，C正確；D選項，，，故，D錯誤.故選：AC5．0/0.0625【分析】由正五角星的性質，求得，進而根據(jù)誘導公式及二倍角公式計算即可.【詳解】正五角星可分割成5個3角形和1個正五邊形,五個3角形各自角度之和正五邊形的內角和；每個角為，三角形是等腰三角形，底角是五邊形的外角，即底角為，三角形內角和為，那么三角形頂角，即五角星尖角，即.;因為,所以.故答案為：；.6．/【分析】由條件求出點的坐標，證明，，由此可得，列方程求，由此可求，再求.【詳解】依題意不妨設，則，，因為，所以，所以，又，所以，，所以，即，設，則，，所以，所以，，即，所以，由得，解得，所以，所以，在中，所以.【點睛】關鍵點點睛：本題解答的關鍵是結合三角函數(shù)，平面幾何相關結論找到角，之間的關系.反思提升：(1)誘導公式的兩個應用①求值：負化正，大化小，化到銳角為終了.②化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.(2)含2π整數(shù)倍的誘導公式的應用由終邊相同的角的關系可知，在計算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進行運算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.【考點3】同角關系式和誘導公式的綜合應用一、單選題1．（2024·福建南平·二模）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2024·福建廈門·三模）已知，，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高一上·河南三門峽·期末）下列等式正確的有（

）A． B．C． D．4．（2023·黑龍江·模擬預測）關于函數(shù)的圖象和性質，下列說法正確的是（

）A．是函數(shù)的一條對稱軸B．是函數(shù)的一個對稱中心C．將曲線向左平移個單位可得到曲線D．函數(shù)在的值域為三、填空題5．（2024·福建廈門·一模）若，則．6．（2023·河南鄭州·模擬預測）已知，則.參考答案：1．A【分析】由同角三角函數(shù)的基本關系求出，再由二倍角的余弦公式和誘導公式化簡代入即可得出答案.【詳解】因為，所以，解得：，.故選：A.2．C【分析】由可得，再利用整體思想結合誘導公式與二倍角公式計算即可得.【詳解】由，則，則，，則，由，故.故選：C.3．ABD【分析】利用誘導公式和三角恒等變換等知識求得正確答案.【詳解】對A，，A選項正確；對B，，B選項正確；對C，，C選項錯誤；對D，，所以D選項正確.故選：ABD4．ABD【分析】化簡函數(shù)解析式，整體代入法或驗證法求函數(shù)對稱軸和對稱中心判斷選項AB，利用圖象平移的規(guī)則判斷選項C，結合函數(shù)解析式求解區(qū)間內函數(shù)的值域判斷選項D.【詳解】依題意，因為令，，當時，，所以是函數(shù)的一條對稱軸，所以選項正確；（另解：因為，即當時，函數(shù)取得最大值，所以是函數(shù)的一條對稱軸）；令，，當，所以是函數(shù)的一個對稱中心，所以選項正確；（另解：因為，即是函數(shù)的零點，所以是函數(shù)的一個對稱中心）．因為，又將曲線向左平移個單位可得到曲線，所以選項不正確；因為，當，有，則，得函數(shù)的值域為，所以選項正確.故選：ABD5．/【分析】應用誘導公式有，即可求值.【詳解】.故答案為：6．【分析】應用和角余弦公式得，利用誘導公式、倍角余弦公式得，即可得答案.【詳解】，所以，則.故答案為：反思提升：1.利用同角三角函數(shù)關系式和誘導公式求值或化簡時，關鍵是尋求條件、結論間的聯(lián)系，靈活使用公式進行變形.注意角的范圍對三角函數(shù)值符號的影響.2.用誘導公式求值時，要善于觀察所給角之間的關系，利用整體代換的思想簡化解題過程.常見的互余關系有eq\f(π,3)－α與eq\f(π,6)＋α，eq\f(π,3)＋α與eq\f(π,6)－α，eq\f(π,4)＋α與eq\f(π,4)－α等，常見的互補關系有eq\f(π,6)－θ與eq\f(5π,6)＋θ，eq\f(π,3)＋θ與eq\f(2π,3)－θ，eq\f(π,4)＋θ與eq\f(3π,4)－θ等.分層檢測分層檢測【基礎篇】一、單選題1．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知正方體的外接球的球心為，則（

）A． B． C． D．2．（2024·內蒙古呼和浩特·二模）已知，則（

）A． B．0 C． D．3．（2024·浙江紹興·二模）若，則（

）A． B． C． D．4．（2024·山東聊城·三模）已知，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2022·重慶涪陵·模擬預測）已知向量，且，則下列說法正確的是（

）A． B． C．的值為2 D．6．（23-24高三上·山西呂梁·階段練習）計算下列各式的值，其結果為2的有（

）A． B．C． D．7．（2020·全國·模擬預測）已知，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最大值為三、填空題8．（2024·北京順義·二模）在中，，，，則的面積為.9．（2024·河北承德·二模）已知，則.10．（2024·安徽池州·模擬預測）筒車亦稱為“水轉筒車”，一種以流水為動力，取水灌田的工具，筒車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有多年的歷史如圖，假設在水流量穩(wěn)定的情況下，一個半徑為米的筒車按逆時針方向做每分鐘轉一圈的勻速圓周運動，筒車的軸心距離水面的高度為米，設筒車上的某個盛水筒的初始位置為點（水面與筒車右側的交點），從此處開始計時，分鐘時，該盛水筒距水面距離為，則.四、解答題11．（21-22高二下·吉林·階段練習）已知，(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．12．（22-23高一上·安徽黃山·階段練習）（1）已知角終邊上一點，求的值；（2）化簡求值：參考答案：1．D【分析】根據(jù)正方體的體對角線以及面對角線長，即可利用余弦定理求解，由同角關系即可求解.【詳解】設正方體的棱長為，則，易知正方體的外接球的球心為體對角線的中點，.在中，由余弦定理可得由于，，故選：D.2．C【分析】利用兩角差的正切公式計算可得，結合切弦互化即可求解.【詳解】由，得，解得，所以.故選：C3．D【分析】由降冪公式求出，再結合誘導公式求解即可．【詳解】由已知得，，即，則，故選：D．4．A【分析】先利用整體思想結合誘導公式與二倍角余弦公式計算得，然后由及可得，即可求得.【詳解】因為，所以，所以，則，即，由，則，由，得，故，所以，則，故.故選：A5．BD【分析】先根據(jù)向量加法，可直接求出.對選項，直接求出向量和的模，然后驗證即可；對選項，直接求出余弦值；對選項，直接求出向量的模；對選項，直接求出正弦值.【詳解】根據(jù)向量的加法可得：根據(jù)誘導公式及同角三角函數(shù)的關系，且，解得：.對選項，，則有：，故選項錯誤；對選項，則有：，故選項正確；對選項，，則有：故有：，故選項錯誤；對選項，則有：，故選項正確.故選：BD.6．ABC【分析】利用和角公式可求值驗證A項，運用輔助角公式和誘導公式可得B項，運用兩角和的正切公式可以驗證C項，利用倍角公式和誘導公式可以判定D項.【詳解】對于選項A，，故A項正確；對于選項B，，故B項正確；對于選項C，，故C項正確；對于選項D，，故D項錯誤．故選：ABC．7．BD【分析】令，利用換元法將函數(shù)轉化為分式函數(shù)，即可根據(jù)函數(shù)單調性求得函數(shù)最值.【詳解】設，由，得，則，又由，得，所以，又因為函數(shù)和在上單調遞增，所以在上為增函數(shù)，，，故選：.【點睛】本題考查之間的關系，涉及利用函數(shù)單調性求最值，屬綜合基礎題.8．【分析】將兩邊平方，結合余弦定理可得，利用平方關系求出即可得解.【詳解】由余弦定理得①，又，得②，聯(lián)立①②解得，因為，，所以，所以.故答案為：9．/【分析】利用三角恒等變換化簡算式得，已知，由正切的倍角公式求出即可求得結果.【詳解】，，所以，而，因此原式.故答案為：.10．3【分析】由題意得，，，又時，，代入求值，得到，求出函數(shù)解析式，求出答案.【詳解】由題意得，又，故，且，解得，故，當時，，即，，又，解得，故，所以.故答案為：311．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)角的范圍確定，即可由一元二次方程求解，（2）（3）根據(jù)弦切齊次式即可求解.【詳解】（1）由于，所以，又得，解得或（舍去），故（2）（3）12．（1）；（2）2【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，利用誘導公式化簡后，代入，求出答案；（2）利用對數(shù)運算法則計算出結果.【詳解】（1）因為角終邊上一點，所以，所以（2）.【能力篇】一、單選題1．（2024·湖南常德·一模）已知，則（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·浙江溫州·二模）已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，為其終邊上一點，若角的終邊與角的終邊關于直線對稱，則（

）A． B．C． D．角的終邊在第一象限三、填空題3．（2024·內蒙古呼倫貝爾·二模）已知，是方程的兩個根，則．四、解答題4．（2023·貴州·模擬預測）已知中，內角，，的對邊分別為，，，.(1)求；(2)若，，在上，且，求的長.參考答案：1．A【分析】使用誘導公式和二倍角公式，結合已知條件即可求解.【詳解】.故選：A.2．ACD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，可求角的三角函數(shù)，結合誘導公式判斷A的真假；利用二倍角公式，求出的三角函數(shù)值，結合三角函數(shù)的概念指出角的終邊與單位圓的交點，由對稱性確定角終邊與單位圓交點，從而判斷BCD的真假.【詳解】因為角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，所以：，所以，，所以，故A對；又，，所以的終邊與單位圓的交點坐標為：，因為角的終邊與角的終邊關于直線對稱，所以角的終邊與單位圓的交點為，所以，且的終邊在第一象限，故CD正確；又因為終邊在直線的角為：，角的終邊與角的終邊關于對稱，所以，故B錯誤.故選：ACD3．【分析】利用韋達定理可得，，再利用兩角和差公式和三角函數(shù)的商數(shù)關系求解即可.【詳解】因為，是方程的兩個根，所以，，則，所以．故答案為：4．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二倍角公式和同角三角函數(shù)關系化簡已知條件即可求解；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)關系得，由向量加法運算得，平方化簡即可求解.【詳解】（1）因為，所以，所以，由得，即，平方化簡得，所以.（2）由題意，所以，即,